Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS

Ministère de l'Enseignement
Supérieur et de La Recherche
Scientifique

Caisse Nationale de Prévoyance
Sociale

Institution de Prévoyance
Sociale

Ecole Nationale Supérieure de
Statistique et d'Economie
Appliquée

Présenté par :

M.SILUE Zié

Elève Ingénieur des Travaux Statistiques à l'ENSEA

Sous la direction de :

M.TRAORE Adama

Responsable de la CED (Cellule Etudes et Développement)

République de Côte d'Ivoire

Union-Discipline-Travail

RAPPORT DE STAGE

THEME :

ELABORATION D'UNE TABLE DE
MORTALITE SPECIFIQUE AU REGIME
D'ASSURANCE VIEILLESSE DE LA CNPS

ANNEE ACADEMIQUE 2006-2007

Avant Propos

L'Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d'Economie Appliquée (ENSEA), créée en

1961, a pour mission de délivrer une formation théorique et pratique à travers cinq filières distinctes :

· Les Agents Techniques de la Statistique (AT) ;

· Les Adjoints Techniques de la Statistique (AD) ;

· Les Ingénieurs des Travaux Statistiques (ITS) ;

· Les Ingénieurs Statisticiens Economistes (ISE) ;

· Le DESS d'Analyse Statistique et de Développement (ASAD).

Dans le cadre de la formation des Ingénieurs des Travaux Statistiques, l'ENSEA prévoit un stage d'une durée de trois mois en dernière année; stage qui est fait soit dans une structure publique ou privée soit dans un organisme international. C'est l'occasion pour les futurs Ingénieurs d'utiliser les outils qu'ils ont acquis durant la formation pour résoudre un problème bien précis rencontré durant le stage. Aussi, ce stage permet-il aux futurs Ingénieurs de comprendre les réalités du monde du travail et d' en mesurer les difficultés.

En ce qui nous concerne, c'est l'Institution de Prévoyance Sociale-Caisse Nationale de Prévoyance Sociale (IPS-CNPS), plus précisément la Cellule d'Etudes et Développement (CED) qui a servi de cadre d'étude du 06 Juin au 07 Septembre 2007.

Il a été demandé de réfléchir sur le thème Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS. Ce travail a un intérêt particulier car la CNPS, dans le souci d'améliorer la qualité de ses projections actuarielles souhaiterait disposer d'une table de mortalité propre à la population de son régime.

Le présent document expose le travail qui a été effectué durant la période de stage. Il n' est pas exempt de reproches et il se veut être un document de méthodologie d'élaboration de tables de mortalité, notamment pour les sociétés d' Assurances qui sont régies par le code CIMA (Conférence Interafricaine des Marchés d' Assurance).

Sommaire

Avant Propos 1

Sommaire 2

Sigles et abréviations 6

Introduction générale 7

PRESENTATION DE LA STRUCTURE D 'ACCUEIL 9

A - Missions, Statut juridique et Organisation de la CNPS 9

B - Présentation de la CED 11

PARTIE I : CADRE THEORIQUE ET REVUE DE LITTERA TURE 12

CHAPITRE 1 : CADRE THEORIQUE 12

CHAPITRE 2 : REVUE DE LITTERATURE 15

CHAPITRE 3: ETUDES EMPIRIQUES SUR LES METHODES DE LISSAGE DES TABLES DE MORTALITE 25

PARTIE II: ESTIMATION BRUTE DES QUOTIENTS ANNUELS DE

MORTALITE 31

CHAPITRE 1 : VALIDATION DES FICHIERS INITIAUX 31

CHAPITRE 2 : ANALYSE COMPARATIVE AVEC LES TABLES DE MORTALITE DE REFERENCE 39

PARTIE III : AJUSTEMENT DE LA TABLE D'EXPERIENCE 44

CHAPITRE 1 : LISSAGE DE LA COURBE DE MORTALITE 44

CHAPITRE 2 : TESTS DE VALIDATION DE LA COURBE DE MORTALITE 50

CHAPITRE 3 : CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE 54

Conclusion 64

Bibliographie 66

Annexes 68

Liste des illustrations

Liste des encadrés

Encadré n°1 : Espérance de vie 17

Encadré n°2 : Le diagramme de Lexis .18

Encadré n°3 : Notations et définitions .26

Encadré n°4 : Loi de distribution des quotients de mortalité 37

Encadré n°5 : Le Standardized Mortality Ratio (SMR) 41

Liste des graphiques

Graphique 1 : Répartition du portefeuille des assurés selon l'âge 34

Graphique 2 : Répartition des décès selon l' âge des assurés 35

Graphique 3 : Quotients de mortalité bruts et intervalles de confiance 38

Graphique 4 : Analyse comparée des décès théoriques et des décès observés 40

Graphique 5 : Analyse comparative des quotients quinquennaux de mortalité 42

Graphique 6 : Courbe des quotients bruts de mortalité 44

Graphique 7 : Quotients bruts et quotients lissés selon Gompertz et Weibull .48

Graphique 8 : Quotients bruts et lissés selon le modèle choisi 50

Graphique 9 : Analyse comparée des quotients quinquennaux de mortalité issus des différentes tables 61

Graphique 10 : Courbes de survie issues des différentes tables de mortalité ..62

Liste des tableaux

Tableau 1 : Résultats obtenus à l' aide du modèle de Gompertz, de 22 à 60 ans .45

Tableau 2 : Résultats obtenus avec le modèle de Gompertz, de 61 à 89 ans 46

Tableau 3 : Résultats obtenus avec le modèle de Weibull, de 22 à 60 ans .46

Tableau 4 : Résultats obtenus avec le modèle de Weibull de 61 à 89 ans ..47

Tableau 5 : Critères de choix du modèle pour les âges allant de 22 à 60 ans .48

Tableau 6 : Critères de choix du modèle pour les âges allant de 61 à 89 ans .49

Tableau 7 : Table de mortalité du régime d'assurance vieillesse de la CNPS, obtenue

A partir des quotients lissés de mortalité ..57

Tableau 8 : Table de mortalité du régime d'assurance vieillesse de la CNPS, obtenue à partir des quotients lissés de mortalité à 5% d' erreur (borne supérieure) .59

Tableau 9 : Différence d'espérance de vie avec la table obtenue 60

Tableau 10 : Différence d' espérance de vie avec la table obtenue (borne supérieure à 5% d'erreur) 60

Tableau 11 : Ratios du nombre de décès observés sur ceux attendus ..61

Liste des annexes

Annexe 1 : Quotients bruts de mortalité avec leurs intervalles de confiance

(5% d'erreur) ..68

Annexe 2 : Table de mortalité abrégée relative au portefeuille vieillesse de la CNPS.....69

Annexe 3 : Table de mortalité abrégée relative au portefeuille vieillesse de la CNPS (borne supérieure 5% d'erreur) 69

Annexe 4 : Espérance de vie relative aux différentes tables utilisées pour l' étude 70

Annexe 5 : Tableau relatif aux probabilités de survie des assurés 71

Annexe 6 : Régression relative à toute la plage d'âge (22 à 89 ans) pour les lois de Gompertz et Weibull en comparaison aux quotients bruts de mortalité obtenus 71

Annexe 7 : Table de mortalité unisexe de l'OMS relative à la Côte d'Ivoire 71

Remerciements

Nous adressons tout d'abord nos remerciements à notre famille, à nos proches et amis pour le soutien qu'ils n'ont cessé de nous apporter pour la rédaction de ce rapport.

Ensuite, nous tenons à remercier, Monsieur KOFFI N' Guessan, le Directeur de l'ENSEA, Messieurs KOUADIO Hugues, KOUAKOU Jean Arnaud et OUATTARA Aboudou respectivement, Directeur des études de la filière des Ingénieurs Statisticiens Economistes, Directeur des études de la filière des Ingénieurs des Travaux Statistiques et Directeur d'Etudes du DESS ASAD.

Nos remerciements vont également à l' endroit du personnel et de tous les enseignants de l'école, particulièrement à Mlle MOSSO Rosine pour sa contribution à la rédaction de ce mémoire.

Nous voudrions remercier tout spécialement :

· Monsieur TRAORE Adama, Responsable de la CED (Cellule d'Etudes et Développement) qui a accepté de nous accueillir et de nous encadrer pour ce stage académique ;

· Monsieur DIARRASSOUBA Siriki et Mademoiselle ATTOH TOURE Priscilla respectivement Chargé d'Etudes Techniques et Statistiques et Chargée d'Etudes Techniques et Actuarielles, pour avoir suivi notre travail ;

· Monsieur DIALLO Oumar, Responsable de la Cellule Patrimoine de la CNPS, pour sa totale disponibilité et ses remarques pertinentes ;

· Monsieur ASSI Jean Constant, Actuaire à CCR (Caisse Centrale de Réassurance) en France ;

· Monsieur DOSSO Karim, Actuaire à ACTUARIA International en France et Consultant à la CNPS.

Nous tenons également à remercier une fois de plus l'équipe de la CED pour leur accueil chaleureux.

Sigles et abréviations

CED : Cellule d'études et de Développement ;

CGRAE : Caisse Générale des Retraités et Agents de l'Etat ;

CIMA : Conférence Interafricaine des Marchés d'Assurance ;

CMIB : Continuous Mortality Investigation Bureau ;

CNAM : Centre National des Arts et Métiers ;

IPS-CNPS : Institution de Prévoyance Sociale-Caisse Nationale de Prévoyance Sociale ;

DAV : Deutsch Aktuarvereinigung ;

INS : Institut National de la Statistique ;

INSEE : Institut National de Statistique et d'Etudes Economiques ;

ISFA : Institut de Science Financière et d'Assurance ;

OMS : Organisation Mondiale de la Santé ;

RGPH : Recensement Général de la Population et de l'Habitat ;

SMR : Standard Mortality Ratio ;

TD/TV : Tables décès et tables vie ;

TPG : Tables Prospectives Générationnelles.

Introduction générale

Dans le domaine de l' assurance, parmi les facteurs exogènes accroissant les besoins de financement, la longévité occupe une place spéciale. L' allongement régulier de l' espérance de vie est actuellement une donnée commune à tous les pays développés ; ce qui contribue à augmenter le nombre de retraités et donc les charges de pensions. C' est pour cette raison que les réformes établies au niveau de certains pays se sont attachées à internaliser dans les barèmes des gains d'espérance de vie, destinés à ajuster le montant de la pension liquidée ou à augmenter la durée de cotisation aux fins de maintenir la promesse de pension.

En effet, le calcul des engagements à provisionner, la tarification des annuités à verser prennent désormais en compte les gains futurs d' espérance de vie pour éviter d' engendrer des pertes techniques pour ces régimes.

Or la longévité est un phénomène qui se produit par l'action combinée de plusieurs facteurs parmi lesquels l' on peut citer la fécondité, la mortalité et l' espérance de vie future des pensions, pour lesquels des outils de mesure sont nécessaires.

Les pays Africains qui ne sont pas en marge du processus du vieillissement, réfléchissent à la reforme de leur système de retraite. A l'instar des autres caisses de retraite d'Afrique, l'IPS-CNPS a entrepris depuis 2006 une évaluation actuarielle qui vise à multiplier les projections à long terme de la situation démographique et financière de son régime. Cette évaluation doit aboutir à des réformes paramétriques du système de protection sociale des travailleurs du secteur privé de Côte d' Ivoire.

Pour mener à bien cette évaluation actuarielle, il est nécessaire d'utiliser une table de mortalité représentative de la population des assurés sociaux de la CNPS puisque le choix d'une table de mortalité appropriée pour projeter les populations des régimes est un préalable pour établir un diagnostic précis de la situation financière à long terme.

Le système de Prévoyance Sociale de la CNPS couvre une frange de la population, dont les caractéristiques socioéconomiques (taille, statut socioprofessionnel, niveau de vie...) s'écartent significativement de la population globale: Ces écarts se traduisent tant au niveau de l' espérance de vie mesurée que de son évolution.

En côte d'Ivoire, des tables de mortalité existent déjà mais elles divergent selon la méthodologie utilisée. On dénombre trois grands groupes :

- Les tables de l'INS : elles découlent du RGPH 98 et sont établies pour la zone urbaine, la zone rurale et Abidjan. Elles ne prennent pas en compte l'impact des maladies dans leur méthodologie de construction.

- Les tables de l'OMS sont construites sur la base de la population nationale, en tenant compte cette fois de l'impact des maladies. Ceci a comme conséquence de produire des probabilités de décès aux différents âges plus élevées que celles de l' INS.

- A la différence des autres tables, celles du code CIMA découlent des tables TD 60- 64 et TV 60-64.

Les deux premières tables sont calculées sur toute la population ivoirienne alors la table CIMA est obtenue à partie des données de la population française. Les quotients de mortalité de ces tables peuvent être différents de ceux que l'on pourrait obtenir d'une table spécifique au régime de la CNPS, vu les caractéristiques différentes de sa population avec celles des tables existantes.

Ainsi, dans le souci de minimiser les risques de sous-évaluation ou de surestimation des décès, par conséquent des charges futures, nous avons préconisé et proposé l'élaboration d'une table de mortalité spécifique à la population du régime de la CNPS. Autrement dit « Quelle est la table de mortalité la mieux appropriée au régime d'assurance vieillesse de la CNPS ? ». C'est l' objet du présent rapport de stage.

A cet effet, notre étude sera subdivisée en trois parties :

· La première partie est consacrée aux orientations de l' étude ainsi qu'aux expériences déjà réalisées dans d'autres pays autour du même thème ou de thème semblable.

· La seconde est consacrée à l'estimation des quotients bruts décès qui seront comparés à ceux des tables choisies pour l' étude.

· Enfin la dernière partie est consacrée au lissage des courbes de mortalité afin d'avoir une courbe croissante selon l'âge. Nous obtiendrons après cette procédure une table propre au régime d' assurance vieillesse de la CNPS.

PRESENTATION DE LA STRUCTURE D 'A CCUEIL

A - Missions, Statut juridique et Organisation de la CNPS

Missions

L'Institution de Prévoyance Sociale-Caisse Nationale de Prévoyance Sociale (IPSCNPS) a pour objet la gestion du régime obligatoire de protection sociale des travailleurs salariés et assimilés du secteur privé. Son rôle est de préserver ses assurés sociaux contre les risques sociaux suivants :

· La vieillesse,

· Les accidents de travail et maladies professionnelles,

· Les charges de famille et de maternité (naissance, congés de maternité, etc.).

En outre, la CNPS intervient également dans la prévention des risques professionnels et dans le domaine de l'action sanitaire et sociale (fourniture de soins médicaux et autres prestations en nature à ses assurés).

Par ailleurs, elle a également pour objet :

· La gestion des régimes complémentaires ou spéciaux, obligatoires ou volontaires;

· Le recouvrement des cotisations sociales et le service des prestations afférentes à ces différents régimes.

Statut juridique

L'IPS-CNPS dans sa forme actuelle est l'aboutissement de l'évolution progressive de la sécurité sociale en Côte d'Ivoire de 1955 à nos jours. La CNPS est passée successivement du statut d'Etablissement Public à caractère administratif (EPA) à celui d'Etablissement Public Industriel et Commercial (EPIC) puis d'Etablissement Public National (EPN) à celui de Société Privée de type particulier en 1999.

L'Institution de Prévoyance Sociale, dénommée Caisse Nationale de Prévoyance Sociale en abrégé CNPS, a été créée par décret 2000- 487 du 12 juillet 2000. La CNPS est régie par les lois n° 99-476 du 2 Août 1999, portant définition et organisation des Institutions de Prévoyance Sociale, et n° 99-477 de la même date portant modification du Code de Prévoyance Sociale.

Organisation

L'IPS-CNPS est placée sous la double tutelle du Ministère de la Santé, des Affaires Sociales et de la Solidarité (Tutelle administrative et Technique) et du Ministère de l'Economie et des Finances (Tutelle Financière).

L'Institution est présidée par un Conseil d'Administration de 12 Membres et gérée au quotidien par un Directeur Général nommé par le Conseil d'Administration.

Le Directeur Général est assisté dans sa mission par deux Directeurs Généraux Adjoints :

· Un Directeur Général Adjoint chargé de l'Exploitation ;

· Un Directeur Général Adjoint chargé de l'Administration et des Finances. La CNPS s'appuie sur cinq Directions Centrales et des Cellules Spécialisées. Les structures de la Caisse Nationale de Prévoyance Sociale se présentent comme suit :

1. Les Structures rattachées au Directeur Général :

· Le Cabinet du Directeur Général ;

· L' Inspection Générale ;

· La Fonction Qualité ;

· La Direction des projets ;

· La Cellule Communication et Documentation ;

· La Cellule Juridique ;

· Le service Coopération.

2. les Structures rattachées au Directeur Général Ad joint chargé de l'Administration et des Finances :

· La Direction du Contrôle ;

· La Direction Financière et Comptable ;

· La Direction des Ressources Humaines ;

· La Cellule des Moyens Généraux.

3. Les Structures rattachées au Directeur Général Ad joint chargé de l'Exploitation :

· La Direction de l'Exploitation ;

· Le Contrôle Médical ;

· La Cellule Etudes et Développement ;

· Le Centre d'Exploitation Informatique ;

· Le Bureau d'Organisation et Méthodes (BOM) ;

· La Cellule Chargée de la Maîtrise d'oeuvre du Schéma Directeur du Système d'Information ;

· La Cellule Chargée de la Maintenance des Applications ;

· Le Centre Ivoirien de Formation des Cadres de Sécurité Sociale (CIFOCSS).

C'est à la Cellule Etudes et Développement que nous avons effectué notre stage du 6 juin au 7 septembre 2007.

B - Présentation de la CED

Cette cellule est chargée, d'une manière générale, de mener des études en vue de l'amélioration et de l'extension du système de Prévoyance Sociale géré par la CNPS et notamment :

· La réalisation d' études techniques et actuarielles sur l' équilibre à long terme des régimes gérés par la CNPS ;

· La réalisation d' études techniques et financières en vue de l' amélioration des produits existants ;

· La réalisation d' études techniques et financières dans le cadre de la gestion des branches techniques ;

· La réalisation d'études techniques et financières sur la rentabilité de tout projet d'investissement ;

· La réalisation d'études socio-économiques et démographiques sur les populations assurées ou à assurer ;

· L'élaboration du rapport d'activité de l'Institution ;

· Les études générales tendant à l'amélioration de la qualité du service rendu par la CNPS ;

· L' analyse de tout projet d' étude interne de la Direction Générale.

Elle compte 4 personnes, le Responsable, 2 Chargés d'Etudes et une Secrétaire.

PARTIE I : CADRE THEORIQUE ET REVUE DE LITTERA TURE

CHAPITRE 1 : CADRE THEORIQUE

Ce chapitre a pour objet de définir les orientations de l'étude. Il est composé du contexte et de la justification, des objectifs de l' étude et de la méthodologie utilisée.

1.1- Contexte et justification de l'étude

La table de mortalité est un outil de base important dans le fonctionnement d'un système de retraite. En effet, les espérances de vie et le nombre de survivants à chaque âge permettent d' estimer les pensions à verser à court ou long terme et de réaliser des projections. Le chômage existant conjugué à la situation de guerre que vit notre pays entraîne une baisse au niveau du nombre des actifs, donc une assiette de cotisation de moins en moins importante. Le système fonctionnant par répartition, les recettes perçues au cours d'une année servent à financer les prestations versées durant cette même année. Ce qui conduit pourrait à terme conduire à la formation de régimes déficitaires. En Côte d'Ivoire, l'INS grâce au RGPH 98 a conçu des tables de mortalité du moment selon que l'on soit en zone urbaine, en zone rurale ou à Abidjan. Ces tables ne sont pas utilisées par les sociétés d' assurance de la place. En effet elles sont toutes régies par le code CIMA qui utilise les tables réglementaires de la France de 1960-1964. Enfin, l'OMS a construit une table de mortalité pour la Côte d'Ivoire. A la différence des autres tables, elle prend en compte l'impact des maladies telles que le SIDA, le paludisme, la tuberculose... La méthodologie d'élaboration cette table est présentée en annexe du document « World Health Report ».Cette prise en compte a pour conséquence d'augmenter la mortalité estimée de la table de l'OMS par rapport à celle des autres tables. Dans cette situation, le choix d' une table s' avère délicat puisque les écarts sont considérables et pourraient conduire à une sous évaluation ou à une surévaluation de la mortalité.

A ce titre l'IPS-CNPS, premier organisme chargé de la Sécurité Sociale en Côte d'Ivoire souhaiterait à partir de son portefeuille disposer d'une table de mortalité spécifique à son régime.

1.2- Objectifs de l'étude

L' objectif général de cette étude vise à mettre à la disposition de la CNPS une table de mortalité d'expérience qui lui permettra d'affiner ses projections actuarielles.

Plus spécifiquement, nous chercherons à :

· Identifier les sources d'information permettant la réalisation de cette table ;

· Proposer la méthode de construction de la table de mortalité d'expérience ;

· Proposer une méthodologie permettant de faire une comparaison avec les tables de mortalité existantes ;

1.3- Méthodologie de l'étude

Pour construire une table de mortalité à partir d'un portefeuille d'assurance, il est indispensable de disposer d'un certain nombre d'informations sur les assurés constituant la population observée. Ces observations doivent contenir en particulier : les dates de naissance des assurés, les dates d' entrée en portefeuille, les dates de décès des assurés.

Suivant la taille de l' effectif du portefeuille, il pourrait être utile de recueillir des informations sur plusieurs années.

Le déroulement de cette étude se fera en quatre grandes étapes présentées ci-dessous :

· Collecte et traitement des données ;

· estimation des quotients bruts de décès ;

· analyse comparative par rapport aux autres tables, notamment celles de la zone urbaine en Côte d'Ivoire, du code CIMA et de l'OMS ;

· lissage des taux ou quotients de mortalité par différentes méthodes et modèles statistiques (Gompertz, Weibull, Makeham¹...) ;

· méthodes d'extrapolation dans le cas de données insuffisantes.

1 Ces différents modèles seront abordés de façon détaillée dans la suite du mémoire.

1.4- Définitions et vocabulaire

Les opérations de prévoyance : ensemble des contrats d'assurance de personnes offrant des garanties de versement de prestations en cas de survenance d'un risque tel que le décès, l'incapacité de travail, l'invalidité ou la maladie.

Sinistre : fait générateur de la garantie, dans notre étude, le sinistre équivaut au décès de l' assuré.

Les modèles tabulaires : ce sont les modèles de survie dans lesquels les probabilités sont énumérées par âge.

Les modèles paramétriques : ce sont les modèles de survie dont les probabilités s'obtiennent en utilisant en utilisant une formule mathématique (Gompertz, Weibull, Makeham,...)

Les tables de mortalité du moment : ces tables décrivent la mortalité telle qu'elle est observée sur une période de temps donné.

Les tables de mortalité par génération : elles décrivent la mortalité d'une cohorte d'individus depuis leur naissance jusqu' à leur décès.

Les tables d'expérience : elles sont dressées par les compagnies d'assurance sur la base de la sinistralité observée au sein de leur portefeuille.

CHAPITRE 2 : REVUE DE LITTERATURE

2.1- Definition

On étudie sous le terme de mortalité la façon dont les décès surviennent dans une population et l'action de la mort sur les populations humaines (définition des Nations Unies en 1958). En d'autres termes, l'analyse de la mortalité consiste dans un premier temps à mesurer cette action de la mort sur les populations.

Pour ce faire, il faut confronter dans un laps de temps le nombre de décès et le volume de la population concernée. Le nombre de décès dans une population dépend du niveau de la mortalité mais aussi de l' effectif de cette population et de sa structure par âge. Dans un deuxième temps, il faudra prendre en compte les différentes variables auxquelles la mortalité est parfois liée.

Ainsi, la table de mortalité est un modèle qui permet de rendre compte de la mortalité vécue par une cohorte d'individus (tous nés dans la même période) depuis la naissance jusqu'à l' extinction complète de la génération, la cohorte est supposée fermée aux migrations. Elle donne précisément pour une cohorte d'individus d'âge x le nombre probable de survivants à chaque âge ou groupe d'âge successif. La construction d'une table de mortalité nécessite la connaissance préalable de la loi de mortalité, dont elle donnera une « représentation ». La loi de mortalité est la mesure d'un processus probabiliste. Elle est présentée sous la suite de quotients de mortalité par âge, chaque quotient étant évalué à partir des observations de mouvement et d'état de la population considérée.

Encadré n°1 : Espérance de vie

L'espérance de vie est l'expression technique employée pour désigner la durée moyenne de vie_. Il n'existe pas une seule, mais plusieurs espérances de vie :

-l'espérance de vie à la naissance, appelée également durée moyenne de vie : c'est le nombre total d'années que toute personne venant au monde vivra en moyenne ; -l'espérance de vie calculée à un âge quelconque : elle représente le nombre d'années qu'une personne ayant atteint cet âge vivra encore en moyenne.

On a souvent recours à l'espérance de vie pour différents âges x (notamment l'espérance de vie à la naissance) afin d'illustrer l'allongement de la mortalité dans nos contrées, ou encore de comparer la mortalité de deux tables. Les espérances de vie sont généralement données par les tables de mortalité.

Indicateur du niveau de vie, l'espérance de vie est un critère de comparaison et d'analyse pour les actuaires et les démographes afin de réaliser leurs différentes projections.

Malgré ses atouts, elle est une donnée qu'il faut manipuler avec précaution. Tout d'abord, l'espérance de vie n'a pas une valeur figée : elle évolue au fur et à mesure que l'on avance avec l'âge. En outre il ne s'agit que d'une valeur moyenne, cela signifie que si l'on considère un groupe d'individus de même âge, on constatera en réalité de grandes disparités. En d'autres termes, on peut dire, pour employer une image, que l'espérance de vie n'est pas une période à l'issue de laquelle on << meurt obligatoirement >>.

Source : INSEE

2.2- Historique de la table de mortalité

Les premières tables de mortalité furent dressées dès le 17^ème siècle. Les démographes s'accordent généralement à voir dans l'ouvrage d'un mercier londonien, John Graunt intitulé << Natural and Political Observations upon the bils of mortality » et publié en 1662, la première contribution à l' établissement des tables de mortalité.

Il s'agit d'une analyse des relevés hebdomadaires des décès pour la ville de Londres. La table donne à chaque âge le nombre moyen de décès, de survivants, les probabilités de décès et de survie pour une génération fictive correspondant à 100 000 ou 1 000 000 de naissances (racine de la table). D' autres auteurs ont publié vers le 18^ème siècle des ouvrages importants, cependant le 18^ème et le 19^ème siècle ont été surtout marqués par les travaux de Malthus avec son livre << essai sur le principe de population >>. Malthus part de l'idée qu'il existe chez tous les êtres vivants une tendance constante à accroître la quantité de nourriture

disponible. Ce caractère dangereusement prolifique s'applique en particulier à l'espèce humaine.

2.3- Les différentes tables de mortalité

On distingue généralement deux types de tables de mortalité, celle dite de génération et celle du moment.

· Les tables de mortalité de génération : Dans ce type de table, l'observation de la mortalité est opérée de façon continue jusqu'au décès du dernier membre de la cohorte. Ce sont des tables bidimensionnelles : deux variables expliquent le décès, à la fois l'âge mais aussi le temps. Les probabilités de survenance du risque de mortalité intègrent les évolutions potentielles de la mortalité avec le temps (recul de la mortalité, phénomène de longévité).

· Les tables de mortalité du moment : Ces tables caractérisent la mortalité de la population actuelle dans sa globalité; elles sont conçues sur une période déterminée. Elles consistent à l'analyse de plusieurs générations simultanément. La population peut éventuellement être segmentée suivant des variables influençant de manière significative le risque de décès.

Nous distinguerons pour chacun des deux types de table évoqués plus haut ce que nous appelons une table complète et une table abrégée.

· La table mortalité complète :

Une table de mortalité est dite complète lorsque les décès sont renseignés par tranches annuelles.

· La table de mortalité abrégée :

Une table de mortalité est dite abrégée lorsque les décès sont regroupés par tranches quinquennales.

Encadré n°2 : Le diagramme de Lexis

Le temps intervient sous trois formes différentes dans l'étude de la mortalité : l'âge des individus, l'instant d'observation et la génération dont les individus font partie. Le diagramme de Lexis est un système d'axes rectangulaires permettant de préciser comment se combinent les mesures du temps, selon le calendrier civil et selon la durée écoulée depuis un événement antérieur. Les dates du calendrier sont portées en abscisses, les durées écoulées en ordonnées, l'échelle de mesure de temps étant la même .Il y a deux types de diagrammes :

- Le diagramme selon l'approche longitudinale ;

- Le diagramme selon l'approche transversale.

L'approche longitudinale de la mortalité

Supposons qu'à l'occasion d'un recensement, un organisme répertorie toutes les personnes nées au cours d'une année, puis suive l'ensemble de ces personnes tout au long de leur vie en dénombrant chaque année le nombre de survivants du groupe ainsi constitué. Au terme de cette opération qui se déroulait sur une période de cent ans, cet organisme disposerait de la table de mortalité de la génération concernée. Cette table décrirait très fidèlement la loi de mortalité de la population étudiée mais elle ne serait d'une grande utiité pour les assureurs : seuls les démographes, les chercheurs ou les historiens pourraient en avoir l'usage.

L'approche transversale de la mortalité

La construction de la mortalité selon l'analyse transversale est réalisée sur une assez courte période. Au niveau de l'INSEE, des observations statistiques sont réalisées sur une période d'environ 3 à 5 ans. Elles portent sur des individus regroupés par âge. Concernant l'INS en Côte d'Ivoire, la table est construite à partir du recensement de 1998, avec des ajustements dus à la qualité des données collectées.

Au sein de chaque groupe, on mesure le taux annuel de mortalité. Puis à partir de l'ensemble des taux ainsi observés, on reconstitue la table de mortalité, après avoir effectué au préalable un lissage des données. Les tables produites par cette méthode sont le reflet de la mortalité à un instant donné. Elles sont statiques en ce sens qu'elles n'intègrent pas l'évolution de la mortalité dans le temps.

Source : INS et INSEE

Figure 1 : exemple de quotients de mortalité transversaux et longitudinaux sur un diagramme de Lexis

2.4- Les variables explicatives de la mortalité

Certaines variables entrent directement dans les calculs de quotients de mortalité. L' identification et la quantification des différents facteurs de risque permettent d' expliquer les différentes espérances de vie obtenues ainsi que de comparer les tables de mortalité.

+ L'âge

L'âge joue un rôle prépondérant. L'observation des statistiques démographiques montre en effet pour la plupart des pays que le taux annuel de mortalité décroît durant les premières années de la vie, pour augmenter ensuite de manière continue. L' augmentation est très forte à partir de 60-65 ans dans les pays en voie de développement et à 75 ans et plus dans les pays développés.

+ Le sexe

Les statistiques de mortalité sont établies au niveau national sont différenciées par sexe. Elles confirment un phénomène observable par les chercheurs depuis très longtemps : la mortalité des femmes est inférieure à celle des hommes.

·
· La catégorie socio professionnelle

La catégorie socio professionnelle joue également un rôle déterminant. .La mortalité peut être différente selon que l' on soit cadre ou non cadre, instituteur ou agriculteur, ingénieur ou ouvrier².

Dans certains contrats collectifs, tels les régimes de prévoyance des entreprises, la catégorie socioprofessionnelle est un paramètre pris en compte dans les calculs, car la tarification de ces contrats est fonction des caractéristiques de la population auxquels ils s' adres sent.

·
· Le pays

Les tables de mortalité sont établies au niveau de chaque pays. L'étude comparée des tables de différents pays montre que la mortalité n'est pas identique partout, et l'on constate même des écarts assez sensibles d'un pays à l' autre. Le pays est de fait un critère important car il implique toute une série de facteurs qui ont une incidence sur la vie de la population. Ces facteurs sont les coutumes, le mode de vie, le climat, etc. La mortalité n' est cependant pas uniforme au sein d'un même pays : concernant les pays en voie de développement, on constate une mortalité plus élevée en milieu rural par rapport au milieu urbain.

·
· Le tabac

Les experts l' affirment de manière unanime et les fabricants de cigarettes le mentionnent eux même de manière très lisible sur leurs paquets : le tabac nuit gravement à la santé. Ainsi dans le monde, la mortalité des fumeurs est plus élevée que celle des non fumeurs. Elle a pour conséquence une diminution sensible de l'espérance de vie.

Le tabac est un facteur que les assureurs nord-américains et britanniques ont intégré depuis plusieurs années dans leurs tarifs, en établissant une distinction entre les assurés fumeurs et les assurés non-fumeurs.

2 G.Desplanques, l'inégalité sociale devant la mort, Données sociales- la société Française, INSEE, 1993

·
· Les autres facteurs

Selon des études de l'INSEE, d'autres facteurs ont également une influence sur la mortalité. Citons par exemple l'hérédité, la pratique ou non du sport ou d'une activité physique, l'hygiène de vie. Le chômage augmenterait le risque de décès ainsi que les personnes mariées auraient une longévité supérieure à la moyenne.

2.5- Les tables de mortalité utilisées pour l'étude

Nous appellerons tables de référence les tables de l' INS, du code CIMA et de l' OMS. Elles serviront dans la suite du mémoire à faire des études comparatives. Les tables de mortalité de l'INS en Côte d'Ivoire ont été construites à partir d'observations découlant du RGPH de 1998. Elles donnent des informations sur la mortalité globale de la Côte d'Ivoire et sont spécifiques à aux zones urbaines, aux zones rurales et à la ville d'Abidjan. Elles sont disponibles par tranches d'âge de 5 années et par sexe. Elles ne prennent pas en compte l'impact des maladies sur la mortalité. Pour notre étude, nous avons choisi la table relative aux zones urbaines. Ce choix est lié au fait que la majorité des assurés sociaux de la CNPS vivent en ville. Ces tables de mortalité sont produites à des fins sociodémographiques.

Les tables de mortalité CIMA sont utilisées par les assureurs pour la tarification de leurs produits d' assurance (retraite, vie et décès). Elles ont été élaborée à partir des tables TD et TV 60-64 de la population Française. La table décès découle du recensement relatif à la population masculine et la table vie est relative à la population féminine en France. Ces tables sont disponibles par tranches annuelles.

L'OMS confectionne des tables de mortalité pour chaque Etat Membre de son organisation. A la différence des autres tables, celle-ci prend en compte l'impact du SIDA et du paludisme sur la mortalité. La prise en compte de grandes pandémies aboutit à une mortalité estimée plus élevée que celles des autres tables. Ces tables sont disponibles par tranches d' âge de 5 années et par sexe.

2.6- Les tables de mortalité dans d'autres pays

·
· En Afrique

Au niveau de l'Afrique noire, les pays d'Afrique Noire Francophone utilisent comme la Côte d' Ivoire la table CIMA pour les sociétés d' assurance. Concernant les tables propres à chaque pays, elles découlent également des recensements généraux de la population. Le marché de l'assurance étant encore embryonnaire dans la plupart de ces pays, il n'existe de tables de mortalité propres à des portefeuilles. Seul le Nigéria avec sa forte population réussit l'expérience de construction de tables d'expérience. En Afrique du Nord, notamment au Maroc une table de mortalité est construite par la Direction de la Statistique mais la plupart des grandes sociétés d' assurance expérimentent la construction de tables d' expérience propre à leurs portefeuilles.

La situation est la même en Afrique du Sud où une segmentation est faite entre les hommes et les femmes. Pendant la période de l' apartheid, il existait trois types de tables de mortalité, notamment celle des noirs, des blancs et des asiatiques. Avec la suppression de ce système, de nouvelles tables sont construites, mais l'écart entre ces différents types de population est encore significatif. Au niveau des sociétés d'assurance, bon nombre d'entre elles disposent de tables de mortalité. En effet, l'Afrique du Sud est le premier marché d'assurance en Afrique avec plus de 30%.

·
· En France

Sous l'influence de la troisième directive européenne, la réglementation française a subi de nombreuses modifications entrées en vigueur le 1er juillet 1993. Le choix des tables est désormais laissé à l'assureur. Cette mesure est largement justifiée par la dérive constatée entre les anciennes tables TD et TV 73-77 et la mortalité réelle. Les tables de référence peuvent être :

· les tables INSEE officielles : la table TD 88-90 pour la mortalité et la table TV 88-90 pour la longévité reposent sur les observations de l'INSEE au cours de cette période sur la population masculine et féminine dans sa globalité ;

· Les tables d'expérience : elles peuvent être établies au niveau de la profession et au niveau des sociétés si celles-ci ont un portefeuille suffisamment important permettant

des statistiques fiables grâce à la loi des grands nombres. Elles devront être validées par un actuaire indépendant agréé par la Commission de contrôle des assurances.

· Les tables prospectives (TPG-1887 à 1993) : elles deviennent obligatoires pour les rentes viagères souscrites à compter du 1^er juillet 1993. Elles anticipent la baisse des taux de mortalité par génération. En pratique, il s'avère d'ailleurs que la tarification obtenue par cette méthode est sensiblement voisine de celle basée sur les tables par génération, si l'on applique un correctif d'âge.

Depuis quelques mois, l'INSEE a fourni de nouvelles tables TH 00-02 et TF 00-02 en remplacement des tables TD 88-90 et TV 88-90.

La réglementation présente comme importante nouveauté d'autoriser les organismes assureurs à réaliser une distinction technique entre les hommes et les femmes au sein de son portefeuille pour le provisionnement. Il reste toutefois possible d'appliquer une table unique à condition de retenir la plus prudente.

· . L'Allemagne

Le cas particulier de l'Allemagne est profondément affecté par son histoire. La seconde guerre mondiale a considérablement influencé les mortalités observées et, surtout, la séparation de l'Allemagne a crée de fait deux sous populations de niveaux de vie significativement différents, ce qui a contribué à la complexité des études au niveau démographique et actuariel.

La réunification du 3 Octobre 1990 a accru la population de 25%. La mortalité observée des ex-Allemands de l'Est est toujours différente de celle des ex-Allemands de l'Ouest. Néanmoins les études actuarielles actuelles tablent sur une convergence des mortalités sous l'effet du temps et des conditions de vie de plus en plus proches.

Des tables de mortalité ont été régulièrement établies depuis 1949 par la Federal Statistical Office. Des tables séparées ont touj ours été publiées pour les hommes et les femmes.

Depuis 1994, ce sont des actuaires de la Deutsch Aktuarvereinigung (DAV) qui ont pour tâche de déterminer les tables de mortalité. Pour établir sa table, la DAV s' est basée sur l'observation de la population entre 1986 et 1988.

·
· La Grande Bretagne

Les compagnies issues de Grande Bretagne collectent des statistiques de mortalité depuis près de 200 ans. Régulièrement, des tables sont publiées. Le Continuous Mortality Investigation Bureau (CMIB) étudie entre autres :

· Les différentes causes de décès ;

· L'influence du tabagisme sur les probabilités de décès (depuis 1988) ;

· L' étude de la mortalité des personnes invalides ou affaiblies (depuis 1982) ;

· La sinistralité des contrats de couverture santé.

Les résultats sont publiés tous les 4 ans. Chaque fois que cela s' avère nécessaire, le CMIB publie de nouvelles tables standard pour les compagnies d'assurance.

Les tables sont construites sur base des observations effectuées sur la population de Grande Bretagne depuis 1841. Des tables différentes pour les hommes et pour les femmes sont publiées pour la population d'Angleterre, du Pays de Galles, d'Ecosse et d'Irlande du Nord. Aucune table n'est publiée pour la population de Grande Bretagne dans son ensemble.

CHAPITRE 3: ETUDES EMPIRIQUES SUR LES METHODES DE LISSAGE DES TABLES DE MORTALITE

Les estimations par âge des quotients annuels ou quinquennaux de décès forment une courbe de mortalité qui se révèle en général assez irrégulière. Ces aspérités sont dues aux fluctuations d'échantillonnage et ne sont pas représentatives de la réalité. Entre 0 et 10 ans, à cause la forte mortalité infantile dans les pays en voie de développement, on assiste à une décroissance des quotients de mortalité. Les taux de décès sont si élevés dans la première année de la vie que l'on atteint parfois dans certains pays d'Afrique le ratio d'un décès pour dix enfants. Dans la logique à partir de 10 ans, les quotients évoluent graduellement avec l'âge. Au niveau des pays développés, nous avons la fameuse « bosse accidentelle » entre 19 et 35 ans à cause des accidents de la route et du taux élevé de suicide. De nombreuses méthodes existent pour estimer les quotients de mortalité. Les estimations corrigées qu' elles produisent progressent régulièrement avec l' âge et pour cette raison, sont appelées estimations lissées des taux de décès. Les méthodes de lissage permettent un ajustement assez fidèle aux données d' expérience.

Nous présentons quelques catégories de méthodes permettant d' obtenir des estimations lissées des taux de décès et ainsi, de construire une table de mortalité :

· Les modèles paramétriques

· Les modèles relationnels

Avant d'aborder les différents modèles, certaines notations et définitions sont utiles pour la

suite de notre travail.

Encadré n°3 : Notations et définitions

Les probabilités de survie et de décès

Pour tout individu d'âge x, nous notons Tx la variable aléatoire représentant sa durée de vie restante.

En toute généralité, on définit alors les probabiités de survie apx et de décès aqx pour l'un de ces individus d'âge x pendant une durée a.

On a :

apx = Pr [Tx >a] et aqx = Pr [Tx ~a]

apx représente la proportion d'individus qui survivront jusqu'à l'âge x+a et _aqx représente la proportion d'individus qui mourront entre l'âge x et x+a. Nous avons également la relation

apx + aqx =1.

Le taux brut de mortalité

C'est le rapport du nombre annuel de décès observés dans une population à l'effectif moyen de cette population au cours de la période d'observation.

Le taux instantané de décès

Appelé également force de mortalité (traduction littérale de l'anglais), il représente le taux de décès par unité de temps au voisinage de l'âge x

ux = -S'x/Sx avec Sx le nombre de survivants à l'âge x.

En adoptant l'hypothèse de constance par morceaux des taux instantanés de mortalité pour la répartition des décès sur l'année (l'individu ni ne vieillit ni ne rajeunit sur l'intervalle d'âge [x, x+1]), nous obtenons un lien direct entre ces deux taux par :

ux = -ln (1-qx)

Nous avons également : qx =1-exp(-ux).

L'espérance de vie

Un concept fondamental est la durée de vie moyenne restante à l'âge x, notée ex. Il s'agit de l'une des caractéristiques les plus couramment utilisées pour rendre compte du phénomène de la mortalité. L'espérance de vie à l'âge x ou durée de vie moyenne au-delà de l'âge x, pour les survivants à l'âge x est définie par :

ex =E (Tx) =

^Sx+ådu

1 ~+8

Sx å=0

L'intégrale figurant dans cette formule donne le nombre moyen d'années vécues au-delà de l'âge x par les individus ayant atteint cet âge, et la division par Sx donne donc le nombre moyen d'années restant à vivre pour chacun des individus ayant atteint l'âge x. La vie médiane

La vie médiane ou vie probable, est l'âge probable qu'une personne a autant de chance d'atteindre que de ne pas atteindre.

Cette notion peut également être interprétée comme l'âge où la moitié des individus présents à la naissance (racine de la table) sont décédés.

3.1- La modélisation paramétrique

La modélisation paramétrique repose sur l'hypothèse que la courbe de mortalité peut être représentée par une fonction mathématique de quelques paramètres. Le choix du modèle est déterminant. Démographes et actuaires, ont étudié de nombreux modèles potentiels et identifié ceux qui arrivent le mieux à retracer les caractéristiques fondamentales et permanentes des courbes de mortalité.

Un avantage certain des modèles paramétriques est qu'ils permettent, de par leur construction, d'étendre l'estimation de quotients de mortalité aux âges situés en dehors de la plage d'observation à condition toutefois que la fonction ait été correctement choisie, c'est à dire si des études statistiques ont démontré son adaptabilité à la plage cible.

Nous présenterons dans ce chapitre quelques modèles paramétriques, en commençant par la très ancienne et classique loi de Gompertz. Viennent ensuite les lois de Weibull, de Makeham, de Heligman-Pollard et finalement la fonction logistique de Kannisto.

+ Loi de Gompertz (2 paramètres)

Sur de nombreuses populations, il a été observé que le taux instantané de mortalité augmente d'une manière quasi-exponentielle avec l'âge. Gompertz (1825) a proposé un modèle paramétrique simple qui traduit cette tendance :

ux= BC^x , avec B>0, C>1

· B varie en fonction du niveau de mortalité,

· C mesure l' augmentation du risque de décès avec l'âge.

Cette fonction peut permettre de modéliser la courbe de mortalité au-delà de 30 ans environ. Il faut cependant savoir qu' elle tend à sous-estimer la mortalité avant 40 ans et à la surestimer au-delà de 80 ans.

B

Après transformation de ux, on obtient px =exp (bC^x )= 1-qx , avec b= - (C-1)

lnC

+ Loi de Makeham (3 paramètres)

Pour améliorer l'évaluation de la mortalité des jeunes adultes (avant 40 ans environ), Makeham (1960) a enrichi la formule de Gompertz d'un paramètre :

ux= A+BC^x , avec A>0, B>0, C>1

On considère usuellement que le paramètre A rend compte de la mortalité environnementale (parfois appelée mortalité extérieure à l'individu), indépendante de l'âge.

Cette interprétation peut poser question car il arrive d'obtenir des valeurs négatives pour A. Après transformation de _ux, on obtient px = exp-[A+(B(C-1)C^x)/lnC] =1-qx_.

+ Loi de Weibull (2 paramètres)

Weibull (1951) a proposé un modèle pour décrire les défaillances techniques d' un système. Des analogies pouvant être faites entre les défaillances du corps humain et celles d' un système, ce modèle a été transposé à l' étude de mortalité. On pose alors :

ux= ax^b , où a >0 ,B>1

ce qui équivaut à ln ux=ln(a) + b ln(x) (la relation entre ln ux et ln(x) est linéaire).

+ Le modèle de Heligman-Pollard (8 paramètres)

Cette loi a été introduite par L.Heligman et J.H. Pollard en 1980. Elle présente l' avantage de comporter un terme spécifique à la modélisation de la mortalité infantile. La formule est :

Où : modélise la mortalité infantile

modélise la mortalité dite accidentelle ou environnementale

modélise la mortalité aux âges adultes, hors mortalité environnementale, c'est-àdire la mortalité due au vieillissement.

On peut montrer dans ce modèle que si la force de mortalité tend asymptotiquement vers une droite, alors elle a une forme exponentielle dans le modèle de Gompertz et une puissance de l'âge dans le modèle de Weibull. Ainsi, aux âges les plus élevés, le modèle de Gompertz donnera usuellement des estimations supérieures à celles du modèle de Weibull qui serontelles mêmes plus élevées que celles du modèle Heligman-Pollard. L'une des grandes insuffisances de modèle réside au niveau du nombre important de paramètres. Cette extension a tendance à jouer défavorablement sur la robustesse de la formule : les paramètres

deviennent difficilement interprétables et le modèle ne donne pas une description générale et stable des courbes de mortalité.

+ Le modèle logistique et l'approximation de Kannisto (4 paramètres)

Les trois premiers modèles présentés précédemment (Gompertz, Makeham et Weibull) impliquent que la probabilité de décès tende asymptotiquement vers 1 quand l'âge augmente. Une autre possibilité est que la probabilité de décès augmente ave l' âge mais tende vers une limite inférieure à 1 : c'est l'hypothèse qui est contenue dans le modèle logistique de Kannisto.

D'après ce modèle, il n'existe pas de limite maximale de durée de vie humaine étant donné qu'à aucun âge, la probabilité de survivre jusqu'à l'âge suivant ne devient négligeable. Le modèle logistique présente donc une approche relativement différente des précédents quant à la mortalité aux âges les plus élevés. Ainsi une divergence entre les modèles est toujours observée aux âges très élevés.

Le modèle logistique repose sur l'hypothèse que le taux instantané de mortalité est une fonction logistique de l'âge. Le modèle le plus général comporte 4 paramètres :

b cx

exp()

ux = a+

1exp()

+dcx

Il inclut le modèle de Makeham, que l'on retrouve quand d = 0.

Le modèle logistique a été initialement utilisé par Perks (1932). Depuis plusieurs justifications théoriques ont été élaborées, ce qui lui donne un intérêt particulier même si ces théories ont chacune leurs limites et son forcement incomplètes :

La première théorie est celle du « fixed frailty model » de Beard (1971), Vaupel et Al. (1979). Elle montre que le modèle logistique découle d'une modélisation simple de la mortalité dans une population hétérogène : la mortalité de chaque individu est supposée suivre une loi de Makeham.

3.2- Les modèles relationnels

Les modèles relationnels sont des modèles dans lesquels le taux de mortalité n' est pas fonction uniquement de l'âge, mais du taux de mortalité donné par la table de référence et /ou de l'âge.

Il s'agit de rapprocher les taux de mortalité bruts à ceux issus d'une table connue, construite à partir d'une population ayant des caractéristiques similaires et de transformer cette table de référence pour aboutir à celle du groupe visé.

+ Le modèle de Brass

Le plus célèbre d' entre eux est celui de Brass (1971) qui utilise les modèles logit. Le recours à ce type de transformation permet d'obtenir une quantité non contrainte (alors que q? [0,1], logit (q) ? R).

Il admet l'existence d'une relation linéaire entre les logits des quotients de mortalité cumulés de deux tables pour un même âge.

Dans ce modèle les probabilités de décès _xqa sont liées à un jeu de probabilités de référence

xqa ref par la relation :

logit (xqa) = e1 + e2 logit (xqa ref ), x = a, a+1, ,w,

Où logit (q) = ln (q/ (1-q)).

3.3- Orientations

La partie suivante sera le lieu d' application de toutes les techniques et méthodes exposées précédemment. Elle nous permettra de préciser le type de table que nous utiliserons ainsi que la méthodologie d'analyse pour nos quotients de mortalité.

Cette partie nous a permis de faire un état des lieux sur l'utilisation des tables de mortalité en Afrique et en Europe. Une distinction a été faite entre les tables existantes tout en montrant leur utilisation selon le cas d' espèce. Le second chapitre relatif aux lis sages a été le lieu d'exposer les différentes méthodes de régression possibles.

PARTIE II: ESTIMATION BRUTE DES QUOTIENTS ANNUELS DE MORTALITE

CHAPITRE 1 : VALIDATION DES FICHIERS INITIAUX

1.1- La connaissance de l'assuré ; notations et définitions

Cette partie est consacrée à la présentation des différents types d' assurés.

Les salariés affiliés : Il s'agit de personnes qui ont bénéficié au moins une fois d'un contrat de travail. Si elles sont déclarées, elles bénéficient d'une immatriculation à la CNPS ;

Les salariés cotisants : Il s'agit de tout travailleur salarié immatriculé par la CNPS ; Les retraités émis : Il s'agit de bénéficiaires potentiels d'une pension ; Les retraités payés : Il s' agit de bénéficiaires effectifs d'une pension.

Chaque assuré dispose d'un numéro d'identifiant composé de 12 chiffres. Ces chiffres ont chacun une signification particulière :

· Le premier chiffre est lié au sexe de l'assuré ;

· les deux chiffres suivants sont relatifs aux deux derniers chiffres de l'année de naissance ;

· les deux chiffres suivants sont relatifs à la nationalité de l'assuré ;

· deux autres chiffres concernent l' année d' immatriculation de l' assuré par l'employeur ;

· enfin, les cinq derniers chiffres sont relatifs au numéro de série de l' assuré.

1.2- La période d'observation

La période d'observation est l'intervalle de temps retenu pour l'étude de la mortalité. Pour notre étude, en fonction des bases disponibles, dans la mesure du possible il serait intéressant que la période d'observation comporte plusieurs années. Les bases de données disponibles sont :

· Les décès relatifs aux assurés ;

· Les retraités émis ;

· Les retraités payés ;

· Les salariés cotisants.

1.3- Traitement des données

Une condition très importante pour le calcul des mortalités brutes concerne la qualité des données collectées.

L' analyse des données a fait ressortir les problèmes suivants :

· La détection de doublons au niveau des identifiants (chaque assuré dispose d'un numéro d'immatriculation servant d' identifiant) ;

· L'absence de numéro d'identifiant ou de date de naissance pour un nombre important de personnes (les années de naissance sont extraites du numéro d' identifiant) ;

· Dans le fichier relatif aux salariés cotisants c'est-à-dire les salariés âgés de 15 à 60 ans, nous avons trouvé des personnes âgées de 5 ans et des personnes dont l'âge allait jusqu'à 100 ans. Après vérifications bon nombre de ces personnes faisaient partie de l' effectif des décès. Ces aberrations représentent environ 8% de l' effectif total.

Ces aberrations dues essentiellement aux erreurs de saisie devraient être corrigées grâce au projet de mise en place de la gestion électronique des données (numérisation des documents) dont le terme est prévu pour 2009.

Afin de procéder aux nombreux traitements de données, plusieurs extractions ont été faites :

· Suppression des enregistrements dont le numéro d'identifiant unique est le même ;

· Suppression des enregistrements dont la date de décès est inférieure à la date d' entrée en activité.

1.4- La longueur de la période d'observation et cohérence des données

En raison des fluctuations conjoncturelles de la mortalité, notre choix s'est porté sur une période d'observation comportant plusieurs années. Ce choix en fonction de la disponibilité des données présente un avantage certain : cela permet d'une manière ou d'une autre de corriger les fluctuations aléatoires dues à certains paramètres que nous ne maîtrisons pas forcement, ce qui pourrait améliorer la qualité de nos estimations.

A partir des données disponibles, une période de trois ans a été retenue. Concernant les décès, les années 2001, 2002, 2003 ont été choisies. Pour la population exposée au risque de décès, la même période d' observation a été retenue. Cette population est constituée des salariés cotisants, retraités émis et les retraités payés. Les salariés affiliés n'ont pas été pris en compte car il n'existe pas de suivi réel les concernant dans la base contrairement aux autres types d' assurés.

1.5- Etude descriptive du portefeuille

Après le traitement des données, une analyse descriptive nous permettra de repérer les spécificités du portefeuille. La mortalité repose sur l'hypothèse de répartition uniforme des décès dans l' année.

Pour la population du régime vieillesse de la CNPS, les statistiques de décès des assurés au titre des années 2001 à 2003 permettent de reconstituer des tables de quotients de mortalité du moment. Il est généralement admis que la population d'un régime de travailleurs a une mortalité différente de celle de la population générale avec une espérance de vie plus longue que la moyenne.

Cette partie consistera à déterminer les spécificités du portefeuille. Les différents calculs effectués nous ont permis de retenir au total 554 448 assurés.

Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS

1.5.1 - Répartition du portefeuille selon l'âge des assurés

nombre d'assurés

80000

50000

40000

30000

20000

90000

70000

60000

10000

0

15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99
groupes d'âges

population

Graphique 1 : répartition du portefeuille des assurés selon l'âge ;
Source : nos calculs

Selon les informations recueillies à la CNPS, 84,4 % des assurés sont de sexe masculin et seulement 15,6 % sont de sexe féminin. Au niveau national il y a autant d'hommes que de femmes mais nous remarquons dans la vie active qu'il y a à peine une femme pour sept hommes. Les taux d'activité liés au sexe féminin en Afrique et dans les pays en voie de développement de façon générale sont plus faibles que dans les pays développés. L'objet de ce rapport est de construire une table unisexe.

L'analyse de la répartition du portefeuille selon l'âge nous permet d'avoir une cartographie du nombre d' assurés tous sexes confondus. Les tranches aux extrémités du tableau enregistrent le plus faible nombre d' assurés. Entre 15 et 20 ans, il y a très peu de personnes qui exercent un emploi, la plupart étant encore à l' école. Ce faible effectif peut être également dû au fait que l' employeur ne déclare pas ses travailleurs .A l' extrémité droite du tableau, la mortalité élevée aux grands âges pourrait être un facteur explicatif. La distribution fortement étalée vers la gauche est synonyme d'une forte concentration des assurés entre 30 et 55 ans, par ailleurs l'âge moyen est de 43,3 ans, l'âge médian de 43,9 ans et l'âge modal de 48 ans. L'écart-type relatif aux assurés est de 11,84 ans. Le premier quartile est de 33,1 ans et le troisième quartile est de 50,9 ans.

Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS

1.5.2 - Répartition des décès selon l'âge des assurés

nombre de décès

600

500

400

300

200

100

0

15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99
groupes d'âges

décès

Graphique 2 : répartition des décès selon l'âge des assurés ;
Source : nos calculs

Au niveau des décès, on observe un coefficient d'aplatissement et un coefficient d'asymétrie proches de zéro. Le taux brut de mortalité est estimé à 7,07 %o. L'âge moyen de décès, tous sexes confondus est de 57,1 ans et l' âge médian de 57,6 ans. L' écart type relatif aux décès est de 15,89 ans.

Le premier quartile est observé à 44,6 ans et le troisième quartile est observé à 68,7 ans, signe d'une forte concentration des décès entre ces deux âges (jusqu'à 50 %). L'âge de la retraite normale est fixé à 55 ans. De 15 à 19 ans, on n'enregistre qu'un seul décès pour une population de 807 personnes. Le mode de cette distribution se situe à 53 ans. Pour la suite de notre analyse, l' on pourrait écarter les effectifs relatifs aux extrémités de la distribution pour nombre insuffisant.

1.6-Calculs des quotients bruts de mortalité

Pour la population concernée, les données suivantes sont disponibles pour les effectifs d' âge x

(x = 15ans, ,99ans)

· Le nombre moyen de personnes exposées au risque-décès P(x) ;

· Le nombre moyen de décès D(x) sur la période d'étude choisie.

Pour la construction des quotients bruts de mortalité, nous avons émis l'hypothèse que toutes les observations sont complètes et qu'aucune sortie inopinée autre que les décès n'est possible. Les quotients bruts de mortalité bruts qm(x) pour notre étude sont estimés par la méthode du maximum de vraisemblance³. Ils sont égaux au ratio entre les décès et la population soumise au risque de décès :

qm(x) = D(x)/P(x)

Les données dont on dispose sont regroupées par période. Ainsi, on connaît le nombre de décès D(x) sur une période parmi les P(x) individus d'un certain âge x. Compte tenu des données disponibles, nous supposerons que les décès sont uniformément repartis entre les deux âges entiers (en moyenne les décès se produisent en milieu d' année). Cette hypothèse est acceptable pour autant que D(x) est très faible par rapport à P(x). Si nous disposions de données infra annuelles, il aurait été intéressant d'utiliser la méthode de Kaplan Meier⁴. En effet, à partir de sa fonction de survie, il est possible de calculer les quotients de mortalité par âge sans émettre l' hypothèse de répartition des décès sur [x, x+ 1].

Par ailleurs compte tenu de leur faible nombre, les effectifs des personnes et décès aux âges inférieurs à 22 ans et supérieurs à 89 ans n' ont pas été utilisés afin d' atténuer la variabilité des quotients de mortalité et de satisfaire les contraintes de volume à chaque âge (explication à la page suivante).

3 Cette méthode est exposée à la page suivante, pour la démonstration, voir X. BRY (bibliographie)

4 Pour la description de cette méthode, voir dans le guideline mortalité de la Commission d'Agrément en France, disponible sur Internet

Encadré n°4 : Loi de distribution des quotients de mortalité

Les quotients de mortalité calculés qm(x) sont les premiers estimateurs de q(x) où q(x) est le quotient de mortalité que l'on cherche à estimer. La probabilité de décès de chaque personne suit une loi de Bernoulli de paramètre q(x). La loi du nombre de décès enregistrés parmi les P(x) bénéficiaires d'âge x soumis au risque peut être approchée par la loi d'une somme de P(x) lois de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées, soit une loi binomiale de paramètres (P(x), q(x)).

Puisque nous sommes dans le cas où les données sont nombreuses, cette loi est approximée

qx-qx ()*(1())

par une loi normale de moyenne q(x) et de variance

Px ()

D x~ N (q(x),

() qx- qx

() * (1())

P x ()

) estimateur de q(x), d'où

Px

()

D x

()

q à (x) = = qm(x)

P x ()

qà (x) est aussi l'estimateur du maximum de vraisemblance. En effet, soit P(x) le nombre de

personnes observées d'âge atteint x, et soit D(x) le nombre de personnes décédées d'âge atteint x.

Px ()

--* D(x) = ~= i 1

yi

Où yi prend les valeurs :

0 si l'individu survit jusqu'à l'âge x+1 ;

1 si l'individu décède entre l'âge x et l'âge x+1.

On fait l'hypothèse qu'à chaque âge x, la survie ou le décès de chacune des P(x) personnes soumises au risque est indépendant de la survie ou du décès des autres personnes. Les estimateurs sans biais des quotients de mortalité avec une probabiité de 95% sont :

~ ~ ~

q(xi)?

à q

() xi

*

(1

-

à q

()) xi

Px() i

*

()1.96

xi#177;

1 ~ ~

Vi

à

q

à condition de respecter le critère de Cochran, qui fixe le seuil minimum de décès à 5.

On vient donc d'obtenir un estimateur de q(x). Cependant, cet estimateur n'est valable que pour des nombres suffisants de décès de personnes observés à chaque âge. Ce n'est pas le cas pour les âges les plus élevés où le nombre d'assurés est très faible.

Cet estimateur obtenu à partir du modèle binomial équivaut au taux brut de mortalité qui est défini comme étant le rapport des décès annuels entre deux âges consécutifs (x et x+1), à la population du groupe d'âges considéré.

1.7 - Les quotients de mortalité calculés et leur variabilité

Le graphique suivant présente pour les populations d'assurés du régime vieillesse de la CNPS, la courbe des quotients bruts de mortalité (obtenus par l'estimateur du maximum de vraisemblance) et l'intervalle de confiance à 95% (c'est-à-dire l'intervalle dans lequel les vrais quotients de mortalité se trouvent avec une probabilité de 95%). IC inf correspond aux quotients de mortalité issus de la borne inférieure et IC sup de la borne supérieure.

0,25

0,15

0,05

0,3

0,2

0,1

0

ages

quot mort IC inf

IC sup

Graphique 3 : Quotients de mortalité bruts et intervalle de confiance à 95% ;
Source : nos calculs

Comme le montre le graphique précédent, c'est surtout après l'âge de 60 ans que les quotients de mortalité ont une forte variabilité susceptible de perturber leur ajustement. Autrement dit jusqu' à 60 ans, l' intervalle de confiance est étroit et les quotients de mortalité calculés s' écartent peu des quotients théoriques.

CHAPITRE 2 : ANALYSE COMPARATIVE AVEC LES TABLES DE MORTALITE DE REFERENCE

2. 1-Les principaux indicateurs relatifs à la table de mortalité

Avec l'obtention des quotients de mortalité, nous allons comparer le nombre observé de décès de la population étudiée avec le nombre attendu de décès avec les tables de référence. Pour réaliser une comparaison fiable avec les tables CIMA, OMS et de l'INS (zone urbaine), deux facteurs sont à prendre en compte :

· la mesure du nombre théorique de décès à partir de l'effectif observé en appliquant à chaque segment d'individus regroupés par âge et par année de naissance les qx calculés à partir des tables.

· le poids des effectifs dans la population observée. En effet, les effectifs observés ne sont pas repartis uniformément par année de naissance et par âge. Il s'agit donc de rechercher le nombre théorique de décès sur la base des quotients de mortalité qx^ref appliqué exactement à l'effectif de la population observée.

La qualification statistique de la comparaison s'appuie ensuite sur le test statistique de la méthode de la population type ou Standardized Mortality Ratio (SMR) en anglais. Pour des contraintes de nombre à certains âges, certaines valeurs aux extrémités n'ont pas été prises en compte pour les différents calculs .Le test affiche deux résultats :

· Le résultat du SMR lui-même. Un résultat inférieur à 100% signifie que le nombre observé de décès est inférieur à celui attendu avec les tables de référence La population observée décède moins vite que prévu par les tables de référence. A l'opposé, un résultat supérieur à 100% signifie que le nombre observé de décès est supérieur à celui attendu avec les tables de référence. La population observée décède plus vite que prévue par les tables de référence.

· L'intervalle de confiance dans lequel se situent à 95% les résultats, affichant ainsi leur dispersion.

Un encadré à la page 41 donnera plus de détails quant à la formulation statistique.

Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS

2.2-Comparaison entre les décès théoriques et les décès observés

Comme précisé au début de l' analyse, les tables avec lesquelles nous effectuerons les différentes analyses comparatives sont :

· La table décès (TD) du code CIMA

· La table unisexe de l'OMS

· La table de l'INS unisexe relative à la zone urbaine en Côte d'Ivoire

Cette analyse consistera à faire une analyse comparative, pour les différents groupes d'âge entre les décès observés au niveau du portefeuille de la CNPS à ceux des autres tables précitées. Les différents quotients de mortalité sont rapportés à la population des assurés de la CNPS.

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

2024 2529 3034 3539 4044 4549 5054 5559 6064 6569 7074 7579 8084 8589 9095

groupes d'âges

Nbre DC CNPS

Nbre DC attendu TD CIMA Nbre DC attendu OMS Nbre DC attendu INS

Graphique 4 : analyse comparée des décès théoriques et des décès observés ;
Source : nos calculs

A première vue, l'on remarque une surmortalité au niveau de la table de l'OMS entre 25 et 55 ans. On note également une baisse de la surmortalité après. Elle est essentiellement due à la méthodologie de construction de la table.

En effet, l'OMS, premier organisme dans le monde chargé de la santé prend en compte l'impact de la mortalité liée aux maladies. La zone d'Afrique subsaharienne et particulièrement la Côte d'Ivoire sont fortement touchées par le SIDA. On compte également la tuberculose, le paludisme et d'autres maladies présentes dans nos régions. De façon visuelle

la différence entre les trois autres tables n'est pas très grande, hormis celle de l'INS qui s' écarte de façon considérable quelquefois. Pour mieux apprécier la différence entre les tables, nous allons utiliser le test SMR (Standardized Mortality Ratio), appelé également Indice Standardisé de mortalité (ISM) en Français.

Encadré n°5 : Le Standardized Mortality Ratio (SMR)

Un SMR (Standardized Mortality Ratio) est le rapport d'un nombre de décès (n) à un nombre attendu (A).Le nombre attendu est obtenu sur la base de la structure de mortalité d'une population de référence (mortalité-type). Un SMR supérieur (inférieur) à 100 indique une mortalité plus (moins) élevée dans la zone étudiée par rapport à la population de référence.

k

A= ~= i 1

NitiR

n n

smr = A	*100 =				* 100
	~= i 1	NitiR

n : effectif total de décès observés dans la population étudiée ;

Ni : effectif de la population moyenne étudiée pour la classe d'âge i ;

^tiR : taux de décès dans la population de référence pour la classe d'âge i.

n
*100) = ^²*10000

~ NitiR 1

~ i1 )

Le test du SMR consiste à comparer la valeur du SMR à (H0 : SMR =100%).

N ~ N (A, A)

Var (smr) =var (			n
~= i 1	NitiR

10000n
A^²

Source : INSEE

2.3- Analyse comparative dans l'ensemble

Avec la table CIMA, le test SMR s'établit à 82,3%, soit une sous mortalité de plus de 18,7% en moyenne par rapport à la table CIMA.

L'intervalle de confiance à 95% s'établit à [80,6% ; 84%], soit une faible dispersion des résultats.

Concernant la table de l'OMS, il s'établit à 30,4% soit une sous mortalité de 69,6% en moyenne. L'intervalle de confiance à 95% s'établit à [30,1% ; 30,7%].

Enfin pour la zone urbaine en Côte d'Ivoire, l'indice comparatif de mortalité affiche un taux de 71,5%, soit une sous mortalité par rapport à cette zone estimée à 28,5% en moyenne.

En observant le graphe relatif aux décès observés et décès théoriques, l'on constate qu'une tendance se dégage avec un comportement plus proche de la table CIMA et de la zone urbaine à compter de 25 ans jusqu'à 45 ans.

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89
groupes d'âge

analyse comparative quotients quinquenaux de mortalité

CNPS CIMA OMS

Zone urbaine CI

Graphique 5 : Analyse comparative des quotients quinquennaux de mortalité ;
Source : nos calculs

Dans l'ensemble, la mortalité de la CNPS est inférieure à celle de toutes les autres tables de référence. Un des facteurs explicatifs pourrait être dû au fait que le portefeuille d'assurance vieillesse soit constitué de travailleurs salariés.

En effet, les assurés de la CNPS bénéficient de condition de vie supérieure à la moyenne nationale (accès aux soins, stabilité des revenus, conditions d'hygiène...) conduisant à une mortalité qui pourrait être inférieure à celle prévue pour la population globale. Une autre raison pourrait être liée la qualité et à l'insuffisance des données collectées. En effet, les bases de données que nous avons ne sont disponibles que pour 5 années, de

2000 à 2004. Si nous disposions d'un nombre d'années plus important, nous aurions pu effectuer des tests de saisonnalité afin de voir si les décès sont sous estimés ou pas. On peut également noter que les départs d'entreprise non notifiés par certains employeurs pourraient constituer un motif de perte d'information. C'est aussi l'une des raisons qui nous amènera à effectuer des lissages à certains endroits de la courbe notamment aux deux extrémités de la courbe, plus particulièrement aux grands âges.

2.4-Prolongements

On constate, à partir de la courbe que les estimateurs des quotients bruts de mortalité calculés sur la base du régime de la branche d' assurance vieillesse ont deux défauts :

· Ils ne peuvent être correctement estimés quand la population soumise au risque de décès a un effectif de faible taille, c'est le cas aux deux extrémités de la courbe (certains effectifs ont dû être afin de satisfaire certaines contraintes de volume).

· Ils ne retranscrivent pas l'observation d'une mortalité croissante avec l'âge. Il faut donc chercher à ajuster les quotients de mortalité par une courbe croissante.

Afin d'éviter d'avoir de fortes variations de ces quotients, à la hausse comme à la baisse aux âges élevés en raison d'un trop faible effectif, la démarche est de les ajuster à une loi analytique de type Gompertz, Weibull, Makeham, Hannisto... de sorte que les estimateurs des quotients de mortalité suivent une fonction croissante.

Les paramètres de ces lois sont déterminés dans les intervalles d' âges où le nombre d'observations est suffisant et ils seront ensuite validés par un test d'adéquation.

Leur avantage est qu' elles permettent d' extrapoler les résultats pour les âges où le nombre d'observations est insuffisant ou inexistant.

Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS

PARTIE III : AJUSTEMENT DE LA TABLE D'EXPERIENCE

CHAPITRE 1 : LISSAGE DE LA COURBE DE MORTALITE

1.1-Régression à l'aide des quotients de mortalité

L'objet de cette partie est de lisser la série de quotients bruts obtenus dans la partie précédente. De nombreuses lois statistiques existent pour ce type de lissage.

Pour notre étude, deux lois seront utilisées pour l'estimation des quotients de mortalité, les lois de Gompertz et de Weibull.

On ne va pas ajuster les paramètres de ces lois sur l' intervalle d' observation car les données aux âges extrêmes ne sont pas suffisantes et pourraient nuire à la qualité des ajustements, On prendra donc l'intervalle d'âge qui permet d'observer la meilleure tendance.

18%

16%

14%

12%

10%

8%

6%

4%

2%

0%

âge

quot mort

Graphique 6 : courbe des quotients bruts de mortalité ;
Source : nos calculs

Les résultats obtenus sont assez stables de 22 à 60 ans en raison d' effectifs suffisamment importants pour être fiables. La baisse du nombre de retraités sous l'effet de la mortalité aux grands âges accroit la variabilité des quotients de mortalité à partir de 80 ans. Nous pouvons considérer dans l' ensemble une croissance presque régulière selon l' âge.

1.2-Les résultats obtenus à l'aide des différents modèles

Avant d'opter pour le choix de scinder notre analyse sur deux plages d'âge, nous avions effectué une régression sur toute la plage concernée avec les lois de Gompertz et de Weibull. Nous avons obtenu de mauvais résultats et des khi deux largement supérieurs au seuil prescrit (250,56 et 294,19 pour un seuil tolérable de 85,96). Afin de voir la régression relative à cette option, le graphique est disponible à l'annexe 6.

1.2.1-Les résultats avec le modèle de Gompertz

La loi de Gompertz se traduit mathématiquement par la formule : ux =BC^x avec B>0, C>1

En utilisant le logarithme népérien, nous obtenons :

ln ux =ln(B) +x ln(C) + ~x avec ~x ~ N(0,a)

· de 22 ans à 60 ans, nous obtenons :

ln(B) = -7,41034577 soit B = 6,0496.10^-4

ln(C) = 0,04038693, soit C = 1,04852

Les indicateurs relatifs à cette régression sont disponibles ci-dessous :

Variable	coefficient	Erreur-type		p-value	ln (B)
-7,4103458	0,04400658	0,000		ln (C)
0,04038693	0,00103504	0,000

R^2	0,98265266	F- Statistic		2095,8922	R^2 ajusté
0,98218381	Prob(F Stat)	0,000		SCE
11,092073	Erreur-type	0,07274814		SCR
0,19581481	Akaike	-5,1915835

Tableau 1 : résultats obtenus à l'aide du modèle de Gompertz de 22 à 60 ans
Source : nos estimations

Cette régression est relative à 39 tranches d' âge.

· De 60 à 89 ans, nous obtenons :

ln (B) = -9,97658694, soit B = 4,64754.10^-5 ln (C) = 0,0903653, soit C = 1,099526

Les indicateurs statistiques relatifs à cette régression sont :

Variable	coefficient	Erreur type		p-value	ln (B)
-9,9765869	0,16603562	0,000		ln (C)
0,0903653	0,00220016	0,000

R^2	0,98568912	F- Statistic		1859,676	R^2 ajusté
0,98515909	Prob(F Stat)	0,000		SCE
18,2743635	Erreur-type	0,09912938		SCR
0,26531914	Akaike	-4,5561867

Tableau 2 : résultats obtenus avec le modèle Gompertz de 61 à 89 ans
Source : nos estimations

Cette régression est relative à 29 tranches d' âge.

1.2.2 -Les résultats avec le modèle de Weibull

La loi de Weibull se traduit mathématiquement par la formule : ux = ax^b

En utilisant le logarithme népérien, nous obtenons :

ln ux = ln a + b ln x + ~x avec ~x ~ N(0,a)

· De 22 à 60 ans, nous obtenons :

ln a = -10,752679 soit a =2,1388.10^-5

b = 1,40775844

Les indicateurs statistiques relatifs à cette régression sont :

Variable	coefficient	erreur-type	p-value
ln (a)	-10,752679	0,25993253	0,000
b	1,4077584	0,07054724	0,000
R^2	0,94621031	F- Statistic	650,864
R^2 ajusté	0,94475654	Prob(F Stat)	0,000
SCE	10,6807159	erreur-type	0,128107
SCR	0,60717193	Akaike	-4,0599414

Tableau 3: résultats obtenus avec le modèle de Weibull de 22 à 60 ans
Source : nos estimations

· De 61 à 89 ans, nous obtenons :

ln a = -32,000205 soit a = 1,26616.10^-14 b = 6,75257786

Les différents indicateurs statistiques sont :

Variable	coefficient	erreur-type	p-value
ln (a)	-32,000205	0,5644324	0,000
b	6,75257786	0,1308779	0,000
R^2	0,99083732	F- Statistic	2919,7352
R^2 ajusté	0,99049796	Prob(F Stat)	0,000
SCE	18,369804	erreur-type	0,07931961
SCR	0,0062916	Akaike	-8,2979047

Tableau 4: résultats obtenus avec le modèle de Weibull de 61 à 89 ans
Source : nos estimations

1.2.3- Interprétation des différents résultats

En observant les résultats dans l'ensemble, nous avons une bonne adéquation entre les données et les différentes régressions observées. Nous avons choisi de scinder l'analyse de la régression sur deux plages d'âge à cause de la forme de la courbe de mortalité. En effet, entre 22 et 60 ans, la courbe augmente lente et s'accroît de façon exponentielle après. Concernant notre choix le modèle de Gompertz s'est avéré mieux adapté à la plage d'âge allant de 22 à 60 ans et le modèle de Weibull de 61 à 89 ans. Ce choix a été effectué en observant un ensemble de critères. Ce sont : le R^² ajusté, le SCR, la statistique de Fisher et le critère de Akaike. Un R^² ajusté et un SCR faibles permettent d' apprécier la qualité du modèle. Le test de Fisher permet de voir si les coefficients du modèle sont significatifs dans le cas d' une régression simple. Il permet également de déterminer touj ours dans les mêmes conditions le modèle idéal. Parmi les modèles que l' on compare, le meilleur d' entre eux est celui qui aura la plus grande statistique enregistrée. Elle est formulée mathématiquement par la formule :

1

SCE

F =

-

2)

SCR n

(

Cette statistique peut être également comparée au Fisher théorique à 1 et n-2 degrés de liberté afin d'évaluer la significativité globale du modèle. Si elle est supérieure, alors l'hypothèse nulle est rejetée, dans le cas contraire, elle est acceptée.

Le principe est pratiquement le même pour le critère d'Akaike. C'est une statistique qui se présente mathématiquement comme suit :

AIC = ln (

SCR) + 2 k avec :

n n

SCR : somme des carrés résiduels

n : nombre d'observations

k : nombre de variables explicatives

Pour l'utilisation de ce critère, on choisit le modèle qui a le « Akaike » le plus faible.

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

âge

qx bruts

qx Gompert qx Weibull

Graphique 7 : quotients bruts et quotients lissés selon Gompertz et Weibull
Source : nos calculs

Critères	Modèle de Gompertz	Modèle de Weibull
SCR	0,19581481	0,60717172
R^² ajusté	0,98218381	0,94475654
F	2095,8922	650,864
p-value	0,000	0,000
AIC	-5,1915835	-4,0599414

Tableau 5 : Critères de choix du modèle pour les âges allant de 22 à 60 ans.
Source : nos estimations

Nous avons ci-dessus le résultat des régressions effectuées. De 22 à 60 ans le test de Fisher et le critère de Akaike affichent respectivement pour le modèle de Gompertz des valeurs de 2095 et de -5,19 15 alors que pour celle de Weibull, nous avons des valeurs de 651 et de

-4,059. Le modèle retenu est celui de Gompertz.

Critères	Modèle de Gompertz	Modèle de Weibull
SCR	0,26531914	0,0062916
R^² ajusté	0,98568912	0,99049796
F	1859,676	2919,7352
p-value	0,000	0,000
AIC	-4,5561867	-8,2979047

Tableau 6 : Critères de choix du modèle pour les âges allant de 61 à 89 ans ;
Source : nos estimations

De 61 à 89 ans, le test et la statistique affichent les valeurs de 1859 et de -4,556 pour le modèle de Gompertz et 2919 puis -8,298 pour celui de Weibull. Le modèle retenu est celui de Weibull. Dans la partie suivante nous allons effectuer quelques tests d'adéquation afin d'attester de la validation de la nouvelle courbe obtenue.

CHAPITRE 2 : TESTS DE VALIDATION DE LA COURBE DE MORTALITE

2.1- Aperçu graphique des courbes brutes et lissées de mortalité

Après l'utilisation des différentes méthodes de lissage, ce chapitre nous permettra de savoir si les données collectées pour la construction de la table de mortalité sont compatibles avec les différents types de lissage utilisés. Nous proposons trois types de contrôles. La première est consacrée aux contrôles de cohérence des quotients. La deuxième permettant d' évaluer la régularité de la courbe de mortalité et la proximité entre les quotients estimés et la mortalité observée sur le portefeuille.

Nous obtenons le graphique suivant :

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

âge des assurés

qx bruts qx lissés

Graphique 8 : quotients bruts et lissés selon le modèle choisi ;
Source : nos calculs

Sur l'ensemble de la courbe, l'adéquation est presque parfaite. C'est surtout après 60 ans que l'on observe une forte variabilité des quotients de mortalité. C'est à partir de cet âge que le nombre d'assurés baisse, et ce de façon importante. Pour les âges compris entre 80 et 89 ans, la variabilité est beaucoup plus importante, ce qui rend le lissage plus difficile. Afin de mesurer la régularité de la courbe obtenue, nous allons effectuer une série de tests de régularité et de fidélité aux quotients bruts.

2.2-Critères de régularité et de fidélité

2.2.1- Le test du Khi Deux

Le test du khi-deux est un test classique pour mesurer la qualité d'un ajustement et de vérifier s'il faut le rejeter ou non.

On calcule ^²Obs = ( )

xN D Pq

x x x
-

~ * , où Dx est le nombre de décès correspondant à Px
²

xxxxx= -

1 (1)
Pqq * personnes exposées au risque de sinistre. Cette variable suit une loi du khi-deux dont le

a et le niveau de

nombre de degrés de liberté est égal au nombre de taux ajustés (xN -x1 +1) moins le nombre de paramètres estimés (2 pour Gompertz et Weibull).

La région critique de ce test st alors donnée par P( ² > ² Obs ) =
signification est égal à P( ² < ² Obs).

Plus le niveau de signification sera proche de 0 et plus la probabilité que les écarts entre les taux lissés et les taux bruts ne soient pas dus au hasard sera forte. Ainsi donc, l'ajustement sera à rejeter.

Inversement, plus le niveau de signification sera proche de 1 et plus l'ajustement pourra être considéré de bonne qualité.

2.2.2-Mesure de la qualité de l'ajustement

Il s'agit maintenant de vérifier la qualité de l'ajustement par l'application de tests de validité. En effet, l'ajustement introduit des écarts par rapport aux chiffres observés. Ceux-ci peuvent être expliqués par le caractère aléatoire des données ou par autre chose.

Certains critères nous aideront, par une mesure globale des erreurs, la probabilité pour que la loi d'ajustement soit à rejeter, c'est à dire que la probabilité pour que les écarts ne soient pas seulement dus au hasard.

a) Critères de fidélité aux taux bruts

Un des critères pour un ajustement de bonne qualité est la fidélité aux taux bruts de mortalité.

2 --, 0

xN

S'il y a fidélité entre les taux bruts et les taux lissés alors ~ ()

qx qx

- à

xx

=1

Ce critère ne permet pas de rejeter l' ajustement mais donne rapidement une bonne idée de la qualité de celui-ci. En effet, plus il sera proche de zéro plus le lissage est régulier.

b) Critère de régularité des taux lissés Un autre critère est la régularité des taux lissés, en notant V1,....Vn les valeurs ajustées, nous

n - z

pourrons dire qu'il y a régularité des taux lissés si ~ () AzVi

2 --, 0.

i=1

xN 1 xN 2

C'est-à-dire pour z =1, si ~ () qx qx - à		2 --, 0 ou pour z = 2, si ~ () qxqxqx -+++ 212			2 --, 0
xx =	1		xx =	1

Là non plus ce critère ne permet pas de rejeter l'ajustement mais donne une appréciation de sa qualité car plus il sera proche de 0 et meilleur sera le lissage.

2.3-Evaluation de la régularité de la courbe de mortalité

2.3.1-Résultats obtenus avec le modèle obtenu

² =0,914%

xN

· Critère de fidélité aux taux bruts : ~ ()

qx qx

- à

xx

=1

xN 1

· Critère de régularité des taux lissés : ~ ()

qx qx ² = 0,275% - + 1

xx =

1

xN 2

~ ()

qxqxqx^² = 0,0023% -+++

212

xx =

1

Les critères de fidélité aux taux bruts et de régularité des taux lissés étant proches de 0, cela montre un ajustement et un lissage de bonne qualité

2.3.2-Résultats obtenus avec le test du Khi Deux

Pour un ajustement entre 22 ans et 60 ans, le nombre de degrés de liberté est égal à 37 et la statistique du test vaut ÷^² Obs = 7,34 pour une valeur critique de 54,57 au seuil de 5%. L'hypothèse d'adéquation est retenue pour cette plage d'âge. Les quotients lissés sont presque

conformes aux quotients bruts.

Concernant la deuxième plage d'âge (de 61 à 89 ans), le nombre de degrés de liberté est de 27 pour une statistique de 9,07. L'hypothèse d'adéquation est également retenue.

Finalement, le modèle de Gompertz est retenu pour la plage d'âge allant de 22 ans 60 ans et le modèle de Weibull de 61 à 89 ans. Nous allons maintenant passer à la construction de la table de mortalité.

Les procédures de lissage par les estimateurs de Gompertz et de Weibull ont permis de lisser et d'atténuer la variabilité observée des quotients de mortalité. En effet, à partir de l'estimation des quotients par la méthode du maximum de vraisemblance, certains effectifs ont été écartés aux queues de la distribution afin de satisfaire aux contraintes fixées par le critère de Cochrane. La bonne régularité obtenue sur l'ensemble de la courbe nous permet d'étendre les résultats à tous les âges.

Le chapitre suivant sera consacré à la construction de la table de mortalité ainsi qu'à l'interprétation des résultats obtenus.

CHAPITRE 3 : CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE

3.1- Présentation des différents éléments de la table

A partir du modèle que nous avons choisi pour la construction de la table, nous allons procéder à une extrapolation des quotients de mortalité au-delà des âges où le nombre d'observations était insuffisant. Nous obtiendrons finalement une table allant de 15 à 99 ans.

Avant de construire la table, nous allons définir les différentes colonnes dont elle est constituée.

· Colonne âge x : intervalle d'âge

Elle présente tous les âges relatifs à la table. Dans le cas des tables de mortalité complètes, on retrouve un seul âge par ligne, qui repère le nombre d'années de vie révolues⁵. Ainsi, l'intervalle considéré dans cette table est un intervalle entre deux âges exacts.

· Colonne qx : quotients de mortalité

Cet élément représente la probabilité qu'un individu d'âge x exact meure avant d'atteindre l'âge x+1 exact, c'est-à-dire la proportion de membres d'une cohorte qui sont vivants au début d'un certain âge et qui mouront avant le début de l'âge suivant. C'est l'élément le plus important de la table de mortalité car il en constitue la base. Plus précisément, il s' agit du premier élément calculé au moment de l'élaboration d'une table de mortalité. Nous considèrerons à partir de 99 ans que _q99 =1. Tous les survivants sont supposés mourir à cet âge.

· Colonne Sx : nombre de survivants à l'âge exact x

L'indice Sx représente une estimation du nombre de membres d'une cohorte initiale de 100000 personnes à l' entrée de la table qui sont toujours vivants au début de chaque intervalle d' âge successif (c'est-à-dire à l' âge exact x). Le nombre de survivants diminue lentement à mesure que la cohorte vieillit sous l'effet des quotients de mortalité selon l'âge. Les différentes valeurs de Sx sont obtenues en appliquant successivement les quotients de mortalité qx aux membres de la cohorte initiale de 100 000 personnes qui sont toujours vivants au début de chaque intervalle.

5 L'intervalle d'un an commence le jour où l'individu atteint exactement l'âge x et se termine à la fin de la journée à la veille de son anniversaire suivant x+1.

· Colonne dx : nombre de décès entre l'âge x et x+1 exact

Cet élément indique le nombre de décès qui surviennent dans chaque intervalle d'âge successif parmi les personnes qui étaient vivantes au début de l'intervalle. Pour obtenir ces valeurs, on multiplie d'abord Sx par la valeur correspondante de qx (c'est-à-dire dx = Sx qx ).

· Colonne Lx : population stationnaire (nombre d'années vécues dans l'intervalle d'âge)

Lx indique le nombre d'années vécues par les membres de la population stationnaire au cours

S x+ S x+1

de l'intervalle [x, x+1[. Mathématiquement la formule est : Lx = .On emploie le

2

terme stationnaire parce que le nombre de personnes vivantes dans un groupe d'âge donné ne changera pas dans le temps et que le nombre de personnes entrant dans un groupe d'âge donné sera égal au nombre de personnes qui quittent le groupe, soit parce qu'elles meurent, soit parce qu' elles vieillissent.

· Colonne Tx : population stationnaire cumulée

Tx indique le nombre total d'années vécues à partir de l'âge x par les membres de la population stationnaire qui appartiennent à l'intervalle d'âge indiqué et par ceux qui appartiennent à tous les intervalles d'âge suivants.

w

Tx =~= k x

Lk pour x = 15 à w

Ott w est l'âge maximum dans la table de mortalité (à l'âge w, Tw = Lw).

· Colonne ex : espérance de vie à l'âge x (nombre moyen d'années de vie restantes) L' espérance de vie à l' âge x représente le nombre moyen d' années qu'il reste à vivre à ceux qui ont atteint cet âge, en fonction d'un ensemble déterminé de quotients de mortalité. On calcule l' espérance de vie à l' âge x en divisant la valeur de Tx (nombre total « d' annéespersonnes » vécues à cet âge et aux âges subséquents) par la valeur correspondante de Sx (nombre de survivants à cet âge) :

T

x

ex = Sx

Deux tables seront exposées, la table issue de l' estimateur du maximum de vraisemblance, lissée par les modèles de Gompertz et Weibull, ainsi qu'une autre avec une marge de 5%.

a) Table de mortalité complète obtenue avec les quotients lissés de mortalité

age	qx (%o)		Sx		Dx		Lx		Tx		ex
15	1,23		100000		123		99938		5745833		57,46
16	1,29		99877		129		99812		5645894		56,53
17	1,35		99748		135		99680		5546082		55,60
18	1,42		99613		141		99542		5446402		54,68
19	1,49		99471		148		99397		5346859		53,75
20	1,56		99323		155		99246		5247462		52,83
21	1,64		99168		162		99087		5148216		51,91
22	1,72		99006		170		98921		5049129		51,00
23	1,80		98836		178		98747		4950208		50,08
24	1,89		98658		186		98565		4851460		49,17
25	1,98		98472		195		98375		4752895		48,27
26	2,07		98278		204		98176		4654520		47,36
27	2,17		98074		213		97967		4556345		46,46
28	2,28		97860		223		97749		4458377		45,56
29	2,39		97637		233		97521		4360629		44,66
30	2,51		97404		244		97282		4263108		43,77
31	2,63		97160		255		97032		4165826		42,88
32	2,76		96904		267		96771		4068794		41,99
33	2,89		96637		279		96498		3972023		41,10
34	3,03		96358		292		96212		3875525		40,22
35	3,18		96066		305		95914		3779313		39,34
36	3,33		95761		319		95601		3683400		38,46
37	3,49		95442		333		95275		3587798		37,59
38	3,66		95109		348		94934		3492523		36,72
39	3,84		94760		364		94578		3397589		35,85
40	4,03		94396		380		94206		3303010		34,99
41	4,22		94016		397		93818		3208804		34,13
42	4,43		93620		414		93412		3114986		33,27
43	4,64		93205		433		92989		3021573		32,42
44	4,87		92773		451		92547		2928585		31,57
45	5,10		92321		471		92086		2836038		30,72
46	5,35		91850		491		91604		2743952		29,87
47	5,61		91359		513		91102		2652348		29,03
48	5,88		90846		534		90579		2561246		28,19
49	6,17		90312		557		90033		2470667		27,36
50	6,47		89755		580		89465		2380634		26,52
51	6,78		89174		605		88872		2291169		25,69
52	7,11		88570		630		88255		2202297		24,87
53	7,45		87940		656		87612		2114042		24,04
54	7,82		87284		682		86943		2026430		23,22
55	8,20		86602		710		86247		1939487		22,40
56	8,59		85892		738		85523		1853240		21,58
57	9,01		85154		767		84771		1767716		20,76
58	9,45		84387		797		83988		1682946		19,94
59	9,91		83590		828		83176		1598957		19,13
60	10,39		82762		860		82332		1515781		18,31
61	13,88		81902		1137		81334		1433449		17,50
62	15,57		80765		1258		80136		1352116		16,74
63		17,44		79508		1386		78814		1271979		16,00
64		19,49		78121		1523		77360		1193165		15,27
65		21,75		76598		1666		75765		1115805		14,57
66		24,23		74932		1816		74025		1040039		13,88
67		26,95		73117		1970		72132		966015		13,21
68		29,93		71146		2129		70082		893883		12,56
69		33,18		69017		2290		67872		823802		11,94
70		36,74		66727		2451		65501		755930		11,33
71		40,61		64276		2610		62971		690428		10,74
72		44,83		61666		2765		60283		627457		10,18
73		49,43		58901		2911		57445		567174		9,63
74		54,42		55990		3047		54466		509729		9,10
75		59,84		52943		3168		51359		455263		8,60
76		65,71		49775		3271		48139		403904		8,11
77		72,08		46504		3352		44828		355765		7,65
78		78,97		43152		3408		41448		310938		7,21
79		86,41		39744		3434		38027		269490		6,78
80		94,45		36310		3429		34595		231462		6,37
81		103,12		32881		3391		31185		196867		5,99
82		112,47		29490		3317		27831		165682		5,62
83		122,54		26173		3207		24570		137851		5,27
84		133,37		22966		3063		21435		113281		4,93
85		145,01		19903		2886		18460		91847		4,61
86		157,51		17017		2680		15677		73387		4,31
87		170,93		14337		2451		13111		57710		4,03
88		185,32		11886		2203		10785		44598		3,75
89		200,74		9683		1944		8711		33814		3,49
90		217,24		7739		1681		6899		25102		3,24
91		234,90		6058		1423		5347		18204		3,00
92		253,77		4635		1176		4047		12857		2,77
93		273,94		3459		948		2985		8810		2,55
94		295,46		2511		742		2140		5825		2,32
95		318,42		1769		563		1488		3685		2,08
96		342,90		1206		414		999		2197		1,82
97		368,97		792		292		646		1198		1,51
98		396,73		500		198		401		552		1,10
99		1000		302		302		151		151		0,50

Tableau 7 : Table de mortalité du régime d'assurance vieillesse de la CNPS obtenue à partir
des quotients lissés de mortalité

b) Table de mortalité complète avec les quotients issus de la borne supérieure de
l'intervalle de confiance (5% de risque d'erreur)

age	qx (%o)		Sx		Dx		Lx		Tx		ex
15	1,39		100000		139		99931		5264398		52,64
16	1,46		99861		146		99788		5164467		51,72
17	1,53		99715		153		99639		5064679		50,79
18	1,61		99562		160		99482		4965040		49,87
19	1,69		99402		168		99318		4865558		48,95
20	1,78		99234		177		99145		4766240		48,03
21	1,87		99057		185		98964		4667095		47,12
22	1,96		98872		194		98775		4568131		46,20
23	2,06		98678		204		98576		4469356		45,29
24	2,17		98474		214		98367		4370780		44,39
25	2,28		98260		224		98148		4272413		43,48
26	2,39		98036		235		97919		4174265		42,58
27	2,52		97802		246		97679		4076346		41,68
28	2,64		97556		258		97427		3978667		40,78
29	2,78		97298		270		97163		3881240		39,89
30	2,92		97028		283		96886		3784078		39,00
31	3,07		96744		297		96596		3687192		38,11
32	3,22		96448		311		96292		3590596		37,23
33	3,39		96137		325		95974		3494303		36,35
34	3,56		95811		341		95641		3398329		35,47
35	3,74		95471		357		95292		3302688		34,59
36	3,93		95114		374		94927		3207396		33,72
37	4,13		94740		391		94545		3112469		32,85
38	4,34		94349		409		94145		3017924		31,99
39	4,56		93940		428		93726		2923779		31,12
40	4,79		93512		448		93288		2830053		30,26
41	5,03		93065		468		92831		2736765		29,41
42	5,28		92597		489		92352		2643934		28,55
43	5,55		92107		511		91851		2551582		27,70
44	5,83		91596		534		91329		2459731		26,85
45	6,13		91061		558		90782		2368402		26,01
46	6,44		90503		583		90212		2277620		25,17
47	6,77		89920		609		89616		2187409		24,33
48	7,11		89311		635		88994		2097793		23,49
49	7,47		88676		663		88345		2008799		22,65
50	7,85		88014		691		87668		1920454		21,82
51	8,25		87323		720		86962		1832786		20,99
52	8,67		86602		751		86227		1745823		20,16
53	9,11		85852		782		85461		1659596		19,33
54	9,57		85070		814		84663		1574136		18,50
55	10,06		84256		847		83832		1489473		17,68
56	10,57		83408		881		82968		1405641		16,85
57	11,10		82527		916		82069		1322673		16,03
58	11,66		81611		952		81135		1240604		15,20
59	12,26		80659		989		80165		1159470		14,37
60		12,88		79670		1026		79157		1079305		13,55
61		28,07		78644		2208		77540		1000147		12,72
62		31,01		76436		2370		75251		922607		12,07
63		34,25		74066		2537		72798		847356		11,44
64		37,83		71530		2706		70177		774558		10,83
65		41,78		68824		2876		67386		704381		10,23
66		46,15		65948		3043		64426		636995		9,66
67		50,97		62905		3206		61302		572569		9,10
68		56,30		59698		3361		58018		511267		8,56
69		62,18		56338		3503		54586		453249		8,05
70		68,68		52835		3629		51020		398663		7,55
71		75,85		49206		3733		47340		347643		7,07
72		83,78		45474		3810		43569		300303		6,60
73		92,54		41664		3855		39736		256734		6,16
74		102,21		37808		3864		35876		216998		5,74
75		112,89		33944		3832		32028		181122		5,34
76		124,68		30112		3755		28235		149094		4,95
77		137,71		26358		3630		24543		120859		4,59
78		152,11		22728		3457		20999		96317		4,24
79		168,00		19271		3238		17652		75318		3,91
80		185,56		16033		2975		14546		57666		3,60
81		204,95		13058		2676		11720		43120		3,30
82		226,37		10382		2350		9207		31400		3,02
83		250,02		8032		2008		7028		22193		2,76
84		276,15		6024		1663		5192		15165		2,52
85		305,01		4360		1330		3695		9973		2,29
86		336,88		3030		1021		2520		6278		2,07
87		372,09		2009		748		1636		3758		1,87
88		410,97		1262		519		1003		2123		1,68
89		453,92		743		337		575		1120		1,51
90		501,35		406		203		304		545		1,34
91		553,74		202		112		146		241		1,19
92		611,61		90		55		63		95		1,05
93		675,52		35		24		23		32		0,92
94		746,12		11		8		7		9		0,80
95		824,09		3		2		2		2		0,68
96		1000		1		1		0		0		0,50

Tableau 8: table de mortalité du régime d'assurance vieillesse de la CNPS :
quotients obtenus avec 5% d'erreur (borne supérieure)
Source : nos calculs

3.2 - Interprétation des résultats

3.2.1-Interprétation des espérances de vie relatives aux différentes tables

Après les différents résultats obtenus, nous confirmons une fois de plus la supériorité de l'espérance de vie dans l'ensemble par rapport aux tables de référence. Ce constat est principalement dû au statut particulier des assurés par rapport à la population dans son ensemble. Les écarts les plus grands sont observés avec la table de l' OMS entre 15 et 55 ans, ensuite suit la table INS et enfin la table TD CIMA. Un tableau ci-dessous donne les écarts entre les différentes tables de référence et celle de la CNPS. La table obtenue avec la borne supérieure à 5% d' erreur affiche des résultats différents. En effet, lorsque nous appliquons les différentiels de mortalité avec les tables ci-dessus, la plupart des valeurs obtenues sont négatives. Par ailleurs, entre les tables construites, il y a un écart d' espérance de vie de 5 ans en moyenne.

différence	INS	TDCIMA	OMS
ensemble	3,16	2,24	5,27
[15- 61[	3,31	2,32	5,79
[61- 99[	1,45	1,33	-0,68

Tableau 9 : différence d'espérance de vie avec la table obtenue
Source : nos estimations

différence	INS	TDCIMA	OMS
ensemble	-1,54	-2,46	0,57
[15- 61[	-1,43	-2,43	1,04
[61- 89[	-2,71	-2,83	-4,84

Tableau 10: différence d'espérance de vie avec la table obtenue (borne sup. 5% d'erreur)
Source : nos estimations

3.2.2- Ratio du nombre de décès observés sur ceux attendus

Une autre vérification simple et assez pragmatique de la fidélité de la table construite à la mortalité observée consiste à appliquer cette table de mortalité au portefeuille étudié : ceci permet de calculer le nombre de décès prédits par la table sur la période d'étude. Ce nombre de décès attendus, noté A, est comparé au nombre de décès effectivement observés, noté O.

Un ratio O/A proche de 1 montre une bonne capacité de la table à prédire la mortalité d' expérience.

groupes d'âge	ratio
[22- 61[	0,994
[61- 89[	0,973
ensemble	0,986

Tableau 11 : ratios du nombre de décès observés sur ceux attendus
Source : nos estimations

Entre 22 et 60 ans, le ratio montre une très bonne capacité de la table à prédire la mortalité d'expérience (0,99). Entre 61 et 89 ans, la table lissée surestime légèrement la mortalité (2,66%). Dans l' ensemble, nous observons une bonne prédiction.

3.2.3- Analyse comparative des quotients de mortalité relatifs aux différentes tables

Cette partie consistera à comparer les différents quotients de mortalité issus des différentes tables de mortalité.

120,00%

100,00%

80,00%

60,00%

40,00%

20,00%

0,00%

15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99
groupes d'âge

CNPS

CIMA

OMS

Zone urbaine CI

Graphique 9 : Analyse comparée des quotients quinquennaux de mortalité issus des différentes tables

Source : nos calculs

Après la table brute et les différents lissages adoptés, nous obtenons de nouveaux quotients. Cette courbe possède certaines caractéristiques :

· Entre 15 et 55 ans la croissance des quotients se fait de façon lente avec une asymptote presque horizontale ;

· A partir de 60 ans le taux de croissance des quotients augmente rapidement.

Dans l'ensemble la table de la CNPS a les quotients de mortalité les moins élevés. Celles de l'INS (Zone urbaine) et de la TD CIMA sont pratiquement confondues à certains âges. Parmi elles toutes, c' est la table OMS qui s' écarte le plus des autres.

En effet dans la deuxième partie du rapport, nous avons évoqué l'internalisation des maladies et autres endémies par le premier organisme au monde chargé de la santé pour expliquer cette différence. Au niveau des tables de l' INS Zone urbaine, l' absence de statistiques fiables relatives aux décès par maladies grâce aux différents centres hospitaliers, conjugué à un système d'Etat civil défaillant influe sur le nombre de décès enregistrés. Concernant la table de la CNPS, la procédure de déclaration d'un décès est relative à une procédure interne qui pourrait prendre du temps.

Observons maintenant les courbes de survie relatives aux différentes tables :

3.2.4- Analyse comparative des différentes courbes de survie

120000

100000

80000

60000

40000

20000

0

15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99 100+
groupes d'âge

TD CIMA CNPS

Zon urb INS OMS

Graphique 10 : Courbes de survie issues des différentes tables de mortalité
Source : nos calculs

On constate une fois de plus que les survivants issus de la table de mortalité de l'OMS s' écartent significativement des survivants issus des autres tables. La prise en compte par l'OMS de l'impact de grandes pandémies (SIDA, paludisme, tuberculose...) aboutit à une mortalité estimée plus élevée que celle des autres tables. On observe qu' au lieu de descendre en pente régulière comme celle de l'OMS, la courbe de survie des assurés de la CNPS

demeure quasiment << plate >> durant un nombre d'années de plus en plus grand, pour finir avec un angle de pente qui a tendance à se rapprocher de l'angle droit. La courbe de survie << s'orthogonalise >> en quelque sorte. L'accès aux soins médicaux de qualité, associé à une alimentation plus saine et à une amélioration générale de la qualité de vie pourrait contribuer à faire reculer la mortalité.

En se référant au mode de déclaration des décès pendant la vie active, nous pourrions craindre une sous estimation des décès au niveau du régime d' assurance vieillesse. Hormis les informations données par l'employeur, la CNPS ne dispose pas de moyen permettant d' attester de la mortalité d' un assuré. Il pourrait y avoir une différence entre le nombre de décès réels et ceux enregistrés dans la base de la Caisse. Malgré ce problème, nous pouvons dire qu'il y a un écart considérable entre le niveau de vie des assurés de la CNPS et celui de la population urbaine Ivoirienne de façon générale. La table la plus proche du régime est relative au code CIMA.

Conclusion

Les tables de mortalité d'expérience constituent de par leur importance, le référentiel central de toutes les activités d' un système d' assurance exerçant dans la branche vie, puisqu' elles permettent d'estimer la probabilité de survie ou de décès des personnes assurées. L'analyse de la mortalité d'expérience d'une population d'assurés au sein d'un régime de retraite repose avant tout sur la capacité à disposer d'un historique de données suffisant pour appréhender au mieux l'évolution du risque de mortalité.

En Afrique, hormis les pays d'Afrique du Nord et de la République d'Afrique du Sud, il n'existe pas, en Afrique Subsaharienne de travaux relatifs à la construction d'une table de mortalité d' expérience. Les seules disponibles sont celles découlant de recensements généraux de la population.

Il était question dans cette étude de construire une table d' expérience à partir du portefeuille vieillesse des assurés de la CNPS.

Le principal résultat est le constat de l'allongement de l'espérance de vie du régime par rapport aux tables de référence. Il confirme l'importance de vérifier régulièrement l'efficience des tables par rapport à la population assurée aux fins d'anticiper une éventuelle dérive. En effet, en se basant sur les résultats des tables établies dans la présente étude, les assurés du régime d'assurance vieillesse de la CNPS vivent en moyenne plus longtemps que ceux des tables de référence. Ce résultat n'est pas surprenant vu leur statut. Il aurait été intéressant de faire également une étude sur la mortalité des femmes au sein du portefeuille mais leur faible effectif est un handicap majeur.

Au-delà des résultats obtenus, de nombreux problèmes ont été rencontrés lors du traitement des données. A titre d' exemple, l' absence des décès ainsi que le faible nombre d' assurés à certains âges a entraîné une variation brutale des quotients de mortalité traduite par des difficultés afin d'obtenir un lissage régulier. Aussi, serait-il intéressant d'apporter quelques suggestions.

Afin de mieux suivre les décès de la population, il serait intéressant d' établir un suivi statistique mensuel des données ayant pour objectif d' enregistrer régulièrement les décès et la population soumise au risque afin de disposer d'une base statistique de données plus fiable.

Une attention particulière devrait être portée à l'enregistrement des décès relatifs aux retraités.

Dans la mesure du possible, il aurait été également intéressant d'observer l'impact de maladies telles que le SIDA, le paludisme, la tuberculose. De telles statistiques sont difficiles à obtenir, même dans les centres hospitaliers. Tous ces facteurs conjugués pourraient avoir une influence sur le nombre de décès au sein de la population cible. Une façon de contourner ce problème serait la correction des quotients de mortalité estimés par un coefficient qui évaluerait la prévalence si l'on disposait de données sur une longue période.

Une autre piste de solution serait de fusionner les assurés de la CNPS et de la CGRAE afin de disposer d'une table commune aux deux régimes. Cette hypothèse permettrait à titre informatif de faire une analyse comparative de leur mortalité respective. L' éventualité d' une ouverture de la Caisse aux professions libérales et aux travailleurs du secteur primaire permettrait d' avoir une meilleure estimation du niveau général de vie ainsi que de l' espérance de vie au niveau national.

Une fois de plus, la construction d'une table de mortalité passe avant tout par la fiabilité des données. De mauvaises données conduiraient inéluctablement à des tables de mortalité fortement biaisées donc inutilisables pour le portefeuille spécifié.

Bibliographie

Ouvrages :

CORFIAS Théodore : Assurance vie : techniques et produits, Editions L'Argus de l'Assurance, 2003.

HULIN Laurence, JUSTENS Daniel : Théories actuarielles, Editions du Céfal, 2003. PETAUTON Pierre : Théorie et pratique de l'assurance vie, Dunod, 3^ème édition, 2004. POINCELIN Thierry, TOSETTI Alain, WEISS François : Les outils de l'Actuariat Vie, Economica, 2003.

PRESSAT Laurent : L'analyse démographique, Presses Universitaires de France, ₂ème édition, 1969.

Cours :

BRY Xavier : Introduction à la Statistique inférentielle paramétrique, Cahiers de la Statistique et de l'Economie Appliquée, 1999.

CHITOU Bassirou : Cours d'économétrie, ITS 2, ENSEA, 2007. KOFFI N'Guessan : Cours de démographie, ITS 1, ENSEA, 2006. ZANOU Benjamin : Cours de démographie, AD 1, ENSEA, 2001.

Articles :

DESPLANQUES Gilles : L'inégalité sociale devant la mort, Données sociales -La société Française, INSEE, 1993.

Tables de mortalité Canada, Provinces et territoires 1995-1997, Statistique Canada-Division de la Statistique de la santé.

Etudes :

BEHAR Jérôme : L 'ajustement des tables de mortalité des régimes de retraite : Application à la population de la CNRACL, Caisse des Dépôts, 2001.

BROUHNS Natacha, DENUIT Michel : Risque de lon gévité et rentes via gères, Belgian Actuarial Bulletin, 2002.

DJEDJED Onéné : Recensement Général de la Population et de l'Habitation de 1998- Volume IV : Analyse des résultats- Tome 5, INS, Juin 2001.

QUASHIE Ali, DENUIT Michel : Modèles d'extrapolation de la mortalité aux grands âges, Institut des Sciences Actuarielles et Institut de Statistique, Université Catholique de Louvain, Belgique, 2005.

RIBOURG Yann : Rentes via gères : Mortalité observée parmi les bénéficiaires d'un régime supplémentaire de retraite, Union Mutualiste Retraite.

Mémoires :

LANGMEIER Nicolas : Etudes de différentes méthodes d'ajustement des tables de mortalité : application aux données d'une compagnie d'assurance, HEC Lausanne, 2001. OLYMPIO Anani Ayodélé : approches paramétriques et non paramétriques des tables d'expérience décès, ISFA, 2004.

SAUVET Célia : Solvency II-Quelle modélisation stochastique des provisions techniques prévoyance et non vie, ISFA, 2006.

TERRIER Sophie : Les rentes via gères : mortalité d'expérience et réassurance, Centre National des Arts et Métiers, CNAM, 2001.

Lois :

Code CIMA (Conférence Interafricaine des Marchés d'Assurance). Code de Prévoyance Sociale.

Annexes

Annexe 1 : Quotients bruts de mortalité avec leurs intervalles de confiance (5% d'erreur)

quotients bruts unisexe en %o

Age	qx bruts	Intervalle de confiance		Age	qx bruts	Intervalle de confiance
		qx inf	qx sup			qx inf	qx sup
22	2,345	0,471	4,219	56	8,854	7,118	10,591
23	1,920	0,499	3,342	57	9,051	6,909	11,193
24	1,778	0,547	3,009	58	9,668	7,329	12,007
25	2,277	1,196	3,358	59	10,237	7,798	12,675
26	2,000	1,102	2,898	60	10,815	8,137	13,492
27	2,156	1,294	3,017	61	14,130	9,727	18,534
28	2,101	1,310	2,893	62	15,600	11,221	19,978
29	2,326	1,465	3,187	63	17,341	12,318	22,364
30	2,449	1,709	3,189	64	19,145	14,671	23,619
31	2,347	1,581	3,113	65	21,260	15,752	26,769
32	2,701	1,904	3,499	66	23,489	17,664	29,314
33	2,827	1,973	3,681	67	26,182	19,751	32,614
34	2,560	1,778	3,343	68	27,586	20,703	34,470
35	3,178	2,280	4,076	69	31,703	24,395	39,011
36	3,270	2,399	4,141	70	35,383	26,662	44,104
37	3,447	2,584	4,311	71	39,155	29,677	48,632
38	3,615	2,652	4,577	72	41,112	31,544	50,681
39	3,831	2,855	4,807	73	47,753	34,964	60,542
40	3,923	2,986	4,861	74	52,965	42,432	63,497
41	4,179	3,173	5,186	75	57,843	43,517	72,170
42	4,107	3,102	5,111	76	64,549	49,133	79,966
43	4,673	3,540	5,807	77	71,829	54,875	88,784
44	4,599	3,553	5,644	78	79,452	59,833	99,071
45	5,017	3,921	6,114	79	87,766	67,542	107,990
46	5,326	4,197	6,455	80	98,361	71,938	124,783
47	5,637	4,482	6,792	81	112,861	81,088	144,634
48	5,920	4,807	7,034	82	105,128	74,687	135,570
49	5,903	4,706	7,099	83	125,000	80,895	169,105
50	6,565	5,364	7,766	84	121,739	87,235	156,243
51	6,773	5,517	8,029	85	149,068	94,053	204,084
52	7,239	5,938	8,541	86	161,290	103,387	219,193
53	7,449	6,009	8,889	87	153,846	88,468	219,224
54	8,001	6,538	9,463	88	134,831	63,873	205,790
55	8,384	6,858	9,910	89	156,863	57,051	256,674

Annexe 2 : Table de mortalité abrégée relative au portefeuille vieillesse de la CNPS

Groupe d'âge	Sx	aqx %o	Dx	Lx	Tx	ex
15-19	100000	6,77	677	498308	5745460	57,45
20-24	99323	8,57	851	494489	5247152	52,83
25-29	98472	10,85	1 068	489691	4752663	48,26
30-34	97404	13,73	1 338	483675	4262972	43,77
35-39	96066	17,38	1 670	476156	3779297	39,34
40-44	94396	21,98	2 075	466794	3303141	34,99
45-49	92321	27,80	2 567	455190	2836346	30,72
50-54	89755	35,12	3 153	440892	2381156	26,53
55-59	86602	44,35	3 840	423410	1940264	22,40
60-64	82762	74,47	6 163	398401	1516854	18,33
65-69	76598	128,87	9 871	358314	1118454	14,60
70-74	66727	206,58	13 784	299174	760140	11,39
75-79	52943	314,16	16 633	223131	460966	8,71
80-84	36310	451,86	16 407	140533	237834	6,55
85-89	19903	611,14	12 164	69106	97302	4,89
90-94	7739	771,39	5 970	23772	28195	3,64
95-99	1769	1000	1 769	4423	4423	2,50

Annexe 3 : Table de mortalité abrégée relative au portefeuille vieillesse de la CNPS
(Borne supérieure de l'intervalle de confiance avec 5% d'erreur)

Groupe d'âge	Sx	aqx%o	Dx	Lx	Tx	ex
15-19	100000	7,66	766	498084	5262504	52,63
20-24	99234	9,81	974	493735	4764420	48,01
25-29	98260	12,55	1557	488220	4270686	43,46
30-34	97028	16,05	955	481245	3782466	38,98
35-39	95471	20,51	1959	472457	3301221	34,58
40-44	93512	26,21	2451	461434	2828764	30,25
45-49	91061	33,47	3047	447688	2367330	26,00
50-54	88014	42,70	3758	430673	1919642	21,81
55-59	84256	54,42	4585	409815	1488969	17,67
60-64	79670	136,14	10846	371235	1079154	13,55
65-69	68824	232,32	15989	304146	707919	10,29
70-74	52835	357,54	18861	216946	403774	7,64
75-79	33944	527,66	17911	124943	186827	5,50
80-84	16033	728,05	11672	50984	61884	3,86
85-89	4360	1000	4360	10901	10901	2,50

Annexe 4 : Espérance de vie relative aux différentes tables utiisées dans l'étude

groupe d'âge	INS Zone urbaine	TD CIMA	Table OMS	Table CNPS
15-19	52,2	55,7	47,5	57,5
20-24	47,9	51	42,6	52,8
25-29	43,9	46,3	38,2	48,3
30-34	39,8	41,7	34,4	43,8
35-39	35,9	37	31,5	39,3
40-44	31,7	32,5	29,2	35
45-49	27,8	28,2	27,1	30,7
50-54	23,9	24	24,8	26,5
55-59	20,2	20,1	21,9	22,4
60-64	16,5	16,5	18,6	18,3
65-69	13,2	13,3	15,5	14,6
70-74	10,2	10,4	12,4	11,4
75-79	7,7	8	9,7	8,7
80-84	5,7	6,1	7,4	6,5
85-89	4	4,6	5,6	4,9
90-94	2,8	3,5	4,2	3,6
95-99	1,9	2,9	3,1	2,5

Annexe 5 : Tableau relatif aux probabilités de survie des assurés

PROBABILITES DE SURVIE- TABLE CNPS
âge atteint	Probabilité d'être encore en vie dans :
	5 ans	10 ans	15 ans	20 ans	25 ans	30 ans	35 ans	40 ans	45 ans	50 ans
15 ans	99,3%	98,5%	97,4%	96,1%	94,4%	92,3%	89,8%	86,6%	82,8%	76,6%
20 ans	99,1%	98,1%	96,7%	95,0%	93,0%	90,4%	87,2%	83,3%	77,1%	67,2%
25 ans	98,9%	97,6%	95,9%	93,8%	91,1%	87,9%	84,0%	77,8%	67,8%	53,8%
30 ans	98,6%	96,9%	94,8%	92,1%	88,9%	85,0%	78,6%	68,5%	54,4%	37,3%
35 ans	98,3%	96,1%	93,4%	90,1%	86,2%	79,7%	69,5%	55,1%	37,8%	20,7%
40 ans	97,8%	95,1%	91,7%	87,7%	81,1%	70,7%	56,1%	38,5%	21,1%	8,2%
45 ans	97,2%	93,8%	89,6%	83,0%	72,3%	57,3%	39,3%	21,6%	8,4%	1,9%
50 ans	96,5%	92,2%	85,3%	74,3%	59,0%	40,5%	22,2%	8,6%	2,0%
55 ans	95,6%	88,4%	77,1%	61,1%	41,9%	23,0%	8,9%	2,0%
60 ans	92,6%	80,6%	64,0%	43,9%	24,0%	9,4%	2,1%
65 ans	87,1%	69,1%	47,4%	26,0%	10,1%	2,3%
70 ans	79,3%	54,4%	29,8%	11,6%	2,7%
75 ans	68,6%	37,6%	14,6%	3,3%
80 ans	54,8%	21,3%	4,9%
85 ans	38,9%	8,9%
90 ans	22,9%

Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS

Annexe 6 : Régression relative à toute la plage d'âge (22 à 89 ans) pour les lois de Gompertz et de Weibull en
comparaison avec les quotients bruts de mortalité obtenus.

18,00%

16,00%

14,00%

12,00%

10,00%

4,00%

8,00%

6,00%

2,00%

0,00%

âge

quot mort weibull gompertz

Annexe 7 : table de mortalité unisexe de l'OMS relative à la Côte d'Ivoire

Age range	nMx	nqx	Sx	ndx	nix	Tx	ex
<1	0,10581	0,09852	100000	9852	93104	4742429	47,4
1-4	0,01862	0,07131	90148	6428	345165	4649325	51,6
5-9	0,00357	0,01767	83720	1479	414901	4304160	51,4
10-14	0,00244	0,01213	82240	997	408708	3889259	47,3
15-19	0,00307	0,01522	81243	1236	403124	3480551	42,8
20-24	0,00633	0,03115	80007	2492	393803	3077427	38,5
25-29	0,01199	0,05822	77514	4513	376289	2683624	34,6
30-34	0,01708	0,08189	73001	5978	350061	2307335	31,6
35-39	0,02018	0,09604	67023	6437	319022	1957274	29,2
40-44	0,02008	0,09562	60586	5793	288447	1638252	27,0
45-49	0,01924	0,09181	54793	5030	261388	1349805	24,6
50-54	0,01700	0,08155	49762	4058	238667	1088417	21,9
55-59	0,02232	0,10568	45705	4830	216447	849749	18,6
60-64	0,02733	0,12789	40874	5227	191303	633302	15,5
65-69	0,04150	0,18801	35647	6702	161479	442000	12,4
70-74	0,06365	0,27457	28945	7947	124855	280521	9,7
75-79	0,09752	0,39204	20997	8232	84408	155666	7,4
80-84	0,14690	0,53722	12766	6858	46684	71258	5,6
85-89	0,21604	0,70137	5908	4144	19180	24574	4,2
90-94	0,30685	0,79887	1764	1409	4593	5394	3,1
95-99	0,42619	0,85523	355	303	712	801	2,3
100+	0,57590	1,00000	51	51	89	89	1,7