Memoire Online - Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

1.1	Options à barrière Down & Out	14
1.2	Options à barrière Up & In	14
1.3	Modèle trinomial de Ritchken pour l'évaluation des options à barrière . . . .	21
1.4	Modèle trinomial de Cheuk et Vorst pour l'évaluation des options à barrière	23
2.1	Distribution des prix de l'actif sous-jacent S	41
2.2	Distribution des volatilités H +1	41
3.1	Convergence du prix d'un Put Down & Out à l'aide de la programmation
	dynamique	54
3.2	Convergence du prix d'un Call Up & Out à l'aide de la programmation dyna-
	mique	55

Introduction

Ce travail s'inscrit dans le cadre d'un stage effectué au Centre de Recherche en E-Financie (CREF) et à HEC Montréal. L'une des missions du CREF consiste à étudier et analyser les effets économiques, technologiques et financiers de la nouvelle économie financière. La modélisation des marchés financiers et la tarification des produits dérivés forment un axe de recherche privilégié au CREF. Ce travail constitue donc un volet de cet axe de recherche et présente une méthode de tarification des options à barrière européennes et américaines en utilisant la programmation dynamique.

Les options jouent un rôle très important dans les marchés financiers. En effet, elles sont extrêmement utilisées pour la couverture des risques. Ces dernières années, les options à barrière sont devenues presque aussi populaires que les options vanilles ordinaires. En effet, l'existence d'une barrière a le plus souvent pour conséquence de réduire le risque du vendeur de l'option. Aussi la valeur d'une option à barrière est--elle généralement inférieure à celle d'une option classique équivalente. La première méthode de tarification d'options standards a été proposée par Black et Scholes (1973). Ils proposent une formule fermée où la volatilité du sous- jacent est considérée comme étant constante. Dans ce même contexte, Merton (1973) a établi une formule fermée qui permet l'évaluation d'un Call de type Down & Out. L'évaluation des autres types d'options à barrière (activantes, désactivantes, up et down) a été ensuite proposée par Reiner et Rubinstein (1991).

La diversification des modèles de tarification des options standards avait comme impact la multiplication des procédures de pricing des options à barrière. En effet, A partir du modèle de Cox, Ross et Rubinstein (1979), Boyle et Lau (1994) ont montré que le recours aux arbres binomiaux ne donnait pas lieu à une convergence rapide du prix de l'option à barrière. Ce qui a poussé Ritchken (1995) à proposer un modèle d'arbre trinomial en donnant un degré de liberté supplémentaire utile pour la localisation de la barrière. Ce modèle a montré ses limites lorsque le niveau de la barrière est proche ou loin du prix initial de l'actif sous-jacent. Cette difficulté a été relevée par Cheuk et Vorst (1996) en proposant un ajustement du treillis à

l'aide d'un terme multiplicatif de telle sorte qu'à une période donnée, la valeur de la barrière coïncide avec un niveau de prix de l'arbre trinomial. Cependant, cette approche rencontre des problèmes lorsque plus d'une barrière conditionne le prix de l'option.

Les options à barrière ont été aussi évaluées par la méthode de la simulation. En effet, Boyle, Broadie et Glasserman (1997) proposent une approche par les méthodes de Monte Carlo. Certes cette méthode est robuste mais présente un coût assez élevé de point de vue temps de calcul et rencontre quelques difficultés pour l'évaluation des options à barrières de type américain.

Tous les modèles présentés jusqu'ici constituent les modèles de la première génération puisque ils ont été développés sous la contrainte que la volatilité est constante dans le temps. Cependant, les séries financières présentent plusieurs propriétés qui ne peuvent pas être étudiées sous une volatilité constante. Ceci a poussé les études de plusieurs modèles de variation de la volatilité dans le temps. Engle (1982) a proposé une famille de modèles appelée ARCH qui décrivent cette variation. Ces modèles ont été ultérieurement généralisés par Bollerslev (1986) pour proposer un processus général appelé GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity).

Harrison et Kreps (1979) ont démontré que pour qu'un processus puisse modéliser un marché parfait, il faut que ce modèle suive une martingale. Le premier modèle à volatilité variable à avoir vérifié cette hypothèse est le modèle GARCH. En effet, Duan (1995) a établi un modèle basé sur le processus GARCH pour évaluer les options. Depuis, plusieurs procédures de tarification ont été avancées dans la littérature en tenant compte de ce nouvel aspect de la variabilité de la volatilité. Ces procédures constituent la deuxième génération des modèles de tarification d'options.

Dans ce contexte, Duan et Simonato (2001) ont proposé une approximation par chaîne de Markov pour évaluer les options vanilles européennes et américaines pour le modèle NGARCH. Duan, Dudley, Gauthier et Simonato (2003) ont utilisé cette même approximation pour tarifier les options à barrière pour le même processus NGARCH. Cette méthode a donné de bons résultats mais converge pour une discrétisation assez grande. Ben Ameur, Breton et Martinez (2008) ont proposé une procédure basée sur la programmation dynamique couplée avec une approximation polynomiale pour le pricing des options standards. Cette méthode a montré une rapidité dans la convergence et une précision dans les résultats.

Compte tenu de l'efficacité de la programmation dynamique dans ses résultats, nous proposons une méthode pour le pricing des options à barrière européennes et américaines basée sur la programmation dynamique et couplée avec deux types d'approximations polynomiales. La méthode qu'on propose ici peut être adaptée à tous les modèles MGARCH (multivariate GARCH).

La première partie du présent rapport est consacrée aux notions élémentaires à la compréhension du document. Dans la deuxième partie, nous présentons la formulation de la programmation dynamique pour l'évaluation des options à barrière ainsi que les approximations polynomiales associées. Dans la dernière partie, nous présentons les résultats obtenus par cette méthode et nous les comparons avec les résultats d'autres procédures de tarification proposées dans la littérature.

Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

Liste des tableaux

Table des figures

Introduction