2.2.2 Lissage exponentiel double : 2.2.2.1
Présentation :
Le lissage exponentiel double (Brown [1959]) est une
méthode plus générale que le
lissage simple et particulièrement adaptée aux
séries chronologiques présentant une tendance. Nous pouvons
résumer les étapes du lissage exponentiel double comme suit :
On pose ~yt (h) = St (h)
~yt(h) = [2 ,S; - s;]+ h1 -A
A (St-St ) ... (2.1)
Où :
A : constante de lissage exponentiel.
h : décalage de la prévision dans le
futur, exprimé en nombre de périodes. St = A yt +
(1 -A) S;-1 et St = A St +
(1- A) St'l1
St = A?(1- A) iyt-i et
s;=A2.?(i+1)(1-A) iyt-i
On pose:
at = 2 S;-1 - St'' et bt = 1 A
A(St-1 - s;) -
L'équation (2.1) devient:
~yt (h) = at + h bt
2.2.2.2 Propriétés de la
méthode:
- Parmi les avantages du lissage exponentiel double c'est de
traiter des séries présentant une tendance.
- La méthode de choix optimal de A est la même que
pour le lissage exponentiel simple.
- Le problème du choix des prévisions initiales, se
pose avec autant d'acuité que pour le lissage simple. On peut, par
exemple, choisir les valeurs initiales comme suit :
a1=y1, b1 = 0.
2.2.3 Lissage exponentiel de Holt-Winters :
La méthode de Holt-Winters est basée sur trois
équations, dont chacune à pour objet de lisser une des trois
composantes de le série à savoir : l'aléa, la tendance et
le saisonnier.
Elle est comparable en cela au lissage exponentiel double, qui
ajuste la tendance et lisse l'aléa, mais en plus elle introduit une
composante St pour traiter la saisonnalité.
Dans la présente méthode, il y'a deux façons
de combiner la tendance linéaire et la composante saisonnière
:
1- Par multiplication, et c'est le cas du modèle de
Holt-Winters multiplicatif.
2- Par addition, et c'est le cas du modèle de
Holt-Winters additif.
Le modèle multiplicatif :
La composante saisonnière est introduite de manière
multiplicative, la chronique s'écrit dans ce cas :
yt = (at + btt)St + Et .
Trois lissages distincts sont effectués :
- le lissage de la moyenne a avec un coefficient de
lissage a, avec a ? [0 ; 1]. - le lissage de la tendance b avec un
coefficient de lissage 13, avec 13 ? [0 ; 1]. - le lissage de la
saisonnalité S avec un coefficient de lissage, y avec y ? [0 ;
1].
Formulation :
Lissage de la moyenne : at = a(yt /St-p) + (1 -
a)(at-1 + bt-1)
Lissage de la tendance : bt = 0(at - at-1) + (1 - 0)bt-1 Lissage
de la saisonnalité : St = 7(yt /at) + (1 - 7)St-p
Prévision à un horizon de h périodes :
y~t+h = (at + hbt)St-p+h si
1< h < p
y~t+h = (at + hbt)St-4+h+h si p+
1< h < 2p
avec:
at = moyenne lissée de la série en t.
yt = valeur observée de la série en t.
St = coefficient saisonnier en t.
p = périodicité des données
(p=12 en mensuel, p= 4 en trimestriel). bt = tendance
estimée en t.
Dans certaines écritures du modèle les coefficients
saisonniers vérifient la propriété :
p
?Sa = p selon le principe de la conservation des aires, si ce
n'est pas le cas, ces coefficients
i= 1
sont corrigés (S~') de la même
façon que dans la méthode traditionnelle.
Initialisation :
Initialisation de la saisonnalité : Les
coefficients saisonniers pour la première année sont
estimés par la valeur observée en t (yt) divisée
par la moyenne y des p premières observations de la
première année.
St yt pour t = 1,..., p
y
Initialisation de la moyenne lissée : ap
= y (y moyenne de la première année) Initialisation de la
tendance : bp = 0
Le modèle additif :1
La composante saisonnière est introduite de
manière additive, la chronique s'écrit dans
ce cas : yt = (at + btt) + St +fit
Formulation :
Lissage de la moyenne : at = a(yt - St-p) + (1 - a)( at- 1 +
bt-1) Lissage de la tendance : bt = 0(at - at-1) + (1 - 0)bt-1
Lissage de la saisonnalité : St = 7(yt - at) + (1 - 7)St-p
Prévision à un horizon de h périodes :
y~t+h = (at+hbt)+St-p+h si 1< h =
p
y~t+h = (at+hbt)+St-2p+h si p+ 1< h
< 2p
p
0
=
Si
?
1
i=
Dans ce cas le principe de la conservation des aires implique
:
Initialisation :
Initialisation de la saisonnalité : St = yt - y (y
moyenne de la première année), t = 1,..., p
Initialisation de la moyenne lissée : ap = y
Initialisation de la tendance : bp = 0
1 Régis Bourbonnais, Michel Terraza, Analyse des
séries temporelles, Edition DUNOD, 2004, P65
Choix des paramètres:
Les paramètres a, 13 et y sont optimisés comme
pour les méthodes non saisonnières en minimisant la somme des
carrés des erreurs prévisionnelles entre la valeur
observée de la chronique et les valeurs prévues.
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