Programmation linéaire outil effficace pour la plannification optimale de la production dans une entreprise industrielle .Cas de la Briqueterie Rwandaise Ruliba

0. INTRODUCTION GENERALE

0.1. Choix et intérêt de l'étude

Les dirigeants de l'entreprise « Briqueterie Rwandaise Ruliba » devraient savoir que dans les prochains jours, l'entreprise doit s'attendre naturellement à une concurrence bien qu'elle soit encore actuellement la seule entreprise qui produit industriellement les blocs de construction en terre cuite. La B.R.R est provisoirement maître de fixation des prix sur le marché local où s'écoule la totalité de sa production, car la part de la petite brique artisanale est négligeable.

La méthode actuelle de gestion est entièrement tournée vers le passé et tient pour acquit que les consommations et ventes futures seront à l'image des consommations et ventes du passé dont on calcule une moyenne. Si un stock devient inférieur à la moyenne des commandes, on décide de lancer une nouvelle fabrication en atelier. Cette méthode est dangereuse. Si on ne fait pas attention, la B.R.R peut continuer à renouveler et perpétuer un stock de produits dont on n'a plus besoin. En période d'activités déclinantes ou de basse conjoncture, cette pratique gonfle exagérément les besoins en capitaux. En période d'activités croissantes,

elle minimise exclusivement les stocks et néglige les encours de fabrication et coût de lancement en atelier dont les niveaux grimpent dangereusement.

La méthode appliquée actuellement dans la gestion ne permet pas d'atteindre un optimum global. La présente étude adopte une démarche fort différente et appréciable. Constatant qu'on dispose des statistiques des ventes de cinq dernières années, cette étude tente d'estimer le niveau de vente moyen de chaque type de produit fabriqué par l'entreprise.

Les quantités optimales trouvées permettront à l'entrepreneur de faire des prévisions avec une petite marge d'erreur des charges directes liées à la production : matières premières, combustibles, coût du personnel affecté à la production. Une réduction des charges directes relatives à la production permettrait de financer d'autres frais comme les frais d'études de certains cadres du personnel. La mise en application de notre étude pourra contribuer à l'accroissement de la rentabilité, laquelle permettra une réalisation des investissements d'extension. Ces derniers auront un impact socio-économique sur la création d'emploi et l'accroissement du revenu dans les milieux environnant l'usine.

0.2. Objectifs de l'étude

L'objet de notre étude est de construire un modèle linéaire d'un programme de production en recherche opérationnelle permettant de maximiser le profit sur la production optimale pour chaque type de produit fabriqué par la Briqueterie Rwandaise de Ruliba.

Le modèle guidera les décisions du responsable de la planification en

fournissant les niveaux de production optimaux pour pouvoir maximiser le profit. L'analyse post-optimale permettra aux dirigeants de détecter les paramètres dont une faible oscillation suffit à chambarder la solution optimale.

0.3. Délimitation du sujet

Au niveau spatial, nous travaillons sur l'entreprise B.R.R, quant au niveau temporel, notre étude concerne la planification de la production au cours de l'année 2003.

O.4. Problématique de la recherche

« L'économie d'un pays comporte, à un moment donné, de facteurs déterminés de production susceptibles d'être affectés à un certain nombre d'activités »^1(*). Cette répartition est généralement susceptible de provoquer de nombreuses interprétations, aboutissant à des résultats variés. Le problème qui se pose le plus souvent en analyse économique consiste à déterminer les caractères de «la meilleure» répartition possible des ressources.

Nous venons de tracer les grandes lignes d'un problème élémentaire de l'économie ou de la théorie de la production. C'est aussi un problème de l'économie linéaire, et nous employons ici cette expression afin d'attirer l'attention sur le fait que les données fondamentales du problème revêtent la forme des fonctions mathématiques. Dans le cas présent, nous précisons que la quantité totale d'un facteur quelconque affectée à toutes les fonctions, ne doit pas être supérieure à la quantité totale disponible ; du point de vue mathématique, chaque restriction n'est qu'une simple somme.

On peut penser, d'après cet exemple, que de nombreux problèmes familiers aux économistes, appartiennent au domaine de l'économie linéaire.

Comme Monsieur Jourdain^2(*), le dit « les économistes ont fait de l'économie linéaire depuis longtemps ».

Pourtant les économistes, pressentant le précieux outil qu'ils allaient découvrir, développèrent leurs recherches dans cette direction.

Depuis 1947, G.B Dantzig^3(*), inventa la première technique générale (le simplexe), il n'y a pas de secteurs de l'industrie qui n'utilise la programmation linéaire.

Résolution des programmes linéaires, appelée algorithme du simplexe. Actuellement, dans plusieurs secteurs de l'industrie, cette technique est couramment utilisée.

Au cours de notre recherche nous présentons une approche aux problèmes de production de l'entreprise, car dans la plupart des cas on fait de la programmation linéaire un outil d'analyse économique en négligeant son apport aux problèmes spécifiques du chef de l'entreprise. La programmation linéaire devient un outil efficace lorsqu'un gestionnaire doit formuler un problème complexe d'entreprise.

Il est à noter que la programmation linéaire ne peut se substituer au chef d'entreprise, toutefois, elle contribue beaucoup à la prise de décision rationnelle.

« Pour que la démarche du chercheur opérationnel soit consistante, il faut que ce dernier ait une connaissance statistique des phénomènes qui interviennent dans son problème »^4(*). L'attitude la plus simple consiste à imaginer que l'avenir ressemblera au passé, donc qu'il suivra la même loi statistique, sans aucune modification de paramètres. « Mais, parfois cette supposition est trop simple : l'avenir représentera une amplification du passé

(de taux plus grand au plus petit) ; dans cette éventualité, il est nécessaire de tenir compte de cette modification : le calcul d'une tendance en constitue un exemple : la prévision d'une demande de la clientèle par un lissage exponentiel en est un autre »^5(*).

D'une manière générale, les problèmes qui contiennent des variables aléatoires, dans l'économie d'une entreprise ou l'économie en général, font apparaître deux ou plusieurs phénomènes antagonistes, entre lesquels il s'agit d'établir la meilleure situation d'équilibre, le meilleur compromis.

Le présent mémoire, a pour but de montrer qu'une entreprise de production

peut trouver un niveau optimal de l'activité de production malgré les multiples contraintes. La production est un processus long qui exige beaucoup de moyens tant humains que financiers. En fait, depuis quelques années, la maîtrise de la fonction « Production » devient le facteur essentiel de la rentabilité pour une entreprise de production.

La réalisation de richesse passe par une bonne organisation et une bonne gestion de la production.

La production nécessite des ressources en matières premières, en main d'oeuvres, en machines,.. dont les quantités que peut disposer l'entreprise sont limitées. Plongée dans un environnement sans cesse complexe, concurrentiel, mouvant, une entreprise de production doit tout mettre en oeuvre pour survivre et progresser.

Les dirigeants savent que les décisions de bon sens ne suffisent plus : « les jours des dirigeants intuitifs sont comptés » dit Peter Drucker^6(*).

Mais les décisions rationnelles ne sont pas évidentes : les politiques possibles sont multiples et les conséquences des décisions sont difficiles à estimer.

Pour aider les responsables dans leurs tâches, des techniques scientifiques d'aide à la prise de décision, se développent un peu partout.

La programmation linéaire fait partie des techniques quantitatives d'aide à la décision : c'est un ensemble d'outils mathématiques et informatiques facilitant la formulation et la résolution d'un grand nombre des problèmes de gestion de la production, de transport, d'affectation, etc.

La recherche d'un « Optimum » doit guider la conduite de l'action. L'optimisation représente une véritable révolution dans la recherche moderne sur les processus de décision.

A ce niveau, nous nous posons les questions suivantes :

- la programmation linéaire permet-elle d'analyser les problèmes qui se posent dans les affaires ? Peut-elle résoudre les problèmes d'ordre pratique ?

Pour une entreprise industrielle, le but principal est la réalisation du profit. La réalisation de ce profit doit découler d'une meilleure planification. Ici, il y a lieu de se demander :

Quels produits l'entreprise doit-elle fabriquer, en quelle quantité pour réaliser le profit total le plus élevé ?

Quel est le programme de production qui maximise le profit ?

Quelles sont les variations maximales à opérer sur les paramètres de la fonction objectif (fonction économique) et les ressources disponibles sans modifier le niveau optimal d'activité ?

Toutes ces questions nous préoccupent dans ce mémoire. En général, le problème à résoudre est, en effet, de mettre en place un plan de production qui maximise le profit. Une erreur dans le choix des quantités de matières premières ou des produits finis, de la main d'oeuvre, de l'estimation des variables de décisions, du procédé de fabrication, peut entraîner des conséquences néfastes pour la vie de l'entreprise^7(*).

Dans ce travail, nous cherchons à présenter la programmation linéaire comme un outil pratique dans la planification optimale de la production dans une entreprise industrielle. Le cas pratique traité est celui de la Briqueterie Rwandaise Ruliba, une entreprise qui fabrique des blocs de construction. Le présent travail cherche à rendre service à ceux qui ont à résoudre les problèmes économiques de l'entreprise.

0.5. Hypothèses de recherche.

En pratique, les objectifs que se fixent les entreprises ou les individus sont exprimés sous forme d'optima. Si l'on admet, par exemple que le profit constitue le but pour une entreprise, il est clair que cette entreprise cherchera à maximiser ce profit. Dans la pratique des affaires, les objectifs sont fixés de façon précise ; la direction ne fait que donner son estimation du niveau optimal accessible par chacun des objectifs fixés. Il s'agit bien d'une optimisation.

« Si les hommes d'affaires sont conduits à considérer que le profit constitue un critère de succès, c'est en fait parce qu'ils ne peuvent survivre qu'en évitant les pertes »^8(*). « Or, il est clair que si les pertes sont nuisibles, le profit ne peut être qu'utile et que la situation optimale semble donc être celle où le profit est maximal »^9(*).

Le monde des affaires est actuellement très imprégné par la recherche du profit. Les documents financiers attirent avant tout l'attention sur l'importance des bénéfices réalisés. Les directions des entreprises consacrent une partie importante de leur activité à l'étude de l'effet qu'auront leurs décisions sur la rentabilité des affaires. Le système fiscal lui-même n'échappe pas à la règle, puisque les entreprises ne paient d'impôt que dans la mesure où elles font des bénéfices.

Comme toute entreprise industrielle, la Briqueterie Rwandaise de Ruliba sur laquelle nous avons mené cette étude de cas pratique, son but principal est la réalisation du profit. Pour que cela puisse se concrétiser, elle doit mettre en place un modèle d'optimisation de la production sous contraintes.

Au vu de ce raisonnement et eu égard aux interrogations précédemment susmentionnées, les hypothèses à vérifier sont les suivantes :

- pour la Briqueterie Rwandaise de Ruliba, la production est une base essentielle de son développement et mérite une planification optimale ;

- la programmation linéaire, par son aspect mathématique, est un outil efficace dans l'élaboration des plans de production optimale;

- l`analyse post-optimale de la solution obtenue, permet aux dirigeants de détecter et de contrôler les paramètres dont une faible oscillation suffit à chambarder la solution optimale.

0.6. Méthode et Techniques

0.6.1 Méthodes

Selon GRAWITZ Madelein : « La méthode est constituée de l'ensemble

des opérations intellectuelles par lesquelles une discipline cherche à atteindre les vérités qu'elle poursuit, les démontre et les vérifie »^10(*).

Dans le présent travail, nous utilisons les méthodes analytique, statistique et synthétique.

a. Méthode statistique

La méthode statistique aide à pouvoir quantifier et chiffrer des résultats de la recherche. Elle permet de présenter les résultats sous forme des graphiques, des tableaux et des schémas (Cfr chap. 4). Pour pouvoir construire le modèle de programmation linéaire, nous sommes partis des données statistiques de la B.R.R. (Cfr. 4.3.7.)

b. Méthode synthétique

Avant d'exploiter les données statistiques, nous avons d'abord donné une formulation synthétique du modèle (voir, 4.3.1.).

c. Méthode analytique

La présentation synthétique du modèle s'exprime à travers la définition des variables de décision, coefficients de la fonction économique et technologique.

d. Méthodologie d'analyse

Pour aboutir aux résultats, nous avons trois principales étapes reliées et

Interdépendantes :

- la première étape est la modélisation qui consiste à l'identification du problème, la collecte des informations et des données, le choix et la construction du modèle qui consiste à représenter le système abstrait à partir d'une fonction mathématique et de contraintes (sous forme d'équations ou inéquations) toutes linéaires. Les données ont été recueillies dans l'entreprise B.R.R ;

- la deuxième étape est la résolution du programme linéaire représentant le modèle par quelques méthodes de programmation linéaire ou technique d'optimisation suivie de la présentation des résultats optimaux ;

- la troisième étape concerne l'analyse post optimale.

Pour nous faciliter la tâche dans cette démarche, nous avons exploité le logiciel STORM.

0.6.2. Techniques de recherche.

Pour atteindre nos objectifs à savoir ; montrer que la programmation

linéaire est un outil efficace dans l'élaboration des plans de production de la B.R.R., qui permet aux dirigeants de détecter les paramètres dont une faible oscillation suffit à chambarder la solution optimale, les techniques documentaires et d'interview s'imposent. Les documents disponibles au sein de l'entreprise ont été fouillés, les ouvrages d' auteurs qui ont étudié les problèmes de programmation linéaire ont été également consultés. L'interview a consisté à des entretiens au cours desquels nous avons interrogé des responsables de production à la B.R.R qui nous ont fourni les informations relatives à notre sujet de recherche.

0.7. Subdivision du travail

Le premier chapitre est consacré à la revue de la littérature sur la recherche opérationnelle. Le second chapitre présente l'activité de production dans une entreprise industrielle. Le troisième chapitre suivant expose la programmation linéaire sous son aspect mathématique. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude d'un cas concret : montrer comment l'application de la programmation linéaire peut être un outil efficace de la planification optimale de la production dans la Briqueterie Rwandaise Ruliba. Ce dernier chapitre donne l'interprétation des résultats et montre l'analyse de la sensibilité des paramètres du modèle retenu.

CHAPITRE 1. CADRE THEORIQUE

1.0. Introduction

Le problème des fluctuations économiques nous préoccupe dans notre vie quotidienne. Il n'est donc pas surprenant que les dirigeants de certaines entreprises se demandent comment ils peuvent aider le pays à les maîtriser. Après tout, il est dans l'intérêt de chaque entreprise que l'économie nationale reste prospère. « Les dirigeants des industries doivent avoir conscience que les politiques qu'ils adoptent, peuvent influer largement sur la prospérité économique du pays »^11(*). « Du point de vue de la politique générale  comme du point de vue économique, on peut considérer que le fonctionnement de l'économie résulte en grande partie des décisions innombrables qui sont prises de façon consciente, mais sans une connaissance totale des éléments en cause ni des conséquences possibles »^12(*). « La R.O, en permettant de rendre ces décisions plus précises, peut donc améliorer le fonctionnement de l'économie »^13(*).

L'exposé de ce chapitre est développé en six sections :

- au cours de la première, nous tentons de donner la définition de la recherche opérationnelle ;

- la deuxième section est consacrée à la méthode scientifique de la gestion et les facteurs qualitatifs sont envisagés dans une troisième section ;

- la quatrième section expose le domaine de la R.O ;

- les cinquième et sixième sections traitent respectivement l'impact et les limites de l'influence de la R.O sur l'économie.

Le concept de la recherche opérationnelle

Selon le comte de HALSBURY ^14(*), « la R.O  s'occupe de l'optimisation du fonctionnement d'un système ». Ceci nécessite  l'emploi de méthodes, de techniques et d'outils scientifiques  et implique, selon Charles HITCH ^15(*), « l'application systématique de l'analyse quantitative ». Une des caractéristiques de la R.O est l'emploi fréquent de techniques mathématiques et en particulier de la programmation linéaire. On dit souvent que la R.O se rapporte à l'organisation prise dans son ensemble. Selon BOULDING^16(*), la R.O désigne l'emploi d'une méthode scientifique, d'une analyse quantitative et de modèles mathématiques ayant pour but de fournir aux dirigeants d'une organisation les meilleures réponses possibles aux problèmes relevant de leurs décisions.

1.2. La méthode scientifique et la recherche opérationnelle

La figure N°1 représente de façon schématique, le déroulement des tâches à mener pour résoudre un problème de gestion grâce aux techniques de la R.O.

Figure n°1: Schéma de la méthode scientifique de la recherche

opérationnelle.

1. Détection

d'un

problème

2.Formulation

du problème

7. Prise de

décision et

implantation

de la solution

6. Validation

du modèle

5. Résolution

du modèle

3. Elaboration

d'un modèle

4. Collecte des

données

Source : NORBERT, Y. : La recherche opérationnelle, Gaëtan Morin 1995, P. 14^17(*).

1.2.1. La détection d'un problème

Les nécessités d'action viennent des expériences vécues : C'est la phase préscientifique.

La formulation du problème

Quel est le vrai problème à résoudre ?

Quels critères permettent de juger si le problème est résolu de façon satisfaisante ?

1.2.3. Elaboration d'un modèle

Il s'agit de représenter les principaux aspects de la réalité par un ensemble de formules mathématiques le plus souvent, qui mettent en jeu les variables de décision concernées et leurs interactions. On lance les hypothèses, on élabore une théorie et on écrit un modèle. C'est la phase de conceptualisation, de construction théorique ; en un mot, c'est la phase de modélisation.

On formule d'une façon mathématique le vrai problème à résoudre.

Collecte des données

Il faut préciser les paramètres du modèle en s'appuyant sur l'information recueillie dans l'environnement du problème à résoudre. L'élaboration du modèle s'éclaire à la lanterne des données.

Le processus peut requérir plusieurs allers retours entre les étapes 4 et 5.

La résolution du modèle

C'est la phase où l'on souhaite recourir aux méthodes appropriées déjà disponibles si on a réussi à classer le problème parmi ceux pour lesquels on connaît déjà une méthode d'approche.

Validation du modèle

On confronte les conclusions obtenues du modèle aux opinions des personnes qui ont suffisamment d'expérience du problème traité pour apprécier ou critiquer la pertinence de la résolution proposée. Si les avis sont négatifs, on peut alors remettre en cause soit l'écriture du modèle retenu, soit la valeur de ses paramètres, soit les critères d'appréciation de la solution. On peut aller jusqu'à remettre en cause l'approche choisie pour résoudre le problème et partant, le modèle retenu.

La prise de décision et l'implantation de la solution

Comment implanter la solution retenue ? Doit-on s'arrêter là ?

Il y a ici un retour possible vers le modèle initial pour le modifier ou l'enrichir des observations faites lors de la phase expérimentale. Une fois les révisions nécessaires apportées, le modèle enrichi permettra de tirer des conclusions mieux étayées.

1.3. La rentabilité de la R.O dans l'entreprise et les facteurs qualitatifs

1.3.1. Rentabilité

Pour certains économistes, l'intervention de la R.0 dans une entreprise serait de nature à autoriser la réalisation des profits extrêmement substantiels. Pour d'autres au contraire, son prix de revient élevé ne serait même pas couvert par le bénéfice qu'on pourrait en tirer. La vérité nous semble se situer entre les deux affirmations. Dans beaucoup de cas, la recherche opérationnelle permet effectivement des gains appréciables. Mais ces gains n'équivalent que quelques pourcentages, de sorte que des frais entraînés en faisant appel aux  aux experts en R.0 ne sont pas absolument négligeables devant le profit réalisé. Mais en général, les travaux de la recherche opérationnelle finissent par procurer des gains importants.

1.3.2. Les facteurs qualitatifs de la Recherche Opérationnelle

Appliquer la méthode scientifique en R.O nécessite habituellement la cueillette de données pertinentes aux problèmes à résoudre. De nos jours, ces données proviennent souvent des banques de données relationnelles compilées par les systèmes d'information. Il faut ensuite traiter ces données en utilisant les techniques de la statistique descriptive pour en extraire l'information intéressante.

Cette phase du traitement exclut les émotions, et on doit veiller à ne pas extirper de l'analyse les facteurs dits qualitatifs, comme le climat financier, les législations gouvernementales, les avances constatées ou prévues de la technologie, les résultats d'une élection ou d'un référendum, toute chose dont les répercussions sont difficiles à quantifier mais dont la présence permet de calibrer les résultats obtenus lors de la résolution des modèles.

D'ailleurs, c'est l'importance relative de ces deux types de facteurs, les quantitatifs et les qualitatifs, qui détermine le poids du rôle de la R.O dans la résolution d'un problème de gestion. Si les facteurs qualitatifs sont peu importants ou si la solution du modèle reste stable quel que soit le cas de figure des facteurs qualitatifs, alors on peut quasiment automatiser la prise de décision optimale.

1.3.3. Quelques questions auxquelles la R.O permet de répondre au sein de

l'entreprise.

L'un des rôles de la R.O est de trouver l'équilibre optimal entre les facteurs qui, souvent, se font opposition au sein des entreprises. Ainsi, le nombre d'ouvriers, les coûts reliés à leur travail, les quantités d' heures - machines disponibles sont des facteurs qui restreignent la production, tandis que les profies découlant de la production, les commandes à satisfaire poussent en sens inverse.

Va-t-on passer en régime d'heures supplémentaires, acheter des machines ou se contenter de les louer ? Doit - on accroître la part de marché d'un des produits par un effort de marketing ? Est - il rentable d'investir dans un projet des capitaux empruntés au taux actuel du marché ?

Comme ces questions le suggèrent, l'entreprise est une arène où s'affrontent des points de vue conflictuels.

Pour une bonne part, l'utilité de la R.O dans l'entreprise provient du fait qu'elle force les décideurs à considérer leurs problèmes d'une façon rationnelle et cohérente. Il leur faut définir précisément chaque problème non seulement pour repérer clairement l'objectif poursuivi et les variables de décision qui influent sur l'attente de cet objectif, mais aussi pour analyser toutes les interactions entre ces variables.

Ce processus encourage la communication dans l'organisation et un meilleur monitorage du système étudié avant même de conduire à la construction d'un modèle du système à optimiser. Les solutions optimales des modèles s'obtiennent de nos jours grâce aux ordinateurs. Les questions du type « qu'est - ce qui se passe si......... ? » qui constituent l'analyse post optimale des solutions obtenues, suggèrent des réponses souvent adéquates et stimulantes.

1.4. Le domaine d'application de la R.O

Le domaine d'application de la R.O peut être mesuré d'après plusieurs critères, tels que la nature des industries et des organisations auxquelles on l'a appliquée, les types d'activités auxquelles elle s'intéresse, les diverses méthodes et techniques qu'elle utilise et divers systèmes étudiés. Dans la suite, nous allons reprendre brièvement et dans l'ordre, ces quatre critères.

Dans certains pays développés, comme le Canada et les USA, les techniques de la R.O ont été appliquées dans beaucoup d'industries. Citons à titre d'exemple l'agriculture, l'industrie chimique, l'aviation commerciale, les problèmes de communication, les calculateurs électroniques, les produits alimentaires, l'industrie du meuble, du cuir, du bois de construction, les mines, le pétrole, l'impression et l'édition, les machines. On pourrait y ajouter les services gouvernementaux au niveau de l'Etat, ou au niveau local, ainsi que des organisations sans but lucratif, telles que les bibliothèques. Il ne faut pas enfin oublier les recherches considérables faites par de nombreuses organisations pour les services gouvernementaux, en particulier à des fins militaires.

Selon R.L ACKOFF cité par K.E BOULDING, les activités et processus étudiés par la R.O se répartissent selon les catégories suivantes dont les quatre premières sont particulièrement importantes du point de vue de l'économiste^18(*).

Problème d'affectation.

Ces problèmes se posent quand on peut combiner de façon différentes un ensemble donné de ressources pour aboutir à un résultat désiré, soit quand il n'y a pas suffisamment de ressources disponibles pour utiliser efficacement tous les processus nécessaires.

Problème de stockage.

Ils sont résumés dans ces simples questions. Que faut-il commander ? Quand et comment doit-on passer les commandes ?

Problèmes de remplacement et de renouvellement.

Ce problème se pose quand un bien d'équipement est susceptible de s'user pendant son fonctionnement ou devenir démodé à la suite d'un progrès technique. Ce problème se pose également quand un objet employé dans un processus de production est susceptible de tomber en panne.

Problèmes de concurrence et de conflits d'intérêts.

Ces problèmes se posent quand les buts que poursuivent plusieurs partenaires sont tels que le succès de l'un d'eux empêche le succès des autres.

Problèmes de collection d'information ou de recherche.

Il s'agit, dans ces problèmes, de minimiser la somme de deux coûts de natures différentes : Celui qui correspond aux erreurs de décision et celui correspondant à la collection et à l'analyse des données. Ce problème se pose dans bien des cas : la mise en place de système de défense aérienne, la construction d'indice statistique, la procédure d'échantillonnage, etc....

Problèmes de files d'attente.

Ces problèmes se posent dans des communications téléphoniques ou télégraphiques, dans les pannes et entretiens des machines, dans les chaînes de montage et dans la circulation des véhicules ou des personnes.

Problèmes d'acheminement.

Ils se posent quand un transport doit être effectué d'un point A à un point B, de la façon la plus efficace et sous la condition que certains points intermédiaires soient desservis. Le cas mathématique le plus connu est celui du `' Voyageur de commerce'' qui consiste à déterminer le plus court chemin (P.P.C).

Un autre cas est l'organisation séquentielle de la production, telle qu'elle se pose dans une chaîne de montage. Les problèmes d'acheminement se présentent souvent comme des cas particuliers des problèmes d'affectation ou de files d'attente ou comme une combinaison de ces problèmes.

1.5. Utilité de la R.O en économie

La R.O peut apprendre à l'économiste à mieux adapter ses modèles à la complexité de la réalité. Par ailleurs, l'emploi croissant de méthodes scientifiques en Gestion permettra peut - être de rapprocher le comportement des entreprises d'un standard optimal défini soit en termes strictement économiques, soit d'une façon beaucoup plus large.

Du point de vue de l'économie nationale, la R.O peut être considérée comme un facteur permettant de provoquer dans la gestion pratique des affaires des changements favorables au bon fonctionnement de toute l'économie.

Sur le plan de vie économique, l'entreprise est un sous système, et c'est l'économie nationale (ou même l'économie mondiale) qui constitue le système. « D'autres sous - systèmes économiques sont constitués par les secteurs industriels »^19(*). « On peut remarquer comment les économistes modernes ont entrepris l'étude des systèmes les plus simples au moyen de l'analyse « Input - output » permettant de résoudre les problèmes d'affectation entre les différents secteurs industriels »^20(*). C'est ainsi également que la programmation linéaire permet à l'économiste d'entreprise de suggérer les affectations optimales pour les sous-systèmes correspondant par exemple au processus de stockage ou de remplacement. La taille et la complexité d'un système sont extrêmement variables : la cellule et l'univers sont tous deux des systèmes.

Les techniques de la R.O peuvent être appliquées à tout système manipulable et relevant de l'analyse quantitative. « Si l'on convient de dire que la science économique est l'étude du fonctionnement d'un système, il est clair que l'économie appliquée, telle que la définissent les économistes politiques, n'a jamais été autre chose qu'une variété de R.O »^21(*). Il est bon de rappeler que rien ne force à considérer que l'application de la R.O doit être limitée au seul cadre de l'entreprise.

Les modèles de gestion des stocks sont fréquemment étudiés par la R.O. Quand on se borne à considérer une entreprise, ces modèles sont normalement des modèles de sub-optimisation. L'élément du produit national brut correspondant aux stocks pourrait subir des modifications importantes si la considération de modèles scientifiques devait conduire à une modification générale des principes de gestion^22(*).

Dans sa  théorie de la gestion des stocks , T.W WHITON^23(*) examine d'une façon approfondie, cette question des stocks et des fluctuations économiques. De la même façon, l'utilisation de modèles de remplacement peut modifier l'élément « Investissement » du produit national brut. Là encore, la stabilité économique serait en cause, puisqu'il s'agirait d'un autre indice économique également important.

L'utilisation de certains modèles de R.O peut aider l'entreprise à contribuer à la stabilité économique. « Elle peut aussi comme dans certains modèles de régularisation de la production, permettre à l'entreprise de se débarrasser des instabilités évitables »^24(*). On peut évidemment nous accuser de faire preuve ici de trop d'imagination, mais il est séduisant de penser qu'un emploi généralisé de ces modèles pourrait constituer un élément essentiel d'une politique délibérément anticyclique. Dans les pages qui suivent, nous voyons les limites pouvant empêcher les entreprises gérées de la façon la plus scientifique, de pouvoir contribuer autant qu'on le voudrait à la stabilisation de l'économie.

1.6. Limite de l'influence de la R.O sur l'économie

La R.O n'a pas une structure lui permettant d'intervenir comme stabilisateur de l'économie. Une des raisons est l'incertitude des phénomènes économiques. La R.O est une méthode permettant aux dirigeants de contrôler certaines variables. Mais toutes les variables qu'il faut considérer au niveau économique ne sont pas susceptibles d'être contrôlées.

CHAPITRE 2. FONCTION DE PRODUCTION

2.O. Introduction

Dans le monde moderne, l'entreprise est devenue la base essentielle du développement économique et social. En effet, c'est au niveau de l'entreprise que sont réalisées les actions de production des biens et services dont l'homme a besoin pour vivre.

Pour Luc Boyer «l'oeuvre de production est une activité, un processus qui rend les biens utiles c'est-à-dire susceptibles de satisfaire les besoins humains. L'agriculture, l'industrie, les services contribuent à accroître l'utilité des biens : ces activités revêtent un caractère productif, puisque par la transformation des matières premières et l'utilisation de travail et de capital , elles mettent les biens utilisables à la disposition des consommateurs ; elles ont aussi un caractère rentable dans la mesure où l'entreprise tire avantage de la création d'utilité »^25(*).

Pour une entreprise de production, la fonction de production requiert une attention particulière car c'est elle qui doit livrer un produit qui répond aux attentes de la clientèle. La gestion de cette fonction est une tâche difficile et complexe.

« Gérer la production serait prévoir, organiser, diriger et contrôler le processus d'informations et d'actions requises pour obtenir le produit voulu au moment et à l'endroit précis où il est nécessaire »^26(*).

Ainsi donc, on se rend compte qu'il existe toute une série d'actions qu'il faut mener de manière agencée ceci pour éviter que des difficultés ne puissent apparaître dans la coordination de ces différentes actions.

La gestion de production doit être à mesure de fournir le produit qui répond aux desiderata des clients tant en qualité qu'en quantité.

2.1. Production, base essentielle du développement de l'entreprise

2.1.1. Définition

La production est la source principale de biens et services que les hommes utilisent. « En effet, mis à part quelques biens qui proviennent d'un don  de la nature et qui peuvent être parfois offerts aux humains sans qu'ils aient à faire des efforts (cas de l'air qu'ils respirent ou de paysage qu'ils admirent...)

la quasi-totalité des biens et services correspondent à une activité de production »^27(*). 

La notion de production peut se comprendre en deux sens :

- la production peut désigner le processus général par lequel, à partir de la combinaison du travail, capital et de maintes ressources diverses sont élaborés des biens et services. Cela correspond à l'activité habituelle de produire.

- la production peut aussi désigner l'ensemble même des biens et services auxquels l'activité des hommes aboutit. Elle correspond donc cette fois au résultat de cette activité et peut être mesurée par la valeur de ces biens et services.

La fonction de production, que l'on pourrait également désigner sous le nom de gestion des opérations, concerne l'agencement et la conduite des flux physiques entre poste de transformation d'inputs en outputs de façon  à atteindre des objectifs mesurables exprimés en terme de quantité, qualité, délais et coûts.

Cette définition englobe la fabrication proprement dite des produits et les activités associées d'approvisionnement en matières premières et composantes, de gestion des stocks, de contrôle de la qualité des produits d'entretien et de gestion administrative.

2.1.2. Facteurs élémentaires de production

2.1.2.1. Le travail

Le facteur travail peut se diviser en deux éléments fondamentalement différents, l'un relatif aux tâches matérielles, l'autre aux tâches d'administration.

Par tâches matérielles, il faut entendre toutes les activités en rapport direct avec l'élaboration du produit, son utilisation et le financement, sans avoir un but d'organisation ou de coordination. Par tâche administrative, par contre, il faut entendre les tâches en rapport avec les différents aspects de la direction.

2. 1.2.2. Les moyens d'exploitation

Par moyens d'exploitation, il faut entendre tous les équipements et installations qui forment les données techniques sur lesquelles repose l'obtention de produit et en particulier de la production.

Aux moyens d'exploitation, appartient tout ce dont a besoin l'entreprise pour assurer son activité. Dans cette catégorie, il faut aussi ajouter les matières consommables dont le rôle est de permettre à l'exploitation de fonctionner. Les moyens d'exploitation sont donc des biens de production déjà produits dans la mesure où l'on n'y fait pas rentrer les matières premières.

2.1.2.3. Les matières premières

Par facteur élémentaire «matières premières » on entend ici toutes les matières, produits semi-finis ou finis, en tant que produits de base ; les matières premières sont destinés à participer à la production. Après avoir subi des modifications de forme ou de nature ou après leur introduction dans le produit fini elles font partie intégrante du nouveau produit.

Les matières premières peuvent aussi être des produits finis ou semi-finis. En tant que tels, ils sont élaborés par l'entreprise elle-même ou ils proviennent d'autres entreprises mais ils doivent toujours faire partie intégrante des nouveaux produits. Les chutes, rebuts et déchets de fabrication sont aussi des matières premières s'ils sont destinés à être intégrés dans les nouveaux produits, et cela qu'ils soient originaires de l'entreprise même ou d'une autre.

2.1.2.4. La Direction de l'entreprise

« L'élaboration du produit dans les entreprises de production, repose sur la combinaison des facteurs élémentaires de celle -ci, il reste donc à chercher comment ces facteurs élémentaires peuvent être combinés en une unité de production »^28(*). « Cette combinaison ne s'opère pas de toute évidence de façon mécanique ou organique, elle exige bien davantage une intervention consciente méthodique de l'homme »^29(*). Le succès de cette combinaison dépend au moins autant du rendement de ces facteurs que de l'obtention de ces facteurs eux-mêmes. Ces facteurs que nous désignons par «direction de l'entreprise » ont un rôle qui consiste à réunir les trois facteurs élémentaires en une combinaison productive.

Le rendement des facteurs de production dépend d'une part de leur nature et d'autre part de leur combinaison. Il s'agit donc d'étudier les facteurs élémentaires et le facteur administration en recherchant comment ils jouent un rôle productif dans le cadre d'une combinaison de facteurs.

2. 1.3. Optimisation des facteurs élémentaires de production

2.1.3.1. Optimisation du travail

Le rendement optimal du travail dépend de plusieurs conditions. Parmi celles-ci citons les conditions d'aptitude de l'individu c'est -à - dire le maximum de ce que cet individu est à mesure de donner.

Le travail qu'un individu est à mesure d'accomplir dépend d'un très grand nombre de facteurs :

- facteurs inhérents à la personne de l'individu en tant que sujet du travail et l'objet de son travail ;

- du rapport entre l'individu et ses collègues ;

- d'éléments externes à l'entreprise et relatif à la vie privée de l'individu.

Le rendement du travail peut aussi être conditionné par l'aptitude et organisation du travail. En ce qui concerne les mesures l'organisation du travail dans l'entreprise, la règle suivante est en général valable : les individus ne doivent se voir attribuer que les tâches qui correspondent à leur niveau d'aptitude.

De cette règle, on peut dire que du point de vue de l'organisation du travail tout se déroule de façon à satisfaire le mieux aux conditions du travail dans l'entreprise.

Quant aux conditions du travail dans l'entreprise surtout de production, on ne peut sans doute ignorer l'influence des facteurs exogènes sur le rendement et la durée du travail. La fatigue c'est - à - dire la diminution de l'effort, est la conséquence des facteurs propres ou étrangers aux travaux auxquels est soumis un individu. La fatigue dans le travail industriel est causée surtout par la dépense d'énergie due au travail statique, à l'attention et à la concentration. Les pauses doivent en effet être disposées de manière à éliminer la fatigue.

Si l'on prend en considération le rapport entre le rendement et la durée de travail, la relation entre les deux grandeurs peut être un rapport de proportion.

Dans ce cas, le résultat du travail, mesuré de manière à peu près exacte par les unités produites, serait croissant ou décroissant dans le même rapport dans lequel varie la durée du travail.

Dans les intervalles de temps considérés, une diminution du temps de travail entraîne une chute de la production correspondant à la diminution du temps de production. Si le temps de production, le temps de marche des machines, reste constant, il faut compenser la réduction du temps de travail par un nombre correspondant d'installations nouvelles ou, pour d'autres raisons, d'ouvriers si le volume de la production doit rester inchangé.

Si par contre, il existe entre la durée de travail et le rendement un rapport tel que le résultat du travail peut être influencé par l'ouvrier, ce résultat peut varier dans le cas d'une augmentation ou diminution de la durée de travail en des rapports moins que proportionnels ou plus que proportionnels à la variation de la durée du travail.

A la possibilité pour l'individu d'influencer son rendement dépend la réussite de modification du résultat moyen du travail^30(*). Ceci est largement influencé par l'existence ou absence des conditions physiques et psychologiques incitant à augmenter le rendement.

L'idée qu'une diminution de la durée de travail doit nécessairement conduire à une augmentation du rendement par unité de temps n'est pas toujours valable. Toutefois, pour compenser une chute attendue de la production en faisant recours à une rationalisation, la diminution de la durée de travail s'accompagne par des résultats positifs.

2.1.3.2. Optimisation des moyens d'exploitation

Au problème des conditions du rendement optimal du travail de l'individu dans l'entreprise vient s'adjoindre le problème des conditions du rendement optimal des moyens d'exploitation. Le produit que les moyens d'exploitation sont en mesure de fournir pour des tâches d'ordre technique et économique dépend de plusieurs facteurs. Trois d'entre eux déterminent, d'une façon tout à fait général et sans considération des conditions particulières à une entreprise, la capacité de rendement des installations techniques.

Il s'agit de :

- leur caractère moderne,

- leur vitesse d'usure,

- l'état de la capacité d'utilisation

L'évolution de la technique menace tout matériel d'exploitation. Si l'entreprise n'est pas à mesure de suivre pas à pas l'évolution, elle risque de se voir dépassée et de porter atteinte à sa compétitivité. Pour une entreprise ayant un équipement moderne c'est-à-dire représentatif de l'état actuel des progrès techniques, les conditions de production seront en principe particulièrement favorables.

A part le caractère moderne des moyens d'exploitation, il faut distinguer celui de l'usure de ces moyens, certains pouvant être peu usés et d'autres plus usés. Le degré d'usure des moyens d'exploitation n'a rien à voir avec celui de leur caractère moderne. Des installations tout à fait récentes peuvent être usées facilement.

Mais l'efficience technique d'une installation longtemps utilisée est inférieure sans aucun doute à celle en usage depuis peu de temps. Plus la part des installations dont l'usure est relativement grande est faible (grande) par rapport à l'ensemble du potentiel de production, plus favorable (défavorable) est le rendement des installations productives^31(*).

Le critère de la qualité de l'équipement d'une entreprise industrielle est donnée par le rapport entre les moyens d'exploitation modernes et ceux qui sont dépassés. Moins une entreprise dispose de matériel de production âgé et usagé, plus haut se situe son niveau qualitatif, c'est-à-dire sa capacité de rendement.

La qualité du potentiel de production dépend aussi de l'état de la capacité d'exploitation des installations. Surveiller l'usure et entretenir le matériel, telles sont les conditions qui permettent d'obtenir une capacité d'exploitation aussi favorable que possible.

Une surveillance insuffisante accélère le rythme d'usure des installations, surtout si en même temps les installations sont surexploitées. L'insuffisance des soins apportés aux moyens d'exploitation diminue prématurément la capacité de rendement du matériel lui-même, mais provoque encore des perturbations dans le déroulement du processus de production. Ne pas prévoir des perturbations dans les moyens d'exploitation peut considérablement entraver le déroulement du programme de production et engendrer de cette façon des situations difficiles ou non rentables.

La qualité des moyens d'exploitation pour une entreprise donnée dépend aussi de leur adaptation aux tâches particulières qui doivent être exécutées grâce à eux. Le concept de l'adaptation des moyens d'exploitation vise le rapport entre le rendement souhaitable des moyens d'exploitation et celui effectivement réalisable avec eux.

Précisons qu'on peut distinguer dans un matériel d'exploitation deux sortes de capacités^32(*) : la capacité quantitative et la capacité qualitative. En ce qui concerne la capacité quantitative, on peut distinguer trois concepts de capacité : la capacité maximale, optimale et minimale.

La capacité maximale signifie qu'un matériel ne peut donner plus qu'il ne lui permette ses caractéristiques techniques. La capacité maximale est un concept purement technique. Il en va différemment pour la capacité optimale. Se retrouvent ici des données essentiellement techniques et des conditions de rentabilité économique.

Pour la capacité minimale, il s'agit d'une notion technique dans la mesure où dans de nombreux cas, des machines ou un ensemble de machines sont aptes à être mis en exploitation seulement à partir du moment où il est exigé d'elles un certain rendement. L'adaptation des moyens d'exploitation est fonction de leur capacité quantitative, mais aussi de leur capacité qualitative c'est-à-dire de la nature et de la qualité des rendements qu'ils sont susceptibles de fournir. L'entreprise exige en effet de ses moyens d'exploitation non seulement un certain volume mais aussi une certaine qualité de production.

2.1.3.3. Optimisation des matières premières

On comprend ici sous le facteur élémentaire de production «matières premières » tous les produits bruts semi-finis ou finis qui sont nécessaires en tant que matières premières ou servant de base à l'élaboration des produits et qui deviennent partie intégrante du produit après des modifications de forme ou de substance ou après leur introduction dans les produits finis.

Le problème à évoquer maintenant ne consiste pas à rechercher les caractéristiques qualitatives que doit posséder ce facteur de production pour que le produit fini ait des qualités particulièrement favorables. Il s'agit de déterminer quelles qualités requises doivent avoir les matières premières pour que ces dernières puissent arriver au niveau maximum de rendement dans la combinaison globale des facteurs de production. La question est donc ici essentiellement technique et non commerciale.

Les matières premières exercent une influence sur la productivité et par-là sur le rendement. Si les caractéristiques techniques des matières premières conduisent à un minimum de consommation de celles-ci et de mise en oeuvre des facteurs restant, l'optimum technique de ce facteur de production sera atteint. Plus la consommation en matières premières se rapproche de cet optimum, ce dernier étant ici un minimum, plus les conditions d'utilisation de ce facteur sont favorables.

Si l'on s'interroge maintenant sur les conditions qui déterminent l'optimum technique de ce facteur, il apparaît qu'il s'agit avant tout de trois conditions :

- plus est faible la différence entre les matières premières brutes utilisées et le poids du produits fini, plus leur économie est importante ;

- plus on recourt à la possibilité des produits standardisés et normalisés, moins est importante la consommation de matières premières ;

- Plus les matières premières correspondent aux contraintes techniques, plus les modes d'utilisation et de travail de celles-ci sont avantageux. On parle aussi en ce sens de matières premières adaptées.

Les pertes de matières premières constituent un handicap majeur à l'optimum technique de ce facteur de production. Entre les pertes des matières premières, on distingue les chutes, les sous produits et les rebuts.

2. 1.4. La suppression des aléas

Dans un processus où il existe des aléas, des facteurs incontrôlés, lorsque réussir, accomplir ou produire quelque chose est une nécessité, on est contraint à prendre des marges de sécurité importantes. De nombreux aléas viennent perturber la production et le fonctionnement des usines : notamment des pannes fréquentes des machines, les défauts de qualité dans les produits fabriquées et les retards de livraison des fournisseurs.

Parmi les différents types d'aléas, seules les pannes de machines et les problèmes de qualité figurent parmi les principales causes de l'inefficacité des usines. La qualité de la production est dans une large mesure liée à la fiabilité des machines et à la responsabilité des hommes.

2.1.5. La prévision

Sans prévision et sans programme, toutes les impulsions personnelles si fortes soient - elles et tous les objectifs si grand soient - ils, restent sans effets.  « Prévisions » au sens large du terme, recouvre toute les actions visant à mettre à l'abri la production, la vente et le secteur financier. Elle vise à protéger l'entreprise des aléas internes ou externes à celle-ci.

Pour une entreprise industrielle, après avoir terminé les facteurs de production nécessaires, il reste à prévoir le processus de fabrication lui-même. On parlera en ce sens ici de « prévision du processus ». Cette prévision est déterminée par la structure du marché de l'entreprise et par les procédés auxquels elle recourt pour exécuter le processus de production.

Si les produits élaborés ne sont pas susceptibles de stockage, il s'agit d'entreprises travaillant à la commande. Pour faire une prévision du processus de production, il faut d'abord recevoir les commandes des clients. Les entreprises dont les produits peuvent être stockés, et qui peuvent donc produire sur stock, sont des entreprises travaillant pour le marché.

Dans le processus de production, on pourra souvent se contenter de tenir compte du fait que le pourcentage de déchets est en moyenne de tel ou tel ordre de grandeur, sans qu'il faille analyser dans le détail la dispersion autour de cette moyenne. De même, suffira souvent de tenir compte du fait que, dans certaines circonstances, les autres producteurs de tel ou tel autre type agiront en moyenne de telle manière, sans qu'il soit nécessaire d'analyser davantage quelles peuvent être les prévisions, quant aux chances escomptées et aux risques encourus, qui motivent ce comportement.

La prévision de la production dans les entreprises industrielles englobe :

- la prévision du programme de production ;

- la prévision des besoins en facteurs de production nécessaire à la production des produits de l'entreprise ;

- la prévision du processus de production.

Ces éléments de la prévision de la production, le programme de production, les besoins et le processus de production, constituent un tout. Commettre une erreur sur l'un de ces points de la prévision menace la réalisation de la prévision de la production dans les autres points.

2.1.6. Le juste à temps

Le juste à temps est un principe d'organisation industrielle qui consiste à acheter ou produire seulement ce dont on a besoin, quand on en a besoin.

Autrement dit, il faut produire et livrer :

- les produits finis juste à temps pour qu'ils soient vendus ;

- les sous ensembles juste à temps pour qu'ils aient montés dans les produits finis ;

- les matières premières juste à temps pour être transformées en pièces fabriquées.

Le juste à temps est à la fois un état d'esprit et une méthode d'organisation et de gestion fondée sur la recherche et l'élimination systématique de toute forme de gaspillage : gaspillage de temps, d'énergie, de capacité et de potentialités dont dispose l'entreprise.

Même si les résultats de cette méthode se trouvent souvent confirmées dans le domaine de la production, en fait c'est toute l'entreprise qui bénéficie du juste à temps lorsque l'implantation de cette méthode est réussie.

Pour s'engager dans la voie du juste à temps, l'entreprise tout entière, à tous ses niveaux hiérarchiques, doit changer ses façons de faire, de percevoir les problèmes et de les régler. Bref , sans changement de mentalités il ne peut y avoir de juste à temps réussi.

CHAPITRE 3. LA PROGRAMMATION LINEAIRE

3.0. Introduction

La programmation linéaire constitue l'une des acquisitions plus importantes de la théorie économique d'après la deuxième guerre mondiale. Elle s'est développée très rapidement, grâce aux efforts conjugués des mathématiciens, des chefs d'entreprises, des chefs militaires, des statisticiens et des économistes^33(*).

Le présent chapitre va nous faire le point sur la littérature de la programmation et sur son aspect mathématique. Ce chapitre comprend sept sections.

- la première section nous donne quelques définitions de la programmation linéaire ;

- deuxième section se concentre à la présentation du programme linéaire ;

- la troisième section expose la programmation linéaire et la modélisation ;

- la section suivante nous montrer les méthodes de résolution du programme linéaire ;

- la cinquième section concerne le dual et la programmation linéaire ;

- la sixième section se consacre à la conception du modèle.

- le chapitre se termine par un coup d'oeil sur l'analyse de la sensibilité des

paramètres du modèle (analyse post optimale).

3.1. Définition d'un programme linéaire.

Selon William J. BAUMAUL^34(*), la programmation linéaire est une technique mathématique d'optimisation (maximisation ou minimisation) de fonction objectif linéaire sous des contraintes ayant la forme d'inéquations linéaires.

Elle vise à sélectionner parmi différentes actions celle qui atteindra le plus probablement l'objectif visé.

Robert DORFMAN et Paul Samuelson^35(*), ajoutent que la programmation linéaire est une méthode de détermination du meilleur plan d'action pour réaliser des objectifs donnés dans une situation où les ressources sont limitées.

C'est donc une méthode de résolution du problème économique, soit dans le cadre d'une économie globale, soit dans celui du secteur public, soit dans une entreprise particulière.

3.2. Présentation d'un programme linéaire

Les problèmes de la programmation linéaire se posent lorsque l'on cherche à rendre optimale (minimum ou maximum) une fonction linéaire de plusieurs variables, ces variables étant assujetties à des contraintes linéaires, c'est à dire, du premier degré. Soulignons à ce propos, qu'une contrainte est linéaire, lorsqu'elle s'exprime par une égalité ou inégalité dont le premier membre est une combinaison linéaire et le second, un nombre réel^36(*). Les deux programmes suivants sont de ce type :

1. Trouver y₁ 0, y₂ 0, ........y_i 0, ....... 0 tel que :

a₁₁ y₁ + a₁₂ y₂ +......a_1i y_i + .....+ a_1n y_n q₁

a₂₁ y₁ + a₂₂ y₂ +......a_2i y_i + .....+ a_2n y_n q₂

........................................................

a_m1 y₁ + a_m2 y₂ +........a_mi y_i + ......+ a_mn y_n q_m

et rendant

P₁ y₁ + P₂ y₂ + ........P_j y_j +......+ P_n y_n maximum

En utilisant les notations matricielles, ce programme énoncé ci-dessus s'écrit :

Trouver y 0

Tel que Ay Q

et rendant max Py

En abrégé ce même programme s'écrit :

Max Py

S.c. : Ay Q

y 0

Tout problème linéaire est donc formé de trois grandes parties notamment :

a) d'inconnues, appelées, « variables non-négatives » « variable d'activité »

(exemple : y₁ 0, y₂ 0,......y_n 0, du premier programme).

b) d'équations ou d'inéquations au nombre de m (1^er programme) tenant lieu de

contraintes et qui vérifient les n variables d'activités ; chacune des équations ou

des inéquations étant une combinaison linéaire du premier degré par rapport

aux variables non-négatives (encore appelées « contraintes de non-

négativité ») ces variables ou inconnues peuvent être accompagnées de

coefficients positifs, négatifs ou nuls, de même, le second membre peut être

composé de réels positifs, négatifs ou nuls.

c) d'une « fonction économique » ou « fonction - critère » à maximiser ou à

minimiser (ex. : P₁ y₁ + P₂ y₂ +.........P_j y_j + P_n y_n = B) dans laquelle les

coefficients P_i peuvent être positifs, négatifs, nuls.

D'une façon générale, la programmation linéaire a pour but la recherche de l'optimum d'une fonction linéaire (fonction économique) comportant plusieurs inconnues positives ou nulles liées entre elles par des relations linéaires indépendantes et formant un système d'équations et d'inéquations appelées contraintes.

3.3. Programmation linéaire et modélisation

L'utilité pratique de la programmation linéaire est qu'elle permet la construction des modèles^37(*). Mais il est impossible de se servir d'un instrument destiné à construire des modèles sans réfléchir un peu à la logique même de la modélisation .C'est pourquoi il est nécessaire de dire quelques mots sur ce sujet, bien que la notion de modèle soit infiniment plus générale et plus complexe que celle de programme linéaire.

La notion de modèle

Le mot modèle est ambigu. Il implique toujours l'idée de copie ( et même de copie imparfaite, non identique) mais tantôt, il désigne l'objet copié ( le modèle de l'artiste, la femme modèle) tantôt la copie elle-même.

En économie et en mathématique appliquée, c'est à cette dernière acception du mot seulement qu'on se réfère^38(*). Un modèle est une représentation simplifiée de phénomènes réels, un peu comme une carte de géographie est une représentation simplifiée du pays.

3.3.2. Les modèles et leurs supports

Tout modèle a un support : par exemple, la carte de géographie est un

dessin exécuté selon certaines règles.

En pratique, les modèles utilisés aussi bien en Physique qu `en Economie ou en Recherche opérationnelle sont toujours des modèles mathématiques pour lesquels la formule mathématique qui les caractérise lie des variables exogènes (fournies par l'utilisateur du modèle) et permet d'en déduire les valeurs numériques prises par les variables endogènes (celles que le modèle détermine.)

En économie et dans la plupart des cas, de nombreuses variables interagissent entre elles et sont liées par de multiples relations. Naturellement, cette circonstance complique les choses. En pratique, il existe deux grandes familles d'approche pour tourner ces difficulté :

- l'approche statistique : on garde des modèles de dimension relativement faibles, mais qui comportent un ou plusieurs « termes aléatoires » supposés refléter l'influence des variables non prises en compte.

- l'approche exhaustive : on essaie d'écrire toutes les relations qui lient les variables entre elles. On est ainsi conduit à écrire les modèles très volumineux et difficiles à gérer.

Le choix de l'une de ces deux approches n'est pas simplement une

affaire de goût ou d'opportunité : le plus souvent, elle est imposée par la nature même du problème posé.

Modèles normatifs et modèles descriptifs

En revanche, l'utilisation du cadre de la programmation mathématique,

éventuellement sous forme linéaire, impose le recours à l'optimisation. Cela est souvent la source de confusion, tenant au statut « normatif » ou « descriptif » du modèle en cours de construction. Il est donc nécessaire d'en dire un mot. Certains modèles économiques ont pour but de dire ce qui devrait être fait : ce sont des modèles normatifs. Par exemple, on peut à l'aide de la programmation linéaire, déterminer le plan de production qu'un entrepreneur devrait appliquer pour maximiser son profit. Le résultat du modèle s'exprime par un conseil. D'autres modèles sont descriptifs : ils ont seule ambition d'exprimer comment certaines variables dépendent des autres. Par exemple, on veut savoir si le prix du lait diminue, quelles modifications ce changement entraînera dans les livraisons de ce produit par les éleveurs. Cette distinction est importante car elle commande évidemment la déontologie de l'utilisation des modèles : en particulier, on ne jugera pas de la même façon les performances d'un modèle normatif et celles d'un modèle descriptif. En revanche, il est essentiel de faire la distinction entre ces notions, et celles qui sont liées aux instruments mathématiques qui servent à l'expression des modèles.

Une idée fréquente est que les modèles normatifs s'identifient avec ceux qui utilisent pour leur expression les techniques de mathématiques l'optimisation, comme par exemple la programmation linéaire, tandis que les modèles descriptifs reposent sur des techniques mathématiques comme l'inférence statistique qui ne font pas appel à cette notion d'optimisation.

Rien n'est plus faux. Si l'on admet que certains entrepreneurs maximisent leur revenu, il est absolument naturel de chercher à décrire leur comportement à l'aide de techniques d'optimisation telle que la programmation linéaire.

Ainsi, on pourra prévoir le plan de production de ces entrepreneurs à partir des solutions optimales du programme linéaire construit de manière à maximiser leurs revenus. Inversement, l'établissement de relations qui ne font nullement appel à l'optimisation, peut par la suite servir de base à l'établissement d'un conseil de politique économique.

La différence entre le modèle normatif et descriptif se situe uniquement dans l'usage qui est fait du modèle, et non dans la technique mathématique utilisée pour le construire. Il est clair que presque tous les modèles servent à prendre des décisions. Le modèle que nous allons construire (voir chap.4) consiste à donner conseil aux responsables de l'entreprise. Ceci est détaillé dans l'analyse poste optimale.

La validation des modèles

Dans cette optique, quelle que soit l'utilisation normative ou descriptive

d'un modèle, il est indispensable, avant de s'en servir pour prendre une décision, de vérifier sa qualité. Les décisions prises sur base d'un modèle qui ne représente pas la réalité ne peuvent pas être meilleures, et sont souvent pires, que celles qui sont prises sans modèle du tout.

Mais vérifier la qualité d'un modèle est une démarche logique beaucoup plus compliquée qu'on ne le croit. Il faut d'abord naturellement, s'assurer de sa cohérence interne : les relations algébriques qui constituent le modèle correspondent-elles à ce que l'on sait par ailleurs du phénomène étudié ?

Mais cela n'est pas suffisant : beaucoup de modèles paraissent tout à fait crédibles sur cette base, et donnent cependant des résultats tout à fait farfelus. Il est donc nécessaire de trouver un moyen de comparer les résultats du modèle avec ceux qu'il « aurait dû » donner s'il avait fonctionné parfaitement : c'est ce qu'on fait, lorsqu'on soumet une théorie à l'épreuve de la vérification expérimentale.

La chose est plus difficile dans le cas des études économiques à cause du grand nombre de variables et de relations impliquées dans des modèles de grandes dimensions.

Dans le cas d'un modèle purement descriptif, il est en principe possible de

pratiquer un test historique, c'est-à-dire de faire fonctionner le modèle dans un environnement observé dans le passé, et de comparer les valeurs prédites par le modèle à celles qui ont été effectivement enregistrées.

La validation des modèles normatifs est encore beaucoup plus compliquée, puisqu'on ne peut cette fois se fier à l'observation de décisions passées. Le mieux est alors sans doute d'essayer de comparer, du point de vue du décideur, la qualité des prescriptions du modèle à celle des solutions qui auraient été retenues sans son aide.

3.3. Méthode de résolution d'un programme linéaire.

Un programme linéaire peut être résolu soit par la méthode graphique, soit par la méthode algébrique.

3.4.1. Méthode des graphiques.

La programmation linéaire a pour objectif de déterminer l'affectation optimale de ressources rares entre les activités ou produits concurrents. Les situations économiques demandent souvent qu'on optimise une fonction sous plusieurs contraintes prenant la forme d'inégalités.

Dans la méthode graphique, seules les variables d'activités ou variables réelles seront utilisées. Il n'y aura donc pas de variables d'écart ni de variables artificielles après traduction du problème posé en modèle mathématique, on se bornera seulement à :

- représenter graphiquement les droites - limites (équations provenant des

inéquations de départ) ;

- délimiter la frontière de l'enveloppe polygonale, c'est à dire à construire le

domaine d'acceptabilité ;

- remplacer successivement les coordonnées de chaque sommet du polygone

dans la fonction économique afin d'obtenir la combinaison optimale cherchée

(minimum ou maximum).

En général, pour chercher le minimum, on optera pour le point le plus voisin de l'origine, alors que pour le maximum ce sera le point le plus éloigné. On pourra utiliser, à la place de l'énumération de tous les points du polygone d'acceptabilité, le procédé qui consiste à déplacer la droite de la fonction économique parallèlement à son inclinaison à l'origine et en chacun des sommets du domaine d'acceptabilité. Pour le coût, on retiendra la droite la plus voisine de l'origine et pour le maximum, la plus éloignée. Le premier sommet sera le minimum et le dernier atteint le maximum cherché.

3.4.2. Méthode algébrique

Avant de passer à la méthode algébriques pour résoudre un programme linéaire voyons, d'abord les différentes formes d'un programme linéaire.

3.4.2.1. Formes canoniques

Lorsque l'ensemble des contraintes se présente sous forme d'inégalités

( ou ) on parle de la forme canonique. Toutefois, il convient de distinguer d'un programme canonique de type I d'un programme canonique de type II.

· Un programme canonique de type I est un programme dans lequel les contraintes d'inégalités sont tournées dans le sens « inférieur ou égal » l'objectif recherché étant la maximisation de la fonction critère ou fonction économique.

· Un programme canonique de type II a des contraintes d'inégalités tournées dans le sens « supérieur ou égal » et l'objectif est un minimum.

Exemple

Max. Z = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃

s/c

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ b₁

a₂₁x₁ + a₂₃x₃ b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ b₃

x₁ o, x₂ o, x₃ o

Min. Z = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃

s/c

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ b₁

a₂₁x₁ + a₂₃x₃ b₂

a₃₁X₁ + a₃₂X₂ + a₃₃X₃ b₃

x₁ o, x₂ o, x₃ o

3.4.2.2. Forme mixte

Parfois, les contraintes sont tournées les unes dans un sens, les autres dans le sens opposé, l'objectif pouvant être soit un minimum, soit un maximum. Mais on peut également avoir un mélange d'égalité (=) ou inégalité ( ou ). Un tel programme est un programme mixte. On dit aussi qu'il se présente sous forme mixte.

Exemple

Max. Z = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃

s/c a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ b₁

a₂₁x₁ + a₂₃x₃ b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ b₃

x₁ o, x₂ o, x₃ o

3.4.2.3. Forme standard

Toutes les contraintes représentent des égalités. L'objectif pouvant être le maximum ou le minimum.

Exemple

Max. Z = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃

s/c a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + x₄ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₃x₃ + x₅ = b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + x₆ = b₃

x₁ o, x₂ o, x₃ o, x₄ 0, x₅ 0 , x₆ 0

Soulignons que dans la méthode simpliciale, tout programme se présentant sous forme canonique, doit être ramené sous la forme standard avec introduction de variables d'écart ou artificielles selon le cas et selon les règles bien précises.

3.4.3 Méthode matricielle

Un programme linéaire s'écrit min (max) z = c^Tx

s.c : Ax = b

x = 0

où c^T = (c₁,c₂..............c_n)

x₁ a₁₁ a₁₂....a_1n

x₂ a₂₁ a_22...... a_2n

x = . ; A = . .

. . .

x_n a_m1 a_m2....a_mn

b₁

b₂

b = .

.

b_m

Le système de contrainte Ax = b ; x = 0 nous donne l'ensemble de solutions réalisables ou admissibles du programme linéaire. Cet ensemble est un polygone ou polyèdre convexe. La méthode consiste à visiter les sommets de cet ensemble convexe de façon à améliorer progressivement la valeur de la fonction objectif. La valeur x* qui donne la meilleure valeur de la fonction économique est appelée solution optimale de ce programme linéaire.

Considérons :

A₁, A₂,......An les « n » colonnes de la matrice A (A = a_ij ). A_j est un vecteur colonne possédant m lignes.

Soit B = (A₁, A₂....A_m) la matrice carrée des colonnes correspondant aux variables de base et D = (A_m+1,.........A_n).

x₁ le vecteur des variables de base et,

.

Soit x_B = .

x_n

x_n+1 le vecteur des variables hors base.

x_N = .

.

x_n+m

x_B

alors x =

x_N

Ax = b peut s'écrire avec la nouvelle notion

X_B

B N = b

X_N

Ou encore BX_B + NX_N = b

Dans la base B, la solution correspondante est X_B

X_B s'obtient comme suit :

BX_B + NX_N = b

BX_B = b - NX_N

X_B = B^-1 (b - NX_N)

Comme X_N = 0 (car X_N = V.H.B)

X_B = B^-1.b

Rien ne nous prouve que cette solution est optimale. Après avoir déterminé une solution de base ; voyons maintenant les conditions d'optimalité.

Enoncé des conditions d'optimalité39(*)

Cas de minimisation

La solution X_B = B^-1.b = 0 : X_N = 0 est optimale

ssi C_N - _B^T.N = 0 ; avec ^T_B = C^T_B.B^-1 optimale pour le Dual.

C_N - ^T_B.N sont les coûts réduits des variables hors base.

Dans le cas de minimisation les coûts réduits doivent être supérieurs ou égaux à zéro.

Cas de maximisation

La solution X_B = B^-1.b = 0, X_N = 0 est optimale ;

ssi C_N - ^T_BN =0 ; avec ^T_B = C^T_B.B^-1 optimale pour le Dual.

Où B  : représente une base qui est une sous matrice de A

N  : représente une sous matrice de A représentant les coefficients des

variables hors base.

C_B  : coefficient des variables de base dans la fonction économique

C_N  : coefficient des variables hors base dans la fonction économique

Vérification de l'optimalité de la solution de base^40(*)

Partons de la fonction économique

Z = C^TX

Z = C_BX_B + C_NX_N (1)

Précédemment nous avons vu que

X_B = B^-1 (b - NX_N)

Remplaçons X_B par sa valeur dans (1). Nous avons :

Z = C_B B^-1 (b - NX_N) + C_NX_N

Z = C_B B^-1 b - B^-1.NX_N + C_NX_N

z = C_B . B^-1 _. b - C_B. B^-1 . NX_N + C_NX_N

Z = C_B.B^-1b + C_NX_N - C_B.B^-1.NX_N

Mettons X_N en évidence

Z = C_B.B^-1b + C_N - C_B .B^-1.N X_N

Comme on l'a vu plus haut, ^T_B = C^T_B.B^-1 _.

La fonction économique aura l'allure suivante :

Z = ^T_B. b + ( C_N - ^T_BN) X_N

Cette expression est fonction des variables hors base. On peut tirer la condition d'optimalité de la solution de base X_B = B^-1b 0, X_N 0 pour un problème de minimisation C^TX

S.C : A_X = X

X 0

il faut alors qu'on ait des coûts réduits positifs ou nuls.

C_N - ^T_BN 0

Qu'est - ce qu'on remarque dans cette équation ?

Nous remarquons que Z comprend deux termes :

· le premier C_B.B^-1.b est une constante qui n'est autre que la valeur de la fonction économique du sommet X_B

· le second terme C_N - ^T_B.N X_N est une forme linéaire des seules variables hors base.

Si (C_N - ^T_B.N ) 0 , on comprend qu'il sera désavantageux de rendre positive l'une des V.H.B. Les sommets pour lesquels X_N = 0 sont nuls, est donc optimal.

La précédente égalité nous permet de soupçonner que la base est optimale. Ce critère peut ne pas être une condition nécessaire d'optimalité (cas de dégénérescence). Dans le cas de dégénérescence, il est théoriquement possible que l'algorithme cycle c'est - à - dire qu'on ait une suite infinie de changement de base nous laissant au même point. Après avoir vu une brève description de la méthode matricielle voyons celle des tableaux du simplexe.

a. La méthode du simplexe

La méthode du simplexe est une technique algébrique itérative qui permet de trouver la solution optimale d'une façon ordonnée et concise. La présentation pratique de cette méthode est la suivante :

Soit x₁, x₂..........x_j,........x_n variables qui rendent maximale la relation :

F = c₁x₁ + c₂x₂ + ........+ c_jx_j + ........+ c_nx_n

Tout en satisfaisant aux conditions suivantes :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ......+ a_ijx_j +..........+ a_1nx_n b₁

a₂₁x₁ + a₂₂ + a₂₃x₃ + ......+ a_2jx_j +.........+ a_2nx_n b_n

_{......... .......... ......... ............}

a_i1x₁ + a_i2x₂ + a_i3x₃ +........+a_ijx_j +..........+ a_inx_n b_i

_{........ .......... ..........} .......

A_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ +........+a_mjx_j +..........+ a_mnx_n b_m

et telle que

x₁, x₂, x₃,.......,x_j,.......x_n 0

« F » s'appelle la fonction économique. Les inéquations sont les contraintes du problème. Le programme mathématique obtenu est connu sous le nom de programme linéaire. Il n'est évidemment possible de résoudre ce problème par le raisonnement, ni non plus par une construction graphique pour un problème de plus de trois variables. Notre modèle qui compte vingt quatre variables de décision et vingt contraintes prendrait quelques jours pour trouver une réponse juste.

Le mathématicien DANTZIG a eu le mérite d'établir un algorithme qui permet de résoudre ce genre de programme linéaire et d'atteindre la solution optimale par plusieurs itérations. Ce procédé, également connu sous le nom de méthode du simplexe, est exposé dans le paragraphe qui suit :

1^ère phase

Transformation des inéquations en équations et présentation condensée du problème. Chaque inéquation peut être ramenée à une équation en introduisant une inconnue supplémentaire, que l'on appelle variable d'écart ; nous la notons x_n+1 ( Il ne faut pas la confondre avec les autres variables dites principales).

Ainsi, l'inéquation de rang i devient :

a_i1x₁ + a_i2x₂ +.........+ a_ijx_j +..........+ a_inx_n + x_n+i = b_i

Tableau n° 1 : Tableau initial du simplexe.

	C1 C2 C3..... Cj....., Cn 0 0 .......... 0	F
	x1 x2 x3..... xj...... xn xn+1... xn+2... xn+m
xn+1 xn+2 ....... Xn+i ...... xn+m	a11 a12 a13.... a1j..... a1n 1 0 ...... 0 a21 a22 a23.... a2j..... a2n 0 1 ...... 0 ..... ..... ..... .... .... ..... ..... ...... ai1 a12 ai3.... aij..... ain 0 0 .... 1 0 ..... ..... ..... .... .... ..... ..... am1 am2 am3.... amj..... amn 0 0 ...........1	b1 b2 ..... bi ..... bm

Source : Cours de recherche opérationnelle.

Nous formons le tableau ci-dessous des coefficients, a_ij, b_i, et c_j afin de simplifier l'écriture. Chaque colonne correspond à une variable x_j, inscrite dans la deuxième ligne, la dernière colonne est formée par les termes constants. Ce tableau sera complété et transformé dans les phases suivantes.

2^ème phase : Recherche d'une solution de base

Rappelons qu'une solution de base est un ensemble de valeurs des variables x_j qui satisfont à toutes les conditions du problème, mais qui ne rendent pas la fonction économique optimale. La deuxième phase consiste toujours à rechercher une solution de base.

Comme on le verra ensuite, la méthode de DANTZIG permet de trouver la solution par itérations ; il est donc intéressant d'adopter, pour solution de base, une solution aussi rapprochée que possible de la solution finale ; cela diminue le nombre d'itérations à effectuer. Si aucune solution n'apparaît, on prendra la solution suivante, évidente, mais très éloignée de la solution finale.

La solution initiale de la base doit annuler toutes les variables principales (initiales) du modèle linéaire. Les variables d'écart seront de base dans la première solution de base.

x₁ = x₂ = x₃ =........ = x_j = ....... = x_n = 0

x_n+1 = b₁

x_n+2 = b₂

x_n+i = b_i

x_n+m= b_m

C'est cette solution que nous retiendrons ici.

Nous constatons que la solution de base comprend n variables nulles. Quant aux autres qui sont égales aux bi portées dans la dernière colonne du tableau établi en première phase, nous les inscrivons dans une colonne supplémentaire, placée en première position. D'où le tableau n°2 suivant

Tableau n° 2 : Présentation d'une solution de base

	C1 C2 C3..... Cj....., Cn 0 0 .......... 0	F
	x1 x2 x3..... xj...... xn xn+1... xn+2... xn+m
Xn+1 Xn+2 ....... Xn+i ...... Xn+m	a11 a12 a13.... a1j..... a1n 1 0 ...... 0 a21 a22 a23.... a2j..... a2n 0 1 ...... 0 ..... ..... ..... .... .... ..... ..... ...... ai1 a12 ai3.... aij..... ain 0 0 .... 1 0 ..... ..... ..... .... .... ..... ..... am1 am2 am3.... amj..... amn 0 0 ...........1	b1 b2 ..... bi ..... bm

Source : note de cours de recherche opérationnelle.

Ce tableau a la signification suivante :

Une solution du problème consiste à donner aux variables inscrites dans la première colonne les valeurs correspondantes de la dernière colonne ; quant autres variables, elles sont nulles.

3^ème phase : Amélioration de la solution de base.

Il est claire que la fonction économique F correspondant à la solution de base est nulle, il est claire également qu'elle sera augmentée si nous construisons une nouvelle solution dans laquelle figurera une variable x_j ; il y a intérêt pour cela à choisir la variable x_j dont le coefficient c_j est le plus grand.

Soit k l'indice de cette variable. Donner une valeur à x_k n'est possible qu'en diminuant les valeurs de toutes les variables x_n+1 à x_n+m, mais ceci est sans inconvénient puisque celles-ci ne figurent pas dans la fonction économique.

(on peut aussi dire qu'elles y figurent avec le coefficient zéro).

Il est donc intéressant de donner à x_k la valeur la plus grande possible.

Or, dans chaque équation de rang i, la plus grande valeur possible de x_k est obtenue pour x_n+i = o et vaut x_k = b_i/a_ik

Désignons alors par « r » l'indice i pour lequel le rapport b_i/a_ik est minimal ( on ne tiendra pas compte des valeurs négatives, qui n'ont évidemment pas de sens).

On voit alors qu'une nouvelle solution du problème est trouvée ; elle est constituée par l'ensemble suivant :

x₁ = x₂ = x₃ =......= x_j = ......x_n = 0

x_n+r = 0

x_k = b_r/a_rk

x_n+1 = b₁ - a_1k . b_r/a_rk

x_n+i = b_i - a_ik . b_r/a_rk

x_n+m = b_n - a_mk . b_r/a_rk

On dit qu'on a sorti la variable x_n+r de la base pour y faire entrer la variable x_k. La fonction économique qui était précédemment nulle, a maintenant pour valeur :

F = C_k . b_r/a_rk

Pratiquement, on repère tout d'abord le plus grand coefficient c_j, soit c_k puis on adjoint au tableau n°2 une nouvelle colonne, dans laquelle on forme les rapports b_i/a_ik

C'est le tableau ci-dessous, sur lequel les variables sortantes et entrantes sont repérées par des flèches.

Tableau n°3 : opération du pivot

	C1 C2 Ck..... Cj....., Cn Z
	x1 x2 xk..... xj...... xn xn+1... .... xn+m
Xn+1 Xn+i ....... Xn+r ...... Xn+m	a11 a12 a1k.... a1j..... a1n 1 ...... 0 ai1 ai2 aik.... aij..... ain 0 1 ......0 ..... ..... ..... .... .... ..... ...... ar1 ar2 ark.... Arj..... arn 0 1 0 ..... ..... ..... .... .... ..... ..... am1 am2 amk.... amj..... amn 0 ........1	b1 bi ..... br ..... bm	b1/a1k bi/aik ..... br/ark ..... bm/amk
		b

Source : note de cours de recherche opérationnelle 4^ème phase

Nous allons transformer le tableau précédent de telle façon que la variable entrante prenne effectivement place dans la première colonne, et que la signification du tableau donné en deuxième phase reste valable à savoir que les variables ne figurant pas dans la première colonne sont nulles, les autres prenant les valeurs portées dans l'avant dernière colonne. Il s'agit donc de remplacer la variable x_n+1 qui se trouve dans la première colonne, par la variable x_k

Ceci veut dire qu'il faut remplacer le système de « m » équations, dans lesquelles figurent x_k et une fois x_n+r, par un système dans lequel x_k n'apparaît qu'une fois. Ceci est facile si l'on se souvient qu'une équation linéaire d'un système d'équation peut toujours être remplacée par une combinaison linéaire d'équations de ce système. Ici, nous retranchons à chaque équation de rang i l'équation de rang r, multipliée par a_ik/a_rk.

Quant à l'équation de rang r, il suffit de diviser tous ses termes par a_rk. D'où un nouveau tableau dans lequel chaque terme a, b est remplacé par le terme a', b' tel que :

a'_ij = a_ij - a_ik . a_rj / a_rk

b'_i = b_i - a_ik . b_r / a_rk

Ce nouveau tableau s'écrit :

Tableau n° 4 : Tableau n° 3 après opération du pivot

C'1 C'2 O..... C'j........C'n Cn+1 Cn+m Z
x1 x2 xk..... xj...... xn xn+1... .... xn+m
Xn+1 Xn+2 Xn+I Xk Xn+m	a'11 a'12 0.... a'1j..... a'1n a'1,n+1..... a'1,n+m a'21 a'22 0.... a'2j..... a'2n a'i1 a'i2 0.... a'ij ar1/ark ar2/ark 1 a'm1 a'm2 0	b'1 b'2 b' br/ark b'm
		b

Source : note de cours de recherche opérationnelle

Le tableau n°4 se présente exactement comme le précédent (n°3). Nous pouvons donc grâce à lui, repérer à nouveau une variable dont le coefficient C'_j' soit le plus grand et l'introduire dans la deuxième solution par le même procédé. Ceci nous permet donc de construire une troisième solution.

Par le même procédé que celui qui a permis d'établir le tableau précédent à partir du n°3, nous pouvons construire des tableaux successifs représentant les différentes itérations.

Lorsque l'un des tableaux a tous ses coefficients C_j négatifs, il n'est plus possible de continuer pour un problème de maximisation, par contre pour un problème de

minimisation on continue parce que la valeur de la fonction économique continue à décroître. De cela, on a les conditions d'optimalité suivantes :

- pour un problème de maximisation, il faut que les coefficients des variables de base (coût réduits) soient négatifs.

- pour un problème de minimisation, il faut que tous les coefficients des

variables soient positifs si non la valeur de la fonction augmente alors qu'on

veut minimiser.

La solution du problème consiste alors à donner aux variables de la première colonne les valeurs correspondantes de la dernière colonne. Les variables qui ne sont pas dans la première colonne sont nulles.

Lorsqu'il s'agit d'un problème qui comprend plusieurs variables, la méthode du simplexe est applicable mais conduit à des tableaux très grands.

Pour avoir une solution, cela nécessite plusieurs itérations, on est face à un travail fastidieux. Grâce au développement de la technologie moderne, nous allons recourir à la méthode du simplexe révisée, capable d'exécuter les itérations en un peu de temps et aboutit à la solution optimale à l'aide du système informatisé.

Nous avons utilisé un logiciel appelé « STORM » qui nous a permis d'obtenir les valeurs optimales de toutes les variables d'une façon relativement aisée ; car la solution d'un programme linéaire de plusieurs variables risque de dépasser les capacités et la patience même d'un gestionnaire disposant de beaucoup d'expérience dans le domaine.

b. L'efficacité de l'algorithme du simplexe

Après plus de 40 ans d'utilisation, l'algorithme du simplexe a fait ses preuves. Il peut résoudre, même sur micro-ordinateur, des modèles comportant des milliers de variables et de contraintes.

Au fil des années, l'implantation de cet algorithme s'est raffinée, il existe présentement de multiples versions de l'algorithme du simplexe, dont la méthode révisée, la méthode primal-dual, la méthode duale etc. Chacune a son champ d'application propre, où elle s'avère plus efficace que les autres.

Le comportement général de l'algorithme du simplexe a été abondamment étudié. Le nombre d'opérations arithmétiques qu'il requiert dans la résolution d'un modèle linéaire continu dépend à la fois de la taille du modèle et du nombre d'itérations nécessaires pour parvenir à une solution optimale, ce nombre d'itérations étant lui-même lié à la taille. La taille d'un modèle est mesurée par le nombre de données nécessaires pour le définir : en pratique, on utilise généralement comme mesures le nombre « n » de variables ainsi que le nombre « m » de contraintes, technologiques.

Deux approches s'offrent à qui veut décrire le nombre d'itération de l'algorithme du simplexe pour atteindre une solution d'un modèle linéaire de taille donnée : ou bien établir le nombre espéré d'itérations pour atteindre cette solution optimale ou bien compter le nombre d'itérations requises dans le cas le plus intraitable^41(*). Cette seconde approche mène au résultat suivant : il existe des modèles linéaires pour lesquels l'obtention d'une solution optimale requiert autant de tableaux, chacun comptant pour une itération.

Il y a toutefois une règle de pratique , certes empirique mais qui s'appuie sur une expérience longue de 40 ans : le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir un tableau optimal d'un modèle provenant d'un problème pratique est habituellement compris entre 1,5 m et 2 m, où m est le nombre de contraintes technologiques.

3.5. Programmation linéaire et le dual

3.5.1. Le dual

Dans la programmation linéaire, tout problème de maximisation (minimisation) a un problème de minimisation (maximisation) qui lui correspond. Le problème initial s'appelle le primal ; le problème correspondant s'appelle le dual. La meilleure façon d'exprimer la relation entre les deux est l'utilisation des paramètres qu'ils ont en commun. Par exemple on peut soit maximiser l'utilité sous une contrainte budgétaire soit, minimiser le coût associé à l'obtention d'un certain niveau d'utilité. Dans une entreprise de production, on peut maximiser la production ou minimiser le coût sous contrainte d'un certain niveau de production.

Exemple : soit le problème initial ou le primal,

Maximiser = g₁x₁ + g₂x₂ + g₃x₃

Sous contraintes

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ b₃

x₁, x₂, x₃ 0

Le problème dual correspondant est :

Minimiser F = b₁z₁ + b₂z₂ + b₃z₃

a₁₁z₁ + a₂₁z₂ + a₃₁z₃ g₁

a₁₂z₁ + a₂₂z₂ + a₃₂z₃ g₂

a₁₃z₁ + a₂₃z₂ + a₃₃z₃ g₃

z₁, z₂, z₃ 0

Principes de transformations permettant d' obtenir le dual

Lorsqu'on formule le dual à partir du primal,

1. Le sens de l'optimisation est inversé. La maximisation dans le primal devient une minimisation dans le dual, et inversement.

2. Les signes sont inversés dans les inégalités correspondant aux contraintes, mais la contrainte de non - négativité sur les variables de décision subsiste.

3. Les lignes de la matrice des coefficients des contraintes du primal deviennent des colonnes de la matrice des coefficients du dual.

4. Le vecteur ligne des coefficients de la fonction objectif du primal devient un vecteur colonne de constantes associées aux contraintes du dual.

5. Le vecteur colonne des constantes du primal devient un vecteur colonne de constantes associées aux contraintes du dual.

6. Les variables de décision du primal (x_j) sont remplacées par les variables de décision du dual (z_i).

Les six points précédents nous montrent que le dual du dual donne le primal.

3.5.3. Théorème applicable au dual

Deux théorèmes ont une importance considérable pour la programmation linéaire^42(*).

1. La valeur optimale de la fonction objectif du primal est toujours égale à la valeur optimale de la fonction objectif du dual, dès qu'une solution optimale accessible existe.

2. Si, dans la solution optimale accessible,

i. Une variable de décision du programme primal a une valeur autre que zéro, la variable d'écart correspondante du programme dual a nécessairement une valeur optimale égale à zéro ;

ii. Une variable d'écart du primal a une valeur autre que zéro, la variable de décision correspondante du programme dual a nécessairement une valeur optimale égale à zéro.

Pour illustrer ce théorème nous allons nous servir de l'exemple.

Soit minimiser M = g₁x₁ + g₂x₂ + g₃x₃

Sous contrainte a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ b₁ (1)

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ b₂

x₁, x₂, x₃ 0

Nous allons utiliser ci-dessous les théorèmes relatifs du dual pour trouver la valeur optimale (1) de la fonction objectif du primal et (2) des variables de décision du primal. Le programme dual s'écrit :

Maximiser F = z1b1 + z2b2

Sous contrainte

a₁₁z₁ + a₂₁z₂ g₁

a₁₂z₁ + a₂₂z₂ g₂

a₁₃z₁ + a₂₃z₂ g₃

Supposons que les solutions optimales du second programme sont les suivantes :

Z₁ = k₁ k₁ différent de 0

Z₂ = k₂ k₁ différent de 0

M = F F différent de 0

Comme la valeur optimale du dual est égale à F, le premier théorème relatif au dual veut que M soit égal à F.

Pour trouver les valeurs optimales des variables de décision du primal, on transforme les inégalités des contraintes en équation par la soustraction de variables d'écart dans le primal (I) et par l'adjonction de variables d'écart dans le dual (II). Afin de distinguer les variables d'écart du primal et du dual, on note les premières s_i et les secondes t_i

(I) a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ - s₁ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ - s₂ = b₂

avec x_j : variable de décision

s_i : écarts

(ii) a₁₁z₁ + a₂₁z₂ + t₁ = g₁

a₁₂z₁ + a₂₂z₂ + t₂ = g₂

a₁₃z₁ + a₂₃z₂ + t₃ = g₃

avec z_j : variable de décision

t_i : écarts

Remplaçons z₁ par k₁ et z₂ par k₂ pour trouver t₁, t₂, t₃ :

a₁₁k₁ + a₂₁k₂ + t₁ = g₁ (1)

a₁₂k₁ + a₂₂k₂ + t₂ = g₂ (2)

a₁₃k₁ + a₂₃k₂ + t₃ = g₃ (3)

Supposons qu'en résolvant (1) t₁ = R₁ et que pour (2) et (3) t₂ = t₃ = 0

Comme les variables (t₂, t₃ ) de la deuxième et troisième contrainte du dual sont égales à zéro, le deuxième théorème relatif au dual veut que les variables de décision correspondante du primal (x₂, x₃) ne soient pas nulles. Mais comme t₁ différent de o, la variable de décision correspondante x₁ est égale à zéro. Par conséquent x₁ = o

Le deuxième théorème relatif au dual affirme que si les variables de décision optimales du dual (z₁,z₂) ne sont pas égales à zéro, les variables d'écart correspondantes du primal (s₁,s₂) sont nécessairement nulles. Remplaçons s₁ et s₂ par 0 et intégrons le fait que x₁ = 0 (I) se réduit à a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁, a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂. La résolution simultanée par la règle de cramer nous permettra de trouver les valeurs des variables de décision du primal.

3.5.4. Avantages du dual

Les rapports entre le primal et le dual qui viennent d'être exposés montrent qu'on peut trouver la valeur optimale de la fonction objectif aussi bien par le dual que par le primal. En raison de la relation de complémentarité qui existe entre les variables de décision d'un programme et les variables d'écart de l'autre, la solution d'un programme fournit aussi la solution complète de l'autre. C'est un avantage parce que :

1. on peut résoudre des problèmes de minimisation en terme de maximisation, ce qui est souvent plus facile

2. dans le cas de problèmes où le primal compte trois variables de décision, le dual est ramené à un programme comportant deux variables de décision.

3.5.5. Prix fictifs dans le dual

Lorsqu'on utilise le dual pour résoudre le primal, la valeur marginal ou le prix fictif de la i^ème ressource du primal est donnée directement par la variable de décision correspondante de la fonction objectif du dual. Ainsi, dans le dual, z_i donne le prix fictif de la i^ème ressource du primal. La valeur optimale de la fonction objectif est toujours égale à la somme des produits des ressources par leurs prix fictifs respectifs. En se servant des précédents exemples, on a :

n

M= b_iz_i = b₁z₁ + b₂z₂ + b₃z₃

I=1

Avec b_i : i^ème ressource du primal

z_i : i^ème valeur de la variable de décision du dual

3.5.6. Algorithme du simplexe et dual

On peut utiliser le tableau final du dual pour déterminer les valeurs optimales de la fonction objective du primal et des variables de décision du primal.

Dans le tableau final du dual, les indicateurs qui correspondent aux variables d'écart du dual donnent aussi les valeurs optimales des variables de décision du primal. Ici il faut noter que les indicateurs qui correspondent aux variables artificielles n'ont aucune signification économique.

Exemple non chiffré

Max M = g₁x₁ + g₂x₂ + g₃x₃

Sous les contraintes

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ b₂

x₁, x₂, x₃ 0

Le problème dual correspondant est :

Minimiser F = b₁z₁ + b₂z₂

a₁₁z₁ + a₂₁z₂ g₁

a₁₂z₁ + a₂₂z₂ g₂

a₁₃z₁ + a₂₃z₂ g₃

z₁, z₂ 0

Transformons x_i en z_i et Si en t_i pour adopter les notations d'un dual, et supposons que l'on obtient un tableau final suivant :

Tableau n⁰ 5 : Présentation simplifiée du tableau final

Z1 Z2 t1 t2 t3 A1 A2 A3	Valeur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	k1 k2 k3

f₁ f₂ f₃

. .

. .

Indicateurs

R

Source : fait par l'auteur sur base du tableau final du modèle

Les différents points représentent les différents éléments du tableau final du dual. Les derniers éléments de la dernière ligne expriment la valeur optimale de la fonction objectif dual, soit R, il exprime également la valeur optimale de la fonction objectif du primale.

On peut aussi lire directement sur le tableau les valeurs optimales des variables de décision du primal. Elles sont données par les valeurs des indicateurs des colonnes situées sous les variables d'écart correspondantes du dual. Comme t₁ est la variable d'écart de la première contrainte, du dual et correspond à x₁ dans le primal on a x₁= f₁.

Comme t₂ est la variable d'écart de la deuxième contrainte du dual et correspond à x₂ dans le primal, x₂ = f₂. De même x₃ = f₃.

3.5.7 Interprétation de la solution duale

La valeur optimale du problème primal est égale à :

F = u*₁ b₁ + u*₂b₂ + ...... u*_mb_m

Où u* est la solution optimale du problème dual.

Si la contrainte de ressource 1 est assouplie c'est - à - dire si b₁ est augmenté d'une petite quantité b₁, il en résulte une augmentation du profit de u₁ x b₁.

Ainsi, les éléments u*i du vecteur u* représentent la productivité marginale au sens de la fonction objectif du problème primal, de la contrainte associée à la ligne i du problème primal. Comme en théorie économique classique, les productivités marginales sont égales au prix du marché des facteurs de production correspondants , il est tentant d'assimiler les variables duales à des prix. Ceci doit cependant se faire avec prudence, dans la mesure où cette assimilation suppose que la fonction économique soit elle-même exprimée en termes de valeurs marchandes. Encore faut-il exprimer ces valeurs marchandes en unités convenables.

Exemple

Si la fonction économique représente la valeur du profit annuel d'une entreprise, les variables duales associées à la main d'oeuvre représentent l'accroissement marginal du profit par une unité demain d'oeuvre supplémentaire. Cette valeur peut être comparée au coût d'une unité de main d'oeuvre (salaire). Dans le cas où elle est plus forte que ce coût, l'entrepreneur a peut être intérêt à recruter une main d'oeuvre supplémentaire.

3.5. La modélisation

Le mot modèle est ambigu selon le dictionnaire^43(*), le modèle a trois sens principaux : idéal, type et représentation simplifiée. Il implique l'idée de copie, mais tantôt il désigne l'objet copié, tantôt aussi la copie elle-même. En économie est une représentation simplifiée de phénomènes réels.

En effet, un modèle, représentation simplifiée de la réalité peut avoir plusieurs sens selon l'objectif que l'on poursuit. Un modèle peut être rétrospectif, prospectif, cognitif ou décisionnel. L'originalité d'un modèle de recherche opérationnelle est d'être toujours décisionnel. Il s'agit d' éclairer des choix, de dire quelle est la meilleure décision.

3.6.1. Description des conditions de linéarité d'un modèle

Le modèle à utiliser pour traduire le problème de la B.R.R en langage mathématique est qualifié de linéaire. Mais à quelles conditions ce modèle doit obéir ?

Les modèles linéaires se présentent naturellement dans la modélisation de plusieurs situations de gestion. De plus, il existe toute une gamme d'algorithmes efficaces pour résoudre ces modèles.

Rappelons qu'un modèle linéaire s'écrit sous la forme suivante (on impose également une contrainte d'intégrités aux variables de décisions) :

Max. (min) Z = C₁X₁ + C₂X₂ ..... + C_nX_n

S/C :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ..... + a_1nx_n (, , =) b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ..... + a_2nx_n (, , =) b₂

.

.

a_m1,x₁ a_m2x₂ + ..... + a_mnx_n (, , =) b_m

x₁, x₂, ..... , x_n 0

Les conditions de linéarité auxquelles doit respecter un modèle linéaire sont décrites ci-après :

1. le modèle comporte une fonction objectif qu'il s'agit soit, de maximiser, soit de

minimiser. Dans le problème de la B.R.R, on cherche à maximiser le profit total n

qui est représenté par la fonction Z = C_jX_j

j = 1

Avec : n : nombre de variables de décision

C_j : marge bénéficiaire par unité de X_j

X_j  : produit fabriqué par un processus de production de la B.R.R, dans un

horizon de 12 mois

2. La fonction objectif, de même que les membres gauches des contraintes, s'écrivent comme des sommes dont chaque terme est un produit d'une constante.

Ex : Max. c₁x₁ + c₂x₂

s/c : a₁₁x₁ + a₁₂x₂ b₁

3. Chaque variable est soumise à une contrainte de non - négativité pour le cas de notre travail nous considérons x_j 0

4. Le modèle ne comporte pas de contraintes écrites sous forme d'inéquation strictes. Transposé dans le contexte de notre travail, nous pouvons par exemple écrire : x_j 18.000, t_ijx_j T_i.

5. On suppose connus avec certitude et invariables tous les paramètres qui apparaissent dans le modèle. Dans le présent travail, dans la fonction économique, les marges bénéficiaires pour chaque x_j sont bien connues, ainsi que la quantité des ressources consacrées à x_j.

La condition 2 résume ce que la littérature de la R.O désigne sous le nom d'hypothèses de proportionnalité et d'additivité^44(*). Nous décrivons la portée de ces deux hypothèses dans un problème d'allocation de ressources à une gamme de produits et illustrons nos propos à l'aide du problème de la B.R.R.

a. Hypothèse de proportionnalité

Le bénéfice provenant du produit rattaché à une variable donnée est proportionnel à la valeur de cette variable, par exemple, le profit correspondant aux x_j s'obtient en multipliant le nombre de tonne de x_j par le profit unitaire. De même, la portion d'une ressource consacrée à une tonne de produit x_j est proportionnelle à la variable associée ; par exemple, si le façonnage d'une tonne de produit x_j dans l'atelier i exige 0,5 heure, il faut 1 heure pour en façonner 2.

b. Hypothèse d'additivité

n

Le profit total est la somme des profits provenant des x_j est c_jx_j

j = 1

La quantité totale d'une ressource requise par un plan de production est la somme des quantités utilisées par les x_j.

Par exemple le temps de façonnage utilisé est la somme des heures consacrées aux x_j.

On parle de modèle linéaire continu quand chaque variable de décision peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (éventuellement illimité).

Il existe des situations où les conditions de linéarité ne sont pas toutes satisfaites. Dans cette situation on fait recours à l'utilisation des variables dites binaires pour linéariser diverses situations qui, a priori, ne respectent pas les hypothèses de proportionnalité et d'additivité.

Lorsque les paramètres du modèle ne sont pas connus avec certitude, on peut parfois recourir aux techniques de l'analyse poste optimale que nous présentons au chapitre 4 consacré à l'étude du cas pratiques.

3.7. L'analyse poste optimale

Pour modifier la valeur des variables de décision obtenue dans une solution optimale, il arrive même qu'une fois les imprécisions sur les données levées, les variables de base de la nouvelle solution optimale forment un groupe qui présente peu de points communs avec celui obtenu des données initiales.

On comprend qu'il faudra investiguer sur la sensibilité des solutions optimales aux changements envisageables dans la valeur des a_ij, des c_j et des b_i. Cette analyse à laquelle nous soumettrons le modèle porte le nom d'analyse poste optimale, pour la bonne raison que cette analyse s'intéresse aux mouvements de la solution optimale induits par des changements apportés aux valeurs des paramètres.

L'analyse poste - optimale permet, en effet, de détecter les paramètres dont une faible oscillation suffit à chambarder la solution optimale proposée par le tableau final. Elle fournit au décideur des diagnostics prémonitoire qui l'inciteront à recourir à des meilleures estimations des paramètres les plus sensibles du modèle ou à mettre en place les mécanismes de surveillance de ces paramètres déclencheurs de changement par leur moindre glissement.

L'impact de cette analyse est de décrire l'impact sur la solution optimale de changements apportés à l'un ou l'autre des paramètres du modèle.

Les paramètres d'un programme linéaire sont rarement connus avec certitude. Chaque variation d'un coefficient peut changer la solution optimale et la valeur optimale. Il est important de connaître la sensibilité de la solution aux variations des paramètres. D'autres part, certains paramètres sont contrôlables ; notamment les ressources en matériel, main d'oeuvre, argent : on peut décider de les augmenter ou de les diminuer. L'analyse de la sensibilité permet de le faire en connaissance de cause, c'est à dire de connaître les conséquences de ces décisions sur la valeur optimale^45(*).

Enfin si la solution est très sensible au changement de certains paramètres connus avec incertitude (erreurs de mesure, variabilité statistique) il peut être judicieux d'accorder davantage l'effort pour obtenir une bonne précision sur ces paramètres^46(*). Il est donc important de connaître les paramètres auxquels la solution est sensible.

3.7.1. Variation des coefficients de la fonction économique

a. Coefficient des variables hors base.

Les variables hors base n'entrent pas dans la solution de base parce que leur profit relatif est négatif. or, le profit relatif c'_j est égal à : c_j - A_j

Si l'augmentation de / c'_j /, _j ; dépasse c'_j, le profit relatif de x_j devient positif et x_j entre dans la base.

b. Coefficient des variables de base X_i

Une modification de c_j change et donc tous les c'_j. Il y a là un intervalle pour c_i tel qu'aucun c'_j ne devient positif. Si c_i sort de cette intervalle, la solution de base n'est plus optimale. Tant que c_i reste dans cet intervalle, la valeur de F est seulement modifiée en proportion du changement de c_i.

c. Changement de plusieurs coefficients

Il faut calculer les nouveaux c'_j et procéder à des itérations de la méthode du simplexe primale si certain c'_j sont positifs.

3.7.2. Modification du second membre

On suppose que b devient b' = b + b . Deux cas se présentent :

· B^-1b' 0

Dans ce cas les variables de base restent les mêmes. Seules leurs valeurs sont modifiées (égales à B^-1b' au lieu de B^-1b). De même la valeur optimale de F est modifiée et on peut calculer directement la nouvelle valeur grâce à la formule

F = b et F = b.

· B^-1b' n'est plus positif. Dans ce cas la base reste admissible pour le dual

(c'_j inchangé) mais non pour le primal. On procède donc à des itérations par

la méthode de simplexe duale.

· Intervalle d'insensibilité pour chaque coefficient. Si un seul coefficient est modifié, on peut calculer un intervalle pour ce coefficient tel que les variables de base restent les mêmes.

3.7.3. Modification dans la matrice

3.7.3.1. Adjonction de nouvelles variables

Cela crée une nouvelle variable hors base dont il est facile de calculer le profit

relatif. S'il est négatif, la nouvelle variable reste nulle et rien n'est modifié. S'il est positif , il faut continuer les itérations par la méthode du simplexe primale.

3.7.3.2. Modification de terme de la matrice

S'il s'agit de termes correspondant à des variables hors base, seuls les profits relatifs peuvent être modifiés. On procède alors comme dans le paragraphe traitant la variation des coefficients de la fonction économique. S'il s'agit de terme correspondant à des variables de base, la matrice B est modifiée. Il se peut alors que la base ne soit ni primal, ni dual admissible. Dans ce cas, il faut recommencer le programme linéaire au début.

3.7.3.3. Adjonction de nouvelles contraintes

Deux cas peuvent se présenter : la solution initiale satisfait aux nouvelles contraintes. Alors elle est aussi optimale pour le nouveau programme et X* n'est pas modifié.

Si la solution optimale ne satisfait pas les nouvelles contraintes, on peut utiliser les variables de surplus associées à celles-ci comme nouvelle variable de base , et procéder à des itérations de la méthode simplexe dual car les profits relatifs n'étant pas modifiés, la base reste duale admissible.

Dans l'étude de cas, nous avons utilisé le logiciel STORM. Ce dernier donne la possibilité de compléter la description de la solution optimale par divers renseignements, dont une analyse post optimale. Ce logiciel donne pour chaque C_j et pour b_i un « intervalle de sensibilité » : tant que le paramètre appartient à cet intervalle, il est possible de déduire la nouvelle solution optimale de l'ancienne, sans avoir à reprendre ou à poursuivre les opérations de pivotage.

CHAP 4 : ETUDE DE CAS PRATIQUE : LA BRIQUETERIE

RWANDAISE DE RULIBA

4.0 Introduction

Dans le cadre de ce travail, nous avons analysé le cas concret d'une entreprise industrielle fabriquant les matériaux de construction, la Briqueterie Rwandaise Ruliba pour montrer comment la programmation linéaire peut être un outil efficace de planification optimale de la production. L'étude de cas pratique comporte trois volets : le premier concerne la présentation générale de l'Entreprise, dans le second nous parlons du processus de fabrication et technologie de production. Enfin, le dernier volet se consacre à la formulation du problème. Voyons d'abord une présentation générale de l'entreprise.

4.1. Présentation succincte de la Briqueterie Rwandaise Ruliba.

4.1.1. Siège social

La Briqueterie Rwandaise Ruliba, « B.R.R » en sigle est implantée dans la Mairie de la ville de Kigali, à 15 km du centre Ville, dans la cellule Ruliba à côté de la rivière Nyabarongo, Route Kigali - Gitarama.

4.1.2. Objet social

La B.R.R est une société anonyme ayant pour objet social, la construction et l'exploitation d'une briqueterie industrielle, ainsi que le développement de l'industrie céramique du Rwanda.

4.1.3. Bref historique de la Briqueterie Rwandaise Ruliba.

Le projet d'installation d'une briqueterie industrielle date de 1985. La Briqueterie Rwandaise Ruliba, dont le principal initiateur est la Cellule d'Appui aux Innovations Industrielles, C .A .I. I. en abrégé, organisme bilatéral Rwando - Suisse, est une entreprise privée réunissant des capitaux privés.

Elle est actuellement constituée sous forme de société anonyme. L'entreprise a connu des débuts particulièrement difficiles :

- retard dans l'exécution du projet et la mise en production intervenue beaucoup

plus tard que prévu faussant ainsi toutes les prévisions tant du point de vue des

investissements que des revenus escomptés ;

- le lancement du nouveau produit difficile dans un marché exigu et déjà en

récession croissante ;

- insuffisance de capitaux propres, d'où le recours à un emprunt bancaire très

important, amenant la jeune société à supporter les charges financières

extrêmement lourdes.

- difficultés de trésorerie chroniques qu'a connues l'entreprise par le passé l'ayant

rendu incapable de répondre à ses engagements vis à vis d'un certain nombre

de ses partenaires (Banques, Receveur des impôts, fournisseurs,......).

Problèmes qui, en 1990 ont atteint un tel niveau que le dépôt de bilan pouvait être considéré par certains comme la seule solution aux problèmes et contraintes vécus.

Le fonds d'Appuis aux Innovations Industrielles (une opération

Rwando - Suisse) qui a longtemps appuyé le projet de création de cette entité envisageait dès la fin de l'année 1990, à la demande du conseil d'administration de la B.R.R, l'éventualité d'un appui à cette entreprise. Appui devant se traduire par la mise en oeuvre d'efforts nécessaires pour faire cette société, dans la mesure du possible, une société économiquement viable.

En effet, pour éviter à cette entreprise un état de faillite, le Fonds d'Appui aux Innovations Industrielles ( F.A.I.I. en abrégé) a décidé d'intervenir de façon directe dans son actionnariat ; l'intervention qui s'est manifesté en juin 1991, par une prise de participation du F.A.I.I dans le capital de la B.R.R à concurrence de 122.000.000, soit 53% du total des actions.

L'intervention du fonds - suisse est de caractère temporaire. Elle avait pour but essentiel l'assainissement et la restructuration de cette entreprise et si possible, l'amélioration de son efficience.

4.1.4. Présentation actuelle de la B.R.R

Actuellement, la Briqueterie Rwandaise de Ruliba est une société anonyme au capital social de 241 millions de francs rwandais, la valeur nominale est de 1000 francs pour une action. Fin 2002, les principaux actionnaires étaient :

- le Fonds d'Appuis aux Innovations Industrielle (122.000 actions),

- la Banque Rwandaise de Développement, B.R.D en abrégé (26.000 actions)

- la Caisse Hypothécaire du Rwanda, C.H.R. en abrégé (12.200 actions) et

- Monsieur MURENZI Jean ; (12.000 actions).

L'entreprise produit actuellement 24 types de blocs. La capacité journalière de production est de 41 tonnes. L'entreprise compte environ 152 employés permanents et une centaine de personnel occasionnel.

4.2. Processus de fabrication et la technologie de production

La fabrication des produits en terre cuite s'exécute dans l'ordre ci-après^47(*) :

· Préparation

· Façonnage

· Séchage

· Cuisson

· Tri et mise sur parc

4.2.1. Réception et stockage des matières premières

L'argile extraite actuellement à 7 km de l'usine est transportée par camions puis stockées dans trois bassins d'un volume de 1.000 m³ chacun, l'air de stockage peut recevoir l'équivalent d'environ 4 mois de production (1500 tonnes par mois). L'aire de stockage est à proximité de la zone d'alimentation des machines en matières premières qui actuellement, en plus de l'argile comprend également le kaolin extrait à RUYENZI. Pour le kaolin le stock est limité à une semaine de production.

Description du système

Depuis l'aire de stockage, l'argile est versée dans le doseur argile par un tractopelle acquit par l'entreprise l'an dernier ; avant ce travail se faisait par brouettes. Pour le kaolin utilisé à 20% dans le mélange, l'alimentation du doseur séparé se fait à la pelle, le kaolin étant versé à proximité du doseur. Il arrive qu'on utilise le sable dans les matières premières une fois utilisé il intervient à 15%, soit à environ 0,115 m³ par tonne de produit cuits.

Les matières premières sont convoyées par des bandes transporteuse en caoutchouc vers la première machine de préparation dénommée « Broyeur - mélangeur à grilles ». Dans cette première machine, l'argile est mélangée avec le kaolin : ce mélange est broyé, malaxé et en cas de besoin humidifié ; (par eau décantée) et continuera vers un laminoir - finisseur qui garantit l'écrasement en paillettes de moins de 1 mm. Il y a une bande transporteuse qui fait suivre la matière ainsi traitée à un stock - tampon disposant de 15 m³ de capacité. Ce stock constitue une importante sécurité de production, car la réserve correspond à environ la moitié de la production journalière. La chaîne de préparation pourrait donc opérer pendant que le matin, la masse traitée permet un façonnage des produits sur 7 - 8 heures.

4.2.2. Système de façonnage

Description du système

Le façonnage des produits se fait par une étireuse combinée à une pompe à vide. La tête de l'étireuse - mouleuses est pivotante. Le passage d'une filière à une autre, soit d'un produit à une autre, est ainsi rapide. Les étireuses ont des capacités et dimensions variées, celle de la B.R.R est d'une capacité moyenne (Elle peut aller jusqu'à 38 tonnes/heures). A la sortie de l'étireuse est montée une filière qui change en fonction du produit façonné. Le boudin qui sort de l'étireuse est coupé par un coupeur suivant les dimensions voulues.

4.2.3. Système séchage.

Description du système :

Les produits façonnés sont repris manuellement et empilés sur de châssis de séchage. Pour la fabrication des tuiles, l'étireuse donne des galettes qui par après sont pressées une à une sur une presse à tuiles. Les tuiles pressées et posées sur des cadres Individuels de séchage sont posés sur les mêmes châssis de séchage que les autres produits. Le rapport journalier établi à la fabrication indique les numéros des châssis chargés, la désignation du produit et la quantité par châssis, pour chaque produit fabriqué au cours de la journée.

Les châssis de séchage chargés de produits à sécher sont poussés dans un séchoir tunnel à l'aide d'un transbordeur équipé d'un vérin hydraulique. Le temps de séchage variant entre 72 et 96 heures. Ici il est à noter que c'est la capacité de séchage qui limite la production. En effet, les machines de préparation des matières et celles du façonnage fonctionnent de 7 à 18 heures chaque jours, alors que ces machines pourraient fonctionner jour et nuits.

Le séchoir de la BRR est un séchoir tunnel qui utilise en plus de la ventilation, de la chaleur récupérée du four. Pour augmenter la productivité de ce séchoir, il faudrait améliorer la ventilation par des ventilateurs de brassage et trouver une source de chaleur d'appoint. L'idée d'améliorer cet équipement est encore vive même si les contacts menés avec certaines entreprises européennes spécialisées ont abouti sur les prix hors portés.

4.2.4. Système empilage

Description du système

A la fin du séchoir, les produits secs sont empilés sur les wagons de cuissons. Les produits doivent être suffisamment secs et l'humidité résiduelle ne devrait dépasser 2%.

La cuisson des produits non suffisamment secs conduit, entre autre à des produits finis blanchâtres, à l'augmentation des déchets de cuissons etc.

Les produits secs sont empilés sur les wagons de cuisson. Pour la cuisson des tuiles, ces dernières sont empilées obligatoirement avec d'autres produits, blocs ou hourdis. L'un des problèmes rencontré à l'empilage est que certains jours il n'y a pas suffisamment de produits secs à empiler autres que tuiles, ce qui conduit à l'empilage des tuiles avec des déchets de hourdis. Pour résoudre ce problème, il faut essayer d'établir un programme de production de sorte que, dans la mesure du possible, la quantité des produits d'accompagnement des tuiles soient en équilibre avec la quantité des tuiles à empiler. Le rapport établi à l'empilage donne le numéro de chaque wagon et sa charge (désignation des différents produits et leur quantité respective).

4.2.5. Four - cuisson

Toutes les nouvelles briqueteries dans les pays Industrialisés sont équipées avec des fours « tunnel ». Nombreuses sont des anciennes unités de production qui remplacent les autres types de four par celui-ci, qui est le plus rationnel en consommation énergétique et qui garantit la meilleure qualité de cuisson.

Les produits sont empilés sur des wagons en structure métallique et revêtement en pièces réfractaires. Sur rails, ces wagons traversent le four en forme de tunnel où la température augmente progressivement vers le centre. Ensuite les wagons passent par une zone de refroidissement avant de sortir de l'autre extrémité du four.

C'est un four continu, c'est - à - dire : des wagons entrent et sortent du tunnel en intervalle. Un four pareil cuit en continu et n'est, si possible, jamais arrêté.

Le four tunnel utilisé par la BRR cuit d'abord les produits sur 5 à 6 jours par semaine, le dimanche la température habituelle de 950° - 1000°C est baissée à environ 600°C. Avec l'augmentation de la production, la cuisson se fait sur tous les jours sans interruption, jusqu'à la production de 18.000 tonnes/an. Il est prévu une rallonge de 12 m au four, la capacité de cuisson augmentera à 25.000 - 28.000 tonnes/an. Selon le type de produit.

4.2.6. Dépilage des produits cuits

Au poste dépilage, les produits cuits sont triés en premier et en deuxième

choix,mis sur palettes et sont transférés sur les parcs de stockage.

4.2.7. Le stockage des produits

Les produits cuits sortant en intervalles réguliers sur wagons du four sont

déchargés manuellement en zone de préparation palettes. Le cas habituel est la mise en stock sur palette, mode qui est plus confortable au chargement et qui permet de minimiser les déchets de la manutention et du transport.

Des simples palettes en bois sont préparées avec un seul type de produit. Le cerclage des palettes se fait manuellement, avec un équipement simple, des bandes feuillards de 12,7mm de largeur et des cachets métalliques. Après avoir brossé le processus de fabrication et la technologie de production, nous passons

à la formulation du problème qui est l'axe principal du présent chapitre.

4.3. Formulation du problème

4.3.1. Présentation synthétique du modèle

La Briqueterie Rwandaise de Ruliba fabrique des blocs de construction en terre cuite. Plus d'une vingtaine de produits sont écoulés sur le marché. Au cours de l'exercice 2002, elle a fabriqué 24 types de produits et compte les produire au cours de l'exercice 2003. L'unité de mesure de la production est exprimée en tonne. Chaque tonne de type de produit a sa marge bénéficiaire qui est égale à la différence entre le prix de vente et celui de revient. Les calculs de la marge bénéficiaire et du coût de revient pour chaque tonne de type de produit seront faits dans les paragraphes qui suivent.

L' entreprise dispose d'une chaîne de fabrication divisée en cinq ateliers :

- atelier de façonnage ;

- atelier de séchage ;

- atelier d'empilage ;

- atelier de cuisson ;

- atelier de dépilage.

Sauf les ateliers de séchage et celui de cuisson qui sont opérationnels 24h/24h, dans les autres ateliers on travaille 22 jours du mois. Le service technique prévoit 672 heures pour entretien et réparation du four et 40 heures pour chaque atelier. Il est très difficile de prévoir les heures perdues suite aux coupures du courant et autres éventuelles pannes par ce qu'il n'existe pas des rapports quotidiens qui montrent les heures perdues et leurs motifs. Ceci constitue une limite d'une bonne estimation des heures travaillées dans l'année.

Nous construisons les contraintes technologiques relatives à la main d'oeuvre disponible en heures de travail en ne tenant pas compte des heures perdues.

Les charges du personnel qui représentent une proportion importante du coût total, constituent un élément sur lequel les gestionnaires de l'entreprise mettent leur regard pour leur maîtrise. C'est pour cela que les responsables se donnent comme objectif le respect du rapport charge du personnel sur le chiffre d'affaires inférieur ou égale à 14%.

A la fin de l'exercice 2002, le carnet de commandes révèle qu'il y a des commandes fermes qui jusqu'au 31/12/2002 ne sont pas exécutées. La B.R.R prévoit leur exécution en 2003.

La capacité de production installée est de 18.000 tonnes par l'an. Pour pouvoir faire face à la demande qui s'accroît, les dirigeants se donnent l'objectif d'utiliser presque les 100% de la capacité installée.

L'autre élément à souligner est que les états financiers prévisionnels pour 2003 reflètent une rentabilité qui est tout au moins égale à celle de l'an 2002.

A part les produits concernés par les commandes fermes ; les prévisions des 2003 montrent les proportions minimales dans lesquelles les autres types de blocs sont produits.

Ici le grand problème est de savoir comment la B.R.R peut maximiser avec sa production annuelle, la contribution au profit.

Le nombre de variables de décision sera égal au nombre de type de blocs produits par l'entreprise (l'unité statistique sera exprimée en tonne). L'entreprise est confrontée à 20 contraintes :

- contrainte main d'oeuvre disponible ( en heures dans trois ateliers pour 2003)

ce qui correspond à 3 contraintes ;

- contrainte capacité de production, ce qui correspond à 1 contrainte ;

- contrainte ratio frais de personnel / chiffre d'affaire, ce qui correspond à 1 contrainte ;

- contrainte ratio de rentabilité, ce qui correspond à 1 contrainte ;

- contrainte commande ferme pour cinq types de x_j, ce qui correspond à 5

contraintes 

- contrainte proportion minimale pour neuf types de x_j, non concerné par les

commandes fermes ; ce qui correspond à 9 contraintes ;

La fonction objectif s'écrit

24

Max Z = c_j x_j

j = 1 j = (1..................24)

avec c_j : marge bénéficiaire pour une tonne du produit x_j

- La condition selon laquelle il y a quelques heures consacrées à chaque x_j dans

chaque atelier peut s'écrire :

24

t_ij X_j T_i (1)

j = 1

avec t_ij : temps requis dans l'atelier i pour fabriquer le produit x_j

T_i : temps total disponible dans l'atelier i pendant la période

La condition que le rapport charges de personnel /chiffre d'affaire soit inférieur ou égal à 14% , peut être présentée comme suit :

H 14 (2) avec H : frais de personnel

24 100

P_j x_j 24

j = 1 P_j x_j : Chiffre d'affaire

j = 1

La condition selon laquelle la production totale ne peut pas dépasser la production que peut dégager la capacité installée, s'écrit comme suit :

24

X_j 18.000 tonnes (3)

j = 1

La condition que le carnet de commande forcera la B.R.R à fabriquer au cours de l'année 2003 au moins la quantité commandée peut se présente comme suit :

X_j D_j (4) ; D_j : Commande ferme pour le produit X_j.

La condition que la rentabilité de l'an 2003 doit être supérieure ou égale à la rentabilité de l'an 2002 s'écrit comme suit :

24 24

C_jX_j - 35 C_jX_j

j = 1 100 j = 1 r (5)

K

Avec 24

C_jX_j : bénéfice avant impôt pour 2003

j = 1

24

35 C_jX_j : impôt sur bénéfice

100 j = 1

24 24

C_jX_j - 35 C_jX_j : Bénéfice déduit d'impôt (Résultat net)

j = 1 100 j = 1

K : Capitaux propres.

Les prévisions conditionnelles de la production 2003 s'expriment comme suit

X_j w

Q_p

Avec w = proportion minimale de la production de X_j. Ici les X_j concernés ne font

pas objet des commandes fermes.

24

Considérons Q :  Production totale : = X_j  

^{j = 1}

Q_d : Quantité commandée ( X₂ + X₄ + X₁₆ + X₁₇ + X₂₄ )

Q_p : Production non concernée par les commandes (production pour le

marché)

Q - Q_d = Q_p

24

X_j - (X₂ + X₄ + X₁₆ + X₁₇ + X₂₄ ) = Q_p

j = 1

Résumons notre modèle : il s'agit de maximiser Z sous les contraintes ci-dessus

Le modèle se présente comme suit :

24

Max z = C_jX_j

j = 1

Sous les contraintes :

24

X_j 18000 (1)

j=1

H

14 (2)

24 100

P_jX_j

j=1

24 24

C_jX_j - 35 C_jX_j

j = 1 100 j = 1 r (3)

K

24

t_ijX_j T_i (4)

j=1

X_j D_j (5)

X_j w (6)

Q_p

X_j 0 : Contrainte de non négativité (7)

4.3.2 Expression du modèle à partir des données statistiques de l'entreprise

a. Fonction objectif

Comme nous l'avons dit dans le paragraphe (infra. 4.3.1), la marge bénéficiaire est donnée par la différence entre le prix de vente et le prix de revient. Ce calcul de la marge sera fait pour chaque type de produit. Dans les pages qui précèdent nous avons présenté la fonction objectif comme suit :

24

Max z = C_jX_j

j =1

avec C_j : marge bénéficiaire pour une tonne du produit X_j

Le prix de revient

A ce jour, la société n'a pas de comptabilité analytique pour déterminer ses prix de revient. Une analyse des prix de revient a dès lors nécessité l'élaboration d'un système simplifié de calcul ayant pour objet de déterminer le prix de référence de la matière de base de la briqueterie, soit la terre cuite ci-après appelée « produit rouge ».

Dans ces produits rouges nous distinguons plusieurs gammes. Les chiffres de référence sont tirés du compte d'exploitation normalisé de l'exercice 2002 ;

c'est-à-dire de la situation économique jugée comme normale.

La deuxième base de nos calculs de prix de revient est la production effective de l'exercice 2002. Un tableau récapitulatif dressé à partir des rapports de production de l'usine est donné en annexe n°1.

Au cours de cette période de douze mois, la B.R.R. a donc produit 16.524,05 tonnes de produits confondus dont la valeur estimée est hors taxe sur la valeur ajoutée (T.V.A.)

Une liste comparative des prix de revient et prix de vente va nous permettre de dégager les marges bénéficiaires pour chaque type de produit, lesquelles marges vont nous servir dans la construction de la fonction objectif de notre modèle.

Tableau n° 6 : Charges d'exploitation (2002)

	Charges	Montant
1 2 3 4 5 6 7 8	Matières premières et fournitures consommées Transports consommés Autres services consommés Charges diverses Frais de personnel Impôts et taxes Intérêts bancaires Amortissements de l'exercice	105 064 769 1 771 459 14 916 833 11 046 134 73 086 521 1 727 250 2 656 273 40 679 817
		250 949 056

Source : Compte d'exploitation B.R.R., Année 2002.

Tableau n° 7 : Production de 12 mois d'activité (2002)

Mois	Tonnes produites
Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre	1 037,40 1 086,97 900,973 1 455,14 1 515,49 1 579,59 1 646,17 1 807,54 1 469,16 1 569,89 1 371,44 1 084,30
Total production	16 524,05

Source : Synthèse des rapports de production faite par l'auteur, Année 2002.

L'entreprise ne fabrique que les blocs de construction (produits rouges), raison pour laquelle nous avons affecté toutes les charges à ces produits.

Connaissant la production annuelle (en tonne) et le total des charges relatives à cette production, nous pouvons estimer le prix de revient par tonne.

Total charges

Le prix de revient par tonne =

nombre de tonnes produit

250 949 056

nous avons : = 15 187 Frw/Tonne

16 524,05

Connaissant le prix de revient de la tonne, le poids de chaque type de bloc et son prix de vente, nous avons des données de base pour calculer la marge bénéficiaire pour chaque type de bloc, ce qui nous permettra en définitive de calculer la marge bénéficiaire pour une tonne de chaque type de produits. Le détail des calculs se trouve dans le tableau ci-après.

Base de calcul : prix de revient par tonne : 15187 Frw /Tonne

Tableau n° 8 : Calcul des prix de revient d'une pièce produite au 31/12/2002

J	Type de produit	Poids par	Prix de revient	Prix de vente	Marges
		pièce en	par poids de	de la pièce	PV-PR
		kgs	la pièce	hors T.V.A
1	B 40 X 17,5 X 19	13,80	210	330	120
2	B 40 X 17,5 X 12	10,50	159	210	51
3	B 25 X 17,5 X 19	8,90	135	140	5
4	B 25 X 17,5 X 9,5	4,35	66	100	34
5	B 25 X 12 X 19	6,30	96	180	84
6	B 25 X 12 X 12	3,15	48	90	42
7	B 25 X 12 X 6,3	2,00	30	45	5
8	B 25 X 6 X 6,3	1,00	15	23	8
9	Hourdis de 16	12,00	182	390	208
10	Hourdis de 12	9,50	144	220	76
11	Bloc U 19	7,50	114	270	156
12	Bloc U 17,5	7,10	108	220	112
13	Bloc U 12	2,70	41	100	59
14	Claustras de 19	4,00	60	230	170
15	Claustras de 17	3,60	55	200	145
16	Pavées-autobloquant	1,90	29	40	11
17	B 21 X 10 X6,3	2,00	30	35	5
18	B 21 X 5 X6,3	1,00	15	23	8
19	1/2 Hourdis de 12	4,20	63	180	117
20	39 X 19 X 19	15,00	228	360	132
21	1/2 Hourdis de 16	7,10	108	220	112
22	40 X X 17,5 X 9,5	6,90	105	170	65
23	39 X 19 X 12	12,00	182	230	48
24	Tuiles	2,50	170	200	30
	Source : Fait par l'auteur à partir de la formule du prix de revient par pièce

Nous avons codifié les produits fabriqués par des numéros de 1 à 24. Dans la suite de notre travail, les différents produits seront identifiés par les variables x_j ;

j = 1,2,....,24 ; j étant l'indice attribué aux produits.

Prix de revient/tonne x poids de la pièce

Prix de revient de la pièce =

1000

A partir du tableau n° 8, nous pouvons calculer la marge bénéficiaire pour une tonne de chaque type de produit. Les marges dégagées dans la colonne (6) du tableau précédent concernent chaque type de bloc.

Formule

Marge bénéficiaire /pièce x 1000

Marge bénéficiaire pour une tonne =

Poids de la pièce

j : Indice attribué à chaque produit

Tableau n° 9 : Calcul de la marge bénéficiaire d'une tonne pour chaque type de produit.

j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Poids/Pièce	13,8	10,5	8,9	4,35	6,3	3,15	2	1	12	9,5	7,5	7,1	2,7	4	3,6	1,9	2	1	4,2	15	7,1	6,9	12	2,5
Marge / pièce	120	51	5	34	84	42	5	8	208	76	156	112	59	170	145	11	5	8	117	132	112	65	48	162
Marge/tonne produite	8696	4257	562	7816	13333	13333	2500	800	17333	8000	20800	17668	21852	42500	40278	5789	2500	8000	27857	8800	15775	9420	4000	12000

Source : Fait par l'auteur sur base des données du tableau n° 8.

j : Indice attribué à chaque produit.

Les variables de décision

Ces dernières sont définies par les X_j.

J = 1,2,..., 24 ( 24 = nombre de produits fabriqués)

Signification des variables de décision

Exemple

X₁ : nombre de tonne à produire pour le produit n° 1

X₁₈ : nombre de tonne à produire pour le produit n° 18

Note : ici le n° remplace la désignation de chaque produit ( cfr tableau n° 8 )

Après avoir déterminé la contribution unitaire au profit de chaque type de produit

(cfr tableau n° 9), nous pouvons construire la fonction objectif.

24

Théoriquement : Max Z = C_jX_j

j = 1

A partir des données du tableau n° 9 nous avons :

Max Z = 8696x₁ + 4857x₂ + 562x₃ + 7816x₄ + 13333x₅ + 13333x₆ + 2500x₇ + 800x₈

+ 17333 x₉ + 8000x₁₀ + 20800x₁₁ + 17668x₁₂ + 21852x₁₃ + 42500x₁₄ + 40278x₁₅

+ 5789x₁₆ + 2500x₁₇ + 8000x₁₈ + 27857x₁₉ + 8800x₂₀ + 15775x₂₁ + 9420x₂₂ + 4000x₂₃ + 12000x₂₄

b. Expression des contraintes.

b.1. Contraintes de la demande et estimation du marché potentiel des

produits de la B.R.R.

A partir du tableau ci-dessous montrant l'évolution des ventes en quantité pour chaque x_j sur un horizon de cinq ans (1998 - 2002), nous pouvons estimer le marché potentiel annuel moyen pour chaque type de produit. Les prix de vente n'ont pas changé depuis 1998.

L'estimation du marché potentiel est déterminée à partir des tableaux ci-après :

	Tableau n° : 10	Quantités vendues en 1998
j	Type de produit	Nombre de	Poids par pièce	Poids total
		pièces vendues	( kgs / pièce )	en kgs	en tonne
1	B 40 x 17,5 x 19	576 068	13,80	7 949 738	7 950
2	B 39 x 19 x 19	0	15,00	0	0
3	B 25 x 17,5 x 9,5	323 887	4,35	1 408 908	1 408
4	B 25 x 12 x 19	20 755	6,30	130 757	131
5	B 25 x 12 x 9,5	107 337	3,15	338 112	338
6	B 25 x 12 x 6,3	198 233	2,00	396 466	396
7	Hourdis de 16	1 983	12,00	23 796	24
8	Hourdis de 12	2 912	9,50	27 664	28
9	1/2 Hourdis de 16	0	7,10	0	0
10	1/2Hourdis de 12	60	4,20	252	0,3
11	B u de 12	952	2,70	2 570	2,6
12	B U de 19	9 790	7,50	73 425	73,0
13	Claustras de 17,5	14 130	3,60	50 868	51,0
14	Claustras de 19	9 031	4,00	36 124	36,0
15	B 40 x 17,5 x 9,5	0	6,90	0	0
16	B 25 x 6 x 6,3	0	1,00	0	0
17	B 25 x 17,5 x 19	0	8,90	0	0
18	B 39 x 19 x 12,5	0	12,00	0	0
19	B 21 x 10 x 6,3	0	2,00	0	0
20	B Brique pavées	0	2,00	0	0
21	B 21 x 5 x 6,3	0	10,50	0	0
22	Tuiles	0	2,50	0	0
23	B 21 x 5 x 6,3	0	1,00	0	0
24	B U de 17,5	20 305	7,10	144 166	144
	Total			10 582 846	10 438
	Source : fait par l ' auteur sur base des données du compte d'exploitation ,
	Année 1998
	Tableau n° : 11	Quantités vendues en 1999
j	Type de produit	Nombre de	Poids par pièce	Poids total
		pièces vendues	( kgs / pièce )	en kgs	en tonne
1	B 40 x 17,5 x 19	572 966	13,80	7 906 931	7 907
2	B 39 x 19 x 19	38	12,50	475	0,60
3	B 25 x 17,5 x 9,5	268 058	4,35	1 166 052	1 166
4	B 25 x 12 x 19	19 078	6,30	120 191	120
5	B 25 x 12 x 9,5	30 568	3,15	96 289	96
6	B 25 x 12 x 6,3	121 938	2,00	243 876	244
7	Hourdis de 16	6 235	12,00	74 820	75
8	Hourdis de 12	13 526	9,50	128 497	128
9	1/2 Hourdis de 16	116	7,10	824	0,80
10	1/2Hourdis de 12	443	4,20	1 861	1,80
11	B u de 12	13 287	2,70	35 875	36
12	B U de 19	2 560	7,50	19 200	19
13	Claustras de 17,5	9 038	3,60	32 537	33
14	Claustras de 19	4 430	4,00	17 720	18
15	B 40 x 17,5 x 9,5	0	6,90	0	0
16	B 25 x 6 x 6,3	0	1,00	0	0
17	B 25 x 17,5 x 19	0	8,90	0	0
18	B 39 x 19 x 12,5	0	12,00	0	0
19	B 21 x 10 x 6,3	0	2,00	0	0
20	B Brique pavées	0	2,00	0	0
21	B 21 x 5 x 6,3	0	10,50	0	0
22	Tuiles	0	2,50	0	0
23	B 21 x 5 x 6,3	0	1,00	0	0
24	B U de 17,5	10 021	7,10	71 149	71
	Total			9 916 297	9 916
	Source : fait par l ' auteur sur base des données du compte d'exploitation ,
	Année 1999
	Tableau n° : 12	Quantités vendues en 2000
j	Type de produit	Nombre de	Poids par pièce	Poids total
		pièces vendues	( kgs / pièce )	en kgs	en tonne
1	B 40 x 17,5 x 19	453 107	13,80	6 252 876	6 252,9
2	B 39 x 19 x 19	29 121	12,50	364 012	364,0
3	B 25 x 17,5 x 9,5	177 395	4,35	771 668	771,6
4	B 25 x 12 x 19	39 586	6,30	249 391	249,3
5	B 25 x 12 x 9,5	33 005	3,15	103 965	103,9
6	B 25 x 12 x 6,3	385 401	2,00	770 802	770,8
7	Hourdis de 16	2 860	12,00	34 320	34,3
8	Hourdis de 12	11 200	9,50	106 400	106,4
9	1/2 Hourdis de 16	25	7,10	177	0,1
10	1/2Hourdis de 12	106	4,20	445	0,44
11	B u de 12	10 290	2,70	27 783	27,7
12	B U de 19	9 895	7,50	74 213	74,0
13	Claustras de 17,5	6 072	3,60	21 859	22,0
14	Claustras de 19	4 739	4,00	18 956	19,0
15	B 40 x 17,5 x 9,5	14 851	6,90	102 472	102,0
16	B 25 x 6 x 6,3	0	1,00	0	0,0
17	B 25 x 17,5 x 19	0	8,90	0	0,0
18	B 39 x 19 x 12,5	0	12,00	0	0,0
19	B 21 x 10 x 6,3	0	2,00	0	0,0
20	B Brique pavées	0	2,00	0	0,0
21	B 21 x 5 x 6,3	0	10,50	0	0,0
22	Tuiles	0	2,50	0	0,0
23	B 21 x 5 x 6,3	0	1,00	0	0,0
24	B U de 17,5	5 266	7,10	37 389	37,0
	Total				8 935,34
	Source : fait par l ' auteur sur base des données du compte d'exploitation ,
	Année 2000
	Tableau n° : 13	Quantités vendues en 2001
j	Type de produit	Nombre de	Poids par pièce	Poids total
		pièces vendues	( kgs / pièce )	en kgs	en tonne
1	B 40 x 17,5 x 19	455 499	13,80	6 285 886	6 285,9
2	B 39 x 19 x 19	2 442	15,00	36 630	36,6
3	B 25 x 17,5 x 9,5	126 883	4,35	551 941	551,9
4	B 25 x 12 x 19	24 102	6,30	151 843	151,8
5	B 25 x 12 x 9,5	61 197	3,15	192 771	192,8
6	B 25 x 12 x 6,3	171 552	2,00	343 104	343,1
7	Hourdis de 16	6 685	12,00	80 220	80,2
8	Hourdis de 12	8 174	9,50	77 653	77,7
9	1/2 Hourdis de 16	271	7,10	1 924	1,9
10	1/2Hourdis de 12	371	4,20	1 558	1,6
11	B u de 12	13 902	2,70	37 535	37,5
12	B U de 19	3 847	7,50	28 853	28,9
13	Claustras de 17,5	5 986	3,60	21 550	21,5
14	Claustras de 19	4 533	4,00	18 132	18,1
15	B 40 x 17,5 x 9,5	24 012	6,90	165 683	165,7
16	B 25 x 6 x 6,3	46 430	1,00	46 430	46,4
17	B 25 x 17,5 x 19	23 649	8,90	210 476	210,5
18	B 39 x 19 x 12,5	3 200	12,00	38 400	38,4
19	B 21 x 10 x 6,3	275 839	2,00	551 678	551,7
20	B Brique pavées	75 370	2,00	150 740	150,7
21	B 21 x 5 x 6,3	173	10,50	1 817	1,8
22	Tuiles	0	2,50	0	0,0
23	B 21 x 5 x 6,3	0	1,00	0	0,0
24	B U de 17,5	6 222	7,10	44 176	44,2
	Total			9 038 999	9 039,00
	Source : fait par l ' auteur sur base des données du compte d'exploitation ,
	Année 2001

Tableau n° 14 : Quantités vendues en 2002

Type de produit	Nombre de pièces vendues	Poids par pièce ( kgs / pièce )	Poids Total
			en kgs	en tonne
B 40 x 17,5 x 19	181 395	13,8	2 503 251	2 503
B 39 x 19 x 19	4 034	15	60 510	61
B 25 x 17,5 x 9,5	211 728	4,35	921 017	921
B 25 x 12 x 19	17 976	6,3	113 249	113
B 25 x 12 x 9,5	342 643	3,15	1 079 325	1 079
B 25 x 12 x 6,3	126 329	2	252 658	253
Hourdis de 16	28 356	12	340 272	340
Hourdis de 12	16 500	9,5	156 750	157
½ Hourdis de 16	228	7,1	1 619	2
½ Hourdis de 12	357	4,2	1 499	1
B u de 12	15 640	2,7	42 228	42
B u de 19	4 568	7,5	34 260	34
Claustras de 17,5	9 703	3,6	34 930	35
Claustras de 19	8 476	4	33 904	34
B 40 x 17,5 x 9,5	119 968	6,9	827 779	828
B 25 x 6 x 6,3	16 252	1	16 252	16
B 25 x 17,5 x 19	34 698	8,9	308 812	309
B 39 x 19 x 12,5	5 431	12	65 172	65
B 21 x 10 x 6,3	4 326 503	2	8 653 006	8 653
Briques pavées	506 208	2	1 012 400	1 012
B 21 x 5 x 6,3	151 960	10,5	1 595 580	1 596
Tuiles	99 418	2,5	248 545	248
B 21 x 5 x 6,3	22 941	1	22 941	23
B U de 17,5	6 492	7,1	46 093	46
Total				18 371

Source : fait par l'auteur sur base des données du compte d'exploitation, Année 2002.

Tableau n° 15: Estimation du marché potentiel

j	Demande en Tonne					Cumul	Demande potentielle moyenne
	1998	1999	2000	2001	2002
1.	7 950	7 906	6 253	6 286	2 503	30 898	6 180
2.	0	0	0	0	1 596	1 596	1 596
3.	0	0	0	210	309	519	260
4.	1 408	1 166	772	552	921	4 819	964
5.	131	120	249	152	113	765	153
6.	338	96	104	193	1 079	1 810	362
7.	396	244	771	343	253	2 007	401
8.	0	0	0	46	16	62	12
9.	24	75	34	80	340	553	111
10.	28	128	106	78	157	497	99
11.	73	19	74	29	34	229	46
12.	144	71	37	44	46	342	68
13.	3	36	28	38	42	146	29
14.	36	18	19	18	34	125	25
15.	51	32	22	22	35	162	32
16.	0	0	0	151	1 012	1 163	582
17.	0	0	0	552	8 653	9 205	4 603
18.	0	0	0	0,1	23	23	23
19.	0,3	2	1	2	1	6	1
20.	0	1	364	37	61	463	93
21.	0	1	0,1	2	2	5	2
22.	0	0	102	166	828	1 096	365
23.	0	0	0	38	65	103	52
24.	0	0	0	0	248	248	248
	10 582	9 914	8 936	11 040	18 371	56 842

Source : fait par l'auteur sur base des données des dernières colonnes des tableaux

n° 10 ; 11 ; 13 ; 14

Cumul = ? D_j,i

D_j,i : demande de x_j dans l'année i.

Demande potentielle moyenne : ? D_j,i

5

j = 1 ...........24

i = 1 ............5

La fourchette que nous nous sommes donnée (1998 - 2002) pour estimer la demande potentielle moyenne nous fait remarquer qu'il y a eu l'introduction de nouveaux produits sur le marché, ceci pour dire que le calcul de la demande potentielle moyenne sera différente.

Exemple

? D_j,i 30 898

- La demande potentielle moyenne du produit n°1 : = = 6 180

5 5

- La demande potentielle moyenne du produit n° 16 (produit introduit) :

? D_{j, i} 1 163

= = 582

2 2

Dans le tableau qui précède, la colonne dans laquelle nous lisons ? D_j,i représente la demande potentielle pour chaque type de produit (l'unité statistique utilisée est la tonne).

A la fin de l'exercice 2002, le carnet de commandes nous révèle que la Caisse Sociale du Rwanda et d'autres particuliers ont passé des commandes qui jusqu'au 31/12/2002 ne sont pas exécutés. L'entreprise prévoit leur exécution en 2003 . Ces commandes fermes se présentent comme suit :

Tableau n° 16 : Les commandes fermes au 31/12/2002.

Nom du client	Produits commandés	N° du produit j	Quantités commandées
Particuliers	B 40x17,5x12 B 25x17,5x9,5	2 4	859 tonnes 1820 tonnes
C.S.R	Pavées autobloquants B 21x10x 6,3 Tuiles Roofing	16 17 24	822 tonnes 3652 tonnes 2488 tonnes

Source : Carnet de commande de la B.R.R. au 31/12/2002

Il ressort de ce tableau que les contraintes de la demande exigent que le plan de production de la Briqueterie Rwandaise Ruliba satisfasse les commandes fermes :

X₂ = 859

X₄ = 1 820

X₁₆ = 822

X₁₇ = 3 652

X₂₄ = 2 488

Dans une partie de la production qui n'est pas concernée par les commandes fermes, certains produits doivent être produits tout au moins dans les proportions décrites comme suit :

₂₄

Considérons Q  : Production totale = ? x_j

^j=1

Q_d : Production qui concerne les commandes

c-à-d : x₂ + x₄ + x₁₆ + x₁₇ + x₂₄

Q_p : Production non concernée par les commandes.

Q - Q_d = Q_p

( x₁ + x₂ + ......+ x₃ + .....+ x₂₄) - (x₂ + x₄ + x₁₆ + x₁₇ + x₂₄) = Q_p

Comme dit ci-dessus,

X₁ = 70% Q_p x₇ = 4% Q_p

X₃ = 3 % Q_p x₈ = 0,1% Q_p

X₅ = 1 % Q_p x₉ = 1% Q_p

X₆ = 4 % Q_p x₁₀ = 1% Q_p

X₂₂ = 4% Q_p

Ces contraintes sont exprimées comme suit :

1) 30x₁ - 70x₃ - 70x₅ + 70x₆ - 70x₇ - 70x₈ - 70x₉ - 70x₁₀ - 70x₁₁ - 70x₁₂ - 70x₁₃

- 70x₁₄ - 70x₁₅ - 70x₁₈ - 70x₁₉ - 70x₂₀ - 70x₂₁ - 70x₂₂ + 70x₂₃ = 0

2) - x₁ + 97x₃ - 3x₅ - 3x₆ - 3x₇ - 3x₈ - 3x₉ - 3x₁₀ - 3x₁₁ - 3x₁₂ - 3x₁₃ - 3x₁₄ - 3x₁₅ - 3x₁₈

- 3x₁₉ - 3x₂₀ - 3x₂₁ - 3x₂₂ -3x₂₃ = 0

3) - x₁ - x₃ + 99x₅ - x₆ - x₇ - x₈ - x₉ - x₁₀ - x₁₁ - x₁₂ - x₁₃ - x₁₄ - x₁₅ - x₁₈ - x₁₉ - x₂₀ - x₂₁

- x₂₂ -x₂₃ = 0

4) - 4x₁ - 4x₃ - 4x₅ + 96x₆ - 4x₇ - 4x₈ - 4x₉ - 4x₁₀ - 4x₁₁ - 4x₁₂ - 4x₁₃ - 4x₁₄ - 4x₁₅

- 4x₁₈ - 4x₁₉ - 4x₂₀ - 4x₂₁ - 4x₂₂ - 4x₂₃ = 0

5) - 4x₁ - 4x₃ - 4x₅ - 4x₆ + 96x₇ - 4x₈ - 4x₉ - 4x₁₀ - 4x₁₁ - 4x₁₂ - 4x₁₃ - 4x₁₄ - 4x₁₅

- 4x₁₈ - 4x₁₉ - 4x₂₀ - 4x₂₁ - 4x₂₂ -4x₂₃ = 0

6) - 0,1x₁ - 0,1x₃ - 0,1x₅ - 0,1x₆ - 0,1x₇ + 99,9x₈ - 0,1x₉ - 0,1x₁₀ - 0,1x₁₁ - 0,1x₁₂

- 0,1x₁₃ - 0,1x₁₄ - 0,1x₁₅ - 0,1x₁₈ - 0,1x₁₉ - 0,1x₂₀ - 0,1x₂₁ - 0,1x₂₂ - 0,1x₂₃ = 0

7) - x₁ - x₃ - x₅ - x₆ - x₇ - x₈ - x₉ + 99x₁₀ - x₁₁ - x₁₂ - x₁₃ - x₁₄ - x₁₅ - x₁₈ - x₁₉ - x₂₀ - x₂₁

- x₂₂ -x₂₃ = 0

8) - x₁ - x₃ - x₅ - x₆ - x₇ - x₈ - x₉ + 99x₁₀ - x₁₁ - x₁₂ - x₁₃ - x₁₄ - x₁₅ - x₁₈ - x₁₉ - x₂₀ - x₂₁

- x₂₂ -x₂₃ = 0

9) - x₁ - 4x₃ - 4x₅ - 4x₆ - 4x₇ - 4x₈ - 4x₉ - 4x₁₀ - 4x₁₁ - 4x₁₂ - 4x₁₃ - 4x₁₄ - 4x₁₅ - 4x₁₈

- 4x₁₉ - 4x₂₀ - 4x₂₁ + 96x₂₂ - 4x₂₃ = 0

b.2. Contrainte capacité de production.

La capacité de production installée est de 18000 tonnes par an. Théoriquement cette contraintes est formulée comme suit :

₂₄

? x_j = 18 000

j =1

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ + x₉ + x₁₀ + x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ + x₁₅ +

x₁₆ + x₁₇ + x₁₈ + x₁₉ + x₂₀ + x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ = 18 000.

b.3. Contrainte de gestion

b.3.1 Contrainte du ratio masse salariale/chiffre d'affaire.

La condition que le rapport charges du personnel sur le chiffre d'affaires soit inférieur ou égal à 14% peut être présentée comme suit :

H 14

₂₄ =

? P_j x_j 100

j=1

24

Avec ? P_j x_j : chiffre d'affaire annuel.

j=1

Avec P_j : Le prix d'une tonne du produit x_j.

H : La masse salariale. Les prévisions donnent une masse salariale

évaluée à 84.000.000 Frw.

Les prix de vente qui ressortent du tableau ci - dessous nous permettent de calculer

24

? P_j x_{j .}

j=1

Tableau n° 17 : Prix de vente hors T.V.A pour chaque x_j.

J	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Prix	23 913	20 000	15 730	22 988	28 571	28 571	22 500	23 000	32 500	23 158	36 000	30 985	37 037	57 500	55 555	21 052	17 500	23 000	42 857	24 000	30 985	24 637	19 166	80 000

Source : Fait par l'auteur sur base de la liste des prix dressée par la B.R.R.

L'expression mathématique de cette contrainte est :

84.000.000

= 14

100

(23 913 x₁ + 20 000x₂ + 15 730x₃ + 22 988x₄ + 28 571x₅ + 28 571x₆ + 28 500x₇ +

23 000x₈ + 32 500 x₉ + 23 158x₁₀ + 36 000x₁₁ + 30.985x₁₂ + 37.037x₁₃ + 57.500x₁₄ + 55.555x₁₅ + 21.052x₁₆ + 17.500x₁₇ + 23.000x₁₈ + 42.857x₁₉ + 24.000x₂₀ + 30.985x₂₁ + 24.637x₂₂ + 19.166x₂₃ + 80.000x₂₄)

En simplifiant on aura :

(3.348 x₁ + 2.800x₂ + 2.202x₃ + 3.218x₄ + 4.000x₅ + 4.000x₆ + 3.150x₇ + 3.220x₈ + 4.550x₉ + 3.242x₁₀ + 5.040x₁₁ + 4.338x₁₂ + 5.185x₁₃ + 8.050x₁₄ + 7.778x₁₅ + 2.947x₁₆ + 2.450x₁₇ + 3.220x₁₈ + 6.000x₁₉ + 3.360x₂₀ + 4.338x₂₁ + 3.449x₂₂ + 2.683x₂₃ + 11.200x₂₄) = 84 000 000.

b.3.2. Contrainte ratio de rentabilité financière.

La ratio de rentabilité financière est donnée par le rapport entre le résultat net et les capitaux propres. Le résultat qui est utilisé dans ce calcul est déduit d'impôt. Selon la législation rwandaise, le taux d'impôt est fixé à 35% du bénéfice réalisé.

Pour 2003, les dirigeants se donnent l'objectif de dépasser le taux de rentabilité réalisé au cours de l'exercice 2002.

Théoriquement la contrainte est formulée comme suit

24 24

? C_j X_j - 0,35 ? C_j X_j

j=1 j = 1

= r

k

avec : 24

? C_j X_j  : Bénéfice avant impôt

j =1

24 24

? C_j X_j - 0,35 ? C_j X_j : (bénéfice déduit d'impôt) = (Résultat net).

j=1 j = 1

k : capitaux propres

r : taux de rentabilité 2002.

En développant la contrainte ci-dessus nous avons :

(8.696 x₁ + 4.857 x₂ + 562 x₃ + 7.816 x₄ + 13.333 x₅ + 13.333 x₆ + 2.500 x₇ + 800 x₈ + 17.333 x₉ + 8.000 x₁₀ + 20.800 x₁₁ + 17.668 x₁₂ + 21.852 x₁₃ + 42.500 x₁₄ + 40.278 x₁₅ + 4.789 x₁₆ + 2.500 x₁₇ + 8.000 x₁₈ + 27.857 x₁₉ + 8.800 x₂₀ + 15.775 x₂₁ + 9.420 x₂₂ + 4.000 x₂₃ + 12.000x₂₄ ) = F

0,35 (8.696 x₁ + 4.857 x₂ + 562 x₃ + 7.816 x₄ + 13.333 x₅ + 13.333 x₆ + 2.500 x₇ + 800 x₈ + 17.333 x₉ + 8.000 x₁₀ + 20.800 x₁₁ + 17.668

x₁₂ + 21.852 x₁₃ + 42.500x₁₄ + 40 278x₁₅ + 5.789x₁₆ + 2.500 x₁₇ + 8.000 x₁₈ + 27.857 x₁₉ + 8.800 x₂₀ + 15.775x₂₁ + 9.420 x₂₂ +

4.000 x₂₃ + 12.000x₂₄ ) = 0,35F

Comme, K = 339.052.623

r = 0,19

L'expression de la contrainte devient : F - 0,35F r

K

Après avoir regrouper les termes semblables, on obtient

5.652 x₁ + 3.187 x₂ + 365 x₃ + 5.080 x₄ + 8.667 x₅ + 8.667 x₆ + 1.625 x₇ + 520 x₈ + 11.266 x₉ + 5.200 x₁₀ + 13.520 x₁₁ + 11.484 x₁₂ + 14.204 x₁₃ + 27.625 x₁₄ + 26.181 x₁₅ + 3.763 x₁₆ + 1.625x₁₇ + 5.200 x₁₈ + 18.107 x₁₉ + 5.720 x₂₀ + 10.254 x₂₁ + 6.123 x₂₂ + 2.600 x₂₃ + 42.120 x₂₄ = 64.419.998

b.4. Contrainte temps de fabrication

La description de la technologie utilisée par la Briqueterie Rwandaise Ruliba a été faite dans les paragraphes précédents. Nous allons voir ici le temps utilisé, le nombre de personnes affectées dans chaque atelier et le temps disponible pour une période de 12mois d'activité. L'hypothèse est qu'il n'y a pas d'heures perdues, suite aux coupures d'électricité  et pannes éventuelles.

Dans les ateliers de fabrication que sont le façonnage, l'empilage et le dépilage, on trouve respectivement 14, 18 et 17 ouvriers qui consacrent chacun 11 heures par jour à leur travail. Ces dernières données nous permettent de construire un tableau suivant :

Tableau n° 18 : Détermination de la main d'oeuvre disponible en heures de travail.

Atelier	Journée	Jours/heures par mois		Heures travaillées pour 12 mois d'activité	Nombres ouvriers affectés dans l'atelier	Heures consacrées au travail pour 12 mois d'activité
		Jours	Heures
Façonnage Empilage Dépilage	11 heures 11 heures 11 heures	22 22 22	242 242 242	2 904 2 904 2 904	14 18 17	40 656 52 272 49 368

Source : Fait par l'auteur sur base des données du Département Technique.

Dans la suite nous allons tracer les tableaux qui nous montrent le nombre d'heures requises pour fabriquer une tonne de x_j.

Tableau n° 19 : Temps requis pour fabriquer une tonne de x_j dans l'atelier

FACONNAGE

J	Pièces/châssis	Poids/pièces	Tonnes/châssis	Durée utilisée en heures	Durée en heures par tonnes
1.	144	13,80	1,99	0,13	0,07
2.	216	10,50	2,27	0,17	0,07
3.	216	8,90	1,92	0,32	0,16
4.	432	4,35	1,88	0,17	0,09
5.	360	6,30	2,27	0,12	0,05
6.	720	3,15	2,27	0,12	0,05
7.	864	2,00	1,13	0,17	0,10
8.	1 296	1,00	1,30	0,13	0,10
9.	120	12,00	1,44	0,13	0,09
10.	120	9,50	1,14	0,13	0,12
11.	180	7,50	1,35	0,13	0,10
12.	180	7,10	1,28	0,13	0,10
13.	480	2,70	1,30	0,13	0,10
14.	288	4,00	1,15	0,12	0,10
15.	288	3,60	1,04	0,12	0,11
16.	864	1,90	1,64	0,17	0,10
17.	864	2,00	1,73	0,17	0,10
18.	1 296	1,00	1,30	0,13	0,10
19.	240	4,20	1,01	0,13	0,13
20.	144	15,00	2,16	0,17	0,08
21.	240	7,10	1,70	0,13	0,08
22.	288	6,90	1,99	0,17	0,08
23.	216	12,00	2,59	0,17	0,06
24.	252	2,50	0,63	0,17	0,26

Source : Fait par l'auteur sur base des données fournies par le Département

Technique.

Tableau n° 20 : Temps requis pour fabriquer une tonne de x_j dans l'atelier

EMPILAGE

J	Pièces/WAGON	Poids/pièces	Tonnes/WAGON	Durée utilisée en heures	Durée en heures par tonnes
1.	456	13,80	6,29	0,75	0,12
2.	564	10,50	5,92	0,67	0,11
3.	588	8,90	5,23	0,67	0,13
4.	1 500	4,35	6,53	0,75	0,11
5.	1 460	6,30	9,20	1,33	0,14
6.	1 874	3,15	5,90	1,00	0,17
7.	2 496	2,00	4,99	1,75	0,35
8.	3 536	1,00	3,54	2,50	0,71
9.	346	12,00	4,15	0,50	0,12
10.	692	9,50	6,57	0,83	0,13
11.	244	7,50	1,83	0,83	0,46
12.	264	7,10	1,87	0,83	0,44
13.	1 184	2,70	3,20	1,33	0,42
14	234	4,00	0,94	0,67	0,71
15.	262	3,60	0,94	0,67	0,71
16	3 458	1,90	6,57	2,50	0,38
17.	3 476	2,00	6,95	2,50	0,36
18	6 800	1,00	6,80	3,00	0,44
19.	700	4,20	2,94	1,00	0,34
20	398	15,00	5,97	0,67	0,11
21.	700	7,10	4,97	1,00	0,20
22	504	6,90	3,48	0,67	0,19
23.	800	12,00	9,60	1,00	0,10
24.	437	2,50	1,09	1,00	0,92

Source : Fait par l'auteur sur base des données fournies par le Département

Technique.

Tableau n° 21 : Temps requis pour fabriquer une tonne de x_j dans l'atelier

DEPILAGE

J	Pièces/Palettes	Poids/pièces	Tonnes/Palettes	Durée utilisée en heures	Durée en heures par tonnes
1.	84	13,80	1,16	0,17	0,14
2.	126	10,50	1,32	0,17	0,13
3.	135	8,90	1,20	0,20	0,17
4.	226	4,35	0,98	0,25	0,25
5.	190	6,30	1,20	0,27	0,22
6.	330	3,15	1,04	0,22	0,21
7.	570	2,00	1,14	0,33	0,29
8.	1 140	1,00	1,14	0,67	0,58
9.	72	12,00	0,86	0,13	0,15
10	96	9,50	0,91	0,17	0,18
11	133	7,50	1,00	0,20	0,20
12	133	7,10	0,94	0,20	0,21
13	297	2,70	0,80	0,42	0,52
14	168	4,00	0,67	0,37	0,55
15	168	3,60	0,60	0,37	0,61
16	720	1,90	1,37	0,33	0,24
17	787	2,00	1,57	0,30	0,19
18	1 224	1,00	1,22	0,75	0,61
19	172	4,20	0,72	0,25	0,35
20	84	15,00	1,26	0,17	0,13
22	130	7,10	0,92	0,20	0,22
22	168	6,90	1,16	0,20	0,17
23	84	12,00	1,01	0,17	0,17
24	95	2,50	0,24	0,25	1,05

Source : Fait par l'auteur sur base des données fournies par le Département

Technique.

Les dernières colonnes des tableaux n° 19, 20, 21 donnent la durée de fabrication de x_j

Tableau n° 22 : Temps requis pour fabriquer x_j dans les ateliers Façonnage,

Empilage, et Dépilage.

i j	Temps requis Façonnage (H)	Temps requis Empilage (H)	Temps requis Dépilage (H)
1	0,07	0,12	0,14
2	0,07	0,11	0,13
3	0,16	0,13	0,17
4	0,09	0,11	0,25
5	0,05	0,14	0,22
6	0,05	0,17	0,21
7	0,10	0,35	0,29
8	0,10	0,71	0,58
9	0,09	0,12	0,15
10	0,12	0,13	0,18
11	0,10	0,46	0,20
12	0,10	0,44	0,21
13	0,10	0,42	0,52
14	0,10	0,71	0,65
15	0,11	0,71	0,61
16	0,10	0,38	0,24
17	0,10	0,36	0,19
18	0,10	0,44	0,61
19	0,13	0,34	0,35
20	0,08	0,11	0,13
21	0,08	0,20	0,22
22	0,08	0,19	0,17
23	0,6	0,10	0,17
24	0,26	0,92	0,05
Main d'oeuvre disponible en heures pour l'année 2003	40 656	52 272	49 368

Source : Fait par l'auteur sur base des données des tableaux 19, 20, 21

j : indice donné à chaque produit.

i : indice donné à chaque atelier.

Le tableau précédent (tableau n°22) nous permet d'écrire les contraintes associées à l'opération de fabrication. Toutes ces contraintes sont exprimées comme suit :

1) (0,07x₁ + 0,07x₂ + 0,16x₃ + 0,09x₄ + 0,05x₅ + 0,05x₆ + 0,10x₇ + 0,10x₈ + 0,09x₉ +

0,12x₁₀ + 0,10x₁₁ + 0,10x₁₂ + 0,10x₁₃ + 0,10x₁₄ + 0,11x₁₅ + 0,10x₁₆ + 0,10x₁₇+

0,10x₁₈ + 0,13 x₁₉ + 0,08 x₂₀ + 0,08 x₂₁ + 0,08 x₂₂ + 0,06 x₂₃ +0,26 x₂₄ ) = 40 656.

2) (0,12x₁ + 0,11x₂ + 0,13x₃ + 0,11x₄ + 0,14x₅ + 0,17x₆ + 0,35x₇ + 0,71x₈ + 0,12x₉ +

0,13x₁₀ + 0,46x₁₁ + 0,44x₁₂ + 0,42x₁₃ + 0,71x₁₄ + 0,71x₁₅ + 0,38x₁₆ + 0,36x₁₇ +

0,44x₁₈ + 0,34x₁₉ + 0,11x₂₀ + 0,20x₂₁ + 0,19x₂₂ + 0,10x₂₃ + 0,92x₂₄ ) = 52 272.

3) (0,14x₁ + 0,13x₂ + 0,17x₃ + 0,25x₄ + 0,22x₅ + 0,21x₆ + 0,29x₇ + 0,58x₈ + 0,15x₉ +

0,18x₁₀ + 0,20x₁₁ + 0,21x₁₂ + 0,52x₁₃ + 0,65x₁₄ + 0,61x₁₅ + 0,24x₁₆ + 0,19x₁₇ +

0,61x₁₈ + 0,35x₁₉ + 0,13x₂₀ + 0,22x₂₁ + 0,17x₂₂ + 0,17x₂₃ + 1,05x₂₄ ) = 49 368.

c. Matrice des données saisies dans le logiciel STORM.

Les coefficients de la fonction objectif et ceux des contraintes technologiques ainsi que les ressources (bi) associées à ces dernières sont présentés dans le tableau suivant :

Tableau n° 23 : Matrice des données

Variables de décision	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11	X12	X13	X14	X15	X16	X17	X18	X19	X20	X21	X22	X23	X24	Type  contr	bi
Coefficients f° Objectif	8 696	4 857	562	7 816	13 333	13 333	2 500	800	17 333	8 000	20 800	17 668	21 852	42 500	40 278	5 789	2 500	8 000	27 857	8 800	15 775	9 420	4 000	12 000
Contraintes
1.Capacité de production	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	<=	18000
2.Ratio:Frais personnel / Ventes	3348	2800	2202	3218	4000	4000	31500	3220	4550	3242	5040	4338	5185	8050	7778	2947	2450	3220	6000	3360	4338	3449	2683	11200	>=	84000000
3. Ratio de Rentabilité	565	3187	365	5080	8667	8667	1652	520	11266	5200	13520	11484	14204	27625	26181	3763	1625	5200	11107	5720	10254	6123	2600	42120	>=	64419998
4.Disponibilité atelier Façonnage	0,07	0,07	0,16	0,09	0,05	0,05	0,10	0,10	0,09	0,12	0,10	0,10	0,10	0,10	0,11	0,10	0,10	0,10	0,13	0,08	0,08	0,08	0,06	0,26	<=	40656
5.Disponibilité atelier Empilage	0,12	0,11	0,13	0,11	0,14	0,17	0,35	0,71	0,12	0,13	0,46	0,44	0,42	0,71	0,71	0,38	0,36	0,44	0,34	0,11	0,20	0,19	0,10	0,92	<=	52272
6.Disponibilité atelier Dépilage	0,14	0,13	0,17	0,25	0,22	0,21	0,29	0,58	0,15	0,18	0,20	0,21	0,52	0,65	0,61	0,24	0,19	0,61	0,35	0,13	0,22	0,17	0,17	1,05	<=	49368
Commandes fermes
2003
7.Commande ferme de x2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	>=	859
8.Commande ferme de x4	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	>=	1820
9.Commande ferme de x16	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	>=	822
10.Commande ferme de x17	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	>=	3652
11.Commande ferme de x24	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	>=	2488
Production minimale
2003
12. Production minimale de x1	30	0	-70	0	-70	-70	-70	-70	-70	-70	-70	-70	-70	-70	-70	0	0	-70	-70	-70	-70	-70	-70	0	>=	0
13. Production minimale de x3	-3	0	97	0	-3	-3	-3	-3	-3	-3	-3	-3	-3	-3	-3	0	0	-3	-3	-3	-3	-3	-3	0	>=	0
14. Production minimale de x5	-1	0	-1	0	99	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	0	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	>=	0
15. Production minimale de x6	-4	0	-4	0	-4	96	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	0	0	-4	-4	-4	-4	-4	-4	0	>=	0
16. Production minimale de x7	-4	0	-4	0	-4	-4	96	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	0	0	-4	-4	-4	-4	-4	-4	0	>=	0
17. Production minimale de x8	-0,1	0	-0,1	0	-0,1	-0,1	-0,1	99,9	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	0	0	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	0	>=	0
18. Production minimale de x9	-1	0	-1	0	-1	-1	-1	-1	99	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	0	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	>=	0
19. Production minimale de x10	-1	0	-1	0	-1	-1	-1	-1	-1	99	-1	-1	-1	-1	-1	0	0	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	>=	0
20. Production minimale de x22	-4	0	-4	0	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	0	0	-4	-4	-4	-4	96	-4	0	>=	0

Source : Fait par l'auteur sur base des coefficients de la fonction objectif et des contraintes technologiques.

Ce sont les données de ce tableau qui servent de base de saisie dans le logiciel STORM pour dégager les résultats tel que nous allons le voir dans la suite.

Après 30 itérations, le tableau final de notre modèle ainsi que les intervalles de sensibilité sont donnés aux tableaux ci-après

Tableau n° 24 : Présentation du tableau final du modèle.

Coeff f°
Objectif		8 696			4 857			562			7 816			13 333			13 333			2 500			800			17 333		8 000			20 800			17 668		21 852
Base		x1			x2			x3			x4			x5			x6			x7			x8			x9		x10			x11			x12		x13
e6		0			0			0			0			0			0			0			0			-0,5		0			0			-0,44		-0,13
e2		0			0			0			0			0			0			0			0			3500		0			0			3712		2865
e3		0			0			0			0			0			0			0			0			-10^-2		0			0			16141		16421
e4		0			0			0			0			0			0			0			0			-0,59		0			0			0		0
e5		0			0			0			0			0			0			0			0			1		0			0			-0,27		-0,29
x14		0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0			1		1
x2		0			1			0			0			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x4		0			0			0			1			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x16		0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x17		0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x24		0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x1		1			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x3		0			0			1			0			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x5		0			0			0			0			1			0			0			0			0		0			0			0		0
x6		0			0			0			0			0			1			0			0			0		0			0			0		0
x7		0			0			0			0			0			0			1			0			0		0			0			0		0
x8		0			0			0			0			0			0			0			1			0		0			0			0		0
x22		0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0			0		0
x11		0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			1			0		0
x10		0			0			0			0			0			0			0			0			0		1			0			0		0
Coûts
marginaux		0			0			0			0			0			0			0			0			-25167		0			0			-24832		-20648
Suite du tableau précédent
Coeff f°
Objectif	42 500			40 278			5 789			2 500			8 000			27 857			8 800			15 775			9 420		4 000			12 000
Base	x14			x15			x16			x17			x18			x19			x20			x21			x22		x23			x24
e6	0			-0,04			0			0			-0,04			-0,3			-0,52			-0,43			0		-0,48			0
e2	0			272			0			0			4830			2050			4690			3712			0		5367			0
e3	0			1444			0			0			22425			16518			21905			17371			0		25025			0
e4	0			10^-2			0			0			0			0,03			-0,02			-0,02			0		-0,04			0
e5	0			0			0			0			-0,27			0,03			-0,6			-0,51			0		-0,61			0
x14	1			1			0			0			1			-0,37			1			1			0		1			0
x2	0			0			0			0			0			1			0			0			0		0			0
x4	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x16	0			0			1			0			0			0			0			0			0		0			0
x17	0			0			0			1			0			0			0			0			0		0			0
x24	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			1
x1	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x3	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x5	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x6	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x7	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x8	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x22	0			0			0			0			0			0			0			0			1		0			0
x11	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
x10	0			0			0			0			0			0			0			0			0		0			0
Coûts
marginaux	0			-2222			0			0			-34500			-14643			-33700			-26725			0		-38500			0
									suite tableau précédent
Coeff f°
Objectif			0			0			0			0			0			0			0			0					0			0					0
Base			e1			e2			e3			e4			e5			e6			e7			e8					e9			e10					e11
e6			-0,2138			0			0			0			0			1			-0,0838			0,0362					6,97*10^-3			-0,0430					0,8362
e2			5054,61			1			0			0			0			0			2251,61			1833,61					2228,65			2785,65					-6148,39
e3			4625,895			0			1			0			0			0			1438,8950			-454,1050					1722,9750			3860,9750					-37494,10
e4			-0,0777			0			0			1			0			0			-7,7*10^-3			0,01123					0,02115			0,0215					0,1823
e5			-0,2088			0			0			0			1			0			-0,09888			-0,0988					0,1504			0,1304					0,7112
x14			0,119			0			0			0			0			0			0,1190			0,1190					0,1590			0,1590					0,1190
x2			0			0			0			0			0			0			-1			0					0			0					0
x4			0			0			0			0			0			0			0			-1					0			0					0
x16			0			0			0			0			0			0			0			0					-1			0					0
x17			0			0			0			0			0			0			0			0					0			-1					0
x24			0			0			0			0			0			0			0			0					0			0					-1
x1			0,7			0			0			0			0			0			0,7			0,7					0,7			0,70					0,7
x3			0,03			0			0			0			0			0			0,03			0,03					0,03			0,03					0,03
x5			0,01			0			0			0			0			0			0,01			0,010					0,01			0,01					0,01
x6			0,04			0			0			0			0			0			0,04			0,040					0,04			0,04					0,04
x7			0,04			0			0			0			0			0			0,04			0,040					0,04			0,04					0,04
x8			1*10^-3			0			0			0			0			0			1*10^-3			1*10^-3					1*10^-3			1*10^-3					1*10^-3
x22			0,04			0			0			0			0			0			0,04			0,04					0			0					0,04
x11			0,01			0			0			0			0			0			0,01			0,010					0,01			0,01					0,01
x10			0,01			0			0			0			0			0			0,01			0,010					1*10^-2			1*10^-2					0,01
Coûts			-12593,81			0,00			0,00			0,00			0,00			0,00			-7736,81			-4777,81					-8128,010			-11417,01					-593,81
marginaux
												suite tableau précédent
Coeff f°
Objectif			0			0			0			0			0			0			0			0					0			Valeurs
Base			e12			e13			e14			e15			e16			e17			e18			e19					e20
e6			-5*10^-3			-4,8*10^-3			-4,3*10^-3			-4,4*10^-3			-3,6*10^-3			-7*10^-4			-4,7*10^-3			-4,5*10^-3					-4,8*10^-3			43596,27
e2			47,02			58,48			40,50			40,50			-234,50			48,30			48,08			30,10					46,010			4900407
e3			270,60			272,60			189,58			189,58			259,73			271,05			224,25			141,05					215,02			9,6205*10^7
e4			-3*10^-4			6*10^-4			-5*10^-4			-5*10^-4			0			0			-2*10^-4			0					-2*10^-4			38691,87
e5			-5,9*10^-3			5,8*10^-3			-5,7*10^-3			-5,4*10^-3			-3,6*10^-3			0			-5,8*10^-3			-2,5*10^-3					-5,2*10^-3			46408,07
x14			0,010			0,01			0,01			0,01			0,01			1*10^-2			0,01			0,01					0,01			815,761
x2			0			0			0			0			0			0			0			0					0			859
x4			0			0			0			0			0			0			0			0					0			1820
x16			0			0			0			0			0			0			0			0					0			822
x17			0			0			0			0			0			0			0			0					0			3652
x24			0			0			0			0			0			0			0			0					0			2488
x1			-0,01			0			0			0			0			0			0			0					2,7756*10^-17			5851,30
x3			0			-0,01			0			0			0			0			0			0					0			250,77
x5			0			0			-0,01			0			0			0			0			0					0			83
x6			0			0			0			-0,01			0			0			0			0					0			334,36
x7			0			0			0			0			-0,01			0			0			0					0			334,36
x8			0			0			0			0			0			-1*10^-2			0			0					-5,421*10^-20			8,359
x22			0			0			0			0			0			0			0			0					-0,01			513,32
x11			0			0			0			0			0			0			0			-0,01					0			83,59
x10			0			0			0			0			0			0			-0,01			0					-5,3343*10^-10			83,59
Coûts
marginaux			-338,040			-419,35			-291,67			-291,67			-400			-417			-345			-217					-330,80			161 493 500

Source : Résultats donnés par le logiciel STORM.

4.3.3. Interprétation des données du tableau final

Le profit optimal que la B.R.R peut espérer de la production de divers blocs de construction pour 2003 est de 161.493.500 Frw et peut s'obtenir en fabriquant :

X₁ = 5851,30 tonnes

X₂ = 859 tonnes

X₃ = 250,77 tonnes

X₄ = 1820 tonnes

X₅ = 83,59 tonnes

X₆ = 334,36 tonnes

X₇ = 334,36 tonnes

X₈ = 8,359 tonnes

X₁₀ = 83,59 tonnes

X₁₁ = 83,59 tonnes

X₁₄ = 815,761 tonnes

X₁₆ = 822 tonnes

X₁₇ = 3652 tonnes

X₂₂ = 513,32 tonnes

X₂₄ = 2488 tonnes

N.B : Ces résultats sont lus dans le tableau final dans la colonne « valeur ».

Nous remarquons qu'il n'existe pas d'autres plans de production optimaux puisque les coûts marginaux des variables hors base sont tous négatifs. La condition suffisante d'optimalité de la solution de base est vérifiée.

Si on implante le plan de production optimal associé au tableau final, on constate qu'aucun atelier n'est utilisé à pleine capacité parce que les variables d'écart associée aux contraintes (4) (5) et (6) sont devenues variables de base dans le tableau final et prennent respectivement les valeurs : 38691,87 ; 46408,07 ; 43596,27

a. Interprétation de quelques éléments du tableau final

- Les coefficients qui se situent à l'intersection des colonnes associés aux variables hors base et des lignes associées aux variables de base s'interprètent comme suit :

Exemple  :

Le coefficient situé à l'intersection de la colonne x₂₁ (x₂₁ devenue hors base voir tableau n° 24) et la ligne associée à x₁₄ prend la valeur 1. Ceci peut s'explique comme suit :

La 8^ème ligne constitue l'équation suivante :

x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ + x₁₅ + x₁₈ + x₁₉ + x₂₀ + x₂₁ + x₂₃ = 815,761

Toutes les variables apparaissant dans cette équation, sauf x₁₄, sont hors base et, à ce titre, sont nulles dans la solution de base optimale associée au tableau final.

Si l'on donne à x₂₁ la valeur 1 tout en maintenant à 0 les autres variables hors base apparaissant dans l'équation ci - dessus,

On aura : x₁₄ + 1 = 815,761

X₁₄ = 814,761

Ceci veut dire que si on donne à x₂₁ la valeur 1, on diminue d'une valeur égale à 1 à x₁₄. Dans cette situation x₁₄ passe de 815,761 à 814,761. Dans cet exemple nous venons de voir un coefficient associé à une variable de décision devenue « base » et à celle devenue hors base.

- Coefficient du tableau final associé à une variable de décision devenu « base » et à une variable d'écart devenu hors base.

Exemple

Les coefficients 0,119 ; 0,7 ; 0,03 ; 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ; 10^-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01 ; associés à la colonne e₁ (variable d'écart devenue hors base) et respectivement associé aux variables x₁₄, x₁, x₃, x₅, x₆, x₇, x₈ x₂₂, x₁₁, x₁₀ (variables de décision devenues « base » dans le tableau final) s'interprètent comme suit :

Poser e₁ = 1 implique la diminution de la capacité de production d'une unité (Rappelez-vous que e₁ est associée à la contrainte « capacité de production ». Cette diminution de la capacité entraînera une chute de la production ; x₁₄, x₁, x₃, x₅, x₆, x₇, x₈ x₂₂, x₁₁, x₁₀ qui vont respectivement diminuer de 0,119 ; 0,7 ; 0,03 ; 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ; 10^-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01.

Ceci veut dire que le volume de production se modifie comme suit :

X₁₄ passe de 815,761 à ( 815,761 - 0,119 ) = 815,642

X₁ passe de 5851 à (5851,30 - 0,7) = 5850,6

X₃ passe de 250 à (250,77 - 0,03) = 250,74

X₅ passe de 83 à (83,59 - 0,01) = 83,58

X₆ passe de 334,36 à (334,36 - 0,04) = 334,32

X₇ passe de 334,36 à (334,36 - 0,04) = 334,32

X₈ passe de 8,359 à (8,359 - 10^-3 ) = 8,358

X₂₂ passe de 513,22 à (513,32 - 0,04) = 513,28

X₁₁ passe de 83,59 à (83,59 - 0,01) = 83,58

X₁₀ passe de 83,59 à (83,59 - 0,01) = 83,58

- Interprétation des coûts marginaux du tableau final (voir la dernière ligne du tableau final) ?

Les coûts marginaux que nous lisons dans le tableau final s'interprètent comme étant des effets nets sur le profit optimal quand les variables de décision et variables d'écart devenues hors base prennent la valeur 1.

Exemple

Prenons les coefficients associés à la colonne « e₁ ».

Si l'on donne à e₁ la valeur 1 tout en maintenant à zéro les autres variables hors base, les variables x₁₄, x₁, x₃, x₅, x₆, x₇, x₈ x₂₂, x₁₁, x₁₀ diminuent respectivement de : 0,119 ; 0,7 ; 0,03 ; 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ; 10^-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01. Déterminons maintenant l'effet net sur le profit optimal de tous ces changements.

Les baisses des x₁₄, x₁, x₃, x₅, x₆, x₇, x₈ x₂₂, x₁₁, x₁₀ entraînent les manques à gagner détaillées comme suit :

Pour x₁₄ le manque à gagner = 0,119 x 42.500 = 5057,5

Pour x₁ le manque à gagner = 0,7 x 8696 = 6087,2

Pour x₃ le manque à gagner = 0,03 x 562 = 16,86

Pour x₅ le manque à gagner = 0,01 x 13.333 = 133,33

Pour x₆ le manque à gagner = 0,04 x 13.333 = 533,32

Pour x₇ le manque à gagner = 0,04 x 2500 = 100

Pour x₈ le manque à gagner = 10^-3 x 800 = 0,8

Pour x₂₂ le manque à gagner = 0,04 x 9420 = 376,8

Pour x₁₁ le manque à gagner = 0,01 x 20.800 = 208

Pour x₁₀ le manque à gagner = 0,01 x 8000 = 80

12.593,81

L'effet net sur z est 12.593,81 (voir dans le tableau final le coût marginal associé

à e₁).

Ceci veut dire que si l'on diminue la capacité de production d'une unité, le profit optimal diminue de 12 593,81.

Tableau n° 25 : Intervalles de sensibilité
	Intervalles de sensibilité des cj				Intervalles de sensibilité des bi
Variable		Valeurs		Contraintes		Valeurs
	Présente	Minimale	Maximale		Présente	Minimale		Maximale
x1	8 696	7847,7	42500	Contr 1 <=	18 000	17029,930		221882,800
x2	4 857	-infini	12593,81	Contr 2 >=	84 000 000	-infini		8,89*107
x3	562	-19231,67	42500	Contr 3 >=	64 419 998	-infini		1,6063*108
x4	7 816	-infini	12593,81	Contr 4 <=	40 656	1964,125		infini
x5	13 333	-46048	42500	Contr 5<=	52 272	5863,030		infini
x6	13 333	-1512,25	42501	Contr 6 <=	49 368	5771,734		infini
x7	2 500	-12345,25	42502	Contr 7>=	859	0,000		3035,401
x8	800	-593010	42503	Contr 8>=	1 820	0,000		4492,546
x9	17 333	-infini	42504	Contr 9 >=	822	0,000		2963,178
x10	8 000	-51381	42505	Contr 10 >=	3 652	0,000		5411,161
x11	20 800	-38581	42506	Contr 11>=	2 488	1690,977		9343,134
x12	17 668	-infini	42507	Contr 12 >=	0	-585130,000		81576,100
x13	21 852	-infini	42507	Contr 13 >=	0	-25077,000		81576,100
x14	42 500	40278	infini	Contr 14 >=	0	-8359,000		81576,100
x15	40 278	-infini	420500	Contr 15 >=	0	-33436,000		81576,100
x16	5 789	-infini	13917,01	Contr 16>=	0	-20897,260		81576,100
x17	2 500	-infini	13917,01	Contr 17 >=	0	-835,900		81576,100
x18	8 000	-infini	42500	Contr 18 >=	0	-8359,000		81576,100
x19	27 857	-infini	42500	Contr 19 >=	0	-8359,000		81576,100
x20	8 800	-infini	42500	Contr 20 >=	0	-51332,000		81576,100
x21	15 775	-infini	42500
x22	9 420	5425,25	42500
x23	4 000	-infini	42500
x24	12 000	-infini	12593,81

Source : Résultats donnés par le logiciel STORM et présentés par l'auteur.

b. Analyse post optimale

Après avoir obtenu le tableau final on comprend qu'il faille investiguer sur la

sensibilité des solutions optimales aux changements envisageables dans la valeur de c_j et des b_i. Cette analyse à laquelle nous soumettons au modèle porte le nom d'analyse post optimale pour la bonne raison que cette analyse s'intéresse aux mouvements de la solution optimale induits par les changements apportés aux valeurs des paramètres c_j et b_i.

L'analyse post optimale permet en effet de détecter les paramètres dont une faible oscillation suffit à chambarder la solution optimale proposée par le tableau final. Cette analyse va fournir au décideur de la B.R.R des diagnostics prémonitoires qui l'inciteront à recourir à des meilleures estimations des paramètres les plus sensibles du modèle ou à mettre en place les mécanismes de surveillance de ces paramètres déclencheurs de changement par leurs moindres glissements.

En nous servant de l'approche algébrique nous allons pouvoir donner l'interprétation aux intervalles de sensibilité de quelques c_j et b_i.

c. Intervalle de sensibilité de c_j

Ecrivons la fonction objectif Z' du modèle (p') sous la forme :

Z' = Max Z = (8696 + ) x₁ + 4857x₂ + 563x₃ + 7816x₄ + 13333x₅ + 13333x₆ + 2500x₇ + 800x₈ + 17333 x₉ + 8000x₁₀ + 20800x₁₁ + 17668x₁₂ + 21852x₁₃ + 42500x₁₄ + 40278x₁₅ + 5789x₁₆ + 2500x₁₇ + 8000x₁₈ + 27857x₁₉ + 8800x₂₀ + 15775x₂₁ + 9420x₂₂ + 4000x₂₃ + 12000x₂₄

(8.696 + ) a été substitué au coefficient de x₁ dans la fonction objectif. La solution de base est optimale pour z' seulement si, les coûts marginaux des variables hors base sont tous 0.

Nous calculons ces coûts marginaux associés à Z', que nous noterons c'_j - z'_j ci-après.

Pour e₇ : c'_j - z'_j = c_j - z'_j

= c_j - (z_j + 0,7)

= (c_j - z_j) + 0,7

= - (7736,81 + 0,7)

Commentons brièvement l'égalité ci-dessus ; dénotons c* la colonne des coefficients de base selon z ; et c'* celle des coefficients de base selon z'_j . z_j se calcule en multipliant terme à terme des colonnes c* et e₇ ; puis en additionnant des produits ; de même, z'_j s'obtient comme la somme des produits terme à terme des colonnes c'* et e₇ or, les colonnes c* et c'* coïncident, sauf à la première ligne où c'* contient le terme supplémentaire +  ; par conséquent, z'_j s'obtient en ajoutant dans z_j le terme supplémentaire + 0,7.

Pour e₈  : c'_j - z'_j = - (4777,81 + 0,7 )

Pour e₉  : c'_j - z'_j = - (8128,010 + 0,7)

Pour e₁₀ : c'_j - z'_j = - (11.417,01 + 0,7)

Pour e₁₁ : c'_j - z'_j = - (593,81 + 0,7)

Pour e₁ : c'_j - z'_j = - (12.593,81 + 0,7)

Pour e₁₂ : c'_j - z'_j = - (338,040 - 0,01)

Pour e₂₀ : c'_j - z'_j = - (330,80+ 2,7756 x 10^-17)

La solution de base associée au tableau final du modèle est donc une solution optimale du modèle (p')

Si et seulement si - (8128,010 + 0,7 ) 0 ; - (11.417,01 + 0,7 0 )

- (593,81 + 0,7) 0 ; - (12.593,81 + 0,7) 0 )

- (338,040 - 0,01) 0  et - (330,80+ 2,7756 x 10^-17) 0 

- (7736,81 + 0,7) 0 et - (4777,81 + 0,7) 0

Si et seulement si 8128,010 + 0,7 0 ; 11.417,01 + 0,7 0

593,81 + 0,7 0 ; 12.593,81 + 0,7 0

338,040 - 0,01 0 ; 330,80 + 2,7756 x 10^-17 0 

(7736,81 + 0,7) 0 et (4777,81 + 0,7) 0

Si et seulement si - 8128,010 / 0,7 ; - 11.417,01/ 0,7

- 593,81 / 0,7 ; - 12.593,81 / 0,7

338,040 / 0,01 ;  - 330,80 / 2,7756 x 10^-17

  - 7736,81/0,7 ; - 4777,81/0,7

Si et seulement si -11614,442 ; -16310,014

- 848,3 ; -17991,157

33804 ; - 1,19181E + 19  

- 11052,5 ; - 6825,4

Si et seulement si - 848,3 33804

7847,7 8696 + 42500

Ainsi, on trouve algébriquement le résultat obtenu par le logiciel STORM. (voir tableau n° 25).

Le plan de production de la B.R.R. dégagé dans le tableau final reste optimal pourvu que le coefficient de x₁ dans la fonction objectif soit compris entre 7847,7 et 42 500. On peut procéder de la même façon pour chaque c_j.

c.1. Variation de la valeur optimale de la fonction objectif quand c_j varie.

Une modification d'un coefficient c_j de la fonction objectif n'entraîne aucune

modification du polygone des solutions admissibles. Tant que la variation du coefficient est suffisamment faible, l'optimum reste au même sommet et la valeur optimale de la fonction objectif augmente ou diminue de (x*_j x ) où x_j est la variable de coefficient c_j et où x*_j dénote la valeur prise par x_j dans la solution optimale^48(*).

Dans le cas de notre modèle, si l'on modifie le coefficient de x₁ par exemple, la solution (5851 ; 859 ; 250 ; 1820 ; 83 ;334,36 ; 334,36 ; 8,359 ; 83,59 ; 815 ; 822; 3652 ; 513,32; 2488) reste optimale tant que est compris entre 7 847,7 et

42 500 ; la valeur optimale de la fonction objectif augmente ou diminue alors de (5851 x ). Avec 5851 dénotant, la valeur prise par x₁ dans la solution optimale.

Exemple :

Dans la fonction objectif, le coefficient de x₁ est 8696. Si ce coefficient passe de

8696 à 9696 = 1000.

Alors la valeur optimale de la fonction objectif augmente de 5851 x  ;

Numériquement nous avons 5851 x 1000 = 5.851.000

Dans ce cas z' = 161.493.500 + 5.851.000 = 167.344.500.

En partant de l'hypothèse que toute chose égale par ailleurs, l'exemple ci-dessus nous permet de construire un tableau reflétant l'impact de la variation de 10% des paramètres de la fonction économique sur la valeur de Z.

Tableau : n° 26 Impact de la variation de Cj sur la valeur optimale
j	Cj		Taux de		Variation		X^*j		Accroissement
			variation						de Z			Z optimale				Z post optimale
1	8 696		10 %		870		558,30		485 498			161 493 500				161 978 998
2	4 857		10 %		486		859,00		417 216			161 493 500				161 910 716
3	562		10 %		56		250,77		14 093			161 493 500				161 507 593
4	7 816		10 %		782		1 820,00		1 422 512			161 493 500				162 916 012
5	13 333		10 %		1 333		83,59		111 451			161 493 500				161 604 951
6	13 333		10 %		1 333		334,36		445 802			161 493 500				161 939 302
7	2 500		10 %		250		334,36		83 590			161 493 500				161 577 090
8	800		10 %		80		8,36		669			161 493 500				161 494 169
9	17 333		10 %		1 733		0,00		0			161 493 500				161 493 500
10	8 000		10 %		800		83,59		66 872			161 493 500				161 560 372
11	20 800		10 %		2 080		83,59		173 867			161 493 500				161 667 367
12	17 668		10 %		1 767		0,00		0			161 493 500				161 493 500
13	21 852		10 %		2 185		0,00		0			161 493 500				161 493 500
14	42 500		10 %		4 250		815,76		3 466 984			161 493 500				164 960 484
15	40 278		10 %		4 028		0,00		0			161 493 500				161 493 500
16	5 789		10 %		579		822,00		475 856			161 493 500				161 969 356
17	2 500		10 %		250		3 652,00		913 000			161 493 500				162 406 500
18	8 000		10 %		800		0,00		0			161 493 500				161 493 500
19	27 857		10 %		2 786		0,00		0			161 493 500				161 493 500
20	8 800		10 %		880		0,00		0			161 493 500				161 493 500
21	15 775		10 %		1 578		0,00		0			161 493 500				161 493 500
22	9 420		10 %		942		513,32		483 547			161 493 500				161 977 047
23	4 000		10 %		400		0,00		0			161 493 500				161 493 500
24	12 000		10 %		1 200		2 488,00		2 985 600			161 493 500				164 479 100
Source : fait par l'auteur sur base des profits unitaires ( voir Tableau n° 23)
j	:indice attribué à chaque produit
cj	: profit attrobué à chaque xj
xj	:variabla de décision associée à cj
x^*j	: dénote la valeur prise par xj dans la solution optimale.
Source : fait par l'auteur sur base des données du tableau n° 26

L'axe des abscisses est associé aux x_j

Exemple : Si on augmente de 10% le profit unitaire associé à x₁₄ , le profit

optimale est égale à 164 960 484 Frw.

Il ressort de ce graphique que pour une grande partie des produits de la B.R.R, un accroissement de 10% du profit unitaire d'un x_j (les autres C_j restant inchangé) entraîne un accroissement de la valeur optimale de la fonction économique.

Nous remarquons que les différentes valeurs de Z se concentrent entre 161 millions et 162 millions. Pour x₄ et x₁₇ , la valeur de ``Z'' se trouve entre 162 millions et 163 millions.

La BRR peut réaliser un grand profit si elle opte pour un accroissement de 10% du profit unitaire d'un produit associé à x_14. Ceci est tout à fait vrai parce que le produit associé à x₁₄ a une marge relativement supérieure (voir tableau n° 9).

d. Intervalle de sensibilité des b_i

Pour retrouver algébriquement les résultats tout juste obtenus par le logiciel, il convient de procéder comme suit :

Le nombre ou la quantité des ressources disponibles peut s'écrire b_i + . Le paramètre représente l'écart entre les ressources réellement disponibles et les b_i tenus pour acquises dans le modèle d'origine.

Exemple

Supposons que nous cherchons à savoir l'intervalle de sensibilité des ressources liées à la première contrainte du modèle (voir capacité de production installée).

Rappelons que e₁ représente la variable d'écart associée à cette contrainte. Dans le tableau final identifions les coefficients et les valeurs respectivement associés à e₁ et aux variables de base et procédons comme suit :

La solution de base associée au modèle où b_i a connu une modification sera optimale pourvue qu'elle soit admissible. Et elle sera admissible pourvu que chacune des variables de base soit non négative. C'est à dire pourvue que soient vérifiées les 15 conditions ci-dessous (ici nous sommes dans le cadre de notre modèle. Le nombre de conditions à vérifier change suivant le modèle) .

N.B : Les coefficients nuls associés à e₁ ne sont pas pris en considération.

e₆ = 43596,27 - 0,2138 0 c'est à dire +203 882,8

e₂ = 4.900.407 + 5051,61 0 c'est à dire - 970,07

e₃ = 9,6205x10⁷ + 4625,895 0 c'est à dire -20 797,056

e₄ = 38691,87 - 0,0777 0 c'est à dire +497 964,86

e₅ = 46408,97 - 0,2088 0 c'est à dire +222 265,18

x₁₄ = 815,76 + 0,119 0 c'est à dire -6 855,126

x₁ = 5.851,3 + 0,7 0 c'est à dire -8359

x₃ = 250,77 + 0,07 0 c'est à dire -8359

x₅ = 83,59 + 0,01 0 c'est à dire -8359

x₆ = 334,36 + 0,04 0 c'est à dire -8359

x₇ = 334,36 + 0,04 0 c'est à dire -8359

x₈ = 8,359 + 10^-3 0 c'est à dire -8359

x₂₂ = 513,32 + 0,04 0 c'est à dire -12 833

x₁₁ = 83,59 + 0,01 0 c'est à dire -8 359

x₁₀ = 83,59 + 0,01 0 c'est à dire -8 359

En résumé : La solution de base du modèle où b_i ( pour notre cas c'est la capacité de production ) a été modifié est admissible ( et optimale )

- 970,07 2 030 882,8 (voir les quinze conditions ci-dessus).

Cette conclusion correspond bien aux résultats obtenus par le logiciel (voir tableau

n° : 25, « intervalles de sensibilité »), car la formule précédente

(-970,07 203.882,8) signifie que le membre droit 18.000 + de la première contrainte satisfait à 18 000 - 970,07 18.000 + 18.000 + 203.882,8

17.029,93 18.000 + 221.882,8.

La colonne associée à la variable d'écart e₁ dans le tableau final peut être considérée comme le vecteur des changements dans la solution optimale découlant d'une augmentation unitaire du membre droit de la seule contrainte (1).

En effet, accroître d'une unité à la capacité de production installée, implique que la production x₁₄ augmentera de 0,119 tonne, que la production x₁ augmentera de 0,7 tonne, que la production x₃ augmentera de 0,03 tonne, et que x₅,x₆,x₇,x₈,x₂₂,x₁₁ et x₁₀ augmenteront respectivement de 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ;

10^-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01 tonnes ; l'effet net de tous ces changements sera d'augmenter de 12.593,81 la valeur optimale de la fonction objectif.

Le tableau final du modèle original permet de déterminer, sans autre itération, la solution optimale du modèle modifié ; de plus la valeur optimale de la fonction - objectif augmente ou diminue alors de Z*_j x , où z*_i est au signe près, le coût marginal dans le tableau final de la variable supplémentaire e_i associée à la contrainte numéro i ^49(*).

Pour le cas de la B.R.R, dans le cas où l'on modifie le membre droit b₁ de la première contrainte, l'optimum est atteint tant que est compris entre - 970,07 et

203 882,8 ; la valeur optimale de la fonction objectif augmente ou diminue de

12 593,81 x .

Voyons maintenant combien varie la production de la B.R.R. suite à une augmentation de 10% de quelques ressources. Agissons sur la capacité de production et sur la disponibilité de la main d'oeuvre en heures de travail.

Tableau n° 27 : Impact de la variation de la capacité de production et du temps disponible sur les niveaux de production optimaux
Variables		Contrainte capacité de production		Contrainte heures de travail
		Production optimale	Production post optimale	Production optimale	Production post optimale
x1		5851,30	7 111,30	5851,30	5851,30
x2		859,00	859,00	859,00	859,00
x3		250,77	304,77	250,77	250,77
x4		1820,00	1 820,00	1820,00	1820,00
x5		83,59	101,59	83,59	83,59
x6		334,36	406,36	334,36	334,36
x7		334,36	406,36	334,36	334,36
x8		8,36	10,16	8,36	8,36
x9		0,00	0,00	0,00	0,00
x10		83,59	101,59	83,59	83,59
x11		83,59	101,59	83,59	83,59
x12		0,00	0,00	0,00	0,00
x13		0,00	0,00	0,00	0,00
x14		815,76	1 029,96	815,76	815,76
x15		0,00	0,00	0,00	0,00
x16		822,00	822,00	822,00	822,00
x17		3652,00	3 652,00	3652,00	3652,00
x18		0,00	0,00	0,00	0,00
x19		0,00	0,00	0,00	0,00
x20		0,00	0,00	0,00	0,00
x21		0,00	0,00	0,00	0,00
x22		513,32	585,00	513,32	513,32
x23		0,00	0,00	0,00	0,00
x24		2488,00	2 488,00	2488,00	2488,00
		18000,00	19 800,00
Source : fait par l'auteur sur base des résultats du tableau final ( voir Tableau n° 24)
Source : fait par l'auteur sur base des données du tableau n° 27

Un accroissement de 10% de la contrainte « capacité de production » entraîne les variations des produits détaillées comme suit :

- variation positive de 22% pour les produits x₁, x₃, x₅, x₆, x₇, x₈, x₁₁,

- variation positive de 14% et e 26% respectivement pour x₂₂, et x₁₄, pour d'autres produits la variation est de 0%

La B.R.R. peut augmenter la production par un accroissement de la capacité de production.

Quant à l'accroissement de 10% de la main d'oeuvre exprimée en heures de travail, nous constatons que la production reste inchangée. Ceci est dû au fait que les heures disponibles dans les ateliers (infra tableau final du modèle retenu ou 4.3.2.4) ne sont pas entièrement utilisées.

L'analyse post optimale ne se limite pas à l'interprétation des intervalles de sensibilité^50(*). Au cours de ce travail nous ne pouvons pas illustrer toutes les questions usuelles aux quelle l'analyse poste optimale permet de répondre. Ceci pourra se faire par un chercheur intéressé qui pourra amener sa contribution.

CONCLUSION ET SUGGESTIONS

Notre travail avait pour thème : « l'utilisation de la programmation linéaire comme outil pour la planification optimale de la production dans une entreprise Industrielle : cas d'application « la Briqueterie Rwandaise de Ruliba ». Le but poursuivi était de montrer comment la B.R.R. peut produire à l'optimum compte tenu des contraintes auxquelles elle est confrontée. Après avoir énoncé les caractères essentiels et les qualités propres de la recherche opérationnelle, nous avons esquissé son rôle important et son utilité qui provient du fait qu'elle force les décideurs à considérer leurs problèmes d'une façon rationnelle et cohérente.

Au deuxième chapitre, nous avons vu que la production constitue la source de survie d'une entreprise. Elle vise l'obtention des produits prêts à être écoulés sur le marché. Elle est donc la fonction principale d'une entreprise industrielle ; raison pour laquelle nous avons analysé les problèmes liés à l'obtention du produit et avons présenté brièvement les facteurs élémentaires de production à savoir : le travail, les moyens d'exploitation, et les matières premières.

L'optimisation de la production nécessite l'optimisation des facteurs de production notamment des ressources (le travail des moyens d'exploitation, matières premières).

Le troisième chapitre fait le point de la littérature sur la programmation linéaire et sur son aspect mathématique. Cela se lit à travers les définitions, la présentation, et la méthode de résolution du programme linéaire que nous avons exposées.

L'analyse poste optimale que nous avons suffisamment décrite se voit comme un miroir pour un décideur désirant modifier ses ressources disponibles (matière première, main d'oeuvre, publicité, moyen d'exploitation, etc.) en connaissance de cause, c'est - à - dire les conséquences de ses décisions sur la valeur optimale.

Dans ce travail nous avons étudié un cas pratique de la planification optimale de la production en utilisant la programmation linéaire à travers la méthode du simplexe qui s'avère très efficace.

Dans le cadre de l'étude du cas pratique, il n'a pas été possible d'identifier toutes les contraintes auxquelles une entreprise est confrontée pour la bonne raison que les facteurs qualitatifs, comme le climat financier, les législations gouvernementales, les avances constatées ou prévues de la technologie, le résultat d'une élection ou d'un référendum, toute chose dont les répercutions sont difficiles à quantifier mais dont la présence permet de calibrer les résultats obtenus lors de la résolution d'un modèle. L'objectif principal était de montrer comment, en utilisant la programmation linéaire, on peut élaborer un plan optimal de production.

Nous avons défini une fonction économique de la Briqueterie Rwandaise de Ruliba à partir de ses données statistiques.

Les contraintes que nous avons pu identifier et quantifier concernent, la capacité de production, les commandes fermes, la main d'oeuvre disponible en heures de travail, la gestion (ratios), et les prévisions de production pour l'année 2003. Grâce au logiciel STORM, nous avons dégagé des résultats à partir desquels nous avons fait une analyse de la sensibilité de la solution obtenue. Cette analyse va fournir aux responsables de la Briqueterie Rwandaise de Ruliba des diagnostics prémonitoires qui vont les inciter à recourir à de meilleures estimations des paramètres les plus sensibles ou à mettre en place les mécanismes de surveillance de ces paramètres déclencheurs de changement par leur moindre glissement. A l'aide des exemples, nous avons donné une description de l'impact sur la solution optimale lorsqu'un changement est apporté aux paramètres de la fonction critère (fonction économique) ou à une ressource limitée de l'entreprise.

En guise de recommandations, les dirigeants de l'entreprise devraient s'éloigner du hasard par le biais de l'analyse opérationnelle et prendre des décisions à base des résultats quantifiables obtenus sur base des techniques scientifiques. Pour aboutir à de meilleures décisions à temps, les gestionnaires devraient recourir à l'étude opérationnelle pendant l'exécution.

La mise en place des techniques scientifiques au sein de la Briqueterie Rwandaise de Ruliba nécessite la réorganisation de l'entreprise et la formation de certains cadres en recherche opérationnelle.

Cependant , nous demeurons conscients que nous n'avons pas épuisé tous les aspects du sujet, ni répondu à toutes les attentes de nos différents lecteurs.

Nous pensons avoir ouvert une piste et encourageons les futurs chercheurs qui voudraient bien approfondir ce sujet. Ceci n'est donc qu'une brèche pour des études ultérieures.

BIBLIOGRAPHIE

1. OUVRAGES GENERAUX

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28. KEMENY, J.G. et al. : Les mathématiques modernes dans la pratique des

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29. KEMENY, J.G. et al. : Algèbre moderne et activités humaines, Dunod, Paris,

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31. LUC B. L. et ALII. : Précis d'organisation et gestion de production, Les

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32. MOTHES, J. : Incertitude et décisions Industrielles, Dunod, Paris, 1967.

33. MULLER, y. : Initiation à l'organisation et à la recherche opérationnelle, Eyrolles,

2^ème édition, Paris, 1965.

34. NORBERT, Y. : La recherche opérationnelle, Gaëtan Morin, Montréal, 1995.

35. ROGER, P. : Gestion de production, Dalloz - Sirey, Paris, 1992.

36. SIMONNARD, M. : Programmation linéaire, Dunod, Paris, 1962.

37. SOLDET, J. : Programmation linéaire appliquée à l'entreprise, Dunod, Paris ,

1970

38. VIDAL, C : La recherche opérationnelle, presse universitaire de France, Paris,

1974.

39. WHITON, T.W. : Gestion des stocks, , University press, New Jersey, 1957.

40. WIENER D. : Initiation à la programmation linéaire, Université de Paris, Paris,

1978.

2. Mémoires de fin d'études

41. BOHAIN, P. : Etude du planning des fabrications pour une ligne de production

d'articles répétitifs, Mémoire, de licence en économie appliquée

Université Catholique de Mons, Mons, 1979.

42. BUKERA, G. : Optimisation de la production dans une entreprise Industrielle,

Mémoire de licence en économie politique, Université du

BURUNDI, Bujumbura, 2002.

43. SCHITTEKATTE, M. : Ordonnancement de la production de BAXTERS,

Mémoire de licence en économie appliquée, Université

Catholique de Mons, Mons, 1985.

44. VERRIEST, A. : Un modèle exploratoire de production et de distribution,

Mémoire, Université Catholique de Mons, Mons, 1982.

3. Notes de cours

45. RUSUHUZWA K , T. : Cours de recherche opérationnelle, Lic I Economie

U.L.K, Kigali, 2000-2001, inédit.

46. NJIYOBIRI, J. B.  : Cours de recherche opérationnelle, Lic II Economie, U.L.K,

Kigali, 2001-2002, inédit.

47. VUNINGOMA , D. : Cours de principes de management,

Bacc II Economie, U.L.K, Kigali, 1999-2000, inédit.

4. Autre document

48. MAGGI, F. et al. : Etude de factibilité de la Briqueterie Rwandaise de Ruliba,

Kigali, juin, 1985.

5. Périodique

49. JOURDAIN, H. : « La contribution de la nouvelle théorie du profit » in Amercan

Revew, n° 9 New York, septembre, 1986.

* ¹ BOULDING, K.E ET AL. : La programmation linéaire et théorie de l'entreprise, Dunod, Paris, 1964, P.69

* ² JOURDAIN, H. : « La construction de la nouvelle théorie du profit » in American Revew, n° 9, New

York,Septembre, 1986, P 17-20.

* ³ DANTZIG, G. : Application et prolongement de la programmation linéaire, Dunod, Paris, 1966, P. 411.

* ⁴ BOHAIN, P. : Etude du planning des fabrications pour une ligne de production d'articles répétitifs,

Mémoire, Université Catholique de Mons, Mons, 1979, P.89.

* ⁵ VERRIEST, A. : Un modèle exploratoire de production et de distribution, Mémoire de licence en économie

appliquée, Université Catholique de Mons, Mons, 1982.

* ⁶ PETER DRUKER cité par BENAYOUN, R. : La pratique de l'optimisation dans l'entreprise ;

PUF, Paris, 1974, P.1.

* ⁷ ROGER, P. : Gestion de production, Dalloz - Sirey, Paris, 1992, P.155.

* ⁸ BAILLARGON, G. : La programmation linéaire, aide à la décision économique et technique,

Les éditions SMG, Trois- Rivières, 1976, P. 169.

* ⁹ BOULDING, K.E ET AL : Op.cit, p. 187.

* ¹⁰ GRAWITZ, M. : Méthodes des sciences sociales, 4^ème édition, Dalloz, Paris, 1979, P. 344.

* ¹¹ BOHAIN, P.  : Op. cit, P. 12.

* ¹² VARIEST, A.  : Op. cit, P. 9.

* ¹³ BENAYOUN, R. : Op. cit, P. 114.

* ¹⁴ WIENER, D.  : Initiation à la programmation linéaire, Université de Paris, Paris, 1978.

* ¹⁵ IDEM

* ¹⁶ BOULDING, K.E. : Op. cit., P. 161.

* ¹⁷ NORBERT, Y. : La recherche opérationnelle, Gaëtan Morin, Montréal, 1995, P. 14.

* ¹⁸ BOULDING, K.E. : Op. cit., P. 173

* ¹⁹ VIDAL, C. : La recherche opérationnelle, presses Universitaire de France, Paris, 1974, P. 131.

* ²⁰ DORFMAN, C. : Programmation linéaire et gestion économique, Dunod, Paris, 1986, P. 93.

* ²¹ ENRICK, N. : La recherche opérationnelle, base de votre gestion, Les édition des organisations, Paris,

1967, P.221

* ²² BUCHAN, J. et KOENIG BERG, E. : Gestion scientifique des stocks, Eyrolles, 1965, P. 183.

* ²³ WHITON, T.W. : Gestion des stocks, University presse, New Jersey, 1957, P. 341.

* ²⁴ BRUNO, H.S. : Programmation linéaire et les problèmes d'entreprise, Paris, 1987, P. 168.

* ²⁵ BOYER, L. ET ALII. : Précis d'organisation et de gestion de la production, Les éditions d'organisation,

Paris, 1986, P.26.

* ²⁶ VUNINGOMA, D. : Cours de principe de Management, BACC II Economie, ULK, Kigali, 1999- 2000,

inédit.

* ²⁷ BERANGER, P. : Les nouvelles règles de la production vers l'excellence Industrielle, Dunod, Paris, 1987,

P. 200.

* ²⁸ CANTEGRELL, F. : Les treize points de la production, Dunod, Paris, 1986, P. 191.

* ²⁹ COURTOIS, A. : Gestion de production, Les éditions d'organisation, Paris, 1993, P. 39.

* ³⁰ CROLAIS, M. : Gestion intégrée de la production et ordonnancement, Dunod, Paris, 1968, P. 148.

* ³¹ SCHITTEKHTTE, M. : Ordonnancement de la production de BAXTERS, Mémoire de licence en

économie appliquée, Université Catholique de Mons, Mons, 1985, P. 51.

* ³² IDEM.

* ³³ BAUMOUL, W.J. : Economic theory and operations analysis, 4^ème edition, Harper & Brothers, New York,

1959, P. 129.

* ³⁴ Id.

* ³⁵ DORFMAN, R. et SUMUELSON, P. : Op. cit., P. 157.

* ³⁶ GAUJET, C. ET NICOLAS, C. : Mathématique appliquée, initiation à la recherche opérationnelle, Dunod,

5^ème édition révisée, Paris, 1988, P. 169.

* ³⁷ BOUSSARD, J.M et DAUDIN, J.J. : La programmation linéaire dans les modèles de production, Massons,

Paris, 1988, P. 17-18.

* ³⁸ BOUSSARD, J.M., et DAUDIN, J.J. : Op. cit., P. 19.

* ³⁹ NJIYOBIRI, J.B. : Cours de recherche opérationnelle, LIC II, économie, U.L.K, Kigali, 2001-2002 inédit.

.

* ⁴⁰ NJIYOBIRI, J.B. : Op. cit.

* ⁴¹ NORBERT, Y. : OP. cit., P. 217

* ⁴² EDOUARD, D. : Mathématique pour l'économiste, Mc Graw Hill, 2^ème édition, London, 1992, P. 348.

* ⁴³ DUBOIS, J. et al. : Dictionnaire de linguistique, Librairie Larousse, Paris, 1988, P. 645.

* ⁴⁴ NORBERT, Y. : OP. cit., P. 31.

* ⁴⁵ BOUSSARD, J.M et DAUDIN, J.J. : Op. cit., P. 48.

* ⁴⁶ Id.

* ⁴⁷ MAGGI, F. ET AL. : Etude de facutibilité de la Briqueterie Rwandaise Ruriba, Kigali, Juin

1985, p. 90 - 93

* ⁴⁸ NORBERT, Y., Op. Cit., P. 231.

* ⁴⁹ IBIDEM.

* ⁵⁰ IBID, P.224