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Evaluation des options à barrière dans le
modèle
GARCH
BEN KHELIL Mohamed Salah
à ma mère, mon père, ma soeur...
Remerciements
Ce travail est l'aboutissement d'un travail de quatre mois au
sein du Centre de Recherche en Economie Financière (CREF) et constitue
mon projet de fin d'études.
Toute ma gratitude et ma reconnaissance à tous ceux qui
m'ont aidé à accomplir ce travail.
Je tiens particulièrement à remercier mes
encadreurs Michèle BRETON et Hatem BEN AMEUR, chargés de
recherche au CREF et professeurs à HEC Montréal, pour leur
encadrement et leurs précieux conseils qui m'ont guidés tout au
long de ce stage.
Je tiens également à exprimer mes remerciements
aux étudiants Walid MNIF et Ali BOUDHINA, diplômés de
l'Ecole Polytechnique de Tunisie et actuellement étudiants en M.Sc.
ingénierie financière à HEC Montréal, pour leur
aide et leur soutien tout au long de ces quatre mois.
Résumé
Dans ce travail, nous proposons une méthode
numérique pour l'évaluation des options à barrière
européennes et américaines lorsque la dynamique du sous-jacent
est décrite par un processus GARCH avec inovations gaussiennes. Nous
utilisons la programmation dynamique comme méthode de tarification
couplée avec deux types d'approximations polynomiales de la valeur de
l'option. Le but de ce travail est d'évaluer l'efficacité de
cette méthode par rapport à d'autres procédures de
tarification proposées dans la littérature. Dans ce rapport,
plusieurs types d'options à barrières sont étudiés
à savoir les options à barrière activantes et
désactivantes, up et down.
Mots clés Pricing d'options, options à
barrière, Knock-out, Knock-in, programmation dynamique, approximation
quadratique-linéaire, approximation bilinéaire.
Abstract
In this paper, we propose a numerical method to value european
and american barrier options when the dynamics of the stock return is described
by a GARCH process based on Gaussian innovations. The procedure we use is
dynamic programming coupled with piecewise polynomial approximation. The aim of
this work is to evaluate the efficiency of this method with regard to other
pricing procedures proposed in the literature. In this report, various kinds of
barrier options are analyzed such as Knock-in and Knock-out options, up and
down.
Keywords Option pricing, barrier options, Knock-out, Knock-in,
dynamic programming, quadratic-linear approximation, bilinear approximation.
Table des matières
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Introduction
1 Les options
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9
12
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1.1
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Définition et caractéristiques des options
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12
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1.1.1
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Définition
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12
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1.1.2
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Fonction de gain (Payoff)
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15
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1.2
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Hypothèses
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16
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1.2.1
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Marché parfait
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16
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1.2.2
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Martingale
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17
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1.2.3
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GARCH volatilité
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17
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1.3
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Modèles d'évaluation d'options
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20
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1.3.1
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Modèle de Black & Scholes
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20
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1.3.2
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Les arbres trinomiaux
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21
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1.3.3
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Simulation Monte Carlo
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23
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1.3.4
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Programmation dynamique
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26
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|
2
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Programmation dynamique sous le modèle GARCH
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27
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2.1
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Le modèle GARCH pour l'évaluation des options
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27
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2.1.1
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Le modèle général
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27
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2.1.2
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Le modèle de Duan (1995)
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29
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2.2
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Formulation de la programmation dynamique
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29
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2.2.1
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Equations de récurrence
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30
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2.2.2
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Une approche polynomiale
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31
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2.2.3
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Application aux différents types d'options à
barrière
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32
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2.3
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Les fonctions d'approximations
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34
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2.3.1
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Approximation quadratique-linéaire
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34
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TABLE DES MATIÈRES
2.3.2 Approximation bilinéaire 36
2.4 Construction de la grille 40
3 Résultats numériques 43
3.1 Contexte informatique 43
3.2 Données et hypothèses 43
3.3 Résultats de l'approximation
quadratique-linéaire 44
3.4 Résultats de l'approximation bilinéaire 53
3.5 Conclusion 55
Conclusion et perspectives 57
Bibliographie 59
A Matrices de transition dans le modèle NGARCH 61
B Constantes de l'interpolation bilinéaire 65
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