3.4 Résultats de l'approximation
bilinéaire
A l'aide de l'approximation bilinéaire, nous pouvons
calculer la valeur d'une option à barrière dans tous les
modèles GARCH(1,1). Dans cette section, nous présentons les
résultats dans le modèle HNGARCH présenté par les
équations (2.3). Les paramètres du modèle HNGARCH sont : 0
= 0.000005, /31 = 0.6, /2 = 0.0000015, 0 = 400, À = 0.2.
Les paramètres de l'option à barrière sont :
r = 0.05 (annuel), T = 30 jours et H1 = 6.16 x 10-5. On assume le
nombre de jours par année = 365.
TAB. 3.9: Put Européen Down & Out
|
Barrière
|
40
|
45
|
|
|
M x N
|
Lin - Lin
|
X2 MXN
|
Lin - Lin
|
X2 MXN
|
CPU (sec)
|
|
25 * 25
|
1.1558
|
****
|
0.6242
|
****
|
5
|
|
51 * 51
|
0.8077
|
12117.361
|
0.5971
|
73.441
|
112
|
|
71 * 71
|
0.6731
|
1811.716
|
0.5823
|
21.904
|
582
|
|
101 * 101
|
0.5708
|
1046.529
|
0.5194
|
395.641
|
877
|
|
131 * 131
|
0.5117
|
349.281
|
0.4604
|
348.1
|
2415
|
|
141 * 141
|
0.4944
|
29.929
|
0.4522
|
6.724
|
3590
|
|
151 * 151
|
0.4823
|
14.641
|
0.4431
|
8.281
|
4249
|
|
171 * 171
|
0.4765
|
3.364
|
0.4401
|
0.9
|
7624
|
|
|
Prix moyen
|
0,4724
|
0,4302
|
|
|
Simulation
|
[0,4467 0,4981]
|
[0,4010 0,4595]
|
76
|
Dans le tableau 3.9 sont présentés les prix
obtenus pour un Put européen de type Down & Out. Le prix initial de
l'action est S0 = 50 et le prix d'exercicede K = 50 jours. On évalue
cette option pour deux valeurs de barrières 40 et 45. Le prix moyen
donné dans ce tableau est celui de la simulation. Les CPU sont
calculés en secondes et sont ceux de l'approximation
linéaire-linéaire. Le dernier représente le temps de
calcul de la simulation.
Comme le montre ce tableau, on constate un CPU très
élevé pour le calcul des prix théoriques avec
l'approximation bilinéaire. Ceci s'explique par le fait que le nombre
d'opérations a augmenté à cause du changement de l'espace
d'états de la fonction valeur de l'option. En effet, pour
l'approximation quadratique-linéaire, la fonction valeur v dépend
uniquement de deux variables d'états St et Ht+1. Par contre,
pour l'approximation bilinéaire, la fonction
valeur w dépend de trois variables d'états qui
sontSt~1, St et Ht.
FIG. 3.1: Convergence du prix d'un Put Down & Out à
l'aide de la programmation
dynamique
TAB. 3.10: Call Européen Up & Out
|
Barrière
|
115
|
125
|
|
|
M x N
|
Lin - Lin
|
X2 MXN
|
Lin - Lin
|
X2 MXN
|
CPU (sec)
|
|
25 * 25
|
7.4140
|
****
|
9.8502
|
****
|
5
|
|
51 * 51
|
6.4376
|
95335.696
|
9.1966
|
42719.3
|
105
|
|
71 * 71
|
6.3473
|
815.409
|
8.7448
|
20412.3
|
442
|
|
101 * 101
|
5.9733
|
13987.6
|
8.1111
|
40157.6
|
1058
|
|
131 * 131
|
5.7860
|
3508.129
|
7.5244
|
34421.7
|
3016
|
|
141 * 141
|
5.6234
|
2643.876
|
7.2451
|
7800.85
|
4385
|
|
151 * 151
|
5.5841
|
154.449
|
7.1570
|
776.161
|
5481
|
|
171 * 171
|
5.5732
|
11.881
|
7.1249
|
103.041
|
8451
|
|
|
Prix moyen
|
5.5659
|
7.1319
|
|
|
Simulation
|
[5.5403 5.5915]
|
[7.0996 7.1642]
|
77
|
Dans le tableau 3.10 sont présentés les prix
obtenus pour un Call européen de type Up & Out. Le prix initial de
l'action est 80 = 110 et le prix d'exercice est K = 100 jours. On évalue
cette option pour deux valeurs de barrières 115 et 125: Le prix moyen
donné dans ce tableau est celui de la simulation. Les CPU sont
calculés en secondes et sont ceux de l'approximation
linéaire-linéaire. Le dernier représente le temps de
calcul de la simulation.
FIG. 3.2: Convergence du prix d'un Call Up & Out à
l'aide de la programmation dynamique
Comme la fonction valeur d'une option en général
est une fonction convexe, il est évident qu'une approximation
linéaire va être moins efficace qu'une fonction quadratique. En
effet, comme le montrent les deux tableaux précédents, on doit
augmenter d'avantage la discrétisation pour atteindre la convergence.
Ceci va engendrer un coût supplémentaire pour la mémoire de
la machine et du temps de calcul.
| 
