Evolution et révolution de la logique formelle des présocratiques à Georg Bool

· Schröder friedrich Wilhemln Karl Ernst (55(*))

Ernst Schröder est né le 25 novembre 1841 à Mannheim et mort le 16 juin 1902 à Karlsruhe. C'est un mathématicien et logicien allemand. Toute sa vie fut consacrée à l'étude et à l'enseignement des mathématiques et de la logique. Il ne fut jamais marié. Son travail a porté sur la logique et l'algèbre de Boole. C'est un personnage majeur de l'histoire de la logique symbolique, car il fait une belle synthèse des oeuvres de De Morgan, George Boole, Hugh Maccol et particulièrement charles Sanders Peirce.

En 1860, il entre à l'université de Heidelberg où il obtient deux ans plus tard son doctorat. Une bourse lui est alors accordée pour l'Université de Königsberge. Il y suivra durant deux ans des cours et séminaires en mathématiques et en physique. En 1865, il est nommé maître de conférence (chef de travaux) en mathématiques à l'école polytechnique fédérale de Zurich.

En 1876 il obtient une chaire de Mathématiques au Polytecnische Schule de Karlsruhe où il passa le reste de sa vie. Bref, il a appris les Mathématiques à Heidelberg, à Konigsberg et à Zurich auprès de Hesse, Kirchhoff et Franz Ernst Neumann.

Les premiers travaux de Schröder portant sur l'algèbre et la logique ont été menés sans qu'il connaisse les logiciens anglais De Morgan et George Boole. Il s'appuyait sur les travaux d'Ohm, Hankel, Hermann et Robert Grassmann, issu de l'école traditionnelle Allemand en algèbre combinatoire et analyse algébrique. En 1873, Schröder découvrit les travaux de Boole et de De Morgan sur la logique. Il y intégrera les idées importantes dues à Charles Sanders Peirce, Notamment les notions de subsomption (l'équivalent de l'inclusion pour les prédicats) et de quantification.

Schröder a également apporté des contributions originales à l'algèbre, à la théorie des ensembles ordonnées comme les treillis ou les nombres ordinaux. Avec Georg Cantor, il découvrit le théorème de Cantor-Bernstein-schröder. Bien que sa démonstration de 1898 fut imparfaite, Félix Bernstein (1878-1956) la corrigea dans sa thèse.

L'oeuvre monumentale de Schröder est les vorlesungen über die algebra der logik (leçons sur l'algèbre de la logique). Cette oeuvre constituait une somme complète sur l'état de la logique symbolique à la fin du XIXème siècle, car elle eut une influence considérable sur l'émergence de la logique mathématique au XXème siècle.

Les différences entre Schröder et Boole sont essentiellement les suivantes :

Chez Boole, la négation, qui était définie à partir de la soustraction, est considérée maintenant comme une opération primitive;

La somme logique n'est plus interprétée dans un sens exclusif, mais plutôt dans un sens non exclusif;

L'identité n'est plus la seule relation, il s'y ajoute l'implication et l'identité comme l'équivalence;

a = (a=1)

De plus, la logique de Boole n'était pas une véritable logique propositionnelle. Boole n'excluait pas qu'une même proposition puisse avoir des valeurs de vérité distinctes à des moments distincts du temps (cas des propositions secondaires). Pour faire face à cette situation, Schröder ajoutera aux lois fondamentales de la logique propositionnelle l'axiome suivant:

Cet axiome énonce que pour toute proposition a, tel que a est l'équivalent de la proposition a est équivalent à 1 (où 1 symbolise n'importe quelle proposition vraie, mieux qui serait vraie à tous les moments du temps). Cet axiome, en fait, signifie qu'une proposition est vraie si et seulement si elle est toujours vraie.

En outre, il a introduit la notion des coefficients de relation.

Tout compte fait, bien qu'elle soit axée surtout sur la logique des classes et qu'elle se situe dans la ligne de Boole et non de Frege ou de Russell, l'oeuvre de Schröder a exercé une influence non négligeable sur le développement de la logique mathématique dans la première moitié du XX^ème siècle, comme en témoignent les travaux de Löwenheim et de Thoralf Skolem. Pour citer un autre exemple, "Zermelo a présenté ses axiomes pour la théorie des ensembles dans la notation Peirce-Schöder et pas, comme on aurait pu s'y attendre, dans celle de Russell-Whitehead"(^56(*)).

* ⁵⁵ Idem, pp.2826-2827 et http://fr.wikipédia.org/ernstschröder

* ⁵⁶ "http://fr.wikipédia.org/Ernst Schröder"