A/S/Ns/Nc/K/Z,
. A concerne la loi du processus des inter-arriv'ees
{En, m = 0} = {Tn+1 - Tn, m = 0};
. S concerne la loi des dur'ees de service Sn ;
. Ns est le nombre de guichets ou serveurs;
. Nc est la capacit'e de la file d'attente;
. K concerne la source des clients;
. Z est la discipline de service.
Lorsque les trois derniers 'el'ements ne sont pas mentionn'es,
il est sous-entendu que la capacit'e et la source sont infinies et que la
discipline est FIFO (premier arrivé, premier servi).
Caractéristiques d'un système de files d'attente
La th'eorie des systèmes d'attente a comme objectif
d'en 'etudier les structures et de calculer les valeurs caract'eristiques
permettant de d'ecrire les performances d'un tel système : L : Nombre
moyen de clients dans le système de files d'attente;
Lq : Nombre moyen de clients dans la file;
W : Temps moyen de s'ejour d'un client dans la file (attente +
service);
Wq : Temps moyen d'attente d'un client dans la
file.
Ces valeurs sont li'ees les unes aux autres par les relations
suivantes [37] :
L = ëeW ;
Lq = ëeWq;
;
1
W = Wq + u
ëe
L = Lq + .
u
Les deux premières relations sont appel'ees Formules de
Little, avec : ëe : Taux d'arriv'ees dans le système;
u : Taux de service;
1 : Intervalle de temps moyen s'eparant deux arriv'ees
cons'ecutives;
ëe
i : Dur'ee moyenne de service j;
u
p = ëeu : Taux d'occupation du système.
2.1.2 Analyse mathématique d'un système
de files d'attente
La description mathématique d'une file d'attente se fait
par l'introduction des processus stochastiques suivants :
. {Xt, t = 0} o`u Xt correspond au nombre de clients dans le
système a` la date t; . {Wn, m = 1} o`u Wn
correspond a` la durée d'attente du mieme client;
. {At, t = 0} o`u At est le nombre d'arrivée a` la date
t;
. {Nt, t = 0} o`u Nt est le nombre de clients pouvant être
servis si le serveur travaillait sans interruption durant la période
[0,t];
. {Dt, t = 0} o`u Dt est le nombre d'arrivées a` la date
t.
Ces quantités peuvent être considérées
comme les caractéristiques essentielles du système.
2.2 Files d'attente markoviennes
Les files d'attentes makoviennes sont celles pour lesquelles
les inter-arrivées et les durées de service sont exponentielles.
Leur notation de Kendall sera de la forme M/M/... (M comme markovien).
2.2.1 La file d'attente M/M/1
Pour ce système, le plus simple de la théorie des
files d'attente, le flux des arrivées est poissonnien de
paramètre ë et la durée de service est exponentielle de
paramétre u.
Régime transitoire
Soit le processus stochastique {X(t), t = 0} : »le nombre
de clients dans le système a` l'instant t ». Gràace aux
propriétés fondamentales du processus de Poisson et de la loi
exponentielle suivante :
. P(exactement une arrivée pendant At) = At + o(At);
. P(aucune arrivée pendant At )= 1 - At + o(At); . P(2
arrivées ou plus pendant At)= o(At);
. P(exactement 1 départ pendant At/X(t) = 1 )= ut +
o(At);
. P(aucun départ pendant At/X(t) = 1 )= 1 - ut + o(At);
. P(2 départs ou plus pendant At )= o(At).
Dans ce cas, la matrice des taux de transition P = (Pij)i,j?N
prend la forme suivante :
?
? ? ? ? ? ?
P=
?
??????
-A A 0 . .
-( + A) A 0
0 -( + A) A 0
...
...
0 -( + A) A
... 0 ...
Et le graphe représentatif du processus de naissance et
mort de la file d'attente M/M/1 est donnésous la forme:
FIGURE 2.2 - Graphe représentatif du processus de
naissance et de mort
{
P ' 0(t) = -AP0(t) + P1(t); (2.1)
P '
n(t) = -(A + )Pn(t) + APn_1(t) + Pn+1(t), m =
1, 2, ...
o`u Pn(t) = P(Xt = m).
Si A < , le processus {Xt, t = 0} converge vers une variable
aléatoire X dont la distribution ð est définie par [9] :
ðn = (1 - p)pn,
o`u p = A/ , m = 0,1,...
Caractéristiques de la file M/M/1
La file M/M/1 est stable (A < , c'est-à-dire p <
1).
- Le nombre moyen de clients dans la file Lq :
Le nombre moyen de clients dans la file ne dépend que du
taux de charge p :
|
>
E[m] =
n>0
|
mð(m) = p
1 - p = Lq,
|
- Temps moyen de séjour W est obtenu par:
|
L
W = ë
|
|
1
|
|
|
=
|
|
|
|
u(1 -- ñ),
|
|
qui peut se décomposer en :
|
1
W = u
|
ñ
+ u(1 -- ñ).
|
On déduit alors, le temps moyen passédans la file
d'attente Wq :
ñ
Wq = u(1 -- ñ),
- D'après la formule de Little, le nombre moyen de clients
dans le système de la file d'attente
stable M/M/1 est donnépar le produit de leur taux
d'arrivée ëe et leur temps de séjour moyen W :
L = ëeW = ñ2 .
1 -- ñ
| 
