Evolution et révolution de la logique formelle des présocratiques à Georg Bool

· Auguste de Morgan (1806-1878)

Mathématicien londonien, Auguste De Morgon formule deux lois de la logique qui portent son nom et notées comme suit :

· (a+b)' = a'.b' ou (pvq) p q

· (a .b)' = a'+b' ou (p q) p q

Ces deux lois logiques sont appelées théorèmes de De Morgan, pourtant nous les rencontrons déjà au moyen-âge chez Guillaume d'Occam.

De Morgan représente, en quelque sorte, le trait- d'union entre la syllogistique traditionnelle et la logique algébrique moderne. En effet, il a orienté ses efforts vers un enrichissement, une généralisation et une systématisation de la syllogistique. Cependant, sa culture de mathématicien familiarisé avec l'algèbre a influé sur sa méthode. A ce propos, Kotarbinski  dit « l'enrichissement et en même temps l'homogénéisation de la syllogistique traditionnelle consiste ici avant tout dans la quantification non seulement des sujets, mais également des attributs (ce qui constitue un trait qui est commun avec Hamilton), et, en outre, dans le fait qu'il introduit de façon aussi étendue que possible des termes négatifs et non seulement des termes positifs (ce qui, dans l'exposé de la logique traditionnelle n'apparaît que pour les obversions et les forment en dépendant, dans le cas de transfert de la négation de la copule à l'attribut » (^47(*))

Voici l'économie de la logique de De Morgan :

Les termes positifs (comme homme, mortel) sont désignés par des majuscule : X, Y, Z, alors que les termes négatifs (comme non-homme, immortel ou non-mortel) leur correspondant par des minuscules : x, y, z.

Un terme quantifié universellement (comme tout homme, aucun mortel) est accompagné d'un croissant dont la convexité est tournée vers l'extérieur. Exemple :

X ou X.

Un terme à quantification partielle (certains hommes, certains mortels) est accompagné d'un croissant en sens contraire. Exemple : X ou X.

Deux termes avec croissants juxtaposé sans signe intermédiaire ou reliées à l'aide de deux points disposés horizontalement forment une proposition affirmative. Exemple X

Deux termes avec croissants reliées par un point forment une proposition négative. Exemple : X

Ainsi, fort des informations ci-hautes, nous pouvons, par exemple, formaliser les propositions d'Hamilton selon le modèle de De Morgan. P

Les propositions d'Hamilton	Leurs équivalents chez De Morgan
U : Tous les S sont tous les P I : Certains S sont certains P A : Tous les S sont certains P Y : Certains S sont tous les P E : Aucun S n'est aucun P W : Certains S ne sont pas certains P  : Aucuns S ne sont certain P O : Certains S ne son aucuns P	X X X X X X X X

Dans ce même ordre d'idée, l'obversion de X nous donnera X .

Comme l'on peut s'en rendre compte, De Morgan n'avait pas prévu des foncteurs pour connecter les propositions entre elles. Aussi, va-t-il élaborer la théorie de la relation pour que, dans les schémas de la syllogistique généralisée, les membres représentés par les termes soient reliés par des relations arbitraires et pas nécessairement par les relations d'inclusion ou de non inclusion. Exemple : soit le raisonnement suivant :

X..LY

Y..MZ

X..LMZ

Si nous posons L pour la fraternité, M pour la paternité alors ce raisonnement se lira comme suit : X est le frère de Y, et Y le Père de Z, alors X est le frère du père de Z (en clair, l'oncle de Z).

* ⁴⁷ idem