Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

1.7.4 Comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles et apériodiques

Le théorème suivant résume le comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles et apériodiques.

Théorème 1.10 [13] : Soit P la matrice de transition d'une chaàýne irréductible et apériodique. Les propriétés suivantes sont vérifiées : - La matrice P ⁿ tend vers une matrice stochastique

P* lorsque n tend vers l'infini; - Les lignes de P * sont toutes égales entre elles; - P ij * > 0 pour tout i; j ? S; -Pour toute distribution initiale ð⁽⁰⁾,

lim n?8

ð(n) = lim n?8

ð(0)Pn = ð*

-ð^* est la solution unique du système :

{ ðP = ð;

(1.3)

ð1 = 1.

ð* égal a` n'importe quelle ligne de la matrice P *; -Pour tout i ? S, ð* i = ui 1 o`u ui est l'espérance du nombre de transitions entre deux visites successives de l'état i.

1.7.5 Chaàýnes de Markov ergodiques

Ce qu'on appelle propri'et'es ergodiques pour une chaàýne de Markov concerne l''etude de ces comportements a` l'infini, soit de la chaàýne elle-même, soit de ses probabilit'es de transition P n.

Une chaàýne de Markov est ergodique si elle admet une distribution asymptotique, i.e. si lim ð(n) existe, unique et ind'ependante de la distribution initiale.

n-400

Propriété1.4 Les chaàýnes irr'eductibles et ap'eriodiques sont ergodiques.

Théorème 1.11 (Théorème ergodique en moyenne [26]) :

Lorsque n ? 8, la matrice ðⁿ converge ('el'ement par 'el'ement) vers la matrice ð de composantes ðij = fij//ij ^(avec ðij = 0 si /ij = 1). o`u /ii est l'esp'erance du nombre de transitions entre deux visites successives de l''etat i.

Théorème 1.12 (Théorème ergodique [16]) :

Soit {X_n;n = 0, 1, ...} une chaàýne de Markov ergodique de distribution stationnaire ð^* et f une fonction r'eelle d'efinie sur l'espace des 'etats S de la chaàýne. Alors,

lim n-400	1	Xn k=0	X f(Xk) = i?S	ð* i f(i),	presquesàurement.
	n + 1

La moyenne temporelle est donc 'egale a` la moyenne spatiale par rapport a` la probabilit'e invariante.

Théorème 1.13 [26] : Si X est une chaàýne irr'eductible, il existe une probabilit'e invariante
si et seulement si la chaàýne est positive. Dans ce cas, la probabilit'e invariante est unique et

donn'ee par

1

ði =

, /ii

Théorème 1.14 [16] : Une chaàýne de Markov irr'eductible poss'ede au plus une probabilit'e invariante ð et alors ð⁽ⁱ⁾ > 0 pour tout i E S.

Si S est fini, alors toute chaàýne de Markov irr'eductible possède une et une seule probabilit'e invariante.