Relation entre la charge centrale de l'algèbre de Virasoro et l'effet Casimir dans le plan

Relation entre la charge centrale de l'algebre

de Virasoro et l'effet Casimir dans le plan

SaId Bouabdellah
Laboratoire de Physique Théorique de l'Ecole Normale Supérieure de Paris
24, rue Lhomond 75005 Paris, France

Sous la direction du professeur Vladimir Dotsendo¹.

1. Introduction

L'étude des effets de taille finie est d'intérêt cruciale dans divers domaines de la physique moderne. En effet, puisque la résolution de nombreux problèmes physiques fait appel aux simulations numériques qui s'appuient sur des géométries finies, il paraIt indispensable de contrôler les effets de topologie finie. Par exemple, en physique des particules élémentaires et en particulier en Chromodymanique quantique (QCD), les simulations numériques sur réseau [6] sont utilisées pour étudier le domaine des basses énergies qui échappe a toute spéculation de la théorie perturbative. En physique statistique des modèles de spins [5, 6], comme les verres de spins, on est amené a effectuer des calculs sur réseau finis pour extraire toutes les informations disponibles.

Dans notre cas, nous allons montrer que pour un système bidimensionnel invariant conforme [1, 2, 4], l'amplitude de la correction de taille finie a l'énergie libre au voisinage du point critique, définie sur une bande infiniment longue de largeur finie (L), est linéairement liée a la charge centrale de l'algèbre de Virasoro [3], et cela pour différentes conditions aux bords. Nous traiterons le cas des conditions aux bords périodiques: ?(r + L) = ?(r).

On peut généraliser pour d'autres conditions aux bords, et le résultat est confirmé par les méthodes de simulations numériques. Il faut rappeler que les propriétés thermodymaniques se déduisent des propriétés de taille finie lorsque la largeur de la bande tend vers l'infini.

'Laboratoire de physique théorique des hautes énergies : Université Pièrre et Marie Curie.

2. Développement du formalisme

On considére une theorie des champs conforme bidimensionnelle, definie par son lagrangien r (w, Ow) et son tenseur energie- impulsion Tpv.

Cherchons la relation entre la variation de l'action de la theorie sous une transformation conforme, et le tenseur energie impulsion.

L'action de la theorie s'écrit comme :

Sous la transformation conforme infinitesimale :

xp _7--? x^p + á^p (x)

S [w] = I d² xr (w, Ow)

?R

(1)

(3)

L'action subit la variation :

S[w]7--? S[w] + 8 S [w] (³)
L'expression de 8S[w], est donnee par :

8S[w] = I d2 x8 r (w, Ow) (4)

I r Or Or

=

I^d2x [ ^8W+ 8 (Opw)1 (5)

I ^ow ^a (^apw)
= I d2x [ O

[r ^8W + Or

Ow a (Opw)(OpOvw8xv + OvwOp8x^v)1 (6)
Or

=

Id²x [^OrOvw8x^v + Op (Ow)^OpOvw8xv1 (7)
Ow

_opw)vwpx^v

+ Id2x Or_a OO8 (8)
Or

= I d²x [Ovr8x^v + O (Opw)^OvwOp8xv1 (9)
En appliquant le theorême de Gauss- Green, on en deduit :

8 S[w] = I d² x [Ovr8x^v -- Op ( Or O ^(a _w) 8x^v1 (10)

= j d2xOp [8^p r^u

O ^Or(Ow)^Ovd^8xv (11)

n

On pose :

T = P^v r Or Ov w et 8x^v = á^v (x) (12)

pu O (Opw)

äS[?] =

_Z

1 d²xT ^,Líäg,_Lí(22)
4ðÙ

Finalement on obtient :

_Z

äS[?] = d²x?,_LT ^,Líaí (x) (13)

Ù

_Z

= - d²xT _,Lí?,Laí (x) (14)

Ù

Remarque 1 : On a supposé implicitement qu 'il n'y a pas de distribution d'énergie a l'infini.

Il est a noter qu'en théorie des champs conformes bidimensionnelle, on normalise par1 _2ð pour réduire le nombre 2ð qui apparaIt dans les fonctions de corrélation de l'opérateur T (z). Par conséquent, la variation de l'action

sera donnée par:

_Z

1

äS[?] = -d²xT ^,Lí?,_Laí(x) (15)

2ð _Ù

Le tenseurT,_Líest symétrique, ce qui annule la partie antisymétrique du terme _?,Laí(x). Par suite :

_Z

1

äS[?] = - d2xT ,Lí (?,Laí(x) + ?ía,L (x)) (16)

4ð _Ù

Une fois la réponse de l'action de la théorie a la transformation conforme bidimensionnelle infinitésimale est calculée, il est judicieux de regarder comment agit la transformation en question sur le tenseur métrique. Pour tout changement de coordonnées x^,L F-* x^,L + a^,L(x), le tenseur métrique se transforme

comme _g,Lí F-* g0 ,Lí = ^g,Lí +äg,_Lí,tél que :

?x' ?x^â g0 ,Lí = ?x^0,L?x0í ^g'â		(17)
(= ä'	\ (\ ?a' í - ?a^â ,L - ä^âg'â(18) ?x^0,L?x^0í

= (ä',L - ?,La') (äâ _í - ?ía^â~ g_'â(19) = ^g,Lí- (?,Laí + ?ía,L) (20)

On constate que la variation du tenseur métrique est donnée par:

ä^g,Lí⁼ - (?,Laí + ?ía,L) (21)

L'expression du tenseur énergie- impulsion s'écrira sous la forme :

L'opérateur quasi-primaire T(z) a seulement deux composantes indépendantes:

Tzz = TzzetTzz⁼ Tzz= ₄

T u u (23)

1

La loi de conservation de T^uí est donnée par:

~ ?zT=0=T=T(z)

?uT ^uí = 0 = ?z T = 0 = T = T (z) (24)

D'apres l'identité de Ward conforme [4, 7], on écrit :

1 äáT(w) = ^-2ð

I dza(z)T(z)T(w) (25) iC

c

= -

12

a'''(w) - 2T(w)a'(w) - a(w)?wT(w) (26)

Pour une transformation conforme finie z i-* w(z), l'opérateur quasiprimaire se transforme comme :

(dw) -2_h]

T(z) I-* T'(w) = T(z) - c 12 {w(z); z}
dz

Oü (c) est une constante appelée, charge centrale de l'algebre de Virasoro [3, 7].

L'expression {w(z); z} est appelée, dérivée Shwartzienne [5], et elle est définie par:

w^(3)(z) {w(z); z} ^=w^(1)(z)

w^(2)(z) w(1)(z)(27)

3. Cas d'un plan fini

On considére le cas particulier de la transformation conforme, qui consiste a la transformation qui fait passer d'un plan infini a une bande semi- infinie de largeur (L).

On pose z = p e^iè et w = u + iv. La transformation conforme

z '-* w(z) =L 2ð ln(z) réduit un plan infini repéré par le nombre complexe z en une bande semi- infinie de largeur L, repérée par le nombre complexe w.

En effet:

L w(z) = ln(z) = 2ð

u= ^Llnp ; p?[0,+8[ 2ð L v=è ; è ? [0, 2ð[ 2ð

f uER
v E [0,L[

On en déduit qu'il s'agit bien d'une transformation du plan vers la bande semi-infinie. Dans ce cas, la dérivée Shwartzienne de w(z) par rapport a z, s'écrit :

_!2

L

2ðz² = 1

L 2

2ðz

{w(z); z} =

L ðz³ L 2ðz

Le tenseur énergie impulsion sur la bande vaut alors :

(2ðz)2 ( z²Tp (z) - _c)

Tb (w) = (29)

L 24

Pour une théorie conforme invariante par translation dans le plan infini, la dimension conforme L est nulle [4, 7]. En utilisant l'identité de Ward, il vient :

(Tp) = 0 (30)

On en conclut que :

ð²c

(Tw) = - (31)
6L²

On précise que (...) désigne la moyenne par rapport aux configurations du champs ?(x).

Dans le cas d'une transformation conforme infinitésimale dans le plan complexe de w, d'une bande semi-infinie de largeur L, a celle de largeur L + 8L, les coordonnées u et v varient comme:

fu7? u v7?(1

Ce qui se traduit par :

(32)

+E)v

fau = Ev8u2 (33)
gu _í = -2 E8í28u2 D'autre part, l'énergie libre, a une constante près, d'un système statistique

défini sur le plan est donnée par:

F=-lnZ (34)

Oü Z est la fonctionnelle génératrice des moments, qu'on appelle aussi fonction de partition du système statistique, et elle est donnée par une intégrale de chemin :

JZ=D

fi? e-S[?] avec D? = x?Ù

d?(x) (35)

Calculons la variation de l'énergie libre :

8F =--^8Z (36)
Z

= (--S[?]) (37)

= -- = --

417 LX (T^uí) 8^guí (38)

1

47 Ld²X (T²²) 8^g22 (39)

Pour une theorie invariante d'echelle, le tenseur energie impulsion est de trace nulle, ce qui donne :

(_T22) (_T11) (40)

= -- (T(z)) -- (T(z)) (41)

= --2 (T(z)) (42)
Et par consequent, on en tire :

8F = --4₇ Id² X (--2 (Tb(z))) (--2E) (43)
= 1

⁷ 1

d2 X (Tb(z)) E (44)

6 1 d2X _L2 avec E = 8L

7c E L (45)

=

7c I d2 X L3 8L

6 n (46)

=

Remarque 2 : Nous avons suppose que (Tb(z)) = 0, mais dans le cas general, il existe une energie libre constante f0 tel que (Tb(z)) = f0.

Remarque 3 : Le domaine d'integration Q designe la bande semi-infinie de largeur L. Autrement dit, Q = R x [0, L[.

Il vient de ces deux remarques ^:6L²) L

8F = IdX (f0 + 7c 8L (47)

+8_IL 7 8L

C

du dv (f0 +

6L² ) L

0

+8

)

(48)

(49)

1 -

du (f0 + ₆7₂) 8L

+

= I du8FL oU 8FL = (f0 + 6L2) 8L (50)

7c

--

8F est la variation de l'énergie libre par unite de longueur.

Finalement, on déduit que l'énergie libre par unite de longueur est obtenue par integration sur la largeur entre 0 et L. Toutefois, la borne 0 conduit a une divergence de l'integrale, ce qui impose une regularisation de l'integrale par un cutt off :

ZL~f0+ ^ðc )

FL = 8L (51)
6L²

Ä(L)

ðc ðc

= f0L_ 6L _6Ä(L) (52)

Il faut préciser que le cutt off doit être choisi de telle manière qu'il s'annule

pour une bande de longueur infinie L 7? +00, car dans ce cas, l'expression 51 repro duit bien l'energi e libre d'une bande i nfini e : F00 = f+00 (f0 + ðc) 8L.

06L²

4. conclusion

L'étude qu'on vient de développer sur la relation entre la charge centrale de l'algèbre de Virasoro et l'effet de taille finie a l'energie libre dans le plan, permet de conclure que l'anomalie centrale apparaIt comme une consequence de la brisure de la symétrie conforme dans le plan. Autrement dit, un déplacement de l'energie libre ou effet Casimir dil a la geometrie finie de la bande de largeur L. L'effet Casimir est proportionnel a la charge centrale et qui s'annule lorsque l'échelle macroscopique L tend vers l'infini.

Références

[1] H.W. Blote, J.L. Cardy, M.P. Nightingale, Phys.Rev.Lett 56 (1986) 742.

[2] I. Affleck, Phys.Rev.Lett 56 (1986) 746.

[3] K. Rittengerg, K. Dietz, Infinite Lie algebras and conformal invariance in condensed matter and particle physics, World Sientific, Singapore, 1987.

[4] K. Ketov, Conformal field theory, World Sientific, Singapore, 1994.

[5] P. Di Francesco, P. Mathieu, D. Senechal, Conformal field theory, Springer, 1997.

[6] c. Itzykson, J.-M. Drouffe, Statistical field theory, Cambridge University Press, 1989. In French : Théorie statistique des champs, InterEditions/Editions du CNRS, 1989.

[7] V. Dotsenko, Notes de cours de la théorie des champs conformes, DEA Physique theorique (1998), Ecole Normale Supérieure de Paris.