Théorèmes du point fixe et ses applications

Théorèmes du point fixe et ses applications

Présenté par : Imane BELKHEIR

Encadré par: Khaled ZENNIR

Département de mathématiques
Université des sciences et de technologie d'oran

Faculté des sciences

Juin 2010

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Table des matières

1	Préliminaire 1.1 Espaces métriques, espaces topologiques 1.1.1 Norme, distance, topologie 1.1.2 Continuité, complétude, compacité 1.1.3 Connexité et convexité 1.2 Espaces de Banach et ses propriétés 1.3 Contractions et conditions contractives 1.4 Espaces fonctionnelle		1 2 2 5 8 9 10 11
		1.4.1 Les espaces LP 11
		1.4.2 Espaces de Sobolev	12
		1.4.3 Les espaces LP(0,T,X)	13
2	Théorèmes du point fixe		14
	2.1	Théorie métrique et point fixe	15
		2.1.1 Théorème du point ffxe de Banach	15
		2.1.2 Théorème de point ffxe de Brinciari	17
	2.2	Théorie topologique et point ffxe	24
		2.2.1 Théorème du point ffxe de Brouwer	24
		2.2.2 Théorème du pont ffxe de Schauder	28
	2.3	Comparaison entres les différents type des théorèmes du point	30
3	Applications		32
	3.1	Théorème de point ffxe et EDPs nonlineaire	33



Notations

a : domaine borne de R^N.

1^-1 : frontière topologique de a.

x = (xi, x2,
· xN) : point de R^N.

p' : conjugue de p, d : 1

1 =1.

p^,

Vu : gradient de u. Au : Laplacien de u.

+

p

D(a) : espace des fonctions a support compacte dans a. D^'(a) : espace de distribution .

1
p

:

11/11P= (11 I f(x)I^P)

14^1,P (a) = {u E LP (a) , Vu E (LP (a))^N1 .

1

11U11 _1,p = (11U11^P_p 11VU11^P_p) P
·

W 1;p

0 (a) : la fermeture de D (a) dans W^I-P (a) . H : espace de Hilbert.

_H1 _w0 1_;2

⁰ Si X est un espace de Banach

T

11(0, T; X) = {f : (0, T) --> X est mesurable ; f 11 f(t)r_x dt < oo} .

0

{ )

L°° (0, T; X) = f : (0, T) --> X est mesurable ;ess -- sup 11f(t)11^p_X < oo
·

tE(0,T)

Bx = E X; 11x11 < 1} : la boule unitee.



Introduction

Les théorèmes du point fixe sont les outils mathématiques de base en montrant l'existence des solutions dans divers genres d'équations. La théorie du point fixe est au coeur de l'analyse nonlinéaire puis qu'elle fournit les outils nécessaires pour avoir des théorèmes d'existence dans beaucoup de problèmes non-linéaires différent. Elle utilise ses outils de l'analyse et de la topologie et pour cette raison nous avons la classification "point fixe et théorie métrique" et "point fixe et théorie topologique".

Le développement de la théorie du point fixe, qui est la branche cardinale de l'analyse non linéaire a donné un grand effets sur l'avancement de l'analyse non linéaire. L'analyse non linéaire comme une branche autonome des mathématiques a été élaboré dans les années 1950 par des mathématiciens, comme Browder, comme une combinaison de l'analyse fonctionnelle et l'analyse variationnelle.

Cependant, les premiers résultats avaient déjà été obtenus dans les années 1920, les résultats nonlinéaires sont applicables à un large éventail domaines. Plusieurs problèmes en physique, chimie, biologie, économie conduisent à des modèles non linéaires. Les équations différentielles non linéaires et intégrales, les inégalités variationnelles et plus de problèmes d'optimisation générale, sont quelquesuns des sujets importants dans l'analyse non linéaire.

Soit X un ensemble et T : X -p X une application. Une solution d'une équation T (x) = x est appelé un point fixe de T. L'original de la théorie du point fixe, une branche importante de l'analyse fonctionnelle non linéaire, qui remonte à la dernière partie du XIXe siècle, le reste dans l'utilisation d'approximations successives de l'existence et l'unicité de la solution, en particulier aux équations différentielles. Cette méthode est associée aux noms de mathématiciens célèbres tels que Cauchy, Liouville, Lipschitz et surtout, Picard.

En fait, les précurseurs de la théorie du point fixe approché sont explicites dans les travaux de Picard. Toutefois, c'est le mathématicien polonais Stefan Banach, qui est crédité sur le placement d'une idée abstraite.

Vers 1922, Banach reconnu le role fondamental de la complétude métrique : une propriété partagée par l'ensemble de l'espace couramment exploitées dans l'analyse. Pendant de nombreuses années, l'activité dans la théorie du point fixe a été limitée à miroir extensions de principe de contraction de Banach et ses applications multiples. la théorie acquise impute en grande partie à de nouveaux résultat d'un travail de pionnier de Browder dans le milieu des années Soixante, ainsi que le développement de l'analyse fonctionnelle non-linéaire comme une branche active et vitale des mathématiques, central dans cette évolution ont été les théorèmes de Browder.

La qualité ainsi que le montant de la recherche de la théorie des points fixes dans l'espace métrique a grandement augmenté dans les années1970. Les descriptions des évolutions importantes dans cette période prouvée l'existence des théorèmes du point fixe en utilisant des applications contractive plus généralisée que les applications contractive précédentes. Plus des applications contractive généralisée

iv

ont été concues par Bianchini, Caristi. Dans les années 1980 Sessa et Jungck, introduit la notion de la commutativité faible et les applications compatibles. Par la suite, un fiot de théorèmes du point fixe commun a été introduit par Sessa, Jungck.

Dans ce travail, nous présenterons brièvement les faits historiques, des définitions bien connues, et les théorèmes importants qui sont des théorèmes du point fixe dans l'espace métrique, topologiques et ses applications.



Plan de mémoire

On a structuré ce mémoire en quatre grands chapitres :

Chapitre0l :

Dans ce premier chapitre on rassemble toutes les notions et résultats de base que nous utiliserons par la suite.

Chapitre02 :

Ce chapitre traite les principaux théorèmes du point fixe.

Section 2.1. traite la théorie métrique du point fixe. En général ce ci inclut tous les résultats pour les quels la structure métrique de l'espace fondamental et / ou des propriétés métriques des problèmes a résoudre. L'exemple le plus caractéristique d'un tel résultat est le principe de la contraction du Banach. En fait plusieurs des résultats dans ce sens sont des conséquences de ce théorème. Essentiellement le théorème du point fixe de Banach est une abstraction intelligente du bien connu de la théorie de méthode différentiel d'équations d'approximations successives. Nous présentons une généralisation du théorème de Banach, nous examinons les applications nonexpansives et nous présentons également le théorème de Brinciari, qui est une généralisation profonde remarquable du principe de contraction.

Dans section 2.2, nous examinons l'autre type des théorèmes du point fixe, qui constituent la prétendue "théorie topologique". Ou, les propriétés topologiques de l'espace et /ou des problèmes a résoudre s'imposent. En particulier la notion de la compacité est de base dans nos considérations. Les théorèmes du point fixe de type topologiques sont le théorème du point fixe de Brouwer et son généralisation dimensionnelle infinie, le théorème du point fixe de Schauder.

Chapitre03 :

Dans ce chapitre on étudiera un exemple. Nous étudions l'application du point ffxe dans une famille de problèmes d'évolutions de type hyperbolique

vi

Dans ce chapitre, nous allons rappeler les notions essentielles, de même quelques résultats fondamentaux, qui concernent les espaces métriques, topologiques, les espacesL (~) , les espaces de Sobolev, espaces fonctionnelles et d'autres théorèmes classiques. Ces notions et ces résultats représentent un outil important pour l'étude de ce type de problème.

1.1 Espaces métriques, espaces topologiques

1.1.1 Norme, distance, topologie

Définition 1.1.1 Soit X un espace vectoriel réel, une norme sur X est une application x '~p kxk de X dans II1⁺, telle que :

(N1) kxk = 0 , x = 0.

(N2) AxM = jAj kxk , Vx 2 X, VA 2 II1.

(N3) x + yM < x + MyM ,Vx,y 2 X (inégalité triangulaire ).

Définition 1.1.2 Soit X un espace vectoriel réel, un espace normé est un couple (X, k.k) , oh k.k est une norme sur X.

Notation 1.1.1 On note par MxM_x la norme de x dans X .

Définition 1.1.3 Soit X un ensemble non vide. Une distance sur X est une application

(x,y) i~p d(x,y)

de X x X dans II1⁺ telle que :

(131) d (x,y) = 0 '~i x = y.

(132) d (x,y) = d (y,x) ,Vx,y 2 X.

(133) d (x, y) < d (x, z) +d (y, z), Vx, y, z 2 X (inégalité triangulaire).

Définition 1.1.4 Un espace métrique est un couple (X, d), oh d est une distance sur X.

Définition 1.1.5 Soit (X, d) un espace métrique. Pour x 2 X et r > 0, on définit : 1- La boule ouverte de centre x et de rayon r est :

B (x,r) = {y 2 X, d(y,x) < r}. (1.1)

2-La boule fermée de centre x et rayon r est :

B (x,r) = {y 2 X, d (y,x) ~ r}. (1.2)

.

3-La sphere de centre x et rayon r est :

S (x,r) = {y 2 X, d(y,x) = r}. (1.3)

Définition 1.1.6 Soit (X, d) un espace métrique. Par définition, une partie U de X un ouvert si pour tout x 2 U, il existe un r > 0 tel que B (x,r) c U .

Definition 1.1.7 Soit (X, d) un espace métrique. Un ensemble F C X est fermé si son complémentaire F^C est ouvert.

Proposition 1.1.1 On a

a) Pour tout x 2 X et r > 0, B (x,r) est un ouvert.

Ub) Si Ui est un ouvert, Vi 2 I, alors i El

U est un ouvert.

c) soit m 2 N^*, si Ui est un ouvert, i = 1, .., m, alors _\n U est un ouvert.

i =1

Proposition 1.1.2 On a

a) Pour tout x 2 X et tout r > 0, B (x, r) est un fermé.

b) Soit m 2 N^*, si Ft un fermé, i = 1,..,m, alors _[n Fi est un fermé.

i =1

flc) Si Fi est un fermé, Vi 2 I, alors i El

Fi est un fermé.

Definition 1.1.8 Soient E un ensemble quelconque et P (E) la famille de toutes les parties de E . On dit qu'une sous famille r de P (E) est une topologie sur E si elle satisfait les trois conditions suivantes :

(A1) E 2 T, 0 2 r.

(A2) -i- est stable par réunion (fini ou non) c'est-à-dire :

	U8 (cj), El c r :	ci 2 ji-. (1.4)
.	i El
(A3) -r est stable par intersection finie c'est-à-dire : fl 8 (~j)i 2J C r : j EJ			~i 2 ji-. (1.5)

Le couple (E, -r) s'appelle espace topologique. les éléments de r sont dits ensembles ouverts de(E, r).

Definition 1.1.9 On appelle voisinage d'un point x de l'espace topologique E tout sous ensemble de E contenant un ouvert contenant x et noté V (x).

Definition 1.1.10 On appelle intérieur d'un sous ensemble A de E , la réunion de tous les ouverts contenus dans A , autrement dit le plus grand ouvert contenu dans A et noté A.

Definition 1.1.11 On appelle adhérence d'un sous ensemble A de E , l'intersection de tous les fermés qui contient A, autrement dit le plus petit fermé qui contient A et noté A.

Definition 1.1.12 La frontiêre d'un ensemble A de E est l'ensemble des points x dont tout voisinage V contient au moins un point de A et un point de A^c .C'est-à-dire

Fr (A) = A n A^c.

Definition 1.1.13 L'extérieur d'un sous ensemble A qui noté Ex (A) est définie par

Ex(A) = ( ~A~c .

1.1.2 Continuité, complétude, compacité

Définition 1.1.14 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques. Une application

f : X ~! Y

est continue au point a 2 X, si pour tout € > 0, il existe 8 > 0 tel que

D (f (x),f (y)) < (1.6)

dés que

d (x,y) < 8 (1.7)

On dit aussi que a est un point de continuité de f.

f est continue si f est continue en tout point de X.

L'ensemble des fonctions continues de (X, d) vers (Y, D) est noté C ((X, d) , (Y, D)) ofi tout simplement C (X, Y ).

Proposition 1.1.3 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et

f : (X,d) ~! (Y, D)

une application alors f est continue en point a 2 X si et seulement si pour toute suite (U_n) converge vers a donc la suite f (U_n) converge vers f (a).

Théorème 1.1.1 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et f : (X, d) -p (Y, D) une application, alors les assertions suivantes sont equivalentes :

i) f est continue sur X

ii) L'image réciproque par f de tout ouvert de Y est ouverte dans X.

iii) L'image réciproque par f de tout fermé de Y est fermée dans X.

Proposition 1.1.4 Soient (X, .k_X) , (Y, .k_Y ) deux espaces normés, et f application linéaire

f : (X,k.k_X) ~! (Y , k.k_Y )

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) f est continue.

b) f est continue en 0.

c) il existe c > 0, tel que f (x)M_y ~ C kxk_x, 8 x 2 X, si de plus est de dimension finie, alors

toute application lineaire

( )

f : (X, kk_x) ~! X, kk_y

est continue.

Definition 1.1.15 Soit (X, d) un espace métrique, une suite (x_n) E X est de Cauchy si et seulement si pour tout € > 0, il existe n0 > 0, tel que d (x_n, x_m) < dés que n, m ~ n0.

Proposition 1.1.5 On a

a) Si (x_n) est une suite convergente alors (x_n) est une suite de Cauchy .

b) Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence.

c) Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle a une valeur d'adhérence.

Definition 1.1.16 Soit (X, d) est un espace métrique.

* Une partie A de X est bornée s'il existe a E X et r > 0 tels que

d (a,x) _< r, Vx E A.

* Une suite (x_n) c X est bornée s'il existe a E X et r > 0 tels que

d (a,x_n) _< r, Vn E N.

Proposition 1.1.6 Une suite de Cauchy est bornée.

Definition 1.1.17 Un espace (X, d) est complet si et seulement si toute suite de Cauchy (x_n) E X est convergente.

Soient (X, d) un espace métrique et A c X.

Proposition 1.1.7 On a

a) Si (A, d) un espace complet, alors A est un fermé de X .

b) Si (X, d) un espace complet et A est un fermé de X ,alors (A, d) est complet.

Corollaire 1.1.1 Dans un espace métrique A, A complet () A est fermé. Definition 1.1.18 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et

f : X ~- Y

est bornée si son image f (x) est bornée.

Cb (X, Y ) = {f : (X, d) - (Y, D) , f est continue et bornée}

:

Proposition 1.1.8 Si (Y, D) un espace complet, alors Cb (X, Y ) est un espace complet.

Definition 1.1.19 Un espace (X, d) est compact si et seulement si pour tout recouvrement ouvert (Ui)i 2I de X,

(i.e.Uiouvert et X = Ui 2iUi ), on peut extraire un sous recouvrement finie c'est-à-dire il existe une famille J C I tel que

UX = Ui.

j EJ

Corollaire 1.1.2 Un espace (X, d) est compact si et seulement si pour tout famille fermé (F j)j 2I de X, telle que

n i El

Fi = ?,

il existe une famille finie J C I , telle que

flj EJFi = ø.

Definition 1.1.20 Un espace métrique (X, d) est compact si et seulement si toute suite (x_n) c X admet une sous suite convergente.

Proposition 1.1.9 Soit (X, d) un espace compact, et A c X, alors A est compact si et seulement si A fermé dans X.

Proposition 1.1.10 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métrique, f est une application continue de X dans Y . Si X est compact, alors f (X) est un compact.

Proposition 1.1.11 Un espace compact est bornée et complet.

Definition 1.1.21 Soit (X, d) un espace métrique, une partie A de X est relativement compact si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans X.

1.1.3 Connexite et convexite

Definition 1.1.22 Un espace métrique (X, d) est connexe si et seulement si les seules parties a la fois ouvertes et fermées de X sont 0 et X .

Proposition 1.1.12 Soient (X, d) un espace métrique et A c X . Si A est connexe, alors A est connexe.

Proposition 1.1.13 Soient (X, d) un espace métrique et A c X . Si A est connexe et

A c B c A,

alors est connexe.

Proposition 1.1.14 Soient (X, d) un espace métrique et (Ai)i _EI une famille connexe de X tel que

[ Ai n Ai =6 0, alors A = i EI

Ai est connexe.

Corollaire 1.1.3 Soient (X, d) un espace métrique et (Ai)i _Ez une famille connexe de X tel que

n Ai 0. Alors A =U Ai est connexe.

i EI i EI

Definition 1.1.23 Soient (X, d) un espace métrique et x E X , on appelle la composante connexe de x, noté C (x) la réunion de out des connexes de X . Les toutes parties de X contenant x.

Proposition 1.1.15 On a

a) C (x) est la plus grand partie connexe de X contenant x .

b) Chaque composante connexe est fermée dans X.

Definition 1.1.24 Soient (X, d) , (Y, D) deux espace métrique , f est une application continue de X dans Y . Si X est connexe, alors f (X) est connexe.

Definition 1.1.25 Soit X un espace vectoriel, soit x, y E X, le segment [x, y] est définit par

[x, y] = {t x + (1 -- t) y ,t E [0,1]} (1.8)
une partie C de X est convexe si [x, y] c C, pour yout x, y E C.

Definition 1.1.26 On dit que l'ensemble A de X est convexe si et seulement si

Vx, y E A, Vt E [0, 1] : {t x + (1 -- t) y} c A . (1.9)

Lemme 1.1.1 Soit E un espace vectoriel et {Ci}_ici un ensemble de E, si {Ci}_ici est convexe, alors niEIC i est un ensemble convexe.

Definition 1.1.27 Soit E un espace métrique, L'enveloppe convexe de E est l'intersection de tout les ensembles convexes contenues dans E, on le note par convE .

1.2 Espaces de Banach et ses propriétés

Définition 1.2.1 Un espace (X, . ) est de Banach si et seulement si X est complet pour la distance associe a . .

Proposition 1.2.1 Si (X, d) est un espace métrique et (E, . _E) est un espace de Banach , alors Cb (X, Y ) est un espace de Banach.

Proposition 1.2.2 Si (X, . _X) est un espace normé et (Y, . _Y ) un espace de Banach, alors L (X, Y ) est un espace de Banach.

Définition 1.2.2 on dit qu'un ensemble A d'un espace de Banach a la propriété de point fixe si toute application continue de A dans A admet un point fixe.

Soient X , Y deux espaces de Banach ou bien, en général, deux espaces topologiques, et deux ensembles A C X et B C Y .

Corollaire 1.2.1 Soit A C Rⁿ un ensemble compact. Et supposons qu'il existe une application continue P : Rⁿ ~p A avec P \A = idA .i.e. P (x) = x , Vx 2 A. Alors l'ensemble A a la propriété du point fixe.

Corollaire 1.2.2 Si les ensembles A et B sont homéomorphes et A a la propriété de point fixe, alors B aussi a la propriété du point fixe.

Section 1.2. Espaces de Banach et ses propriétés

1.3 Contractions et conditions contractives

Des nombreux auteurs ont défini les applications de type contractive sur un espace métrique complet X, qui sont des généralisations de la contraction de Banach, et qui ont la propriété que chaque une telle application a un point fixe unique. Maintenant, nous introduisons la multitude de définitions des correspondances de type contractive.

Definition 1.3.1 Soit (X, d) un espace métrique complet, f et une application de X dans X, on dit que f est K-lipchitziênne, s'il existe une constante K 0 telle que :

d(f (x),f (y)) Kd(x,y),Vx,y E X. (1.10)

Le plus petit nombre K de 1.10 est dite la constante Lipschitz def.

Definition 1.3.2 Soit (X, d) un espace métrique, et f une application de X dans X, on dit que f est contractante si elle est K-lipchitziênne pourK < 1 .i.e. Vx, y E X, K E ]0, 1[ :

d(f (x),f (y)) Kd(x,y). (1.11)

Notation 1.3.1 L'application Lipschitzienne

f : X -- X

avec la constante Lipschitz K < 1 et x =6 y est dite contractive.

En fin, f est dite nonexpansive si K 1.

(contraction =) contractive =) nonexpansive =) Lipschitziênne), et que toutes ces fonctions sont continues.

Definition 1.3.3 Soit f une application de X dans X , on dit que x est un point fixe de f si f (x) = x.

Section 1.3. Contractions et conditions contractives

1.4 Espaces fonctionnelle

1.4.1 Les espaces Lp

On donne ici quelques définitions et propriétés élémentaires.

Définition 1.4.1 soit un ouvert de Rⁿ et 1 < P < 00, on définit L (~) un espace de Lebesgue par:

LP (~) =

8 < :

ff : ~ ~! R^n, f est mesurable et ~

jf (x) ^P dx < 1

9 = ;

. (1.12)

pour P = 1I et 0 < P < 1 , on définit f par:

0 I Mf M = @ f (x)j^P dx ~

1 P

.

(1.13)

Si P = 00, nous avons :

(f : ~ -! R, f est mesurable,il existe une constante C telle que

jf (x)j ~ C p.p sur l

+

1 q

. = 1.

L°° (~) =

On note

kfk°° = inf {c, jf (x)j ~ c}

.

1

Notation 1.4.1 Soit 1 p ~ 1 , on désigne par q l'exposant conjugué de p i.e._p

Théorème 1.4.1 (Inégalité de Holder).

Soint f 2 LP (~) et g 2 Lq (~) avec 1 P 1 ,alors f g 2 L¹ (~) et

_I jf gj ~ Mf M MgM_q .

Théorème 1.4.2 (Inégalité de Young)

1
p

1
q

1

=

+

- 1 ~ 0.Alors



Soient f 2 L (R) et g 2 L (R) avec 1 p 1 ,1 q 1 et r

f * g 2 L (R) et f * gMLT(R) Mf MLP (R) MgMLq(R) .

Lemme 1.4.1 (de Gronwall)

Soient :

~ une fonction E L^°° (0,T ), (t) > 0 ,p.p.t E [0, T ]. ,u une fonction E L^l (0, T ) , ,u(t) > 0, p.p. t E [0, T ] . On suppose

~ (t) <

It 0

,u (s) q (s) ds + C, p.p.t E [0, T ] . (C = constante) .

Alors

(t) < C exp (I,u (s) ds) , p.p. t E [0, T ] .

0

On designe par (f, g) le produit scalaire dans L² (a), i.e.

(f, g) = I

f (x) g (x)dx,

et egalement le produit de dualite entre f E D^'(a) (espace des distributions sur a ), et g E D(a) (espace des fonctions C sur a et a support compact dans a).

Theoreme 1.4.3 L^P (a) est un espace de Banach muni de la norme 11.11p, pour tout 1 < P < 00 .

1.4.2 Espaces de Sobolev

On introduit l'espace H ^m (a) comme etant l'espace des fonctions v E L² (a) dont toutes les deriyees partielles d'ordre inferieure ou egale m -prises au sens des distributions sont dans L² (a) .

Ces espace jouent dans analyse des equations aux deriyees partielles un role fondamental. Les espaces de Sobolev d'ordre m : [ H ^m (a)]

Definition 1.4.2 Pour m E N, on definit :

H ^m (a) = {u E D⁰(a) : D^au E L² (a) , jaj < m} (1.14)

@

oft a = (al, .., an) , aj E N, jaj = al + .. + a_n,et D^a = @~1

1 ...@^~n _noft aj = .

axe

On munit H ^m (a) du produit scalaire

(u,v),,n) = E I D^au (x) D^av (x) dx (1.15)

lal<m ~

et la norme associée a ce produit scalaire mull ,nn = (E f 1D^au (x)1^2 dx) IctIni n On introduit ensuite :

1 2

0 1 @ X = kD^~uk^2 A 2 IctIrri

1 2

· (1.16)

H(1^-(Q) = adh^~erence de D(Q) dans H ¹ (Q)

= sous -- espace deH ¹ (Q) des fonction "nulles" sur I' = oQ: (1.17)

:

Theoreme 1.4.4 (Formule de Green) pour tout u 2 H ² (Q) , v 2 H ¹ (Q) on a

- I

Auv dx = I n

Vu Vv dx --J r

ou v dO (1.18) on

au

oil on

est la dérivée normale de u a F dirigée vers l'extérieur .

1.4.3 Les espaces LP(0, T, X)

Definition 1.4.3 Soit X un espace de Banach, on désigne par L^P (0, T, X) l'espace du foncton

mesurable :

f : ]0,T [ 1-- X

(1.19)

t' f (t)

0 ZT

@0

tel que

_1
A

¹ (1.20)

Ilf (t)I1Px dt P = 11 fIlL^P AT,x) < cc,

pour tout 1 < P < 1

0f

Lemme 1.4.2 Soit f 2 L^P (0, T, X) et 2 L^P (0, T, X), pour 1 < P < o, nous avons f

continue de [0, T ] dans X , c'est-d-dire f EC ¹ (0, T, X)

Chapitre 2

Théorèmes du point fixe

Le but de ce chapitre est l'étude de quelques théorèmes du point fixe. On commencera par le plus simple et le plus connu d'entre eux : le théorème du point fixe de Banach pour les applications contractantes, puis le théorème de point ffxe de Brinciari qui est une généralisation du ce théorème. On verra ensuite des théorèmes plus puissants et un peu plus profonds. On pourra ainsi étudier successivement le théorème du point fixe de Brouwer (valable en dimension finie) puis le théorème du point fixe de Schauder (qui en est la "généralisation"en dimension infinie).

Contrairement au théorème de Banach, les preuves de ces deux derniers résultats ne sont pas constructives, ce qui explique qu'elles nécessitent des outils un peu plus sophistiqués. De nombreuses preuves différentes de ces résultats existent et on pourra s'intéresser a l'une ou plusieurs d'entre elles.

2.1 Théorie métrique et point fixe

Dans cette section nous présentons quelques théorèmes du point fixe dans lesquels les conditions géométriques sur l'espace et / ou les applications jouent un role crucial. Ainsi les résultats présentés dans cette section sont avec dans le cadre au moins d'un espace métrique, habituellement d'un espace de Banach. Nous commençons par le principe célébré de contraction de Banach, qui, depuis son aspect dans la thèse dans 1922 de Banach, a trouvé beaucoup d'applications dans différentes parties d'analyse mathématique.

2.1.1 Théorème du point fixe de Banach

Le théorème du point fixe de Banach (connu aussi sous le nom le théorème de l'application contractante) est un théorème simple a prouver et qui s'applique aux espaces complets et possède de nombreuses applications. Ces applications incluent les théorèmes d'existence de solution pour les équations différentielles ou les équations intégrales et l'étude de la convergence de certaines méthodes numériques comme celle de Newton dans la résolution d'équations non linéaires.

Théorème 2.1.1 Soit (X, d) un espace métrique complet (ou bien un espace de Banach, si X posséde une norme) non vide, toute application contractante :

T : X ~! X

admet un point fixe et un seul, i.e.

9 x 2 X, telle que T (x^*) = x.

Ce point peut être obtenue comme limite de toute suite engendrée par l'itération.

xn+1 = T (x_n),

oh x0 est un élément arbitraire de X.

Corollaire 2.1.1 Sous les mêmes hypotheses du théorême, si x est le point fxe unique de T, alors

_on

d (x*,xn) 1 - o d (x0,x1)

Cette inégalité donne la mesure d'approche de x (estimation de l'erreur) lorsque ii croit (comme fonction de la distance entre le point de départ et la première itération). Puisque on a choisi x arbitrairement, alors en remplaçant ii par zéro dans l'inégalité de dessus on peut obtenir une autre estimation de l'erreur.

Preuve (Theoreme 2.1.1)

Unicite

Soient xi, x2 deux points fixes de f , alors f (xi) = xl et f (x2) = x2 et

d (f (xi) , f (x2)) < K d (xi, x2) ,

d'ou

d (xi, x2) < K d (xi, x2) (2.1)

avec 0 < K < 1, ce qui donne d (xi, x2) = 0 , i.e. xl = x2 .

Existence

Soit xo 2 X , definissons par recurrence la suite (x_n)_n par x_n#177;i = f (x_n) et montrons que la suite (x₇,)_n est d Cauchy dans X complet, pour avoir que

xn = lim n-->

xn 2 X

et comme f est continue alors :

11111

n-->

x_n = f ( lim x_n) i.e.x = f (x) = x . (2.2)

--K>o

n

demontrons que la suite (x_n)_n et de Cauchy . Soit p, q deux entiers tels que q > p, alors

d _(xv, x_q) < d _(xv, xp+i) + #177; d (x_q_i, x_q)

Evaluons

d (xp, xp+i) = d (f (xp_i) , f (xv)) < Kd (xp-1, xp) c K²d (xp_2, xp-1)

< < K^Pd (xo, xi) , (2.3)

d'ou

d (xp, xq) < (K^P + K^P+1 + K^g-1) d (xo, xi) -- K^Pd (xo, xi)

q_i E K=0

KP K^P -- 1 -- K d (xo, xi)

Si d (xo, xi) = 0 alors xo = xi = f (xo) et xo est un point fixe de f.

KP

Si d (xo, xi) 0, alors pour tout E > 0, il existe no > 0 tel que Vp > no, 1 -- K d (xo, xi) < €, ceci



montre que (x_n)_n est une suite de Cauchy.

2.1.2 Théorème de point fixe de Brinciari

Dans cette soue section on va présenter, avec plus de détails, le théorème de point fixe de Brinciari qui est une généralisation du théorème de contraction de Banach. Celle ci se fait via l'introduction d'une contraction de type intégral.

En 2002 Branciari a démontre le théorème suivant :

Théorème 2.1.2 Soient (X, d) un espace métrique complet et

T : X -- X

une application satisfaisant

d(Tx,Ty)

d(x,y)

_Z çü (t) dt c _Z ço(t)dt, (2.4)

0 0

pour tout x, y 2 X , ot 0 c < 1 et

' : R+ ! R+

une fonction intégrable au sens de Lebesgue vérifiant

_Zc çü (t) dt > 0 pour tout c > 0. (2.5)

0

Alors T admet un point fixe unique u dans X. D'autre part, pour tout x0 2 X, on a

lim Th-400			T ^nx0 = u.
Preuve Etape 01 : On va démontrer que	d(T^nx,T^n+^1 )			d(x,T(x))
Z 0		çü (t) dt cTh			Z 0	çü (t) dt,

on ii désigne la puissence de l'application.

Par récurrence et en utilisant 2.4 on aboutit a

d(T^nx,T^n+1x)

d(T^n_1x,T^nx)

d(x,T(x))

_Z çü (t) dt c _Z ço(t)dt < ... < cTh _Z ço(t)dt.

0 0 0

Donc

d(Tⁿx,Tⁿ+¹x)

_Z

0

lim

fl-400

ço(t)dt = 0⁺. (2.6)

Par conséquent

d (T^ax, T a+4x)

tend vers zéro quand n tend vers l'infini. Etape 02 :

Supposons que

lim

a-400

supd(T ax,T a+4x) = > 0,

i.e.pour tout € > 0, il existe K_E 2 N et une sous suite (T a"x)K _~K tel que pour tout K ~ K_E et x 2 X, on a

~_~d (T^aKx, T ^a"+4x) - " ~~ ~ ~".

D'autre part

d(T a"x,T a"+4x) > "

2

pour tout K ~ K_E. Comme çü est positive on a d'aprés 2.5 et 2.6 la contraction suivante

d(T^n(K)x,T^n(K)+¹x)

0 = lim a-400

Z 0

çü (t) dt

E
2

> _Z ço(t)dt > 0.

0

Par conséquent,

lim

a-400

d (T^ax, T a+4x) = 0.

Etape 03 :

Montrons maintenant que (T _ax)aENest une suite de Cauchy, cela est

V > 0, 9K_E/m > n > K_E : d(T^mx,T^ax) < ".

Supposons le contraire. Alors, il existe € > 0 et deux sous-suites _{mK}KEN et _{nK}KEN avec mK > nK > K_Etelles que

d(T^m"x,T^a"x) ~ €. (2.7)

Pour tout, soit le plus petit entier suivant et vérifiant 2.7, i.e.

d(T^mKx, T ^a"x) ~ €etd (T'x, T ^a"x) < ",pour tout
h 2 {nK + 1,...,mk_1}

Maintenant on analyse les proprietees de

d (T^mKx,T^nKx) et

d (TmK+1x, ^TnK+1x) .

Tout d'abort, nous avons par l'inegalitee triangulaire et l'etape 2 E < d (T^mlx, T^nKx)

< d (TmKx,TmK-lx) + d (T^mK-ix,T^nKx)

< d (TmKx, TmK-1x) + E.

Cela nous donne

d (T^mKx,T^nKx) --> E lorsque K --> oo. (2.8)

En outre , il existe u 2 N ,tel que pour tout entier positif K > u, on a

ⁱx,T^nK+ix) < E.

d (T^mK#177;

En effet, s'il existe une sous-suite _{(ml)l EN} tel que

d (TmKi-ix,TnKrEix) > _E,

alors on a

< d ^(TmKi+1 x,Tnici+lx)

E

< d (TmKi+1x,TnKix) + d (TmKix,TnKix) + d (T^mKix, ^TnKi+1x) ,

en utilisant 2.6 et 2.8, on trouve lorsque l --p 1

d (TmKi+ix,TnKi+lx) _>. E. (2.9)

En appliquant 2.4 on obtient d(T^mi +^1x2T^ni +^1x)				d(T^mic x,T^nic x)
I 0	cp (t) dt < c				I 0		cp (t) dt (2.10)
K --> oo,		E I 0	E cp (t) dt < c I 0			cp (t) dt (2.11)

En utilisant 2.8, 2.9 et 2.10, on trouve lorsque

qui est une contradiction. Donc, pour un certain u 2 N, on a

d (T^mK+1x,T^nK+1x)) < E

pour tout K > u.

Finalement, on démontre la propriété forte i.e., qu'il existe un nombre positif 8_E 2 10, E[ et K_E 2 N,tel que pour tout K > K_E,on a

_lx, Tnx-Flx) < E -- 8_E.

d (T^mK#177;

Supposons l'existence d'une sous suite (Kl)l 2N ~ N tel que

#177;x,, rix-F_x) ) _>dd(TmKK "~

quand l1 --p oo, puis a partir de 2.4 +11xxnKKix))d( TmKKi		d(T^mK1 x,TnK1 x)
I0	cp (t) dt < c		I0	cp (t) dt ,

laissant l1 tend vers l'infini, on obtient de nouveau la contradiction que

^EEII0

Ee cp(t))dt t <ccII0o

cp (t) dt.

En conclusion de cette étape,, nous pouvons prouver le critere de Cauchy de la suite (Tnx)nn _EN .
· En effet pour tout entier positif K > K_E on a:

€ < d (T^mKx,T^nKx))

< d (T^mKx,T^mK+1x)) + d (_TmK_id-i_x,TnK-Fi_x) + d (TnK+ix,TnKx)) < d (_TmK_id-i_x,TnK-Fi_x) + (_E -- 8E)) + d (T^nK+ix,T^nKx) .

)

Passant a la limite quand K tend vers l'infini on trouve le suivant

E < lim n-->o

d (TmK+ix,TnK+ix) < E ~8E..

Donc, E <G E -- 8_E, qui est une contradiction. D'ou la suite (Tⁿx)) est une de Cauchy dans X. Etape 04 :

Dans cette étapee on va démontrerr l'existence du point fixe. Puisque (X, d) est un espace métriquee complet, alors ilt existe un point z 2E X tel que

z = 11M n-->o

T^nxx ,

de plus z est un point ffxe. En effet,supposons que

d(z,Tz) > 0,

donc

0 < d(z,Tz) d(z,T ^n+1z) + d(T ⁿ⁺¹z,Tz),

notons que

lim fl-400

d(z,T^Th+l,z) = 0 et

lim

fl-400

d(T ⁿ⁺¹z,Tz) = 0

car la suite (T nx)n EN est de Cauchy, et d(T^n+^1z,Tz)

d(T ^nx,z)

_Z çü (t) dt c _Z çü (t) dt --p 0quaiidii --p oc.

0 0

Maintenant si

d (T ⁿ⁺¹x, Tz)

ne converge pas vers zéro quand ii tend vers l'infini, alors, il existe une sous suite

(TmK+l)

K EN ~ ~T n+1I K EN

tel que

d (T^ThK+4x, Tz) ~ €

pour certain € > 0, donc on a

d(T^ThK x,Tz)

0 <

d(TⁿK+¹x,Tz)

çü (t) dt ~

_Z

0

_Z

0

_Z"

0

çü (t) dt c

çü (t) dt --p 0 quaiidK --p 1,

ce qui contre dit

_Z" ço(t)dt > 0.

0

Donc z = T z . L'unicité de z s'obtient aisément de la condition 2.4.



Remarque 2.1.1 Si on pose q (t) = 1 dans le théorême de Brinciari, on trouve le théorême de Banach.

L'exemple suivant montre que le théorème de Brinciari est plus général que théorème de Banach.

Exemple 2.1.1 Soit

{ 1 }

X = _n, Th 2 N^* U {0}

muni de la distance usuelle

d(x,y) = jx -- yj .

Puisque X est un sous-ensemble fermé de ; alors (X, d) est un espace métrique complet. Considérons l'application

T : X -- X

définie par

₈

<

:

Tx =

1
71

Si X =

,Th 2 N^*,

;

₉

=

;

1
71 + 1

0 Si X = 0

et définissons la fonction

' : R+ ! R+

par

( } 1 t t _2 (1 ~ ln t) si t 2 ]0; e[ ; ' (t) = 0 Si t 2 {0} U [e, oc[

:

On peut vérifier facilement que

_Ze çü (t) dt = _ee pour toute t > 0.

1

0

(a) Si x = y,on a

d(x,y) = 0

d(Tx,Ty) = 0

et	d(Tx,Ty)		d(x,y)
Z 0		çü (t) dt c		Z 0	çü (t) dt

pour tout c 2 ]0,1[.

(b) Si x = 0,y = 1 n

,n E N^* ou x = 1 n

,n E N^*, on obtient

d(Tx,Ty)

I (, (t) dt = ( 1 )n+1

n+ 1)

0

=

<

~ 1 n

1

n + 1 n + 1

~ 1 n

1

2 n

d(x,y)

=					1 2	I 0	cp (t) dt.
(c) Si x = 1 n	, y =	1 m	, n,m E N^*, on trouve

1 1

d(Tx,Ty)

I

0 cp (t) dt =

~~~~

n + 1

		1
~~~~	~~~	1	1	~~~
		n+1^--	m+1

m + 1

( ln -- ml (n + 1)(m + 1))

(n+1)(m+1) ln--ml

( ln -- ml

(n + 1)(m + 1))

(n+m+1)

ln--ml ( nm )

nm

ln--ml (ln -- ml)

nm

(n + 1) (m + 1)

nm

ln--ml

nm

ln--ml

< 1.1. On -- ml)₎

2 nm

d(x,y)

=

1 2

I 0

cp (t) dt

D'ofi, toutes les hypotheses du theoreme Brinciari sont verifiees et 0 est le point fixe unique de T. D'autre part,on ne peut pas avoir

d(Tx,Ty) < cd (x, y) pourc E 10, 1[ .

En effet, si x = 1

n

et y =

1

alors

n + 1,

d(Tx,Ty) =

(n + 1)¹ (n + 2),d (x , y) = n (n ¹+ 1)et

sup x,yEX,xy

d (T x, Ty) d (x, y)

= 1.

2.2 Théorie topologique et point fixe

Dans cette section nous prouvons les théorèmes du point fixe dans lesquels la structure topologique du problème joue un role central.

Les théorèmes du point fixe de type topologiques sont le théorème du point fixe de Brouwer et son généralisation dimensionnelle infinie, le théorème du point fixe de Schauder.

2.2.1 Théorème du point fixe de Brouwer

Une remarque a méditer : (dimension 3) le mathématicien Luitzen Egbertus Jan Brouwer remarquait, en mélangeant son café au lait, que le point central de la surface du liquide, au milieu du tourbillon créé par le mouvement rotatoire de la cuillère, restait immobile. Il examina le problème de cette façon : A tout moment, il y a un point de la surface qui n'est pas changé de place.

Nous allons examiner le problème en dimension ii suivant Brouwer.

Soit

B_m = {x E Rⁿ tel que kxk ~ 1} (2.12)

La boule unité fermée de Rⁿ muni de la norme euclidienne usuelle, et

S m_1 = 8 ^~B_m

la sphère qui est sa frontière.

Lemme 2.2.1 Soit

T : A --! B

opérateur continue et compact dans A, ou A est un ensemble fermé de l'espace normé B. Si l'équation x = T x est résoluble approximativement dans A, alors il existe une solution dans A.

Preuve Il existe une suite (x_n) dans A avec

x -- T x --! 0 .

La suite (y_n) = (T x_n) admet une sous-suite convergente dans A puisque T (A)est relativement compact.

Si on note encore par (y_m) pour simplifier la notation, alors

y_n = T x --! y E B

et que

x n = y _n + (x_n -- T x_n) --! y .

Sachant que A est fermé, alors y 2 A . Ainsi d'après la continuité de T

T x_n --> T y .



Théorème 2.2.1 (Théoreme de Brouwer)

Toute application continue f de .13,_n dans B_rn, admet au moins un point fixe .

Preuve On peut montrer, pour tout E > 0, qu'il existe polynome P avec

Ilf - Pll < E .

Utilisons la norme maximum sur B_m définie par

Ilf 11 = max {If (x)1 : x 2 A_n} , (2.13)

pour avoir

11.111 < 1 + E,

alors

P (x)

Q (x) = ₁ + _E

est une application régulière de .13,,, dans B_m. Il est claire que

Ilf - QM 2E.

Supposons maintenant que x est un point fixe de Q, alors x est un point fixe d'approximation de f vérifiant

Ix -- f (x)1= 1(2 (x) -- f (x)<2. (2.14)

Ainsi le lemme précédent montre que f admet un point fixe si toute application régulière de .13,,, dans B_rn, admet un point fixe.

Démontrons maintenant le théorème dans plusieurs étapes sous la condition f 2 C ¹ (B_m) . (a) Soit

P (A) = aA² + bA + c,

avec a > 0, un polynOme quadratique réel vérifiant la propriété P (0) < 1 et P (1) < 1. Comme P est convexe on a exactement deux valeurs de Al et A2 telles que P (A1) = P (A2) = 1. Plus précisément, on a Al < 0 < 1 < A2 et P (A) < 1 pour Al < A < A2 .

2

_,C,_ ( _ b + 1 - C

> 41 puisque A2 - Ai > 1 .

a a

Ainsi, A1,2 = A #177; N/C avec A = -- b

a

(b) Supposons que f n'admet pas de point fixe, alors la fonction continue est positive. Sachant que ^~B_m est compact, il existe alors un 7 > 0 tel que

1f (x) -- x1 > 7

dans B_m . Pour tout x E B_m , le polynome quadratique

P (A) = 1x + A (f (x) -- x)1²

satisfait les propriétés de (a) :

P (0) = c = 1x1² < 1 , P (1) = 1f (x)1² < 1 ,a = 1f (x) -- x1² > 7²

et

b = x [f (x) -- x]

La fonction Ai = A2 (x) est négative et appartient a C ¹ (B_m) puisque Al = A -- N/C .

(c) On définit la fonction g de classe C ¹ par

g (x) = Al (x) [f (x) -- x]

et

h (t, x) = x + t g (x) pour 0 < t < 1 et considérons l'intégral

V (t) = I Br,		oh (t x) det Ox, dx = I B,	det (1 + tag o (x)) dx (2.15) x
. . oh ici et ox	o ax sont sont les jacobiens d'ordre n x n respectivement de h et g .

Montrons le théorème par l'absurde, pour cela montrons premièrement que

V (0) = B_m 1 = Q_m

(le volume de la boule unité ),et deuxièment que V (1) = 0 puis V (t) = C to

(a) V (0) = B_m = Q_m est par définition de l'intégrale V . Pour prouver la deuxième, notons premièrement qu'on a

1h (1, x)1² = 1x + Al (x) [f (x) -- x]1² = P (A1) = 1 .

De plus h (1, .) est de B_m dans S m-1 = a (1, x)

_m ,donc pour x E B_m la matrice ah ox est singulière.

Sinon h (1, 0) devient une bijection donc elle associe tout voisinage de x E ^~B_m a un voisinage h

(1, x) Ainsi, pour x E

= 0, pour lequel on a (b). Pour montrer que V (t) = C

^~B_m on a det oh (x)

ox

^te, remarquons d'abord que la fonction g de classe C ¹ vérifie la condition de Lipshtz

lg (x) -- g (^~x)l < L lx -- ^~xl dans B_ra .

De plus, g (x) = 0 pour x E o^~B, puisque dans ce cas P (0) = lxl² = 1 et donc A1 (x) = 0. Soit Q la projection sur la boule unité

Q x = x pour lxl < 1

et

Q x = pour lxl > 1 .

lx xl

Il est facile de prouver que

lQ x -- Q ^~xl < lx -- ^~xl ,

donc la fonction g~ (x) = g (Q x) satisfait la condition de Lipshitz dans IR.ⁿ avec la même constante L ( g~ est simplement un prolongement de g a IR.ⁿ par 0 en dehors de B, ).

Nous allons démontrer maintenant :

1

(d) pour 0 < t < _L, l'application h (t, .) est une bijection de B_m dans B_m. Pour montrer ca, soit h (1, t) = x + t .g (x)

et siot a E IR.ⁿ arbitraire.

L'équation h^~ (t, x) = a est équivalente a x = a -- t
· g~ (x). Puisque le côté droite est contraction avec la constante de Lipshitz t L < 1, il existe un seul oint fixe x = x_a avec h (t, a) = a, donc h (t, .) est une bijection de IR.ⁿ dans lui-même. Toutefois, h (t, x) est l'identité de IR.ⁿ \B_m et égale a h (t, .) dans B, donc h (t, .) est une bijection de ^~B_n dans ^~B_n.

(e) La régle de substitution des intégrale a n dimension nous que V (t) = C ^te = St_n puisque h

oh (t, x)

(t, .) est une bijection de B, dans B, et det ox > 0 .donc il existe un intervalle

0 < t < E <

1 L



ou V (t) soit constante, et comme V (t) est un polynôme par rapport a t de degré < n, alors V (t) = R.,, pour 0 < t < 1.

Remarque 2.2.1 James Dugundji a montré en 1951 que le théoreme de Brouwer caractérisait les espaces normés de dimension finie, en prouvant que toute application de la boule unité d'un espace normé X en elle-même a un point fixe si et seulement si X est de dimension finie.

2.2.2 Théorème du pont fixe de Schauder

Ce théoreme et ses multiples variantes ou généralisations sont utilisés quotidiennement pour étudier l'existence et la multiplicité des solutions d'équations non linéaires de toutes natures, par exemple les équations de Navier-Stokes en hydrodynamique.

Théorème 2.2.2 (théoreme de Schauder)

Soit E un espace de Banach, et D C E un ensemble convexe ferme, toute application continue et compact T de D dans D admet au moins un point fixe.

Preuve D'apres le lemme de point fixe, il suffit de trouvre pour tout E > 0, un point x 2 D avec

llx-- T x11 < E .

Soit donc E > 0, l'ensemble B = T (D) est compact par hypothese, on peut alors prendre un recouvrement fini {B_E (bi) }_i^P ₁ a partir de l'ensemble de toutes les boules B_E (b)b _EB .

Soient

F = bp} c B

et C = convF, remarquons que C est compact et convexe de D. Définissons maintenant l'application continue

~ :B C

en posant

~ (x) =

XP i=i

Ui Ai (x)bi avec Ai (x) = u (x) (x) , (2.16)

ou

= (e -- -- bil)+ = f 0 'si llx -bill>E ;

E^--llx^--bill , Si llx--bill<E

et

U (x) =

XP i=i

Ui (x) . (2.17)

Sachant que pour tous x 2 B, il existe un bK avec

Ilx-- bK11 <E ;

on a U (x) > 0 pour x 2 B, donc 0 est continue. Il est clair que Ai (x) > 0 et que

XP i=i

Ai (x) = 1,

_XP
i=i

x =

donc q (B) c C . De plus, comme

Ai (x) x , (2.18)

alors

110 (x) - xI =

II~ ~ ~ ~ ~

XP i=i

Ai (x) (bi -- x)

~ II ~ ~ ~ ~

~

_XP
i=i

Ai (x) k(bi -- x)11 < E pour x 2 B. (2.19)

Ceci montre que

11(bi -- x)1 <E

(sinon si 11(bi -- x)11 > E ,alors Ai = 0 ).

Alors l'application S = o T est definit de D dans C sa restriction sur C est une application continue de C dans C. Et comme est convexe et compact, il existe d'apres les corollaires 1.2.1 et 1.2.2 du propriete

d'espace de Banach x 0 = S (x o) = q (T x o) 2 C, et d'apres la relation (2.21), on obtient

Ix 0 -- T x oI = Mc (T x 0) -- T x 011 < E . (2.20)

x 0 est le point fixe cherche.

Exemple 2.2.1 Si S2 2 118ⁿ est un domaine borné a frontière suffisamment régulière, le théorème du point fixe de Schauder entraine facilement l'existence d'au moins une solution pour le problème de Dirichlet non linéaire

Au = f (x,u,Vu) (2.21)

dans Q, u = 0 sur 9 pour toute fonction f : S2 x IIBⁿ xl bornée et suffisamment régulière.

2.3 Comparaison entres les différents type des théorêmes du point

Théorèmes du point ffxe est un résultat qui permet d'affi rmer qu'une fonction f admet sous certaines fonction d'un point fixe, ces théorèmes révèlent être des outils très importantes en mathématiques, principalement dans le domaine de la résolution des équations différentielles. Le théorème du point ffxe de Banach procède d'itération d'une fonction tende vers un point ffxe, très différent, le théorème du point ffxe de Brouwer garantit l'existence d'un point ffxe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle même et le théorème du point fixe de Schauder prolonge le résultat du théorème de Brouwer pour montrer l'existence d'un point ffxe pour une fonction continue sur un convexe compact dans un espace de Banach.

Chapitre 3

Applications

On pourra considérer ensuite quelques unes des nombreuses applications de tous ces théorèmes en commençant par des résultats classiques :

- Les théorèmes de Cauchy-Lipschitz et de Cauchy-Peano.

- Le théorème d'inversion locale.

- Le théorème de Perron-Frobenius.

- Les théorèmes de Lax-Milgram et Stampacchia. On pourra ensuite aller, selon le gout du/des étudiant(s), vers des applications plus avancées, comme par exemple :

- Le théorème de Jordan sur les courbes simples fermées du plan.

- Le théorème de Hartman-Grobmann, qui permet de décrire le comportement qualitatif des trajectoires d'un système différentiel (ou même d'un système dynamique discret) au voisinage de certains points d'équilibre.

- Le théorème de la variété centrale, qui permet notamment de comprendre le comportement des systèmes différentiels pour les quels le théorème de Hartmann-Grobman ne peut pas s'appliquer.

- Des résultats d'existence de solutions pour certaines équations aux dérivées partielles non-linéaires, dans un domaine borné avec la condition au bord u = 0 sur 9 et sous de bonnes hypothèses sur la fonction de teste.

- Le théorème de Nash en théorie des jeux.Les outils de base utilisés dans ce travail seront notamment ceux de l'analyse réelle standard et de l'analyse fonctionnelle.

3.1 Théorème de point fixe et EDPs nonlineaire

Dans cette section, nous étudions l'application du point fixe dans une famille de problèmes d'évolutions de type hyperbolique suivantes :

8 <>>>> >>>>:

utt -- + g(ut) = f(u), x E 1,t > 0. u (0, x) = uo(x), x E ~ ut (0, x) = ui(x), x E S2 u (t, x) = 0, x E P, t > 0.

(P)

oft S2 c Rⁿ est un domaine de frontière assez régulière F, g(v) = lvl^m-1 v, f(u) = lul^p-1 u avec p > 1, m > 1 et A le Laplacien dans Rⁿ. Pour p > 1 le terme f(u) représente une source non linéaire de type polynomial, la fonction g(ut) est une dissipation nonlinéaire pour m > 1.

l'insuffisance de régularité des g(ut) et f(u) nonlinéaires ne permet pas l'utilisation des résultats connus d'existence. En plus, il est connu que la présence du terme nonlinéaire au source, nous donne des valeurs négatives dans la fonction de l'énergie de la solution du problème, pour cette raison, on fixe u dans un espace fonctionnelle convenable, et on va demontrer que le problème (P') admet une solution. Après, en passant au notre problème initiale (P) en utilisant le théorème du point fixe. Nous nous contentons, dans ce contexte de déterminer l'utilisation du théorème du point fixe pour trouver la solution.

On peut écrire (P) sous la forme

₈

<> >

>>:

aU
at

AU + g(U) = f(U)

!

(Q)

U(0, x) = u°

U1

0 I u ul 0 0

oft A =

A 0 ) U ut u2 u2 lu2l^m-1 u2 u1 lu1l^p-1

n

Théorème 3.1.1 On suppose que 1 < p <

n -- 2

solution unique u(x, t) de (Q), telle que.

et uo E H¹₀ (a, ) ui E L² (a). Alors, il existe une

2 kV (t; :)k^2 1 H ~ 2 1 kV (0; :)k2 H +

t I 0

(9 (V ) ,1^7 (s, .))H ds =

t I 0

(f (U) ,V (s; :)iH ds. (3.4)

u(x,t) E C ([0,1],1¹₀ (Q)) ut (x,t) E C ([0,1] , L² (Q)) ut(x,t) _E L^m+1 (10,T[ x ~)

Avant d'aborder la démonstration de ce théorème, on considère le problème lié au problème (Q)

suivant, pour u fixé dans C ([0, T] , H¹₀ (a)) :

{

av
at

AV + g(V ) = 1(U)

(P')

v(0, x) = ( u0

U1

Pour la preuve du théoreme3.1.1, on montre premierement qu'il existe une solution V de (P'), pour chaque u 2 C ([0, T] ,1¹₀ (a)) dans le théoreme suivant :

Theoreme 3.1.2 Pour tout u(x, t) 2 C ([0, T] , D (a)) , ut (x, t) 2 C ([0, T] , D (a)), il existe une solution unique V(x,t) du probleme (P'), telle que

V (x,t) 2 C ([0,7¹] ,1¹₀ (a)) Vt (x, t) 2 C ([0, T] , L² (a)) 14 (x, t) 2 Iⁿ⁺¹ (]0, T[ x a)

On montre ici l'existence de la solution V du (P') par la méthode de compacité (Faedo-Galerkin), pour u fixée. Cependant, ce theme (la méthode et le comportement de la solution) ne fait pas partie de notre travail

Preuve Pour U 2 C ([0, T] , H), on définit V = 0 (U) ,oil V est la solution de (P'). Donc 0 : XT --p XT tel que

XT = {U 2 C ([0,7^1], in ,U (0,X) = (

(3.1) uu0 1 ) }

dans XT. On veut montrer que :

i)0 : BR --> BR .

ii)cb est une contraction dans BR, oft BR est la boule de rayan R dans XT . Preuve de (i) :

On choisit

{ U 2 BR = U 2 XT, sup MU (t, -)11B- < R} . (3.2)

[0,T]

Alors V = 0 (U) résout le probleme

OV
at

AV + g(V ) = 1(U). (3.3)

En utilisant une étude dans l'analyse fonctionnelle on trouve

Comme

(g (V ) , V )H = ~(v²1⁷¹²1^m-1 , v2) L2(1) ~ 0:

on arrive à

2 kV (t; :)k^2 1 H ~ 2 1 kV (0; :)k2 H ~

Zt 0

(f (U) , V (s, -))Hlds. (3.5)

Avec l'inégalité de Holder

1(./(U),V)R1 C 11011/ (3.6)

D'ofi on obtient l'estimation

kV (t,
·)1²_H -- (0, .)1²_H < C R^P _Zt I1 (s, ')111-1 ;

0

ou C est une constante indépendante de T , R . D'apres le lemme de Gronwall on a

11V (t, .)11_H < C 111/ (0, .)11_H + C R^PT :

On peut choisir R grand et T petit de façon à ce que

sup t E[0,71	11V (t, R,
c'est-à-dire V 2 BRet (i) vérifié. Preuve de (ii) on prend U ,U 2 XT et on pose V = q (U) ;		V^~=c(U) .

Alors W = V -V est une solution de l'équation

d W - AW + g (V ) - g (V) = (U)- (U)

dt

:

Il apparait de l'identité de l'énergie ,la monotonicité de g et l'estimation que

11 ct, 11H ~ C

Zt 0

(1101^PC^-([0^1 ,7],1^.1) 11^611^PC^-([0^1 ,T1,11)) 11U U x1,in1114I (s, .)11H ds



Quand U, U 2 BR, on choisit T petit tel que C R^P-1T < ₂¹ . _q est donc une contraction dans BR. L'application du théoreme du point fixe implique qu'il existe une solution U deU = q (U) donc C ([0, 7¹], H) et comme cb (U) 2 YT, on a U 2 YT .

Conclusion

La nouvelle littérature et les nouveaux travaux dan ce type de problème nous indique que la continuité n'est pas indispensable pour qu'une fonction possède un point ffxe. Peut être l'exemple le plus simple est la fonction définie sur par:

f (x) =

8 <>> >>:

1 si x Q et 0 si x = Q

;

(3.7)

evidemment cette fonction n'est pas continue, et par conséquent ne peut être une contraction. Cependant, la fonction possède 1 pour point ffxe. C'est dans cet esprit de chose qu'on peut démontrer un théorème de point ffxe commun sans faire appelle a continuité. Plus précisément on peut utilise la notion des fonctions faiblement compatibles pour établir et démontrer des théorèmes de point fixe commun de type intégral. On, l'auteurs ont établi un théorème de point fixe pour quatre applications en se servant de la notion d'applications occasionnellement faiblement compatibles. Ces résultats prolongent et améliorent plusieurs résultats connus, en particulier le théorème de Rhoades [4] et le théorème de Sessa [4] et ce la constitue une nouveauté réelle dans ce domaine.

3.1. Théorème de point fixe et EDPs nonlineaire

Bibliographie

[1] J.S.Raymoud,Topologie,espace normé et fonction d'une variable complexe.

[2] Kh. ZENNIR ,"Existence and asymptotic behavior of solutions of a non linear viscoelastic hyperbolic equation",Memoire de magister, 2008, Université de Annaba.

[3] B.Said-Houari et N. Tatar, Etude de l'interaction enter un terme dissipatif et un terme d'explosion pour un probleme hyperbolique, 2003. memoire de magister, Université de Annaba.

[4] Jean Mawhin, Autour du théorème du point fixe, Avril 2004.

[5] Edited by Ravi P. Agarwal and Donal O'Regan,NONLINEAIRE ANAlYSIS,VOLUME 9, Series in Mathematical Analysis and Applications, Boca Raton London New York Singapore,2005.

[6] M. Cosnard et J. Demongeot ,THEOREME DE POINT FIXE ET PROCESSUS DE GALTON-WATSON, Ann. SC. math. Québec, 1984, vol. 8, no 1, pp. 5-21.

[7] G. Derraji, memoire de magister, 2008, Université de Annaba.

[8] Benoit Perthame, Topologie et analyse différentielle, 2005.

[9] M. Cosnard et J. Demongeot, THEOREMES DE POINT FIXE ET PROCESSUS DE GALTON-WATSON, Ann. SC. math. Québec, 1984, vol. 8, no 1, pp. 5-21

[10] Henri Bonnel, Cours de Topologie, Departementdes Sciences et Techniques 2005.