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Programmation linéaire outil effficace pour la plannification optimale de la production dans une entreprise industrielle .Cas de la Briqueterie Rwandaise Ruliba( Télécharger le fichier original )par Jean Claude Michel Mr Ngirabanzi Université Libre de Kigali - Licence en Economie 2003 |
Prix de revient de la pièce =1000 A partir du tableau n° 8, nous pouvons calculer la marge bénéficiaire pour une tonne de chaque type de produit. Les marges dégagées dans la colonne (6) du tableau précédent concernent chaque type de bloc. Formule Marge bénéficiaire /pièce x 1000 Marge bénéficiaire pour une tonne = Poids de la pièce j : Indice attribué à chaque produit Tableau n° 9 : Calcul de la marge bénéficiaire d'une tonne pour chaque type de produit.
Source : Fait par l'auteur sur base des données du tableau n° 8. j : Indice attribué à chaque produit. Les variables de décision Ces dernières sont définies par les Xj. J = 1,2,..., 24 ( 24 = nombre de produits fabriqués) Signification des variables de décision Exemple X1 : nombre de tonne à produire pour le produit n° 1 X18 : nombre de tonne à produire pour le produit n° 18 Note : ici le n° remplace la désignation de chaque produit ( cfr tableau n° 8 ) Après avoir déterminé la contribution unitaire au profit de chaque type de produit (cfr tableau n° 9), nous pouvons construire la fonction objectif. 24 Théoriquement : Max Z = CjXj j = 1 A partir des données du tableau n° 9 nous avons : Max Z = 8696x1 + 4857x2 + 562x3 + 7816x4 + 13333x5 + 13333x6 + 2500x7 + 800x8 + 17333 x9 + 8000x10 + 20800x11 + 17668x12 + 21852x13 + 42500x14 + 40278x15 + 5789x16 + 2500x17 + 8000x18 + 27857x19 + 8800x20 + 15775x21 + 9420x22 + 4000x23 + 12000x24 b. Expression des contraintes. b.1. Contraintes de la demande et estimation du marché potentiel des produits de la B.R.R. A partir du tableau ci-dessous montrant l'évolution des ventes en quantité pour chaque xj sur un horizon de cinq ans (1998 - 2002), nous pouvons estimer le marché potentiel annuel moyen pour chaque type de produit. Les prix de vente n'ont pas changé depuis 1998. L'estimation du marché potentiel est déterminée à partir des tableaux ci-après :
Tableau n° 14 : Quantités vendues en 2002
Source : fait par l'auteur sur base des données du compte d'exploitation, Année 2002. Tableau n° 15: Estimation du marché potentiel
Source : fait par l'auteur sur base des données des dernières colonnes des tableaux n° 10 ; 11 ; 13 ; 14 Cumul = ? Dj,i Dj,i : demande de xj dans l'année i. Demande potentielle moyenne : ? Dj,i 5 j = 1 ...........24 i = 1 ............5 La fourchette que nous nous sommes donnée (1998 - 2002) pour estimer la demande potentielle moyenne nous fait remarquer qu'il y a eu l'introduction de nouveaux produits sur le marché, ceci pour dire que le calcul de la demande potentielle moyenne sera différente. Exemple ? Dj,i 30 898 - La demande potentielle moyenne du produit n°1 : = = 6 180 5 5 - La demande potentielle moyenne du produit n° 16 (produit introduit) : ? Dj, i 1 163 = = 582 2 2 Dans le tableau qui précède, la colonne dans laquelle nous lisons ? Dj,i représente la demande potentielle pour chaque type de produit (l'unité statistique utilisée est la tonne). A la fin de l'exercice 2002, le carnet de commandes nous révèle que la Caisse Sociale du Rwanda et d'autres particuliers ont passé des commandes qui jusqu'au 31/12/2002 ne sont pas exécutés. L'entreprise prévoit leur exécution en 2003 . Ces commandes fermes se présentent comme suit : Tableau n° 16 : Les commandes fermes au 31/12/2002.
Source : Carnet de commande de la B.R.R. au 31/12/2002 Il ressort de ce tableau que les contraintes de la demande exigent que le plan de production de la Briqueterie Rwandaise Ruliba satisfasse les commandes fermes : X2 = 859 X4 = 1 820 X16 = 822 X17 = 3 652 X24 = 2 488 Dans une partie de la production qui n'est pas concernée par les commandes fermes, certains produits doivent être produits tout au moins dans les proportions décrites comme suit : 24 Considérons Q : Production totale = ? xj j=1 Qd : Production qui concerne les commandes
c-à-d : x2 + x4 + x16 + x17 + x24 Qp : Production non concernée par les commandes. Q - Qd = Qp ( x1 + x2 + ......+ x3 + .....+ x24) - (x2 + x4 + x16 + x17 + x24) = Qp Comme dit ci-dessus, X1 = 70% Qp x7 = 4% Qp X3 = 3 % Qp x8 = 0,1% Qp X5 = 1 % Qp x9 = 1% Qp X6 = 4 % Qp x10 = 1% Qp X22 = 4% Qp Ces contraintes sont exprimées comme suit : 1) 30x1 - 70x3 - 70x5 + 70x6 - 70x7 - 70x8 - 70x9 - 70x10 - 70x11 - 70x12 - 70x13 - 70x14 - 70x15 - 70x18 - 70x19 - 70x20 - 70x21 - 70x22 + 70x23 = 0 2) - x1 + 97x3 - 3x5 - 3x6 - 3x7 - 3x8 - 3x9 - 3x10 - 3x11 - 3x12 - 3x13 - 3x14 - 3x15 - 3x18 - 3x19 - 3x20 - 3x21 - 3x22 -3x23 = 0 3) - x1 - x3 + 99x5 - x6 - x7 - x8 - x9 - x10 - x11 - x12 - x13 - x14 - x15 - x18 - x19 - x20 - x21 - x22 -x23 = 0 4) - 4x1 - 4x3 - 4x5 + 96x6 - 4x7 - 4x8 - 4x9 - 4x10 - 4x11 - 4x12 - 4x13 - 4x14 - 4x15 - 4x18 - 4x19 - 4x20 - 4x21 - 4x22 - 4x23 = 0 5) - 4x1 - 4x3 - 4x5 - 4x6 + 96x7 - 4x8 - 4x9 - 4x10 - 4x11 - 4x12 - 4x13 - 4x14 - 4x15 - 4x18 - 4x19 - 4x20 - 4x21 - 4x22 -4x23 = 0 6) - 0,1x1 - 0,1x3 - 0,1x5 - 0,1x6 - 0,1x7 + 99,9x8 - 0,1x9 - 0,1x10 - 0,1x11 - 0,1x12 - 0,1x13 - 0,1x14 - 0,1x15 - 0,1x18 - 0,1x19 - 0,1x20 - 0,1x21 - 0,1x22 - 0,1x23 = 0 7) - x1 - x3 - x5 - x6 - x7 - x8 - x9 + 99x10 - x11 - x12 - x13 - x14 - x15 - x18 - x19 - x20 - x21 - x22 -x23 = 0 8) - x1 - x3 - x5 - x6 - x7 - x8 - x9 + 99x10 - x11 - x12 - x13 - x14 - x15 - x18 - x19 - x20 - x21 - x22 -x23 = 0 9) - x1 - 4x3 - 4x5 - 4x6 - 4x7 - 4x8 - 4x9 - 4x10 - 4x11 - 4x12 - 4x13 - 4x14 - 4x15 - 4x18 - 4x19 - 4x20 - 4x21 + 96x22 - 4x23 = 0 b.2. Contrainte capacité de production. La capacité de production installée est de 18000 tonnes par an. Théoriquement cette contraintes est formulée comme suit : 24 ? xj = 18 000 j =1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22 + x23 + x24 = 18 000. b.3. Contrainte de gestion b.3.1 Contrainte du ratio masse salariale/chiffre d'affaire. La condition que le rapport charges du personnel sur le chiffre d'affaires soit inférieur ou égal à 14% peut être présentée comme suit : H 14 24 = ? Pj xj 100 j=1 24 Avec ? Pj xj : chiffre d'affaire annuel. j=1 Avec Pj : Le prix d'une tonne du produit xj. H : La masse salariale. Les prévisions donnent une masse salariale évaluée à 84.000.000 Frw. Les prix de vente qui ressortent du tableau ci - dessous nous permettent de calculer 24 ? Pj xj . j=1 Tableau n° 17 : Prix de vente hors T.V.A pour chaque xj.
Source : Fait par l'auteur sur base de la liste des prix dressée par la B.R.R. L'expression mathématique de cette contrainte est : 84.000.000 = 14 100 (23 913 x1 + 20 000x2 + 15 730x3 + 22 988x4 + 28 571x5 + 28 571x6 + 28 500x7 + 23 000x8 + 32 500 x9 + 23 158x10 + 36 000x11 + 30.985x12 + 37.037x13 + 57.500x14 + 55.555x15 + 21.052x16 + 17.500x17 + 23.000x18 + 42.857x19 + 24.000x20 + 30.985x21 + 24.637x22 + 19.166x23 + 80.000x24) En simplifiant on aura : (3.348 x1 + 2.800x2 + 2.202x3 + 3.218x4 + 4.000x5 + 4.000x6 + 3.150x7 + 3.220x8 + 4.550x9 + 3.242x10 + 5.040x11 + 4.338x12 + 5.185x13 + 8.050x14 + 7.778x15 + 2.947x16 + 2.450x17 + 3.220x18 + 6.000x19 + 3.360x20 + 4.338x21 + 3.449x22 + 2.683x23 + 11.200x24) = 84 000 000. b.3.2. Contrainte ratio de rentabilité financière. La ratio de rentabilité financière est donnée par le rapport entre le résultat net et les capitaux propres. Le résultat qui est utilisé dans ce calcul est déduit d'impôt. Selon la législation rwandaise, le taux d'impôt est fixé à 35% du bénéfice réalisé. Pour 2003, les dirigeants se donnent l'objectif de dépasser le taux de rentabilité réalisé au cours de l'exercice 2002. Théoriquement la contrainte est formulée comme suit 24 24 ? Cj Xj - 0,35 ? Cj Xj j=1 j = 1 = r k avec : 24 ? Cj Xj : Bénéfice avant impôt j =1 24 24 ? Cj Xj - 0,35 ? Cj Xj : (bénéfice déduit d'impôt) = (Résultat net). j=1 j = 1 k : capitaux propres r : taux de rentabilité 2002. En développant la contrainte ci-dessus nous avons : (8.696 x1 + 4.857 x2 + 562 x3 + 7.816 x4 + 13.333 x5 + 13.333 x6 + 2.500 x7 + 800 x8 + 17.333 x9 + 8.000 x10 + 20.800 x11 + 17.668 x12 + 21.852 x13 + 42.500 x14 + 40.278 x15 + 4.789 x16 + 2.500 x17 + 8.000 x18 + 27.857 x19 + 8.800 x20 + 15.775 x21 + 9.420 x22 + 4.000 x23 + 12.000x24 ) = F 0,35 (8.696 x1 + 4.857 x2 + 562 x3 + 7.816 x4 + 13.333 x5 + 13.333 x6 + 2.500 x7 + 800 x8 + 17.333 x9 + 8.000 x10 + 20.800 x11 + 17.668 x12 + 21.852 x13 + 42.500x14 + 40 278x15 + 5.789x16 + 2.500 x17 + 8.000 x18 + 27.857 x19 + 8.800 x20 + 15.775x21 + 9.420 x22 + 4.000 x23 + 12.000x24 ) = 0,35F Comme, K = 339.052.623 r = 0,19 L'expression de la contrainte devient : F - 0,35F r K Après avoir regrouper les termes semblables, on obtient
5.652 x1 + 3.187 x2 + 365 x3 + 5.080 x4 + 8.667 x5 + 8.667 x6 + 1.625 x7 + 520 x8 + 11.266 x9 + 5.200 x10 + 13.520 x11 + 11.484 x12 + 14.204 x13 + 27.625 x14 + 26.181 x15 + 3.763 x16 + 1.625x17 + 5.200 x18 + 18.107 x19 + 5.720 x20 + 10.254 x21 + 6.123 x22 + 2.600 x23 + 42.120 x24 = 64.419.998 b.4. Contrainte temps de fabrication La description de la technologie utilisée par la Briqueterie Rwandaise Ruliba a été faite dans les paragraphes précédents. Nous allons voir ici le temps utilisé, le nombre de personnes affectées dans chaque atelier et le temps disponible pour une période de 12mois d'activité. L'hypothèse est qu'il n'y a pas d'heures perdues, suite aux coupures d'électricité et pannes éventuelles. Dans les ateliers de fabrication que sont le façonnage, l'empilage et le dépilage, on trouve respectivement 14, 18 et 17 ouvriers qui consacrent chacun 11 heures par jour à leur travail. Ces dernières données nous permettent de construire un tableau suivant : Tableau n° 18 : Détermination de la main d'oeuvre disponible en heures de travail.
Source : Fait par l'auteur sur base des données du Département Technique. Dans la suite nous allons tracer les tableaux qui nous montrent le nombre d'heures requises pour fabriquer une tonne de xj. Tableau n° 19 : Temps requis pour fabriquer une tonne de xj dans l'atelier FACONNAGE
Source : Fait par l'auteur sur base des données fournies par le Département Technique. Tableau n° 20 : Temps requis pour fabriquer une tonne de xj dans l'atelier EMPILAGE
Source : Fait par l'auteur sur base des données fournies par le Département Technique. Tableau n° 21 : Temps requis pour fabriquer une tonne de xj dans l'atelier DEPILAGE
Source : Fait par l'auteur sur base des données fournies par le Département Technique. Les dernières colonnes des tableaux n° 19, 20, 21 donnent la durée de fabrication de xj Tableau n° 22 : Temps requis pour fabriquer xj dans les ateliers Façonnage, Empilage, et Dépilage.
Source : Fait par l'auteur sur base des données des tableaux 19, 20, 21
j : indice donné à chaque produit. i : indice donné à chaque atelier. Le tableau précédent (tableau n°22) nous permet d'écrire les contraintes associées à l'opération de fabrication. Toutes ces contraintes sont exprimées comme suit : 1) (0,07x1 + 0,07x2 + 0,16x3 + 0,09x4 + 0,05x5 + 0,05x6 + 0,10x7 + 0,10x8 + 0,09x9 + 0,12x10 + 0,10x11 + 0,10x12 + 0,10x13 + 0,10x14 + 0,11x15 + 0,10x16 + 0,10x17+ 0,10x18 + 0,13 x19 + 0,08 x20 + 0,08 x21 + 0,08 x22 + 0,06 x23 +0,26 x24 ) = 40 656. 2) (0,12x1 + 0,11x2 + 0,13x3 + 0,11x4 + 0,14x5 + 0,17x6 + 0,35x7 + 0,71x8 + 0,12x9 + 0,13x10 + 0,46x11 + 0,44x12 + 0,42x13 + 0,71x14 + 0,71x15 + 0,38x16 + 0,36x17 + 0,44x18 + 0,34x19 + 0,11x20 + 0,20x21 + 0,19x22 + 0,10x23 + 0,92x24 ) = 52 272. 3) (0,14x1 + 0,13x2 + 0,17x3 + 0,25x4 + 0,22x5 + 0,21x6 + 0,29x7 + 0,58x8 + 0,15x9 + 0,18x10 + 0,20x11 + 0,21x12 + 0,52x13 + 0,65x14 + 0,61x15 + 0,24x16 + 0,19x17 + 0,61x18 + 0,35x19 + 0,13x20 + 0,22x21 + 0,17x22 + 0,17x23 + 1,05x24 ) = 49 368. c. Matrice des données saisies dans le logiciel STORM.
Les coefficients de la fonction objectif et ceux des contraintes technologiques ainsi que les ressources (bi) associées à ces dernières sont présentés dans le tableau suivant : Tableau n° 23 : Matrice des données
Source : Fait par l'auteur sur base des coefficients de la fonction objectif et des contraintes technologiques. Ce sont les données de ce tableau qui servent de base de saisie dans le logiciel STORM pour dégager les résultats tel que nous allons le voir dans la suite. Après 30 itérations, le tableau final de notre modèle ainsi que les intervalles de sensibilité sont donnés aux tableaux ci-après Tableau n° 24 : Présentation du tableau final du modèle.
Source : Résultats donnés par le logiciel STORM. 4.3.3. Interprétation des données du tableau final Le profit optimal que la B.R.R peut espérer de la production de divers blocs de construction pour 2003 est de 161.493.500 Frw et peut s'obtenir en fabriquant : X1 = 5851,30 tonnes X2 = 859 tonnes X3 = 250,77 tonnes X4 = 1820 tonnes X5 = 83,59 tonnes X6 = 334,36 tonnes X7 = 334,36 tonnes X8 = 8,359 tonnes X10 = 83,59 tonnes X11 = 83,59 tonnes X14 = 815,761 tonnes X16 = 822 tonnes X17 = 3652 tonnes X22 = 513,32 tonnes X24 = 2488 tonnes N.B : Ces résultats sont lus dans le tableau final dans la colonne « valeur ». Nous remarquons qu'il n'existe pas d'autres plans de production optimaux puisque les coûts marginaux des variables hors base sont tous négatifs. La condition suffisante d'optimalité de la solution de base est vérifiée. Si on implante le plan de production optimal associé au tableau final, on constate qu'aucun atelier n'est utilisé à pleine capacité parce que les variables d'écart associée aux contraintes (4) (5) et (6) sont devenues variables de base dans le tableau final et prennent respectivement les valeurs : 38691,87 ; 46408,07 ; 43596,27 a. Interprétation de quelques éléments du tableau final - Les coefficients qui se situent à l'intersection des colonnes associés aux variables hors base et des lignes associées aux variables de base s'interprètent comme suit :
Exemple : Le coefficient situé à l'intersection de la colonne x21 (x21 devenue hors base voir tableau n° 24) et la ligne associée à x14 prend la valeur 1. Ceci peut s'explique comme suit : La 8ème ligne constitue l'équation suivante : x12 + x13 + x14 + x15 + x18 + x19 + x20 + x21 + x23 = 815,761 Toutes les variables apparaissant dans cette équation, sauf x14, sont hors base et, à ce titre, sont nulles dans la solution de base optimale associée au tableau final. Si l'on donne à x21 la valeur 1 tout en maintenant à 0 les autres variables hors base apparaissant dans l'équation ci - dessus, On aura : x14 + 1 = 815,761 X14 = 814,761 Ceci veut dire que si on donne à x21 la valeur 1, on diminue d'une valeur égale à 1 à x14. Dans cette situation x14 passe de 815,761 à 814,761. Dans cet exemple nous venons de voir un coefficient associé à une variable de décision devenue « base » et à celle devenue hors base. - Coefficient du tableau final associé à une variable de décision devenu « base » et à une variable d'écart devenu hors base. Exemple Les coefficients 0,119 ; 0,7 ; 0,03 ; 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ; 10-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01 ; associés à la colonne e1 (variable d'écart devenue hors base) et respectivement associé aux variables x14, x1, x3, x5, x6, x7, x8 x22, x11, x10 (variables de décision devenues « base » dans le tableau final) s'interprètent comme suit : Poser e1 = 1 implique la diminution de la capacité de production d'une unité (Rappelez-vous que e1 est associée à la contrainte « capacité de production ». Cette diminution de la capacité entraînera une chute de la production ; x14, x1, x3, x5, x6, x7, x8 x22, x11, x10 qui vont respectivement diminuer de 0,119 ; 0,7 ; 0,03 ; 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ; 10-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01. Ceci veut dire que le volume de production se modifie comme suit : X14 passe de 815,761 à ( 815,761 - 0,119 ) = 815,642 X1 passe de 5851 à (5851,30 - 0,7) = 5850,6 X3 passe de 250 à (250,77 - 0,03) = 250,74 X5 passe de 83 à (83,59 - 0,01) = 83,58 X6 passe de 334,36 à (334,36 - 0,04) = 334,32 X7 passe de 334,36 à (334,36 - 0,04) = 334,32 X8 passe de 8,359 à (8,359 - 10-3 ) = 8,358 X22 passe de 513,22 à (513,32 - 0,04) = 513,28 X11 passe de 83,59 à (83,59 - 0,01) = 83,58 X10 passe de 83,59 à (83,59 - 0,01) = 83,58 - Interprétation des coûts marginaux du tableau final (voir la dernière ligne du tableau final) ? Les coûts marginaux que nous lisons dans le tableau final s'interprètent comme étant des effets nets sur le profit optimal quand les variables de décision et variables d'écart devenues hors base prennent la valeur 1. Exemple Prenons les coefficients associés à la colonne « e1 ». Si l'on donne à e1 la valeur 1 tout en maintenant à zéro les autres variables hors base, les variables x14, x1, x3, x5, x6, x7, x8 x22, x11, x10 diminuent respectivement de : 0,119 ; 0,7 ; 0,03 ; 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ; 10-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01. Déterminons maintenant l'effet net sur le profit optimal de tous ces changements. Les baisses des x14, x1, x3, x5, x6, x7, x8 x22, x11, x10 entraînent les manques à gagner détaillées comme suit : Pour x14 le manque à gagner = 0,119 x 42.500 = 5057,5 Pour x1 le manque à gagner = 0,7 x 8696 = 6087,2 Pour x3 le manque à gagner = 0,03 x 562 = 16,86 Pour x5 le manque à gagner = 0,01 x 13.333 = 133,33 Pour x6 le manque à gagner = 0,04 x 13.333 = 533,32 Pour x7 le manque à gagner = 0,04 x 2500 = 100 Pour x8 le manque à gagner = 10-3 x 800 = 0,8 Pour x22 le manque à gagner = 0,04 x 9420 = 376,8 Pour x11 le manque à gagner = 0,01 x 20.800 = 208 Pour x10 le manque à gagner = 0,01 x 8000 = 80 12.593,81 L'effet net sur z est 12.593,81 (voir dans le tableau final le coût marginal associé à e1). Ceci veut dire que si l'on diminue la capacité de production d'une unité, le profit optimal diminue de 12 593,81.
Source : Résultats donnés par le logiciel STORM et présentés par l'auteur. b. Analyse post optimale Après avoir obtenu le tableau final on comprend qu'il faille investiguer sur la sensibilité des solutions optimales aux changements envisageables dans la valeur de cj et des bi. Cette analyse à laquelle nous soumettons au modèle porte le nom d'analyse post optimale pour la bonne raison que cette analyse s'intéresse aux mouvements de la solution optimale induits par les changements apportés aux valeurs des paramètres cj et bi. L'analyse post optimale permet en effet de détecter les paramètres dont une faible oscillation suffit à chambarder la solution optimale proposée par le tableau final. Cette analyse va fournir au décideur de la B.R.R des diagnostics prémonitoires qui l'inciteront à recourir à des meilleures estimations des paramètres les plus sensibles du modèle ou à mettre en place les mécanismes de surveillance de ces paramètres déclencheurs de changement par leurs moindres glissements. En nous servant de l'approche algébrique nous allons pouvoir donner l'interprétation aux intervalles de sensibilité de quelques cj et bi. c. Intervalle de sensibilité de cj Ecrivons la fonction objectif Z' du modèle (p') sous la forme : Z' = Max Z = (8696 + ) x1 + 4857x2 + 563x3 + 7816x4 + 13333x5 + 13333x6 + 2500x7 + 800x8 + 17333 x9 + 8000x10 + 20800x11 + 17668x12 + 21852x13 + 42500x14 + 40278x15 + 5789x16 + 2500x17 + 8000x18 + 27857x19 + 8800x20 + 15775x21 + 9420x22 + 4000x23 + 12000x24 (8.696 + ) a été substitué au coefficient de x1 dans la fonction objectif. La solution de base est optimale pour z' seulement si, les coûts marginaux des variables hors base sont tous 0. Nous calculons ces coûts marginaux associés à Z', que nous noterons c'j - z'j ci-après. Pour e7 : c'j - z'j = cj - z'j = cj - (zj + 0,7) = (cj - zj) + 0,7 = - (7736,81 + 0,7) Commentons brièvement l'égalité ci-dessus ; dénotons c* la colonne des coefficients de base selon z ; et c'* celle des coefficients de base selon z'j . zj se calcule en multipliant terme à terme des colonnes c* et e7 ; puis en additionnant des produits ; de même, z'j s'obtient comme la somme des produits terme à terme des colonnes c'* et e7 or, les colonnes c* et c'* coïncident, sauf à la première ligne où c'* contient le terme supplémentaire + ; par conséquent, z'j s'obtient en ajoutant dans zj le terme supplémentaire + 0,7. Pour e8 : c'j - z'j = - (4777,81 + 0,7 ) Pour e9 : c'j - z'j = - (8128,010 + 0,7) Pour e10 : c'j - z'j = - (11.417,01 + 0,7) Pour e11 : c'j - z'j = - (593,81 + 0,7) Pour e1 : c'j - z'j = - (12.593,81 + 0,7) Pour e12 : c'j - z'j = - (338,040 - 0,01) Pour e20 : c'j - z'j = - (330,80+ 2,7756 x 10-17) La solution de base associée au tableau final du modèle est donc une solution optimale du modèle (p') Si et seulement si - (8128,010 + 0,7 ) 0 ; - (11.417,01 + 0,7 0 ) - (593,81 + 0,7) 0 ; - (12.593,81 + 0,7) 0 ) - (338,040 - 0,01) 0 et - (330,80+ 2,7756 x 10-17) 0 - (7736,81 + 0,7) 0 et - (4777,81 + 0,7) 0 Si et seulement si 8128,010 + 0,7 0 ; 11.417,01 + 0,7 0 593,81 + 0,7 0 ; 12.593,81 + 0,7 0 338,040 - 0,01 0 ; 330,80 + 2,7756 x 10-17 0 (7736,81 + 0,7) 0 et (4777,81 + 0,7) 0 Si et seulement si - 8128,010 / 0,7 ; - 11.417,01/ 0,7 - 593,81 / 0,7 ; - 12.593,81 / 0,7 338,040 / 0,01 ; - 330,80 / 2,7756 x 10-17 - 7736,81/0,7 ; - 4777,81/0,7 Si et seulement si -11614,442 ; -16310,014 - 848,3 ; -17991,157 33804 ; - 1,19181E + 19 - 11052,5 ; - 6825,4 Si et seulement si - 848,3 33804 7847,7 8696 + 42500 Ainsi, on trouve algébriquement le résultat obtenu par le logiciel STORM. (voir tableau n° 25). Le plan de production de la B.R.R. dégagé dans le tableau final reste optimal pourvu que le coefficient de x1 dans la fonction objectif soit compris entre 7847,7 et 42 500. On peut procéder de la même façon pour chaque cj. c.1. Variation de la valeur optimale de la fonction objectif quand cj varie. Une modification d'un coefficient cj de la fonction objectif n'entraîne aucune modification du polygone des solutions admissibles. Tant que la variation du coefficient est suffisamment faible, l'optimum reste au même sommet et la valeur optimale de la fonction objectif augmente ou diminue de (x*j x ) où xj est la variable de coefficient cj et où x*j dénote la valeur prise par xj dans la solution optimale48(*). Dans le cas de notre modèle, si l'on modifie le coefficient de x1 par exemple, la solution (5851 ; 859 ; 250 ; 1820 ; 83 ;334,36 ; 334,36 ; 8,359 ; 83,59 ; 815 ; 822; 3652 ; 513,32; 2488) reste optimale tant que est compris entre 7 847,7 et 42 500 ; la valeur optimale de la fonction objectif augmente ou diminue alors de (5851 x ). Avec 5851 dénotant, la valeur prise par x1 dans la solution optimale. Exemple : Dans la fonction objectif, le coefficient de x1 est 8696. Si ce coefficient passe de 8696 à 9696 = 1000. Alors la valeur optimale de la fonction objectif augmente de 5851 x ; Numériquement nous avons 5851 x 1000 = 5.851.000 Dans ce cas z' = 161.493.500 + 5.851.000 = 167.344.500. En partant de l'hypothèse que toute chose égale par ailleurs, l'exemple ci-dessus nous permet de construire un tableau reflétant l'impact de la variation de 10% des paramètres de la fonction économique sur la valeur de Z.
L'axe des abscisses est associé aux xj Exemple : Si on augmente de 10% le profit unitaire associé à x14 , le profit optimale est égale à 164 960 484 Frw. Il ressort de ce graphique que pour une grande partie des produits de la B.R.R, un accroissement de 10% du profit unitaire d'un xj (les autres Cj restant inchangé) entraîne un accroissement de la valeur optimale de la fonction économique. Nous remarquons que les différentes valeurs de Z se concentrent entre 161 millions et 162 millions. Pour x4 et x17 , la valeur de ``Z'' se trouve entre 162 millions et 163 millions. La BRR peut réaliser un grand profit si elle opte pour un accroissement de 10% du profit unitaire d'un produit associé à x14. Ceci est tout à fait vrai parce que le produit associé à x14 a une marge relativement supérieure (voir tableau n° 9). d. Intervalle de sensibilité des bi Pour retrouver algébriquement les résultats tout juste obtenus par le logiciel, il convient de procéder comme suit : Le nombre ou la quantité des ressources disponibles peut s'écrire bi + . Le paramètre représente l'écart entre les ressources réellement disponibles et les bi tenus pour acquises dans le modèle d'origine. Exemple Supposons que nous cherchons à savoir l'intervalle de sensibilité des ressources liées à la première contrainte du modèle (voir capacité de production installée). Rappelons que e1 représente la variable d'écart associée à cette contrainte. Dans le tableau final identifions les coefficients et les valeurs respectivement associés à e1 et aux variables de base et procédons comme suit : La solution de base associée au modèle où bi a connu une modification sera optimale pourvue qu'elle soit admissible. Et elle sera admissible pourvu que chacune des variables de base soit non négative. C'est à dire pourvue que soient vérifiées les 15 conditions ci-dessous (ici nous sommes dans le cadre de notre modèle. Le nombre de conditions à vérifier change suivant le modèle) . N.B : Les coefficients nuls associés à e1 ne sont pas pris en considération. e6 = 43596,27 - 0,2138 0 c'est à dire +203 882,8 e2 = 4.900.407 + 5051,61 0 c'est à dire - 970,07 e3 = 9,6205x107 + 4625,895 0 c'est à dire -20 797,056 e4 = 38691,87 - 0,0777 0 c'est à dire +497 964,86 e5 = 46408,97 - 0,2088 0 c'est à dire +222 265,18 x14 = 815,76 + 0,119 0 c'est à dire -6 855,126 x1 = 5.851,3 + 0,7 0 c'est à dire -8359 x3 = 250,77 + 0,07 0 c'est à dire -8359 x5 = 83,59 + 0,01 0 c'est à dire -8359 x6 = 334,36 + 0,04 0 c'est à dire -8359 x7 = 334,36 + 0,04 0 c'est à dire -8359 x8 = 8,359 + 10-3 0 c'est à dire -8359 x22 = 513,32 + 0,04 0 c'est à dire -12 833 x11 = 83,59 + 0,01 0 c'est à dire -8 359 x10 = 83,59 + 0,01 0 c'est à dire -8 359 En résumé : La solution de base du modèle où bi ( pour notre cas c'est la capacité de production ) a été modifié est admissible ( et optimale ) - 970,07 2 030 882,8 (voir les quinze conditions ci-dessus). Cette conclusion correspond bien aux résultats obtenus par le logiciel (voir tableau n° : 25, « intervalles de sensibilité »), car la formule précédente (-970,07 203.882,8) signifie que le membre droit 18.000 + de la première contrainte satisfait à 18 000 - 970,07 18.000 + 18.000 + 203.882,8 17.029,93 18.000 + 221.882,8. La colonne associée à la variable d'écart e1 dans le tableau final peut être considérée comme le vecteur des changements dans la solution optimale découlant d'une augmentation unitaire du membre droit de la seule contrainte (1). En effet, accroître d'une unité à la capacité de production installée, implique que la production x14 augmentera de 0,119 tonne, que la production x1 augmentera de 0,7 tonne, que la production x3 augmentera de 0,03 tonne, et que x5,x6,x7,x8,x22,x11 et x10 augmenteront respectivement de 0,01 ; 0,04 ; 0,04 ; 10-3 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,01 tonnes ; l'effet net de tous ces changements sera d'augmenter de 12.593,81 la valeur optimale de la fonction objectif. Le tableau final du modèle original permet de déterminer, sans autre itération, la solution optimale du modèle modifié ; de plus la valeur optimale de la fonction - objectif augmente ou diminue alors de Z*j x , où z*i est au signe près, le coût marginal dans le tableau final de la variable supplémentaire ei associée à la contrainte numéro i 49(*). Pour le cas de la B.R.R, dans le cas où l'on modifie le membre droit b1 de la première contrainte, l'optimum est atteint tant que est compris entre - 970,07 et 203 882,8 ; la valeur optimale de la fonction objectif augmente ou diminue de 12 593,81 x . Voyons maintenant combien varie la production de la B.R.R. suite à une augmentation de 10% de quelques ressources. Agissons sur la capacité de production et sur la disponibilité de la main d'oeuvre en heures de travail.
Un accroissement de 10% de la contrainte « capacité de production » entraîne les variations des produits détaillées comme suit : - variation positive de 22% pour les produits x1, x3, x5, x6, x7, x8, x11, - variation positive de 14% et e 26% respectivement pour x22, et x14, pour d'autres produits la variation est de 0% La B.R.R. peut augmenter la production par un accroissement de la capacité de production. Quant à l'accroissement de 10% de la main d'oeuvre exprimée en heures de travail, nous constatons que la production reste inchangée. Ceci est dû au fait que les heures disponibles dans les ateliers (infra tableau final du modèle retenu ou 4.3.2.4) ne sont pas entièrement utilisées. L'analyse post optimale ne se limite pas à l'interprétation des intervalles de sensibilité50(*). Au cours de ce travail nous ne pouvons pas illustrer toutes les questions usuelles aux quelle l'analyse poste optimale permet de répondre. Ceci pourra se faire par un chercheur intéressé qui pourra amener sa contribution. CONCLUSION ET SUGGESTIONS Notre travail avait pour thème : « l'utilisation de la programmation linéaire comme outil pour la planification optimale de la production dans une entreprise Industrielle : cas d'application « la Briqueterie Rwandaise de Ruliba ». Le but poursuivi était de montrer comment la B.R.R. peut produire à l'optimum compte tenu des contraintes auxquelles elle est confrontée. Après avoir énoncé les caractères essentiels et les qualités propres de la recherche opérationnelle, nous avons esquissé son rôle important et son utilité qui provient du fait qu'elle force les décideurs à considérer leurs problèmes d'une façon rationnelle et cohérente. Au deuxième chapitre, nous avons vu que la production constitue la source de survie d'une entreprise. Elle vise l'obtention des produits prêts à être écoulés sur le marché. Elle est donc la fonction principale d'une entreprise industrielle ; raison pour laquelle nous avons analysé les problèmes liés à l'obtention du produit et avons présenté brièvement les facteurs élémentaires de production à savoir : le travail, les moyens d'exploitation, et les matières premières. L'optimisation de la production nécessite l'optimisation des facteurs de production notamment des ressources (le travail des moyens d'exploitation, matières premières). Le troisième chapitre fait le point de la littérature sur la programmation linéaire et sur son aspect mathématique. Cela se lit à travers les définitions, la présentation, et la méthode de résolution du programme linéaire que nous avons exposées. L'analyse poste optimale que nous avons suffisamment décrite se voit comme un miroir pour un décideur désirant modifier ses ressources disponibles (matière première, main d'oeuvre, publicité, moyen d'exploitation, etc.) en connaissance de cause, c'est - à - dire les conséquences de ses décisions sur la valeur optimale. Dans ce travail nous avons étudié un cas pratique de la planification optimale de la production en utilisant la programmation linéaire à travers la méthode du simplexe qui s'avère très efficace. Dans le cadre de l'étude du cas pratique, il n'a pas été possible d'identifier toutes les contraintes auxquelles une entreprise est confrontée pour la bonne raison que les facteurs qualitatifs, comme le climat financier, les législations gouvernementales, les avances constatées ou prévues de la technologie, le résultat d'une élection ou d'un référendum, toute chose dont les répercutions sont difficiles à quantifier mais dont la présence permet de calibrer les résultats obtenus lors de la résolution d'un modèle. L'objectif principal était de montrer comment, en utilisant la programmation linéaire, on peut élaborer un plan optimal de production. Nous avons défini une fonction économique de la Briqueterie Rwandaise de Ruliba à partir de ses données statistiques. Les contraintes que nous avons pu identifier et quantifier concernent, la capacité de production, les commandes fermes, la main d'oeuvre disponible en heures de travail, la gestion (ratios), et les prévisions de production pour l'année 2003. Grâce au logiciel STORM, nous avons dégagé des résultats à partir desquels nous avons fait une analyse de la sensibilité de la solution obtenue. Cette analyse va fournir aux responsables de la Briqueterie Rwandaise de Ruliba des diagnostics prémonitoires qui vont les inciter à recourir à de meilleures estimations des paramètres les plus sensibles ou à mettre en place les mécanismes de surveillance de ces paramètres déclencheurs de changement par leur moindre glissement. A l'aide des exemples, nous avons donné une description de l'impact sur la solution optimale lorsqu'un changement est apporté aux paramètres de la fonction critère (fonction économique) ou à une ressource limitée de l'entreprise. En guise de recommandations, les dirigeants de l'entreprise devraient s'éloigner du hasard par le biais de l'analyse opérationnelle et prendre des décisions à base des résultats quantifiables obtenus sur base des techniques scientifiques. Pour aboutir à de meilleures décisions à temps, les gestionnaires devraient recourir à l'étude opérationnelle pendant l'exécution. La mise en place des techniques scientifiques au sein de la Briqueterie Rwandaise de Ruliba nécessite la réorganisation de l'entreprise et la formation de certains cadres en recherche opérationnelle. Cependant , nous demeurons conscients que nous n'avons pas épuisé tous les aspects du sujet, ni répondu à toutes les attentes de nos différents lecteurs. Nous pensons avoir ouvert une piste et encourageons les futurs chercheurs qui voudraient bien approfondir ce sujet. Ceci n'est donc qu'une brèche pour des études ultérieures. * 48 NORBERT, Y., Op. Cit., P. 231. * 49 IBIDEM. * 50 IBID, P.224 |
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