LES ANNEXES
ANNEXE N°1 : Petit développement et rappels
sur certaines
méthodes utilisées dans ce mémoire.
Bref aperçu sur les copules
Une copule est une fonction de répartition
multivariée C définie sur l'hypercube
[0;1]n =[0;1]x[0;1]x... x[0;1] et dont les
marginales sont uniformes sur [0;1]. En d'autres termes, c'est une fonction
liant les lois marginales afin de former une loi multivariée.
Le théorème de Sklar [1959] stipule que :
Pour une fonction F de répartition n-dimensionnelle avec
des marges F1,... ,Fn ; alors il existe une n-copule C telle que
pour tout vecteur X de Rn, on a :
F(X1,...,X n
)=C(F1(X1),....,F1(X1)).
Il en existe plusieurs types : Gaussienne, Weibull,
Fréchet, Archimédienne,.... Nous ne présentons pas dans ce
mémoire les copules gaussiennes et de Student, dites copules
elliptiques. Elles sont en effet moins bien adaptées en assurance car
elles s'appliquent à des distributions symétriques. Pour en
savoir d'avantage, une présentation en a été faite dans
Roncalli [2001]. Nous nous intéressons aux copules
archimédiennes. Les copules archimédiennes ont le grand avantage
de décrire des structures de dépendance très diverses dont
notamment les dépendances dites asymétriques, où les
coefficients de queue inférieure et de queue supérieure
diffèrent.
Solvabilité II : Impact de l'utilisation
d'un modèle interne sur la valorisation du bilan
en
assurance.
Pour ( une fonction convexe continue, strictement
décroissante de [0;1] sur R+ telle que ((1) = 0 et ((0) = CX, une copule
archimédienne stricte est définie par la relation :
C(u,v) ? ? ( u )
? ( v ) .
= +
- 1 ( )
( est appelé générateur strict de C. Il
existe également plusieurs familles de copules archimédiennes :
Gumbel, Franck et Clayton ; celle qui nous intéresse est la copule de
Gumbel. Elle est définie par :
C(u,v) exp ( ln u ) ( ln
v ) á .
( )
1/
- + -
á á
= -avec ( u ) ( ln u ) á ; 1
? = - á =
a mesure le degré de dépendance entre les
variable, et notamment ici les différents risques. L'avantage de la
copule de Gumbel est que, bien qu'elle n'appréhende que des
dépendances positives, elle possède la caractéristique de
pouvoir représenter des risques dont la structure de dépendance
est plus accentuée sur la queue supérieure. Elle est à ce
titre particulièrement adaptée en assurance et en finance pour
étudier l'impact de la survenance d'événements de forte
intensité sur la dépendance entre branches d'assurance ou actifs
financiers.
Rappels sur quelques lois usuelles :
+ La loi normale :
Soit X une variable aléatoire donnée
définie sur |R. On dit que X suit une loi
normale, notée N (p,
ó2), de moyenne p et de variance ó2, si et
seulement si sa
fonction de densité est de la forme :
1
fx e
( ) = ó 2 ð
1 x - ì
2 ó
+ La loi lognormale :
Soit Y une variable aléatoire donnée
définie sur |R. On dit que Y suit une loi log-
normale, notée
LN (m, s2), de moyenne m et de variance s2, si lnY suit
une loi
normale N (p, ó2) avec les relations :
Solvabilité II : Impact de l'utilisation
d'un modèle interne sur la valorisation du bilan
en
assurance.
ó 2 s 2
s 2 = ln 1 et m ln( ) ln désigne la fonction
logarithme népérien.
+ = -
ì
ì 2 2
+ La loi logit:
Soit Z une variable aléatoire donnée compris entre
0 et 1; Z suit une loi Logit si et seulement si sa fonction de densité a
une expression de la forme :
Remarque :
Les lois normales et log-normales sont très
utilisées dans les modélisations des risques. En effet, le Swiss
Solvency Test suggère d'utiliser la loi normale et celle log-normale
pour la modélisation des provisions techniques non-vie notamment pour la
branche santé, il recommande l'utilisation de la loi normale à
cause de sa queue de distribution courte et la loi log normale pour les autres
branches non-vie. Par ailleurs la modélisation des actifs financiers se
base sur l'hypothèse de rendements normaux. La loi Logit est très
utilisée en modélisation vie, surtout le risque de
mortalité. En effet la loi Logit permet de passer d'un quotient de
mortalité contraint, c'est-à-dire compris entre 0 et 1, à
une distribution non contrainte et étendu sur |R.
2) Le calcul de la provision mathématique
déterministe : les rentes de conjoint, d'éduction et celles
liées à l'arrêt de travail.
Les rentes de conjoint et d'éducation comme nous
l'avons précisé dans le corps du mémoire, sont
liées aux garanties décès. Elles permettent au
bénéficiaire du contrat de toucher une rente au
décès de l'individu assuré. Il s'agit donc de verser une
rente au conjoint survivant ou aux héritiers. Quant aux rentes
liées à l'arrêt de travail, délivré
exclusivement sur prescription médicale, elles correspondent à
une prestation aux assurées pendant la période d'arrêt de
travail.
+ Les rentes de conjoint et
d'éducation.
Solvabilité II : Impact de l'utilisation
d'un modèle interne sur la valorisation du bilan
en
assurance.
Les formules ci-dessous concernent les PM de rentes à
prime unique, à échoir, d'un montant de 1€ annuel, sans
revalorisation et versées en une fois.
Solvabilité II : Impact de l'utilisation
d'un modèle interne sur la valorisation du bilan
en
assurance.
Remarque :
Il faut noter que les organismes assureurs peuvent
réglementairement utiliser différents types de tables de
mortalité, comme préciser dans le mémoire,
décrivent l'extinction progressive d'une population au cours du temps.
Afin de tenir compte des spécificités de chaque entreprise
relatif à son portefeuille assuré et de rendre les calculs de
provision mathématique plus pertinents, il est préférable
d'utiliser les tables d'expérience plutôt que celles
réglementaires.
+ L'arrêt de travail
Solvabilité II : Impact de l'utilisation
d'un modèle interne sur la valorisation du bilan
en
assurance.
Solvabilité II : Impact de l'utilisation
d'un modèle interne sur la valorisation du bilan
en
assurance.
ANNEXE N°2: Compte de résultat
technique vie
- 91 -
Réalisé par : Aristide K.
VIGNIKIN
Solvabilité II : Impact de l'utilisation
d'un modèle interne sur la valorisation du bilan
en
assurance.
Tableau n°1: Compte de résultat
technique vie
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Opérations brutes
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Cessions et
rétrocessions
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Cotisation acquises
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Produits des placements
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Revenus des placements
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Autres produits des placements
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Ajustements ACAV (plus values)
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Autres produits techniques
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Charge des sinistres
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Prestations et frais payés
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Charge des provisions pour sinistres
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Charge des provisions d'assurance vie et autres
provisions techniques
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Provisions d'assurance vie
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Provisions pour opérations en unités de compte
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Provision pour égalisation
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Autres provisions techniques
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Participation aux résultats
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Frais d'acquisition et d'administration
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Frais d'acquisition
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Frais d'administration
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Commissions reçues des réassureurs
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Charge des placements
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Frais de gestion interne et externe des placements et
intérêts
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Autres charges des placements
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Pertes provenant de la réalisation des placements
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Ajustements ACAV (moins values)
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Autres charges techniques
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Produits des placements transférés au
compte non-technique
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Résultat technique des opérations
Vie
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