CHAPITRE 4 : DE L'EPUISEMENT DE LA RESSOURCE A SON
EXPLOITATION OPTIMALE DURABLE
Dans ce chapitre, nous tenterons de déterminer une
production optimale durable de gaz naturel en Côte d'Ivoire en utilisant
un modèle de contrôle optimal. Notre étude sera
essentiellement axée dans une première section sur la
détermination de la durée du gaz naturel en Côte d'Ivoire
et dans une seconde section sur la présentation du modèle, la
résolution du programme et l'interprétation des
résultats.
SECTION 1 : LA DUREE DU GAZ NATUREL EN COTE D'IVOIRE A.
Détermination du délai d'épuisement du gaz naturel en
Côte d'Ivoire
Le gaz naturel étant une ressource naturelle non
renouvelable épuisable, notre étude vise dans cette section
à déterminer la durée d'épuisement de la ressource.
Les travaux réalisés au plan mondial par Laherrere (2000) et
Bauquis (2001)9 ; respectivement sur le gaz naturel et le
pétrole ont abouti aux conclusions finales suivantes :
· Soixante dix (70) ans comme délai
d'épuisement du gaz naturel et,
· Cinquante (50) ans pour le pétrole.
En nous appuyant sur les travaux de ces deux auteurs et en
intégrant dans leurs analyses une évolution probable du niveau de
la consommation, nous tenterons de déterminer le délai
d'épuisement du gaz naturel en Côte d'Ivoire.
Nous calculons successivement le taux de croissance globale et
le taux de croissance annuelle
moyen sur la période [1997,2003].
Soit g : le taux de croissance globale, r : le taux de
croissance annuelle moyen et ri : le taux de croissance annuelle entre deux
années consécutives.
g = ? ( 1 + r 97 )( 1 + r 98 )( 1 +
r 99 )( 1 + r 00 )( 1 + r 01 )( 1 + r 02 )
- 1 × 100%
?
? ?
g = ? ( 1 + 0,302 )( 1 + 0,0935 )( 1 + 0,1435 )( 1 -
0,0744 )( 1 + 0,378 )( 1 + 0,0417 ) - 1 × 100%
?
? ?
g= 116,3 1%
Sur cette période, nous avons une production de gaz
naturel qui a doublé et plus.
9 Jean Laherrere (TotalFinaElf) : forecasting future
production from past discovery.
Pierre René Bauquis (TotalFinaElf): un point de vue sur
les besoins et les approvisionnements en énergie à l'horizon
2050, journées annuelles du Pétrole 2001, Paris, 3 et 4 octobre
2001.
Calculons à présent le taux de croissance annuelle
moyen sur la même période.
r ? n ( 1 r 97 )( 1 r 98 )(
1 r 99 )( 1 r 00 )( 1 r 01 )( 1 r 02 ) 1
100%
= + + + + + + - ? ×
?
?
r ? 6 ( 1 0,302 )( 1 0,0935 )( 1 0,1435 )( 1 0,0744 )(
1 0,378 )( 1 0,0417 ) 1 100%
= + + + - + + - ? ×
?
?
r = 13,72%
Sur la période [1997,2003], il y a un taux de croissance
annuelle moyen de 13,72%.
Dans une perspective de déterminer le délai
d'épuisement du gaz naturel, nous maintiendrons ce taux comme le taux de
croissance annuelle moyen sur toute la période d'exploitation. Sachant
que chaque année la production est entièrement consommée,
nous pouvons conclure que la production est égale à la
consommation pour chaque période ; soit P t = C
t .
En suivant le taux de croissance annuelle moyen, nous pouvons
écrire C t + 1 = C t (1 + r).
C C r
(1 )
1 0
= +
C C r
(1 )
2 1
= +
C C r
2 0
= +
(1 )
|
2
|
|
Par récurrence, nous avons 0 ( 1 ) T , avec C
CT = C + r 0 : la
consommation initiale (ici,
consommation en 2003 et CT : la consommation au temps T, telle
que CT = X0. Avec
X0 : la réserve disponible au temps t = 0. Pour
notre calcul, X0 est la réserve disponible en 2003.
Nous écrivons donc que :
C r X
+ =
T
(1 )
0 0
0
X
T
=
(1 )
+ r
0
C
L n r L n
(1 )
+ =
T
|
? ?
X 0
? ?
? ?
C 0
|
|
T L n r L n X L n C
(1 )
+ = -
0 0
T =
L n X L n C
0 0
-
T
T
T
L n r
(1 )
+
L n L n
( 3 3 , 5 2 ) (1 , 3 5 )
-
=
Ln
(1 0 , 1 3 7 2 )
+
= 24,982 5 = 25 ans
Avec un accroissement annuel moyen de production de 13,72%
sur toute la période d'exploitation du gaz naturel en Côte
d'Ivoire, nous épuiserons cette ressource au bout de 25 ans.
B. Détermination du délai
d'épuisement de la ressource avec prise en compte des fuites de gaz
naturel
Nous aborderons dans ce cas la même méthode de
détermination du délai d'épuisement de la ressource mais
en intégrant dans l'analyse les fuites de gaz naturel pendant la
production. Il est important de souligner que selon la Commission Energie
Environnement dans tout processus de production, la proportion de fuites
n'excède pas 10% de la production (Problématique du gaz naturel
au 21e siècle)10. Ces fuites contribuent
également à la réduction des réserves disponibles
au même titre que la consommation. En Côte d'Ivoire, selon des
sources propres des travaux de production (Petroci Exploration-Production), les
mesures sécuritaires et technologiques employées dans la
production, nous indiquent que les fuites tournent autour de 5% de la
production. Nous retiendrons pour notre étude 5%.
Ainsi, nous avons :
C r f X
(1 )T 0
+ + = avec f la part des fuites dans la production.
'
0
T ' =
T ' =
T ' =
T ' =
Par analogie à la démarche de résolution
précédente, nous obtenons : L n X L n C
0 0
-
L n r f
(1 )
+ +
L n L n
(3 3, 5 2 ) (1, 3 5 )
-
Ln
(1 0 ,1 3 7 2 0 , 0 5 )
+ +
18,87 1 9
=
19 ans
Cette nouvelle approche montre bien la part importante des
fuites qui réduisent elles seules dans le cas de notre étude, la
durée des ressources disponibles de six (6) ans. Compte tenu de
l'épuisement à terme du gaz naturel en Côte d'Ivoire, il
est opportun d'exploiter cette ressource de façon durable et optimale
dans le but de bénéficier de façon durable des vertus de
cette ressource énergétique. Ceci nous invite à exploiter
le gaz naturel de façon optimale dans un horizon infini.
10 Voir Commission Energie- Environnement du Canada
(2002). Rapport sur le gaz naturel relu par J.-R. Bauquis.
SECTION 2 : PRESENTATION DE NOTRE MODELE D'EXPLOITATION
OPTIMALE DURABLE
A. LE MODELE
Ce modèle est présenté par Stiglitz
(1976) dans le cadre d'une exploitation optimale des ressources naturelles non
renouvelables en situation de monopole. Pour l'adapter au cas de l'exploitation
du gaz naturel en Côte d'Ivoire, nous avons apporté certaines
modifications relatives aux composantes du prix de la ressource. Il s'agit
essentiellement de l'index des cours du pétrole et du poids de la
demande du gaz naturel sur le marché.
1. Définitions des variables et paramètres
du modèle
q : la quantité ou la production de gaz naturel
au temps t, est la variable résiduelle, q : la croissance nette
de la production,
x t : la variable d'état ; elle
représente le niveau de réserve de gaz naturel au temps t,
x : la croissance nette du niveau de réserve,
p : le prix d'une unité de gaz naturel,
è : le taux d'actualisation ou le taux de
préférence pour le présent, C : le coût
total de production du gaz naturel au temps t,
0(t) : le coût unitaire de production au
temps t,
0 : la croissance nette du coût unitaire due au
niveau de technologie appliquée dans la
production,
x0 : le stock ou réserve initiale de
gaz naturel au temps t = 0,
,u(t) : l'index des cours du pétrole au
temps t,
,u : la croissance nette de l'index des cours du
pétrole.
Dans notre modèle, le coût unitaire de
production diminue dans le temps selon le niveau et la qualité de
technologie appliquée dans la production. De plus, l'inverse de la
courbe de demande du gaz naturel au temps t s'écrit : p = p
(t)q" 1 (0 < a < 1)
avec 1/(1-á) l'élasticité de la demande,
a le poids de la demande, p le prix de gros d'une
unité de
gaz naturel au temps t, q la production au temps t et ,u
(t) , variable représentant
l'index des cours du pétrole.
C = 0 (t ) q (0
=0' < 0 )
C le coût total de production,
ö(t) = eät et s'interprète comme
un paramètre technologique qui réduit les coûts unitaires
de production de façon exogène.
ö' <0 le coût unitaire de production
diminue dans le temps avec le niveau et la qualité
de la technologie.
L'Etat de Côte d'Ivoire, en détenant tous les
droits sur la ressource (le gaz naturel) est considéré comme le
propriétaire unique (en régime de propriété
d'Etat). Les contrats "take or pay"11 qu'il accorde aux
exploitants lui confèrent la responsabilité du contrôle et
de la planification de la production. Ainsi, nous posons les hypothèses
de notre modèle.
2. Les hypothèses du modèle
· On considère que l'exploitation de l'ensemble
de la ressource est assurée par un seul consortium sous le
contrôle de l'Etat de Côte d'Ivoire, considéré comme
le planificateur ;
· Les nouvelles découvertes de gisements de gaz
naturel ne sont pas prises en compte dans les réserves
récupérables (stock de la ressource) ;
· Les coûts totaux de production dépendent du
niveau de production ;
· Le coût unitaire de production diminue dans le
temps avec le niveau et la qualité de la technologie ;
· L'inverse de la courbe de demande du gaz naturel en
Côte d'ivoire s'écrit :
= avec 11 -á : l'élasticité de la
demande du gaz naturel ;
1
p ( t ) qá
ì -
Ainsi, le profit est : p q C ( t ) q (
t ) q
- = ì - ö (19)
á
8
Notre programme d'optimisation dynamique consiste à
maximiser le profit actualisé résultant de l'exploitation de la
ressource. Dans un horizon infini, ce programme se présente comme suit
:
M a x t q t q e d t
- t
( ) ( )
á è
? ?
? ? - ?
q
0
ì ö
q = 0 et x = 0
11 Contrat de partage de production dans lequel une
licence de production est accordée à une compagnie lui permettant
de réaliser des travaux d'exploration pendant 3 ans suivis de 25 ans
d'exploitation de ressource. Contrat leur imposant de céder un minimum
de 10% de leur licence à Petroci qui doit participer au partage des
profits.
Posons que x = x (t) est le stock de
la ressource au temps t.
Ce programme est bel et bien un problème
isopérimétrique12 dont la résolution
nécessite la
8
convergence de l'intégrale impropre ? ?
è
? -
( ) ( ) t
t q t q e dt
-
ì ö
á ?? dans la fonction objectif.
0
B. Résolution du programme
Pour résoudre ce programme, il est important de garder
en mémoire que le problème se situe dans un horizon infini et que
certaines conditions de transversalités et conditions aux bornes soient
impérativement remplies.
|
Notre contrainte 0
? 8 =
0 q d t x
|
x~= - q sachant que q = q
(t) et
|
|
x (0) = x0 la dotation initiale de
la ressource, elle est donnée ; lim ( ) 0
x t =
t ?8
Notre programme peut alors s'écrire comme suit :
8
M a x t q t q e d t
- t
? ? ?
( ) ( )
á è
? - ?
ì ö
q0
|
|
s c x q
. = -
avec ( 0 ) e t lim ( ) 0
x x x t
= =
0t ? 8
L'hamiltonnien en valeur courante s'écrit :
Hc( t ) q ( t )
q [ ]
= ? ì - ö ? + ø
? ? - q avec ø = ø (
t )
á
= ? ì á - ö ? -
ø q
H c ( t ) q ( t )
q
? ?
La résolution de ce programme revient à
résoudre les deux équations représentant les conditions de
premier ordre :
|
i) et ii)
|
|
12 Un problème de contrôle optimal
dynamique dans lequel la contrainte du programme est sous la forme
intégrale et égale à une constante.
i)
ii
? H c
ø ø è ~~ =
x
?
?
H
) 0
c =
q
?
Avec limH 0 iii)
=
t?8
limH 0
= ne s'écrit plus uniquement de la sorte mais plus
généralement comme
?8
t
H=0 pour tout t? [0,8) (Chiang, 1992), avec H t q t
q q
= ? - ? -
? ?
ì ö ç
( ) ( ) e t
á è
-
et H représentant l'hamiltonnien en valeur
actualisée.
Les conditions i) et ii) constituent les conditions
nécessaires. La condition iii) est une condition suffisante.
i) ø/ = ø è (
20 )
(20) ø
=
è
ø
~~
( ) ( 0 ) t
ø = ø ; puisqu'il n'y a pas
d'effet de stock 0
? ? ?
t e è HC
? = ? , alors
? ? ?
x
la condition i) se ramène à la fameuse
règle d'Hotelling selon laquelle la rente de rareté
ø doit évoluer au rythme du taux d'actualisation
è.
ii) ( t ) q ( t ) 0 ( 2 1
)
- - =
á ì ö ø
á - 1
(21) ( t ) q ( t ) ( 2 2 )
= -
ø á ì ö
á - 1
En dérivant par rapport à temps t
l'équation (22), ce que nous notons : d t q t
( )
á ì ö
( ) ( )
á - 1 -
ø
~~
~~
dt
= + - -
ø á ì á á ì
ö
q t q q
á - 1 ( 1) ( ) ( 2 3 )
á 2
~~ ~~ - ~~
Avec :
· ø~~ représente le gain (ou la
perte) en gaz naturel dû à la conservation (ou l'extraction) d'une
unité additionnelle de la ressource ;
· ö~~ la croissance nette du
coût unitaire de production ;
· le gain en valeur d'une croissance consécutive de
la production
á á ì -
( 1) ( t ) q q
- ~~
á 2
de gaz naturel ;
En combinant les équations (20), (22) et (23), nous
obtenons :
á ì á á ì ö
è á ì ö
~ + - - ~ = -
q 1 ( t ) q q ( t ) q
( )
á - 1 ( ) ( )
á - 2 ~ 1 t
á -
|
(24)
|
|
En arrangeant (24) nous avons :
( ( t )) q 1 ( t ) q q (
t )
áì èáì á á
ì ö èö
~ - + - - ~ +
á - 1 á - 2
( ) ~ (24')
= 0
Ici la seule variable à déterminer est q.
á et è sont donnés, ì
(t), ì~ ,ö(t) et
ö~ sont connus.
Posons : â 0( t ) =
á (á - 1)ì(t),
â 1(t) = á(ì
-èì(t)) et ä(t)
=ö ~-èö(t)
á á
- -
(24') devient alors : â â ä
0 ( t ) q q 1 ( t ) q (
t ) 0
2 1
~ + - = (25)
En divisant (25) par 2
qá - , nous obtenons une
équation différentielle de Bernoulli :
â â ä -
0 ( t ) q 1 ( t ) q ( t
) q á 0
~ + - = (26)
2
(27)
~
En divisant (26) par 2
q -á , nous avons 0 2 1
1
q 1
â - á + â -
á - ä =
( ) ( ) ( ) 0
t t t
q q
On pose 1
1 á -
V ( t ) q
= =
q1 - á
~
' = - = -
V t q q
( ) ( 1) ( 1) 2 q
á á
á - 2 ~
-
q
á
.
(27) devient alors â0
(t)(á - 1)V'(t) +
â1 (t)V(t) -
ä(t) = 0 (28)
â ( t )( á - 1) V
' ( t ) = - â 1 ( t ) V
( t ) -ä ( ) (28')
t
0
L'équation homogène associée à (28')
est â 0 (t)(á -
1)V' (t) + â1
(t)V(t) = 0 (29)
t - â ë ë
1 ( ) d
?-
0 0 ( )( 1)
La solution homogène relative à (29) est :
Vh t e C
= ×
â ë á
( )
|
avec C une constante.
|
|
La recherche de la solution particulière relative
à (28') par la méthode de variation de
t - 1 ( )
0
constante nous conduit à : = ? ? ×
t d
â ë ë ä ô
( )
Vp t
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
á â ë á â ô
e ô d
- -
0 0
|
ô
|
|
La solution générale de (28') est : V
g (t) = Vh (t) + V
P (t) d'où
ô
t - â ë
1 ( ) ë â ë
- 1 ( )
= × + ? ? ×
? d t t d
( ) (0)
0 0 ( )( 1) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( )
0
V g t e V
â ë á ë ä ô
- e ô d
- -
á â ë á â ô
0 0
Nous savons que [ ]
V ( t ) q q V ( t )
= =
á - 1
|
1
á-1
|
avec V(0) = qá-1(0).
|
|
1
par conséquent, qg =
??Vg(t)??á-1.
t
? ?
- â ë
1 ( )
? d t t d
ë â ë
- 1 ( )
= ? × + ? ×
0 0
( 1) ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )
(0) ?
0
qg e q
- - - -
á â ë á á â ë
ë á ä ô â ô ô
e d
ô ?
0 0
? ?
? ?
|
1
á - 1
|
|
La solution optimale du programme est :
t - â ë
1 ( )
* = ? ? × + ? × ?
? d t t d
ë â ë
- 1 ( )
0 0
( 1) ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )
á â ë á á â ë
ë á ä ô â ô ô
(0) 0
q g e q
- - - -
? e d
ô ?
0 0
? ?
? ?
|
1
á-1
|
|
1
q(0) est déterminé à partir de la
contrainte du programme selon laquelle .
? 8 =
0 qdt x 0
Nous essayerons à présent de voir quel est l'effet
des variations du coût unitaire de production et de l'index des cours du
pétrole (toute chose étant égale par ailleurs) sur la
production optimale q *. On calculera alors les
dérivées suivantes :
? * ? *
q g q g
,
? ?
â ä
0
. On en
déduit les signes de ces dérivées, puis on
tire les conclusions qu'on résume dans le tableau suivant :
SIMULATIONS
|
INTERPRETATIONS
|
? *
qg
<
? â
0
|
0
|
L'usage d'un niveau élevé des cours du
pétrole s'accompagne d'une baisse de la production optimale.
L'exploitant n'a donc pas intérêt à produire une
quantité très élevée. Ce qui peut permettre un non
gaspillage de la ressource.
|
? *
qg
>
? â
0
|
0
|
L'usage d'un niveau élevé des cours du
pétrole s'accompagne d'une augmentation de la production optimale. Pour
dégager une rente assez importante, l'exploitant est contraint de
produire plus. Il peut s'ensuivre une surexploitation de la ressource.
|
? *
qg
<
?ä
|
0
|
L'augmentation du coût unitaire de production induit une
baisse de la production optimale. On produit moins et on gagne plus.
|
? *
q g
>
|
0
|
L'augmentation du coût unitaire de production engendre
une hausse de la production optimale. L'exploitant dans un souci de
dégager du profit sera contraint d'accroître la production
optimale. Ce qui peut conduire à un gaspillage de la ressource. Il
serait dans cette condition d'employer des technologies capables de
réduire les coûts unitaires de production.
|
?ä
|
|
LES INSUFFISANCES DE NOTRE ETUDE
Notre étude dont nous reconnaissons la
complexité du sujet, mais que nous avons abordée avec une grande
simplicité, témoigne de notre modeste apport quant à la
durée du gaz naturel en Côte d'Ivoire. Cependant, il est opportun
de révéler les insuffisances de cette étude. Il s'agit
essentiellement du fait :
· De limiter l'ensemble de l'exploitation des ressources
de gaz naturel à un seul consortium sachant qu'il existe au moins trois
à exploiter ces ressources, et de considérer ce consortium comme
un monopole sous le contrôle de l'Etat ivoirien ;
· Que notre étude ne permet pas de
déterminer de façon numérique une quantité optimale
qu'il faut pour une exploitation optimale durable mais plutôt permet une
détermination algébrique ;
· De ne pas estimer la fonction du prix du gaz naturel
en Côte d'Ivoire.
En dépit de ces insuffisances qui ne peuvent annihiler
l'ensemble de notre étude et surtout l'intérêt du sujet,
nous sommes amenés à faire des recommandations dans notre
conclusion.
| 
