Prévision de la consommation du gaz naturel pour la distribution publique par la méthode traditionnelle, lissage exponentiel et Box & Jenkins

2.3.4.3.4 Les critères de comparaison de modèles2 :

Il arrive fréquemment qu'à l'issue de tous les tests précédents plusieurs modèles se montrent résistants. Pour choisir le meilleur d'entre eux, on peut utiliser des critères de comparaison des modèles. Ces critères sont forts nombreux et jouent, parfois, un rôle important en économétrie.

Ces critères, que l'on cherche à minimiser sont fondés sur l'erreur de prévision, nous pouvons citer :

Le critère d'information de Akaike (AIC, Akaike Information Criterion) :

Présenté en 1973 pour un ARMA (p, q), Akaike a démontré que le meilleur des modèles ARMA non filtré est celui qui minimise la statistique :

¹ Régis Bourbonnais, Michel Terraza, Analyse des séries temporelles, Edition DUNOD, 2004, P 238

² Régis Bourbonnais, Michel Terraza, Analyse des séries temporelles, Edition DUNOD, 2004, P 242

AIK (p, q) = n log ô^- + _2(p + q)

Le critère d'information bayésien (BIC, Bayesian Information Criterion) : Pour un ARMA (p, q), il s'écrit :

BIC (p, q) =

(p + q) I 6 n log ô1 - (n - p - q) log 1-n + (p + q) log n + log (p + e^l 3c 1 ^11 Ce - ] ]

De manière générale le critère BIC a des caractéristiques plus intéressantes que celles du critère AIK. Il est convergent et pénalise plus fortement les paramètres en surnombre que le critère AIK.

Le critère de Schwarz (1978) :

SC (p, q) = n log e + (p + q) log n .

Le critère de Hannan-Quin (1979) :

HQ (p, q) = log e+ (p + q)c log [ lo_ng n I

Où c est une constante à spécifier.

Le modèle est alors retenu pour le calcule des prévisions qui est la dernière étape de la méthode de BOX - JENKINS.

2.3.4.4 La prévision :

Transformation de la série :

Lorsque pour identifier le processus étudié à un processus ARMA, on a appliqué différentes transformations, il est nécessaire lors de la phase de prévision de prendre en compte la transformation retenue et de »recolorer la prévision». Plusieurs cas sont possibles:

· Si le processus contient une tendance déterministe, on extrait cette dernière par régression afin d'obtenir une série stationnaire lors de la phase d'estimation. Ensuite, lors de la phase de prévision, on adjoint aux prévisions réalisées sur la composante ARMA stationnaire, la projection de la tendance.

· Si la transformation résulte de l'application d'un filtre linéaire (de type par exemple différences premières), on réalise les prévisions sur la série filtrée stationnaire et l'on reconstruit ensuite par inversion du filtre les prévisions sur la série initiale.

Prédicateur pour un processus ARMA : Soit le modèle retenu ARMA (p, q) tel que :

ö_p(B)X_t = è_q (B)å_t Avec (ö_p,è_q ) ? à IR^*2 et et iid (0_' )

8

La forme MA (8) correspondante est : x ð₀ =1.

j 0

Il s'en suit que la meilleure prévision que l'on peut faire de _xt+1 compte tenu de toute l'information disponible jusqu'à la date t, noté xà_t(1) est donnée par :

à xt	(1)E(xt+1/ x , xt-2 , , x0)

E(xt+1 / åt,åt-Dåt-2, ,å ₀)

+8

ð å j t

+

1

-

j

j 1

Des lors, l'erreur de prévision est donnée par la réalisation en (t+1) de l'innovation qui en t n'est pas connu :

t+

x xà_t(1) = åt+1

Plus généralement pour une prévision à horizon k on a :

+8

t (k) -- = ? n E + -
i=k

k 1

t+k - xt (k) = ?niEt+k-i

0

=

i

Déterminons un intervalle de confiance sur la prévisionxà_t(k), sous l'hypothèse de normalité des résidus å_t . On montre alors que :

- xt+k îCt(k)

N(0,1) lorsque : t ?8

vark+k-2t(kg /2

Or, on sait que :

.

k

-12

k

-1_ )1= ?

₃^0-E

E {(xt+k-ît (k))² -- E i = 0

D'où : xt+k (k) l k-1 1/2 -?N(0'1) QE 1?n. ?? i=0

lorsque :t? 8.

On peut donc construire un intervalle de confiance sous la forme :

? ?(k-1 )1/2

IC = (k) #177; ta/2 ? ⁱi=0 ?

? ?

Synthèse de la méthodologie de Box & Jenkins :

Série Xt

Etude de la stationnarité

Test de racine unité

Série stationnaire Yt

Passage aux différences si
DS

Régression sur le temps si
TS

Analyse du corrélogramme simple et partiel

Détermination des ordres p et q du processus ARMA

Oui

Test de Student, les coefficients non significatifs sont
supprimés

Test sur les résidus sont -ils des
bruit blanc ?

Estimation des paramètres

Non
Ajout d'un ordre p ou q

Si plusieurs modèles « concurrents »
critères AIC, SC...

Prévision par
ARMA

Figure 2.2- Algorithme de traitement d'une chronique selon la
méthodologie de Box & Jenkins