2.1.2.1.1 Méthode des moindres carrés : Cas
du modèle additif :
On utilise la méthode des moindres carrés pour
ajuster la série chronologique Yt, avec
Yt = t + St . Le trend s'écrit t = at + b , la
série sera donc ajustée par une droite d'expression :
Yt = at + b + S t
Le principe de la méthode des moindres carrés est
de minimiser la quantité :
n
D=
? (Yt - (at+b)) 2
t= 1
a et b sont solutions des équations :
äD äD
= 0 et = 0.
äa äb
D'où :
n
tiYi-ntY
?
i
=
1
n
?
t2- nt 2 i
c0v(t,
>
)=
V(t)
et b = Y - at
i
=
1
avec :
i=1
1 n
Y = n ? Yi ,
1 n
t t
= ?
i
n i=1
Cas du modèle multiplicatif :
On a Yt = t ×St
Ce qui implique In Yt = In t + In St
Le calcul est ramené donc au calcul
précédent. 2.1.2.1.2 Méthode des moyennes mobiles
:
Le principe de cette méthode est de remplacer un
certain nombre de données consécutives par leur moyenne
arithmétique, mais on décale ce calcul de période en
période, en réutilisant toutes les données du calcul
précédent moins la première.
La moyenne mobile d'ordre p (p= 4 si
données trimestrielles, p=12 si données mensuelles)
relative à la date t est définie par :
Mp (t) = 1
P
? Yt+i
P i=1
a
Si p est impair (p= 2k+ 1) la moyenne mobile
sera définie par :
Yt-k + Yt-k+1 + + Yt+k
Mp (t)= = 2k + 1
Si p est pair (p= 2k) la moyenne mobile sera
définie par :
Mp (t) =
Yt2k + - Yt+k
Ytk+1 + +
2
2 k
Remarque : À partir d'une série contenant
n données, on perd (p-1) valeurs si p est
impair et on perd p valeurs s'il est pair.
Définition des médianes mobiles
:
La définition est analogue à celle des moyennes
mobiles : on prend les mêmes valeurs de Yt , et on calcule la
médiane au lieu de calculer la moyenne.
2.1.2.1.3 Avantages et inconvénients des
méthodes d'estimation : Les moyennes mobiles :
· Les moyennes mobiles peuvent être
influencées par des valeurs aberrantes.
Conséquence : Au lieu de calculer les
moyennes mobiles, on peut choisir d'estimer ft à l'aide des
médianes mobiles de même ordre.
· Perte de données : Si on dispose d'une
série chronologique sur n années contenant p mois
chacune (np observations), alors on ne pourra calculer
une estimation de la tendance que pour np - p + 1 ou np - p
mois (selon la parité de p), soit une année de moins que
la série.
· Malgré ces inconvénients, elles sont une
bonne estimation.
· L'estimation par moyenne mobile donne une meilleure
estimation que par les moindres
carrés, car cette méthode est plus
générale, elle est utilisée lorsque l'équation de
la tendance est inconnue, ft est proche des valeurs.
Les moindres carrés.
· L'estimation est moins bonne.
· Un ajustement correct n'est pas toujours possible.
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