Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

2.3.2 Système de files d'attente G/ M/ l

Le système G/M/l peut être considérécomme symétrique du système M/G/1. En effet, les temps des inter-arrivées des clients suivent une loi générale F, de moyenne 1/A et le temps de service est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre u. Afin d'analyser ce système, on fait appel a` la méthode de la chaàýne Markov induite.

Chaàýne Markov induite

Soit Y_n : le nombre de clients se trouvant dans le système G/M/1 juste avant l'arrivée du n^eme client . La variable aléatoire Y_n est une chaàýne de Markov a` temps discret.

Pour vérifier ce résultat, considérons le nombre B_n de clients servis entre les instants d'arrivées consécutives _{(Tn_1,} T_n), les variables aléatoires B_n sont indépendantes entre elles, leur distribution commune est [14] :

P(Dn = k) = Bk = On a alors la relation suivante :

Z0

+00e_ut (mut)k k! dF(t).

Y_n = Tn_1 - D_n + 1,

D_n est une variable aléatoire qui ne dépend que de la durée (T_n - Tn_1).

D'autre part (T_n - Tn_1) est une variable aléatoire indépendante de _{Yn_1} , de l'état du processus avant _{Tn_1} ainsi que de n. Et que T_n ne dépend que de _{Tn_1} et non pas de Tn_2, Tn_3,....

La suite {Y_n : n = 0, 1, ...} forme une chaàýne de Markov induite du processus {Y (t), t = 0} o`u y(t) : le nombre de clients dans le système a` l'instant »t».

Régime transitoire

Les probabilités de transition de la chaàýne de Markov induite {Y_n : n = 0, 1, ...}, sont données par:

qij = P(yn+1 = j/y_n = i) = P(D_n = k),

j.

~P(Dn = i - j + 1), si X_n > 0; 0, si i + 1 < qij = (2.10)

Pi0 = 1 -			Xi+ 1 j=1	Pij.
Q =	? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Ainsi, la matrice des probabilites de transition Q = (qij)i,jinN prend la forme suivante :

1 -- B0 B0 0 0 0 ...

1

_P
j=0

1 --

Pij B1 B0 0 0 ...

2

_P
j=0

1 --

Pij B2 B1 B0 0 ...

3

_P
j=1

1 --

..

Pij B3 B2 B1 B0 .

.· · · · · · · · · · · · · · ·..

R'egime stationnaire

Supposons que le regime stationnaire existe (A/_au < 1).

Notons 7r = (7rn)n>0, le vecteur de probabilitestationnaire de la chaine de Markov induite

(Yn).

On a, 7r = 7rP,

7ri =

?

?? ?

???

+00

k=0

7r0 =

7ri+k-1Bk, si i = 1;

+00

t=0

[7re(1 --

+00

t=0

Bk)].

(2.11)

On utilise la fonction generatrice de la variable aleatoire D_n note par

B(z) =

+00 k=0

Bkz^k,

B(z) = z. (*)

Notons par rj(0 < rj < 1) la j^eme solution de l'equation (*), la solution pour 7ri est :

7ri = E cjrⁱ_j,

j

cj une constante.

En utilisent l'equation (*), z = B(z) et 7ri = Crⁱ ₀, i = 1, on verifie ; 7r0 = 1 -- r0.

D'ou,

7ri = (1 -- r0)rⁱ ₀, n > 0.

Caractéristiques du système d'attente G/M/l

ð_n = P_n, n'est pas vérifiée ici parceque les arrivées sont générales avec

Pn = lim t--++8

P(X(t) = n).

Les mesures de performance juste aux instants d'arrivées, et P_n = ñðn-1. On constate que toutes les caractéristiques stationnaires du système M/M/1 peuvent être déduite a` partir des caractéristique stationnaire de la chaàýne de Markov induite (bien que ð_n =6 P_n).

Les mesures de performance sont donc données comme suit :
- Temps moyen d'attente d'un client dans le système W_q :

r0

W_q = u(1 -- r0)^,

- Temps moyen de séjour d'un client dans le système W :

1 W = Wq + u		1
	=
		u(1 -- r0)^,

- Nombre moyen de clients dans le système L :

ë

L = u(1 -- r0)^,

Nombre moyen de clients dans la file L_q :

1 Lq = u	=	ër0
		u(1 -- r0)^.