Chapitre 3
Résultats numériques
Dans cette partie, nous allons présenter les
résultats des prix des options à barrière obtenus pour les
deux approximations polynomiales présentées
précédemment. Afin de montrer la convergence et
l'efficacité de notre algorithme, on compare nos résultats avec
d'autres établis avec l'approximation constante par morceaux et des
intervalles de confiance construits à l'aide d'une simulation des
méthodes Monte-Carlo de 200 000 trajectoires. On présente ainsi
différents types de tableaux selon la nature de l'option à
barrière (Call - Put, Européenne - Américaine, Knock In -
Knock out, Down - Up)
3.1 Contexte informatique
Les résultats présentés dans les sections
suivantes ont été réalisés sur un ordinateur
cadencé à 3.8 GHz et dont la mémoire vive est de 1 Go de
RAM sous le système d'exploitation Windows. Les algorithmes ont
été écrits sous le langage C en utilisant la librairie
GSL. Les codes ont été compilés à l'aide du
logiciel GCC.
3.2 Données et hypothèses
Dans cette section, toutes les données et les
hypothèses pour aboutir aux résultats sont regroupées. Les
caractéristiques des options à barrière tarifiées
par la programmation dynamique et présentées dans les tableaux
suivants sont principalement :
- option d'achat (Call) et option de vente (Put);
- option européenne et américaine;
- sous-jacent : action;
- approximations:
- constante - constante avec volatilité de type
NGARCH(1,1); - quadratique - linéaire avec volatilité de type
NGARCH(1,1); - linéaire - linéaire avec volatilité de type
HNGARCH(1,1).
A côté de la programmation dynamique, nous avons
effectué une simulation Monte-Carlo pour la validation de nos
résultats. Les principales caractéristiques de cette simulation
sont principalement :
- nombre de trajectoires = 200 000;
- intervalles de confiance à 95% (I95%).
3.3 Résultats de l'approximation
quadratique-linéaire
Dans cette section, nous allons présenter les
résultats dans le modèle NGARCH, puisque le calcul de toutes les
matrices de transition pour cette approximation a été fait dans
ce modèle. Les paramètres du modèle NGARCH sont : 0 =
0.00001, /fJ 1 = 0.8, /2 = 0.1, O = 0.3, À = 0.2.
Les paramètres de l'option à barrière
sont : r = 0.1 (annuel), K = 100 dollars et H1 = 1.0989 x 104. On
assume le nombre de jours par année = 250.
Dans ces tableaux, on présente les résultats
obtenus par l'approximation quadratique-linéaire dans la colonne (Quad -
Lin). Nos résultats sont comparés dans la plupart des cas avec
les valeurs obtenues de l'approximation constante - constante (Cste - Cste) et
de la simulation des méthodes Monte Carlo.
Afin de justifier la rapidité et la précision de
la convergence de notre méthode, deux critères sont
présentés dans tous les tableaux :
- le CPU en secondes qui est le temps de calcul moyen de la
valeur de l'option pour toutes les barrières à une grille de
points bien déterminée;
- X2 MXN qui est le carré de la différence entre
deux valeurs d'options obtenues pour deux grilles M x N consécutives
pour l'approximation quadratique-linéaire. Les valeurs calculées
pour X2 MXN sont données dans les tableaux à l'ordre de
105.
Les valeurs soulignées dans ces tableaux montrent bien
la convergence des résultats. En effet, à chaque fois qu'on
augmente les points M x N de la grille MN, on remarque bien que les prix
donnés pas l'approximation quadratique-linéaire convergent plus
rapidement vers l'inervalle de la simulation que les prix donnés par
l'approximation constante-constante.
Les tableaux 3.1-3.6 regroupent les valeurs des options
à barrière de type Knock-out. Une propriété des
options désactivantes se retrouve dans ces tableaux. En effet, on
remarque bien que la valeur de l'option Knock-out diminue à chaque fois
que le prix de la barrière s'approche du prix de l'actif sous-jacent
initial 80. Ce résultat est prévisible puisque dans le cas
où le niveau de la barrière est loin du prix 80, la
probabilité pour que l'option s'annule est petite ainsi elle coûte
plus cher.
TAB. 3.1: Call Européen Down & Out
|
Barrière
|
85
|
93
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
Xj.,IXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
4.2116
|
4.8610
|
****
|
4.0868
|
4.6439
|
****
|
1
|
|
31 * 31
|
4.2130
|
4.7395
|
0.196
|
4.0927
|
4.5399
|
3.481
|
2
|
|
35 * 35
|
4.2131
|
4.6409
|
0.001
|
4.0944
|
4.5058
|
0.289
|
3
|
|
41 * 41
|
4.2124
|
4.5267
|
0.049
|
4.0972
|
4.3811
|
0.784
|
5
|
|
45 * 45
|
4.2120
|
4.4866
|
0.016
|
4.0986
|
4.3936
|
0.196
|
7
|
|
51 * 51
|
4.2132
|
4.4272
|
0.144
|
4.1002
|
4.3082
|
0.256
|
9
|
|
75 * 25
|
4.2120
|
4.3252
|
0.144
|
4.1027
|
4.2142
|
0.625
|
8
|
|
93 * 31
|
4.2124
|
4.2910
|
0.016
|
4.1047
|
4.1846
|
0.4
|
15
|
|
105 * 35
|
4.2126
|
4.2618
|
0.004
|
4.1055
|
4.1539
|
0.064
|
21
|
|
123 * 41
|
4.2128
|
4.2539
|
0.004
|
4.1064
|
4.1470
|
0.081
|
32
|
|
135 * 45
|
4.2128
|
4.2501
|
0
|
4.1070
|
4.1466
|
0.036
|
40
|
|
153 * 51
|
4.2128
|
4.2343
|
0
|
4.1075
|
4.1296
|
0.025
|
46
|
|
|
Simulation
|
[4.1935 4.2389]
|
[4.0844 4.1300] 39
|
Dans le tableau 3.1 sont présentés les prix
obtenus pour un Call européen de type Down & Out. Le prix initial de
l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On
évalue cette option pour deux valeurs de barrières 85 et 93: Les
douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de
l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la
simulation.
Dans le tableau précédent, on remarque bien
comment les prix obtenus par l'approximation quadratique-liéaire
convergent rapidement. Cette conclusion est tirée à partir des
critères suivants:
- comparaison avec l'approximation constante-constante et la
simulation Monte-Carlo; - obtention d'un prix convergent à partir d'une
petite discrétisation de la grille M x N; - obtention d'un
résultat convergent en une seconde;
- convergence des prix vers une valeur exacte à chaque
fois qu'on augmente la grille (diminution du X2 MXN).
TAB. 3.2: Call Européen Up & Out
|
Barrière
|
135
|
155
|
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
X2 I,JXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
12.1177
|
11.8833
|
****
|
12.3676
|
12.6777
|
****
|
1
|
|
31 * 31
|
12.0727
|
12.0393
|
202.5
|
12.3671
|
12.6191
|
0.025
|
1
|
|
35 * 35
|
12.0745
|
11.8839
|
0.324
|
12.3644
|
12.5695
|
0.729
|
2
|
|
41 * 41
|
12.1014
|
11.9697
|
72.361
|
12.3676
|
12.5076
|
1.024
|
3
|
|
45 * 45
|
12.1002
|
12.0576
|
0.144
|
12.3641
|
12.4851
|
1.225
|
4
|
|
51 * 51
|
12.0870
|
12.0024
|
17.424
|
12.3677
|
12.4563
|
1.296
|
6
|
|
75 * 25
|
12.0992
|
12.0289
|
14.884
|
12.3675
|
12.3986
|
0.004
|
5
|
|
93 * 31
|
12.1050
|
12.0639
|
3.364
|
12.3673
|
12.3875
|
0.004
|
9
|
|
105 * 35
|
12.1032
|
12.0751
|
0.324
|
12.3672
|
12.3740
|
0.001
|
13
|
|
123 * 41
|
12.1077
|
12.0772
|
2.025
|
12.3671
|
12.3709
|
0.001
|
20
|
|
135 * 45
|
12.1057
|
12.0776
|
0.4
|
12.3667
|
12.3684
|
0.016
|
21
|
|
153 * 51
|
12.1044
|
12.0806
|
0.169
|
12.3667
|
12.3617
|
0
|
29
|
|
|
Simulation
|
[12.0592 12.1269]
|
[12.3314 12.4009]
|
36
|
Dans le tableau 3.2 sont présentés les prix
obtenus pour un Call européen de type Up & Out. Le prix initial de
l'action est 80 = 110 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On
évalue cette option pour deux valeurs de barrières 135 et 155:
Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de
l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la
simulation.
TAB. 3.3: Call Européen Double Knock Out
|
Barrière Haute
|
110
|
125
|
|
|
Barrière Basse
|
95
|
95
|
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
X2 IXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
0.2202
|
1.3868
|
****
|
3.5464
|
3.5555
|
****
|
2
|
|
31 * 31
|
0.2163
|
0.3072
|
1.521
|
3.5533
|
3.5733
|
4.761
|
3
|
|
35 * 35
|
0.2159
|
0.5160
|
0.016
|
3.5433
|
2.0538
|
10
|
4
|
|
41 * 41
|
0.2153
|
0.0708
|
0.036
|
3.5514
|
2.4147
|
6.561
|
7
|
|
45 * 45
|
0.2145
|
0.3743
|
0.064
|
3.5579
|
2.6560
|
4.225
|
9
|
|
51 * 51
|
0.2123
|
0.1883
|
0.484
|
3.5639
|
4.1806
|
3.6
|
13
|
|
75 * 25
|
0.2108
|
0.2071
|
0.225
|
3.5908
|
3.0914
|
72.361
|
10
|
|
93 * 31
|
0.2074
|
0.1600
|
1.156
|
3.5844
|
3.2927
|
4.096
|
18
|
|
105 * 35
|
0.2062
|
0.2077
|
0.144
|
3.5881
|
3.4217
|
1.369
|
27
|
|
123 * 41
|
0.2059
|
0.1852
|
0.009
|
3.5949
|
3.4909
|
4.624
|
42
|
|
135 * 45
|
0.2057
|
0.1928
|
0.004
|
3.5932
|
3.4437
|
0.289
|
54
|
|
153 * 51
|
0.2056
|
0.1835
|
0.001
|
3.5930
|
3.4887
|
0.004
|
60
|
|
|
Simulation
|
[0.1983 0.2175]
|
[3.5423 3.6055]
|
80
|
Dans le tableau 3.3 sont présentés les prix
obtenus pour un Call européen de type Double Knock out. En d'autres
termes, cette option est conditionnée par deux barrières limites.
Ainsi, si le prix du sous-jacent franchit l'une de ces barrières
à la hausse ou à la baisse, l'option s'annule. Le prix initial de
l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 125 jours. On
prend pour cette évaluation le niveau bas de la barrière toujours
égal à 95 et pour le niveau supérieur, on prend deux
valeurs de barrières 110 et 125: Les douze premiers CPU sont
calculés en secondes et sont ceux de l'approximation
quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.
TAB. 3.4: Put Européen Down & Out
|
Barrière
|
85
|
93
|
97
|
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
1.5616
|
|
****
|
0.3631
|
|
****
|
0.0293
|
|
****
|
1
|
|
31 * 31
|
1.5780
|
|
26.896
|
0.3682
|
|
2.601
|
0.0303
|
|
0.1
|
2
|
|
35 * 35
|
1.5783
|
|
0.009
|
0.3677
|
|
0.025
|
0.0311
|
|
0.064
|
2
|
|
41 * 41
|
1.5802
|
|
0.361
|
0.3773
|
|
9.216
|
0.0318
|
|
0.049
|
3
|
|
45 * 45
|
1.5876
|
|
5.476
|
0.3805
|
|
1.024
|
0.0321
|
|
0.009
|
4
|
|
51 * 51
|
1.5978
|
|
10.404
|
0.3839
|
|
1.156
|
0.0334
|
|
0.169
|
7
|
|
75 * 25
|
1.6006
|
|
0.784
|
0.3917
|
|
6.084
|
0.0338
|
|
0.016
|
5
|
|
93 * 31
|
1.6093
|
|
7.569
|
0.3958
|
|
1.681
|
0.0340
|
|
0.004
|
10
|
|
105 * 35
|
1.6144
|
|
2.601
|
0.3962
|
|
0.016
|
0.0350
|
|
0.1
|
14
|
|
123 * 41
|
1.6163
|
|
0.361
|
0.3987
|
|
0.625
|
0.0355
|
|
0.025
|
21
|
|
135 * 45
|
1.6177
|
|
0.196
|
0.3985
|
|
0.004
|
0.0353
|
|
0.004
|
27
|
|
153 * 51
|
1.6187
|
|
0.1
|
0.3989
|
|
0.016
|
0.0359
|
|
0.036
|
27
|
|
|
|
|
|
Simulation
|
[1.5549
|
1.6213]
|
[0.3600
|
0.4102]
|
[0.0300
|
0.0378]
|
35
|
Dans le tableau 3.4 sont présentés les prix
obtenus pour un Put européen de type Down & Out. Le prix initial de
l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On
évalue cette option pour trois valeurs de barrières
85; 93 et 97: Les douze premiers CPU sont calculés en
secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le
dernier est celui de la simulation.
TAB. 3.5: Put Américain Down & Out
|
Barrière
|
85
|
93
|
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
Cste - Cste
|
X2 MXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
3.4328
|
4.1086
|
****
|
3.0089
|
3.4670
|
****
|
1
|
|
31 * 31
|
3.4328
|
4.6099
|
0
|
2.9952
|
3.4738
|
18.769
|
3
|
|
35 * 35
|
3.4327
|
4.5704
|
0.001
|
2.9850
|
3.2675
|
10.404
|
4
|
|
41 * 41
|
3.4326
|
4.3984
|
0.001
|
2.9705
|
3.4076
|
21.025
|
6
|
|
45 * 45
|
3.4323
|
4.3169
|
0.009
|
2.9617
|
3.3579
|
7.744
|
7
|
|
51 * 51
|
3.4325
|
4.1571
|
0.004
|
2.9484
|
3.2511
|
17.689
|
11
|
|
75 * 25
|
3.4310
|
3.7887
|
0.225
|
2.9288
|
3.0914
|
38.416
|
8
|
|
93 * 31
|
3.4310
|
3.7013
|
0
|
2.9223
|
3.0428
|
4.225
|
18
|
|
105 * 35
|
3.4309
|
3.6421
|
0.001
|
2.9165
|
3.0247
|
3.364
|
25
|
|
123 * 41
|
3.4307
|
3.5721
|
0.004
|
2.9149
|
2.9876
|
0.256
|
41
|
|
135 * 45
|
3.4305
|
3.5362
|
0.004
|
2.9139
|
2.9674
|
0.1
|
53
|
|
153 * 51
|
3.4304
|
3.5116
|
0.001
|
2.9136
|
2.9496
|
0.009
|
65
|
Dans le tableau 3.5 sont présentés les prix
obtenus pour un Put américain de type Down & Out. Le prix initial de
l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 125 jours. On
évalue cette option pour deux valeurs de barrières 85 et 93: Les
CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation
quadratique-linéaire. On ne présente pas de simuation dans ce
tableau. En effet, la simulation des options américaines avec les
méthodes Monte-Carlo présente quelques difficultés.
TAB. 3.6: Put Européen Up & Out
|
Barrière
|
115
|
135
|
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
0.3497
|
****
|
0.3885
|
****
|
1
|
|
31 * 31
|
0.3585
|
7.744
|
0.3887
|
0.004
|
2
|
|
35 * 35
|
0.3567
|
0.324
|
0.3881
|
0.036
|
3
|
|
41 * 41
|
0.3570
|
0.009
|
0.3875
|
0.036
|
5
|
|
45 * 45
|
0.3568
|
0.004
|
0.3879
|
0.016
|
6
|
|
51 * 51
|
0.3551
|
0.289
|
0.3880
|
0.001
|
9
|
|
75 * 25
|
0.3557
|
0.036
|
0.3881
|
0.001
|
7
|
|
93 * 31
|
0.3560
|
0.009
|
0.3873
|
0.064
|
14
|
|
105 * 35
|
0.3558
|
0.004
|
0.3877
|
0.016
|
20
|
|
123 * 41
|
0.3558
|
0
|
0.3876
|
0.001
|
33
|
|
135 * 45
|
0.3559
|
0.001
|
0.3876
|
0
|
38
|
|
153 * 51
|
0.3559
|
0
|
0.3874
|
0.004
|
41
|
|
|
Simulation
|
[0.3491 0.3643]
|
[0.3814 0.3973]
|
36
|
Dans le tableau 3.6 sont présentés les prix
obtenus pour un Put européen de type Up & Out. Le prix initial de
l'action est 80 = 110 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On
évalue cette option pour deux valeurs de barrières 115 et 135:
Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation
quadratique-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de
la simulation.
Dans les tableaux suivants, on reporte les prix
calculés des options à barrière de type Knockin.
Contrairement aux options de type Knock-out, on constate que le prix de
l'option activante est plus cher quand la barrière est proche de 80.
Ceci vient du fait que la probabilité pour que l'option à
barrière Down&In ou Up&In soit activée est plus
élevée quand le prix de la barrière est voisin de 80.
Un autre cas particulier qu'on doit remarquer est que si
à la date t = 0, le prix 80 franchit déjà la
barrière, l'option Knock-in est alors activée et sa valeur est la
plus élevée et est égale à la valeur d'une option
vanille.
TAB. 3.7: Put Européen Down & In
|
Barrière
|
90
|
95
|
110
|
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
1.0802
|
****
|
1.9906
|
|
****
|
2.2342
|
|
****
|
1
|
|
31 * 31
|
1.0541
|
68.121
|
1.9697
|
|
43.681
|
2.2356
|
|
0.196
|
2
|
|
35 * 35
|
0.9940
|
361.201
|
1.9730
|
|
1.089
|
2.2356
|
|
0
|
4
|
|
41 * 41
|
0.9873
|
4.489
|
1.9526
|
|
41.616
|
2.2348
|
|
0.064
|
5
|
|
45 * 45
|
0.9838
|
1.225
|
1.9495
|
|
0.961
|
2.2344
|
|
0.016
|
7
|
|
51 * 51
|
0.9797
|
1.681
|
1.9464
|
|
0.961
|
2.2355
|
|
0.121
|
12
|
|
75 * 25
|
0.9690
|
11.449
|
1.9358
|
|
11.236
|
2.2342
|
|
0.169
|
10
|
|
93 * 31
|
0.9652
|
1.444
|
1.9299
|
|
3.481
|
2.2346
|
|
0.016
|
16
|
|
105 * 35
|
0.9648
|
0.016
|
1.9293
|
|
0.036
|
2.2347
|
|
0.001
|
24
|
|
123 * 41
|
0.9639
|
0.081
|
1.9285
|
|
0.064
|
2.2349
|
|
0.004
|
36
|
|
135 * 45
|
0.9635
|
0.016
|
1.9283
|
|
0.004
|
2.2349
|
|
0
|
50
|
|
153 * 51
|
0.9631
|
0.016
|
1.9277
|
|
0.036
|
2.2349
|
|
0
|
62
|
|
|
|
|
Simulation
|
[0.9448 1.0156]
|
[1.9113
|
1.9854]
|
[2.2214
|
2.2574]
|
32
|
Dans le tableau 3.7 sont présentés les prix
obtenus pour un Put européen de type Down & In. Le prix initial de
l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On
évalue cette option pour trois valeurs de barrières. deux valeurs
90 et 95 en-dessous du prix initial de l'action et une valeur égale
à 110 au-dessus de 80. Les CPU sont calculés en secondes et sont
ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier
représente le temps de calcul de la simulation.
TAB. 3.8: Call Européen Up & In
|
Barrière
|
95
|
105
|
110
|
|
|
M x N
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
|
X2 MXN
|
Quad - Lin
|
X2 MXN
|
CPU
|
|
25 * 25
|
4.2144
|
|
****
|
3.5462
|
|
****
|
2.1706
|
|
****
|
1
|
|
31 * 31
|
4.2157
|
|
0.169
|
3.6135
|
|
452.929
|
2.1502
|
|
41.616
|
4
|
|
35 * 35
|
4.2158
|
|
0.001
|
3.6280
|
|
21.025
|
2.1022
|
|
230.4
|
5
|
|
41 * 41
|
4.2149
|
|
0.081
|
3.5824
|
|
207.936
|
2.1452
|
|
184.9
|
7
|
|
45 * 45
|
4.2145
|
|
0.016
|
3.6038
|
|
45.796
|
2.1437
|
|
0.225
|
9
|
|
51 * 51
|
4.2156
|
|
0.121
|
3.6230
|
|
36.864
|
2.1225
|
|
44.944
|
14
|
|
75 * 25
|
4.2143
|
|
0.169
|
3.5857
|
|
139.129
|
2.1167
|
|
3.364
|
12
|
|
93 * 31
|
4.2147
|
|
0.016
|
3.5788
|
|
4.761
|
2.1070
|
|
9.409
|
21
|
|
105 * 35
|
4.2148
|
|
0.001
|
3.5866
|
|
6.084
|
2.1308
|
|
56.644
|
30
|
|
123 * 41
|
4.2150
|
|
0.004
|
3.6066
|
|
40
|
2.1296
|
|
0.144
|
47
|
|
135 * 45
|
4.2150
|
|
0
|
3.6094
|
|
0.784
|
2.1239
|
|
3.249
|
63
|
|
153 * 51
|
4.2150
|
|
0
|
3.6030
|
|
4.096
|
2.1211
|
|
0.784
|
80
|
|
|
|
|
|
Simulation
|
[4.1923
|
4.2377]
|
[3.5748
|
3.6316]
|
[2.0934
|
2.1518]
|
34
|
Dans le tableau 3.8 sont présentés les prix
obtenus pour un Call européen de type Up & In. Le prix initial de
l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On
évalue cette option pour trois valeurs de barrières. deux valeurs
105 et 110 au-dessus du prix initial de l'action et une valeur égale
à 95 en-dessous de 80. Les CPU sont calculés en secondes et sont
ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier
représente le temps de calcul de la simulation.
| 
