Memoire Online - Etude de cellules rayonnantes pour réseau réflecteur

2 Procédure de caractérisation des cellules déphaseuses en terme de matrice de réflexion 36

Une antenne réseau réflecteur est, comme son nom l'indique, une combinaison entre le concept d'antennes réflecteurs et celui d'antennes réseaux. Un réseau réflecteur est constitué d'une source principale qui éclaire le réseau imprimé. Ce dernier, dans sa forme la plus simple, n'est autre qu'un réseau planaire de patch microstrip imprimé sur un substrat plaqué sur un plan de masse (figure 1.1).

Le réseau est conçu pour que l'onde réfléchie par chacun de ces éléments rayonnants soit une onde plane, déphasée par rapport à la source principale [Pozar97, Huang95]. De ce fait, ce réflecteur réseau plan permet de contrôler et de rediriger en phase le re-rayonnement de la source primaire dans la direction souhaitée (figure 1.2).

Ainsi, l'utilisation des réseaux réflecteurs repose sur la compacité (taille, poids), le coût de fabrication et la possibilité d'avoir un faisceau orientable (reconfigurable).

Les deux technologies utilisées dans la conception des réseaux réflecteurs possèdent chacune leurs avantages et inconvénients. Dans le cas des antennes réseaux, l'avantage majeur est de pouvoir contrôler la pondération en amplitude et en phase de chaque élément du réseau, et de permettre de maîtriser la direction de l'onde émise et la forme du faisceau. En plus, un contrôle électronique de chaque élément du réseau autorise des vitesses de balayage très rapides. L'inconvénient de cette technologie réside néanmoins dans la complexité du circuit d'alimentation et dans les pertes induites. Dans le cas des antennes à réflecteur, le problème du réseau d'alimentation est résolu par l'utilisation d'une source primaire unique illuminant le réflecteur. En contrepartie, il existe des difficultés technologiques telles que le poids de l'antenne et le dépointage mécanique de l'antenne [Girard03].

En outre, l'antenne réseau réflecteur combine les avantages des deux technologies citées précédemment. Ainsi, elle fonctionne avec une source primaire unique qui éclaire le réflecteur plan (ce qui évite la mise en place d'un circuit d'alimentation complexe et dissipatif). Etant donnés que, les éléments rayonnants du réseau, appelés cellules déphaseuses, re-rayonnent en phase l'énergie émise par la source dans la direction souhaitée. Donc, les propriétés de l'onde ré-émise seront commandées par la loi de phase générée par le réseau. Cette loi de phase correspond à la phase synthétisée par chaque cellule. Ainsi, le re-rayonnement de l'onde émise peut subir des dépointages importants sans jouer sur la position du réflecteur. Cette loi peut également être utilisée pour générer un diagramme de rayonnement de l'antenne conformément à un gabarit donné. On peut noter que la taille du réseau fixera la directivité maximale. Le pas du réseau est choisi, quant à lui, en fonction des lobes de réseau et du dépointage à affecter pour l'onde ré-émise. Il reste après avoir pris en compte de ces contraintes, imposées par les structures de l'antenne, à définir la source primaire.

Une antenne réseau réflecteur est donc composée d'une source primaire qui illumine une surface réflectrice contenant un réseau de cellules déphaseuses. Ces cellules vont re-rayonner l'énergie provenant de la source. Cette énergie totale ne sera pas re-rayonnée en phase si tous les éléments constitutifs du réseau sont identiques. Ceci est du au fait que pour une surface réflectrice plane, le champ qui se propage de la source primaire vers les éléments rayonnants effectue des trajets différents (figure 1.2). En effet, si chacune des cellules constituant le réseau est capable de fournir une phase ajustée pour compenser les différences du trajet, le champ total re-rayonné aura une phase identique pour chaque cellule dans l'axe (direction de l'axe perpendiculaire au réseau). Pour cela, pour couvrir cette plage de compensation, la réponse en phase des cellules déphaseuses doit dépendre d'un paramètre (la longueur de patch, la longueur des stubs, l'épaisseur du substrat...). Ainsi, la loi de phase est la capacité d'une cellule à pouvoir générer une valeur de phase en fonction d'un paramètre lié à la cellule.

Ce concept de compensation des phases a été introduit depuis de nombreuses années avec l'utilisation d'éléments rayonnants tels que des cornets, des dipôles, et des guides d'onde [Huang91, Girard03, Huang96]. Mais, ces structures sont encombrantes et lourdes. Cependant, l'utilisation des technologies réseaux imprimés a permis la fabrication d'antenne réseau réflecteur plus légère, moins encombrante et à moindre coût. Depuis lors, de nombreuses études

portant sur le développement de cellules déphaseuses imprimées ont été investiguées [Girard03, Alex02]. Une méthode consiste à utiliser des patchs microruban de la même dimension, chaque cellule pouvant être chargée par un stub de longueur variable [Girard03]. D'autres solutions ont été développées en jouant sur la dimension des patchs [Chenakin97] ou en changeant l'épaisseur du substrat de manière à contrôler le déphasage [Encinar99,Encinar01]. Dans chacun de ces cas, le dimensionnement des cellules est déterminant pour les performances.

Les solutions développées, dans notre laboratoire, pour la réalisation des cellules déphaseuses sont principalement basées sur l'utilisation de patchs résonnants.

En variant les dimensions de l'élément rayonnant, nous pouvons contrôler le déphasage (figure 1.3). Ainsi, pour une onde incidente sur le réseau de patch à taille variable, la phase de l'onde réfléchie varie avec les dimensions du patch. En effet, la variation des dimensions du patch suivant l'orientation de la polarisation de l'onde incidente, oblige les courants induits sur ce dernier à parcourir un chemin variable changeant ainsi la longueur résonnante du patch.

Cette longueur de résonance est inversement liée à la fréquence de résonance du patch. Donc, la variation de cette fréquence de résonance conduit à la variation de la phase re-rayonnée par le patch. Cette phase dépend alors du chemin parcouru sur le patch.

Parmi les solutions envisagées pour la réalisation de cellules déphaseuses, nous pouvons décrire celle qui consiste à ajouter un tronçon de ligne à l'élément résonnant [Chenakin97]. Ainsi, le contrôle du déphasage s'effectue par la variation de la longueur du stub (figure 1.4).

Cette technique est limitée en bande de fréquence, due à la faible bande du stub, et présente un encombrement sur la maille des cellules.

C'est une méthode qui consiste à avoir un réseau multicouche de patchs de différentes tailles [Encinar01, Agustin03]. Elle permet de couvrir une gamme importante (supérieure à 360°). Sur chaque couche de substrat est gravé un réseau de patchs et donc, dans chaque maille du réseau plusieurs cellules déphaseuses positionnées les unes en dessous des autres (figure 1.5). Le principe de cette méthode consiste à séparer les fréquences de résonance de chaque cellule et les faire résonner les unes après les autres ce qui permet d'avoir des gammes de phases supérieures à 700°.

Néanmoins, les technologies multicouches utilisées restent difficiles à mettre en oeuvre et le coût de fabrication est relativement élevé.

Les solutions citées précédemment fournissent des lois de phase fixes. Actuellement, on s'oriente vers des solutions re-configurables. C'est en pilotant les phases de chacun des éléments du réseau de manière indépendante qu'on obtient des réseaux réflecteurs re-configurables. Ainsi le faisceau de l'antenne n'est plus fixe mais orientable. Pour ce faire, les techniques passives de déphasage citées précédemment sont transposables moyennant l'introduction d'éléments actifs (figure 1.6) tels que : diodes [Agustin03], varactors [Agustin03], MEMS [Girard03]...).

Des études précédentes menées par divers projets en collaboration avec la société Alcatel Space, l'Agence Spatiale Européenne et bien évidemment notre laboratoire IETR, ont montré la nécessité d'outils de simulation pour le dimensionnement des réseaux réflecteurs (caractérisation des cellules déphaseuses). De ce fait, nous distinguons pas mal d'outils de simulation, en particulier, le logiciel commercial HFSS (High Frequency Structure Simulation) d'Ansoft et un code basé sur la méthode des Différences Finies dans le Domaine Temporel (FDTD) développé au sein de notre laboratoire IETR.

H.F.S.S est un simulateur électromagnétique de haute performance pour les modèles en 3D. Il intègre des simulations, des visualisations et une interface automatisée facile à utiliser pour résoudre rapidement et de façon efficace les problèmes électromagnétiques en 3D. Son code de calcul est basé sur la méthode des éléments finis (méthode fréquentielle), des graphiques performants pour donner à l'utilisateur des résultats et une perspicacité aux problèmes électromagnétiques en 3D.

Une croissance H.F.S.S peut être utilisée pour calculer des paramètres tels que les paramètres S, les fréquences de résonance et les champs. C'est un outil permettant le calcul du comportement électromagnétique d'une structure. Le simulateur possède des outils de post traitement pour une analyse plus détaillée. Il permet le calcul des :

La géométrie du modèle, étudié sous H.F.S.S, est automatiquement divisée en un grand nombre de tétraèdres. La valeur d'un vecteur champ (E ou H) en un point à l'intérieur d'un tétraèdre est calculée par interpolation des valeurs des champs dans les sommets du tétraèdre. Ainsi, en représentant les valeurs des champs de cette manière, H.F.S.S transforme les équations de Maxwell en équations matricielles qui sont résolues par les méthodes numériques classiques. En divisant la structure en plusieurs petites régions, H.F. S. S calcule les champs séparément dans chaque élément en fixant des critères de convergence. Plus les éléments sont petits, plus la solution est précise mais plus le temps de calcul est long.

C'est une méthode basée sur la résolution des équations de Maxwell. Ces équations sont conçues pour décrire la création et la propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu bien déterminé. La méthode des différences finies temporelles est fondée sur le schéma explicite de Yee []. Elle permet de calculer à chaque instant discret de l'espace, les composantes du champ électromagnétique dans chaque cellule parallélépipédique du volume tridimensionnel (figure 1.7).

Les composantes des champs électromagnétiques sont représentées à la figure 1.8.

Des conditions aux limites doivent être définies autours du volume de simulation pour le calcul des champs électromagnétiques. Cette méthode est une méthode de calcul volumique et donc en particulier bien adaptée à l'étude des cellules imprimées sur des substrats. Son avantage est la résolution 3D même de structures complexes [Taflove00]. Mais, elle nécessite de mailler tout le volume défini, ce qui peut devenir rapidement prohibitif en terme de temps de calcul et de matériel informatique à mettre en oeuvre. Enfin, c'est une méthode temporelle qui permet de caractériser des structures sur une large bande de fréquence en une seule simulation (annexe A), [Taflove98, Taflove95].

Au cours de ce chapitre, nous avons présenté une synthèse sur les propriétés des antennes à réseau réflecteur tout en donnant les avantages et les inconvénients qui découlent de leurs utilisations ainsi que les différentes techniques utilisées pour la réalisation des cellules déphaseuses. Ensuite, une présentation des fondements théoriques des outils de simulation utilisés a été élaborée. Pour cela, une idée assez complète sur les approches développées au sein de notre laboratoire pour les études des cellules déphaseuses sera développée dans le chapitre suivant.

Trois techniques ont été mises au point, dans notre laboratoire, utilisant HFSS et/ou FDTD. On peut distinguer :

De plus, une quatrième technique utilisant un guide d'onde a est développée pour les mesures.

Dans cette partie, nous essayons de présenter les différentes approches développées pour l'études des cellules déphaseuses au cours des travaux de recherche effectués dans notre équipe.

Cette méthode est développée par le mathématicien G. Floquet [Floquet1 879] afin de définir des solutions périodiques pour ces équations différentielles. Dans le cas général d'un volume éclairé par une onde incidente plane, les conditions de Floquet s'expriment ainsi : le champ incident en B est identique au champ incident en A affecté d'un décalage temporel correspondant à la différence de chemin entre A et B (figure 2.1).

La différence de chemin est ainsi ? = AB.sin(è) et donc le décalage temporel associé est sin().AB

La difficulté d'exploitation des conditions de Floquet dans le cas général d'une onde en incidence quelconque ne provient pas du fait qu'il faille, (Eq.2.1), exprimer le champ en B en fonction du champ en A affecté d'un retard dt. Cela se traite en stockant les valeurs calculées du champ en A. Le calcul du champ en A à l'instant t en fonction du champ en B, (Eq.2.2), par contre fait intervenir le champ en B mais à un instant précédent l'instant t, instant que l'on ne peut connaître lors du calcul à t [Girard03]

Nous remarquons, bien évidemment, qu'en incidence normale, les conditions de Floquet se simplifient énormément.

Cette méthode vise à simuler un réseau infini de cellules toutes identiques à partir de la simulation d'une seule cellule (voir figure 2.2).

Le logiciel HFSS, déjà présenté, nous donne la possibilité d'étudier des cellules déphaseuses. En effet, l'idée se base sur le fait de définir des `parois de Floquet' autour de la cellule sous test pour créer artificiellement le comportement d'un réseau infini dont toutes les cellules sont identiques, ce qui permet d'étudier l'effet de couplage entre les cellules voisines. Pour ce faire, nous avons crée une boite à six faces où on met la cellule sous test (figure 2.3). Les quatre faces entourant la cellule sont définies comme des parois périodiques (de Floquet) et la face supérieure comme une surface d'excitation pour appliquer le champ incident. La dernière

face est celle appliquée sous le substrat, correspond au plan de masse. Pendant [CadoretF05, CadoretM05], le champ rayonné évalué est celui en champ lointain. Il est calculé en utilisant une sphère infinie définie à l'aide du logiciel et donc on peut récupérer la phase du champ lointain de façon spéculaire et donc de définir la réponse en phase de la structure sous test.

L'avantage majeur du logiciel HFSS est la rapidité des calculs effectués et la facilité de son utilisation. De plus, c'est une technique qui nous permet de faire des études paramétriques. Ainsi, c'est une approche performante à exploiter pour fournir des bases de données et elle peut être généralisée dans le cas d'une incidence quelconque qui sera le but de notre travail. Néanmoins, cette méthode possède pas mal de limitations dues à l'utilisation des conditions périodiques. En effet, le réseau simulé est un réseau infini périodique de cellules toutes identiques. Or, en réalité, chaque cellule est entourée de voisines aux dimensions différentes et donc on ne prend pas en compte réellement des effets de couplage. De plus, les résultats en phase ne sont pas réellement exploitables en dehors de la direction spéculaire de rayonnement.

Comme nous venons de le voir au premier chapitre, la méthode F.D.T.D est basée sur la résolution des équations de Maxwell. Un code FDTD doit être développé pour la définition du volume de calcul et pour prendre en compte des conditions absorbantes ou dans notre cas les conditions périodiques de Floquet. Cette méthode reprend la même façon de définir les parois entourant la cellule sous test (parois de Floquet) et la paroi d'excitation au dessus de la cellule (figure2.4) En plus, une surface placée au dessus de celle d'excitation est dite surface de Huygens car nous appliquons sur cette surface le principe d'équivalence de Huygens [Alex02]. En d'autres termes, le volume F.D.T.D délimité la surface de Huygens, dans lequel nous retrouvons les vecteurs de champs et de courants électriques et magnétiques dus au rayonnement de la source, est équivalent à la surface de Huygens, où sont définis des courants magnétiques et électriques équivalents.

C'est à partir de ces courants que nous déduisons les potentiels vecteurs pour le calcul des champs. Ainsi, la méthode temporelle du calcul F.D.T.D permet des études en fréquence et ce code développé dans notre laboratoire nous permet de prendre en compte de parois de Floquet

mais ce code F.D.T.D reste ergonomique et la définition du maillage de structures compliquées laborieuse.

Pour observer le re-rayonnement d'une cellule sous une incidence quelconque, nous avons choisi de la simuler à l'aide de la méthode FDTD puisque, avec l'utilisation des parois de Floquet sous HFSS, nous ne pouvons pas chercher les résultats de re-rayonnement en dehors de la réflexion spéculaire. Néanmoins, ce choix introduit une hypothèse simplificatrice qui consiste à ne pas considérer les effets de couplage. La figure 2.5 montre que la paroi d'excitation entoure toute la cellule sous test. Cette surface d'excitation génère une onde plane en incidence quelconque.

Le champ total re-rayonné est récupéré en champ proche à l'aide de la surface de Huygens définie et le champ lointain dans toutes les directions est alors déduit de ces résultats en champ proche [Cadoret04,CadoretM05,Milon06]. Ceci permet d'accéder au diagramme de rayonnement de la cellule isolée sous incidence quelconque et donc à caractériser son fonctionnement. Ainsi, cette méthode permet de fournir une base de données, un temps de simulation réduit ainsi qu'un calcul du rayonnement dans n'importe quelle direction et sous n'importe quelle incidence. Toutefois, cette méthode néglige l'effet de couplage puisque seule la cellule est étudiée.

Nous venons de voir que la méthode `cellule isolée' a négligé l'effet de couplage. Pour cela, dans le cadre de travail de thèse effectué par M-A Milon, une autre méthode d'analyse est développée. Celle-ci consiste à éclairer une seule cellule du réseau et à considérer son rerayonnement en présence de ses voisines immédiates (identiques ou non) [Milon06]. Cette méthode permet donc de calculer le re-rayonnement d'une cellule environnée dans n'importe quelle direction et sous n'importe quelle incidence et surtout dans un environnement réaliste. Cette méthode, incluant plus d'éléments, nécessite un volume d'étude plus important et donc un temps de calcul plus important. En effet, seule la cellule centrale est illuminée par une onde plane d'incidence . La phase de l'onde re-rayonnée est alors calculée en prenant en compte la

contribution des huit cellules voisines les plus proches. Pour cela, deux surfaces sont définies dans le volume de calcul FDTD (figure 2.6). La surface d'excitation entoure la cellule centrale et délimite le volume dans lequel le champ incident est appliqué. La surface de Huygens, quant à elle, qui est utilisée pour calculer le champ re-rayonné, inclus les neuf cellules et vient se renfermer sur le plan de masse.

Ainsi, cette méthode permet d'évaluer le couplage mutuel entre les cellules voisines, une prédiction des diagrammes de rayonnement dans un environnement réel et une simulation de réseau contenant des cellules différentes. C'est une technique plus réaliste pour l'étude d'un réseau réflecteur mais elle demande un temps de calcul plus important ainsi qu'un matériel informatique assez puissant.

2.4 La technique guide d'onde

C'est une méthode basée sur le principe d'utiliser un guide d'onde à la fréquence de fonctionnement désirée et d'effectuer des mesures pour le coefficient de réflexion de chaque cellule (amplitude et phase du champ réfléchi). Pour cela, on réalise plusieurs cellules dont les dimensions sont différentes, nous les positionnons ensuite au fond du guide alternativement en mesurant à chaque fois la réponse en phase et en amplitude de chaque coefficient de réflexion (figure 2.7).

Nous traçons alors la loi de phase correspondante pour la variation d'un paramètre de la cellule. Ainsi, c'est une mesure d'une seule cellule dans un environnement sans interaction de cellules voisines (sans effet de couplage). De ce fait, cette technique nous permet de valider les principes de structures adoptées pour l'étude des cellules déphaseuses et nous fourni une idée sur les pertes. Néanmoins, chaque fois, nous étions amenés à réaliser un nombre important de cellules.

A titre indicatif, que nous pouvons comparer les mesures avec des simulations effectuées sous HFSS en remplaçant les parois de Floquet par des murs électriques (pour avoir un environnement de guide, figure 2.8)

De cette manière, nous pouvons donc comparer entre simulation et me sure pour valider le principe des cellules déphaseuses.

Dans le cadre général de notre travail sur la description des différentes procédures de caractérisations des cellules déphaseuses, nous venons de présenter les différentes méthodes développées dans notre laboratoire. De plus, en réalité, la réponse en phase de chaque cellule dépend des paramètres de dimensionnement de cette dernière mais à ceux-ci s'ajoutent les paramètres d'illumination. De ce fait, nous nous intéressons au cours du troisième chapitre à définir les caractéristiques d'éclairement d'une cellule du réseau en tenant compte le rayonnement du cornet.

Calcul des angles et du champ incident

Un réseau réflecteur est composé, comme nous avons vu précédemment, de cellules déphaseuses illuminées par une source primaire. Ces dernières sont positionnées sur une surface réflectrice. Les différences de trajet, de la source à la surface réflectrice, vont être compensées en phase par chaque cellule du réseau. Cette phase doit être dépendante de la position de chaque cellule dans le réseau. En réalité, la réponse en phase de chaque cellule dépend des paramètres de dimensionnement de cette dernière mais à ceux-ci s'ajoutent les paramètres d'illumination. En effet, la cellule déphaseuse est vue sous un angle d'incidence et une polarisation différents qui dépendent bien évidemment de la position de cette cellule dans le réseau (annexe B).

Ainsi, au cours de notre travail, nous avons pensé à améliorer nos simulations en tenant compte du rayonnement du cornet pour s'approcher d'un cas réel d'étude de réseau réflecteur. Pour cela, nous avons besoin de définir les caractéristiques d'éclairement d'une cellule du réseau. En effet, nous nous plaçons dans le cadre, par exemple, de notre travail effectué lors de ce stage (simulation à l'aide du logiciel HFSS). La cellule (notée cellule i) est supposée éclairée par une onde plane dont il faut préciser l'incidence et la polarisation. Ces grandeurs sont définies à partir de la configuration réelle du réseau. Pour l'incidence, nous définissons ainsi les angles (O _i,çt _i)

précisant la direction sous laquelle est vu le cornet dans le système de coordonnées sphériques associé à la cellule i. Pour la polarisation, nous supposons que le cornet rayonne en co-polarisation (au sens de Ludwig 3) [Ludwig73, Hansen87]. Par conséquent, la définition de la polarisation nécessite de travailler dans la base liée au cornet. Il faut donc définir d'abord la polarisation dans la base liée au cornet avant de la transposer dans la base du réseau (où la simulation de la cellule sera faite). Ce changement de base demande entre autres de définir la direction sous laquelle est vue la cellule i dans le système de coordonnées sphériques

En réalité, un réseau est composé d'un nombre important de cellules. Dans notre étude, nous nous intéressons à un cas de réseau de 437 cellules pour une maille de 0.7 ) 0 = 16.8 mm,

fonctionnant à une fréquence de 12.5 GHz. Chaque cellule possède des dimensions propres à son emplacement dans le réseau et contribue différemment en phase et en amplitude au diagramme de rayonnement du réseau complet. (annexe B)

Nous commençons par définir la configuration générale, en perspective, d'un réseau réflecteur et les différents paramètres pris en compte pour pouvoir calculer ses angles.

Le point O est le centre du réseau. Le point O' est le centre de phase du cornet. Le point Oi représente le centre de la i^èmecellule du réseau. Le système de coordonnées ( est

attaché au réseau et le système de coordonnées est attaché au cornet. On note á

l'angle d'élévation du cornet, H sa hauteur par rapport au plan du réseau et (x _c,y _c,z _c)les coordonnées du cornet. (figure 3.1)

Pour accomplir notre calcul des angles déjà mentionnés, nous avons développé deux méthodes afin de confirmer et de valider nos calculs ainsi fournis. En effet, nous avons élaboré deux méthodes intitulées : méthode géométrique (basée sur un raisonnement géométrique) et méthode par changement de repères (utilisation des relations entre les coordonnées sphériques et cartésiennes).

Les angles définis sent la direction sous laquelle est vu le cornet dans le système de

Avec H : projeté orthogonal de O' sur le plan (x, y) l₀ : Distance cornet- cellule centrale

Les coordonnées du centre de la cellule i (point Oi) dans le repère lié au centre du réseau (point O) se déduisent de:

Les coordonnées cartésiennes du cornet (point O') dans le repère lié au centre du réseau (point O) se déduisent de :

Dès lors, les coordonnées de O' dans le repère lié au centre de la cellule i vérifient :

Les angles(è _i,ö _i), définissant la direction sous laquelle est vu le cornet dans le système

de coordonnées sphériques associé à la cellule i, se déduisent des relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques :

Les relations (Eq3.1), (Eq3.2), (Eq3.5) et (Eq3.6) définissent donc à partir des paramètres

géométriques du réseau. Ces angles sont utilisés dans la simulation d'une cellule élémentaire pour définir l'angle d'incidence.

La même démarche s'applique pour angles précisant la direction sous laquelle est vue la
(Oç,ijç)

Les angles définissent la direction sous laquelle est vue la cellule i dans le système de

Nous notons la difficulté rencontrée pour la détermination de l'angle ö'_i par la méthode géométrique.

Nous commençons par calculer les coordonnées cartésiennes de Oi dans le repère . Ensuite, nous utilisons les relations entre coordonnées cartésiennes et
(O', x ', y', z')

Dès lors, les coordonnées de Oi dans le repère lié au cornet résultent de :

Après avoir déterminé les coordonnées cartésiennes, les coordonnées sphériques se

déduisent d'une façon analogue que les angles , nous aurons alors d'après l'équation

Les relations (Eq3 .7), (Eq3 .8) et (Eq3 .9) définis sent donc à partir des paramètres

géométriques du réseau. Ces angles déterminent l'orientation du champ électrique incident.

En second lieu, nous avons implanté un programme sous le logiciel Matlab (annexe C) pour nous fournir les angles voulus pour différentes positions du cornet (différentes configurations de réseau) tout en validant par quelques cas canoniques (incidence normale, cellules situées dans le

plan vertical passant par le cornet). De ce fait, la détermination de l'angle est directe pour le

cas des cellules situés sur l'axe (O, Y) car le centre de la cellule sera sur la droite (Oy) se qui se ramène à un angle q i = 90° (figure3 .4, cellule i). De même, pour une cellule située sur l'axe (O,

X), l'angle ö'_i sera de 90° (ou -90°). De plus, l'angle 0, pour la cellule centrale, est de - á.

Pour le cas d'une incidence normale, l'angle 0 sera égal à alpha=90°. Ainsi, les résultats obtenus par nos méthodes de calculs correspondent à ces valeurs théoriques.

De plus, d'après la figure 3.5, pour la position choisie du cornet, on vérifiera la symétrie pour les différents angles.

100 50 0 -50 -100						40 20 0 -20 -40 30
			q$ i^Oi
							25 20 20 15 10 10 yi 5 00 xi
30 20 1 yi 00			25 20 15 1 5 xi
Représentation 3D de l'angle q$ _i						Représentation 3D de l'angleO_i
100 50 0 q$ _i' -50 -100 30	20 1 yi	00	5	₁	25 20 15 xi	30 20 10 0 O'i -10 -20 -30 30	25 20 20 15 10 10 yi 5 00 xi
Représentation 3D de l'angle q$ '_i						Représentation 3D de l'angleO 'i

En conclusion, nous venons de vérifier que les deux méthodes nous fournissent une correspondance des valeurs. De plus, nous devons noter que la méthode géométrique nous a permis de vérifier nos calculs car, comme on vient de le remarquer, elle ne peut pas nous fournir les valeurs de tous les angles (l'angle ij '_i).

2.2 Définition du vecteur champ électrique incident

On utilise la définition au sens de Ludwig 3 [Ludwig73] pour définir le champ électrique incident défini dans le repère lié au cornet. On suppose que le cornet n'a pas de polar croisée. En exploitant la définition de Ludwig et après projection dans la base liée au réseau réflecteur (car

c'est dans cette base que sont définies toutes les données de simulation), on obtient l'expression du champ électrique dans la base indiquée.

où est le diagramme du rayonnement de la source primaire (dans notre cas, c'est le

diagramme de rayonnement d'un cornet qui doit être fourni par la société Alcatel Space).

eè= cos(è ' . ).cos(ö' . ).e _x+ cos(è ' . ).sin(ö' . ).e _y'- sin(è ' . )^.ez ' ' '

' . x . y . z
Ainsi, l'expression du champ électrique dans la base liée au réseau réflecteur est la suivante :

Après avoir pris des cas particuliers pour déterminer d'une façon évidente les différents angles d'incidence et valider nos calculs, nous essayons de représenter le champ incident en projection dans le plan du réseau. Nous considérons déjà que le cornet n'a pas de polar croisé. De la même façon que précédemment, nous avons essayé d'implanter les équations calculées dans notre programme (annexe C) pour encore une fois essayer d'exploiter la représentation du champ incident en projection. Nous devons noter que nous avons multiplié l'une des composantes du champ pour vraiment pouvoir voir clairement la projection de ce dernier pour le cas d'une incidence normale et d'un cornet très loin.

Nous remarquons que les lignes de champ sont parallèles dans le cas d'un cornet très loin du centre du réseau. Par contre, si le cornet est proche, les lignes de champ commencent à se bomber.

3 Conclusion

Dans de ce chapitre, nous avons défini les caractéristiques d'éclairement d'une cellule du réseau pour améliorer nos simulations. De ce fait, deux méthodes étaient mises au point et implémentées sur le logiciel Matlab. Dans le chapitre suivant, d'une part nous décrirons notre procédure de caractérisation des cellules déphaseuses et d'autre part nous présenterons les résultats de simulation obtenus.

Simulation de cellules déphaseuses en

Notre travail, comme nous venons de le mentionner, s'inscrit dans le cadre général de la modélisation du comportement d'un réseau de cellules déphaseuses éclairées par une onde plane en incidence quelconque (suivant la position de la cellule dans le réseau).

Au cours des anciens travaux de recherche effectués dans notre laboratoire, le travail s'est contenté de la mesure de la phase du champ réfléchi en champ lointain (en incidence normale à l'aide du logiciel HFSS) sans avoir des informations sur l'amplitude de ce dernier. De ce fait, notre contribution consiste tout d'abord à fournir le champ proche qui s'établit dans la cellule modélisée, en amplitude et en phase (calcul du coefficient de réflexion de la cellule). En général, d'après [article pozar] nous calculons, dans un premier temps, en l'absence de cellule, le champ réfléchi provenant du substrat et du plan de masse. Nous obtenons donc une matrice de réflexion

(Eq.4. 1) permettant de calculer les composantes de ce champ réfléchi à partir du champ

Dans un second temps, nous calculons une deuxième matrice de réflexion due à la présence de la cellule seule (Eq.4.2). Nous notons par ^s

Nous déduisons alors le champ total réfléchi par le réseau réflecteur dans la direction spéculaire à partir de l'équation (Eq.4.3)

2 Procédure de caractérisation des cellules déphaseuses en terme de matrice de réflexion

Notre procédure de validation est menée en deux étapes. Ainsi, la première étape consiste à la valider sur un plan de masse. La seconde étape de validation est effectuée sur des cellules tirées du réseau réel. A chaque étape de validation, nous traitons les deux cas d'incidence c'est à dire : incidence normale et oblique. Dans ce qui suit, nous essayons de présenter notre procédure dans le cas général d'incidence et de structures à simuler, ensuite, nous présentons les différents résultats. Pour cela, d'après la figure 4.1, nous commençons par donner une idée sur la topologie de simulation d'une structure sous test.

L'onde incidente est décrite par la figure 4.2, elle est caractérisée par la direction du champ électrique. Ce champ est paramétré dans les simulations par ses composantes , et

E_z . L'onde incidente est également caractérisée par le vecteur de propagation qui est

L'angle d'incidence de l'onde d'excitation étant une variable utilisée pour les simulations. Les conditions absorbantes utilisées pour borner le volume de calcul seront des surfaces de rayonnement (radiations surfaces) ou des Perfectly Matched Layer (PML).

En réalité, les PML sont préférées aux conditions absorbantes habituelles car elles sont des conditions absorbantes adaptées à des angles d'incidence variables mais elles nécessitent des temps de calcul importants par rapport à des surfaces de radiation classiques (figure 4.3). Ainsi, notre objectif consiste d'une part à valider notre méthode en utilisant des surfaces de radiation. Pour améliorer nos résultats, nous pouvons utiliser des PML.

Les conditions périodiques utilisées sont constituées de deux paires de conditions représentées à la figure 4.4. Ces conditions sont utilisées pour faire correspondre à un déphasage près les champs sur la condition « Slave » aux champs qui sont calculés sur la condition

<< Master >>. Le déphasage entre les deux plans est appelé << scan angle >>, il est utilisé pour fixer la direction de l'onde réfléchie. Ce << scan angle >> doit être paramétré et il doit être relié à l'angle d'incidence de l'onde d'excitation.

Les plans de mesure utilisés pour les post-traitements sont décrits à la figure 4.5. Ces plans de mesure sont alignés perpendiculairement aux vecteurs de propagation de l'onde incidente et réfléchie. Nous mesurons l'onde en champ proche. La position géométrique des plans de mesures est paramétrée pour suivre les variations de l'angle d'incidence.

Pour mesurer la phase sur ces plans, nous avons essayé de programmer une macro qui nous permet ces calculs. En fait, cette mesure correspond à la moyenne de la phase mesurée sur le plan de mesure. L'amplitude du champ est mesurée de manière similaire. Une idée sur la macro utilisée est donnée en annexe D.

Radiation

Boite de base

Onde incidente

K_z K _incident

K_y

Volume de calcul

Figure.4.2. Description de l'onde incidente

Figure.4.3. Description de la surface de radiation

Plan de mesure

perpendiculaire à
l'onde réfléchie

K _incident

Master_Z

Master_Y

Slave_Y

Slave_Z

Plan de mesure

perpendiculaire à
l'onde incidente

K_réfléchi

Figure.4.4. Description des conditions périodiques

Figure.4.5. Description des plans de mesure

Lors de la détermination de la réponse en phase d'une cellule, correspondant à la phase du coefficient de réflexion de cette dernière, il est indispensable de fixer un plan de référence où sera définie la phase de l'onde réfléchie. Ce plan de référence est situé à la surface de la cellule (z= 0). Le principe de calcul du champ réfléchi en incidence normale est le suivant :

De même, le principe de calcul du champ réfléchi en incidence oblique est le suivant :

D'après ci-dessus, l'onde réfléchie qui arrive en C (point de calcul de la phase du champ réfléchi) a bien parcouru la distance BC () depuis le plan de masse. Par contre, elle est le

résultat de la réflexion de l'onde incidente issue de A. Or, l'onde incidente en A a la même phase

que celle située en C (point de calcul de la phase du champ incident). La distance qui la sépare du plan de masse est donc AB ().

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan de masse (d = ). Dans le triangle BHC

La validation de la méthodologie de simulation s'effectue en deux étapes. La première étape consiste à effectuer des simulations sur une structure simple constituée d'un simple plan de masse. Ensuite, nous appliquons notre procédure sur des cellules tirées du réseau réel. Bien évidemment, lors de nos simulations, en premier lieu, nous faisons le test en incidence normale. En second lieu, l'incidence est quelconque.

Les résultats de simulation pour des angles d'incidence è de 0° (incidence normale) à 40° (qui correspond à l'incidence maximale pour notre position choisie du cornet, voir chapitre 3) sont présentés à la figure 4.8. Ces résultats regroupent le champ réfléchi par la structure sous test (dans ce cas un plan de masse). La mesure du champ réfléchi permet de calculer le coefficient de réflexion associé à la réflexion sur ce plan de masse. Nous comparons ce coefficient de réflexion obtenu par la simulation au coefficient théorique de la structure sous test (sur un plan de masse la phase réfléchie devra être de 180° et l'amplitude est de 1).

Nous pouvons constater visuellement sur ces figures que le champ réfléchi est toujours une onde plane, renvoyée dans la direction spéculaire de la direction incidente (la direction de l'onde incidente est décrite à la figure 3). La figure 4.9 et la figure 4.10 présentent la phase et l'amplitude du coefficient de réflexion, calculé au niveau du plan de masse. Nous comparons ce résultat au coefficient théorique d'un plan de masse (ayant une valeur de -1). Ces résultats mettent en évidence le très bon comportement de la cellule modélisée en utilisant la méthodologie de mesures incluant des surfaces de radiations et des conditions périodiques. La figure 12 démontre que la phase du coefficient de réflexion est très bien modélisée. L'écart à la valeur théorique de 180° est inférieur à 5° pour des angles d'incidence allant de 0° à 40°. La figure 4 démontre que l'amplitude du coefficient de réflexion est très bien modélisée. En effet, l'écart est inférieur à 3% de la valeur théorique.






Représentation des lignes de champ pour un angle d'incidence è=0°			Représentation des lignes de champ pour un angle d'incidence è=20°





Représentation des lignes de champ pour un angle d'incidence è=40°			Représentation des lignes de champ pour un angle d'incidence è=45°

181

180,5 180 179,5 179



178,5 178
		0	10	20 q	30 (°)		40	50
Figure.4.9. Représentation de la phase de pour des angles d'incidence de 0° à 50°

	1,005 1

	0,995
	0,99					Onde incidente Onde réfléchie
	0,985
	0,98 0,975

	0,97
	0,965
	0,96 0 10 20 30 40 50 Angle [°]

Figure.4.10. Représentation de l'amplitude de E en linéaire pour le champ incident et réfléchi pour différentes incidences

La description de la cellule déphaseuse, tirée du réseau réel, pour nos tests est représentée à la figure 4.11. Cette cellule constitue la maille élémentaire d'un réseau réflecteur. Elle est

composée d'un patch métallique de dimensions _xpatch^etypatch placé sur un substrat de

permittivité . Le plan de masse est situé sous le substrat de hauteur h (en fait la présence du

plan de masse arrière facilite la réalisation pratique du réflecteur). Une ouverture est réalisée au centre du patch avec l'ajout d'une fente de largeur a et de longueur variable b. La fente est positionnée perpendiculairement à la polarisation de l'onde incidente, c'est à dire pour une polarisation suivant l'axe y la fente va s'ouvrir le long de l'axe x (variation de la longueur b). cette cellule fonctionne sur le principe d'un patch à longueur résonnante variable. En effet, ouvrir la fente en faisant varier b vient perturber le trajet des courants électriques sur la surface du patch. Quand la fente s'ouvre, les courants contournent la fente, ce qui permet de rallonger artificiellement la longueur résonnante de la cellule.

De plus, comme on a déjà noté, pour recomposer le fonctionnement d'un réseau infini, nous utilisons des conditions périodiques déjà décrites.

La structure est simulée avec une onde plane incidente polarisée selon l'axe y et se propageant dans la direction des z négatifs. Une étude paramétrique a été menée sur la longueur résonnante du patch _ypatchet sur l'épaisseur du substrat afin de retrouver les résultas fournis en champ lointain [CadoretF05,Cadoret04]. La largeur du patch est de _xpatch=13.5 mm et le substrat utilisé est le Duroid. La dimension b correspond à la longueur variable de la fente dont la largeur est fixée à a= 1 mm.

La figure 4.12 représente la cartographie du champ électrique dans le plan yoz, pour le cas d'une incidence normale. Ce résultat présente le champ réfléchi par la structure sous test.

Nous constatons visuellement sur cette figure que le champ réfléchi est touj ours une onde plane, renvoyée dans la direction image de la direction d'incidence (direction normale).

La figure suivante montre la bonne correspondance de notre méthode de calcul en champ proche que celle en champ lointain.

Figure.4.13. Déphasage pour une longueur ypatch de 6 mm résonnante une hauteur h de 3.175mm

En effet, l'écart entre les deux courbes est inférieur à 3°, ce qui peut se voir plus clairement sur la figure 4.14 pour une marge de longueur de fente b [3mm, 5mm].

Figure.4.14. vue éclatée d'une loi de phase pour une longueur ypatch de 6 mm résonnante une hauteur h de
3.175mm

Ainsi, nous avons étudié la dispersion de phase (en champ proche) sur une bande de fréquence de [12GHz, 13GHz] (voir figure ci-dessous)

Figure.4. 15 Déphasage en fonction de la fréquence pour une longueur ypatch de 6 mm résonnante
et une hauteur h de 3.175mm

Pareil, la figure 4.16 montre la bonne correspondance de notre méthode de calcul en champ proche qu'en champ lointain pour une longueur _ypatchde 6 mm résonnante une hauteur h de 1mm

Figure.4.16. Déphasage pour une longueur ypatch de 6 mm résonnante une hauteur h de 1mm

De même, l'écart entre les deux courbes est inférieur à 3° et cela se voit plus clairement sur la figure 4.17 qui nous donne une figure éclatée pour une marge de longueur de fente b[3mm,6mm].

D'après la figure 4.18, et dans le cas d'une longueur résonnante ypatch de 10 mm et une hauteur du substrat h de 3.175mm, nous trouvons une bonne correspondance des résultats de simulation en champ proche qu'en champ lointain.

Figure.4. 18. Déphasage pour une longueur ypatch de 10 mm résonnante une hauteur h de 3.175mm

Puisque notre travail consiste à valider notre procédure de caractérisation des cellules déphaseuses, on a effectué nos simulations pour le cas d'une longueur résonnante _ypatchde 6 mm et une hauteur de 3.175 mm. Les cartographies du champ électrique, pour des angles d'incidence è allant jusqu'à 40° et pour une longueur de fente b=5mm, sont présentées dans la figure 4.19. Ces résultats présentent le champ réfléchi par la structure sous test. Nous constatons visuellement sur ces figures que le champ réfléchi est une onde plane, renvoyée dans la direction image de la direction d'incidence.

Nous devons noter que nous avons effectué une étude paramétrique pour déterminer la distance où nous devons se mettre à chaque fois pour vraiment avoir une bonne stabilité de l'onde et donc avoir une onde plane (pour effectuer nos calculs et post-traitement) à cause des modes supérieurs de Floquet qui apparaissent et qui causent une perturbation du champ réfléchi.

300

200
100
0
-100
-200

Champ proche Champ lointain

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
Longueur de fente b[mm]

Figure.4.21 Déphasage pour un angle d'incidence de 20°

250

200

150

100

Champ proche Champ lointain

Longueur de fente b[mm]

Figure.4.22 Déphasage pour un angle d'incidence de 30°

200

150 100

0 -50 -100 -150 -200

Champ

lointain

Champ

1 3 5 7 9 11

Longueur de fente b[mm]

Figure.4.23 Déphasage pour un angle d'incidence de 40°

De plus, les figures 4.20 , 4.21 ,4.22 et 4.23 montrent encore une fois la bonne correspondance de notre procédure de simulation en champ proche que celle en champ lointain. En effet, l'écart maximal entre les deux méthodes est de l'ordre de 6°. Cela se voit plus clairement sur la figure 4.24 qui nous donne une figure éclatée pour une marge de longueur de fente b [3mm, 6mm].

Pour les réseaux réflecteurs, nous avons besoin, comme nous l'avons vu, de couvrir une gamme de phase de l'ordre de 360°. Néanmoins, utiliser seulement la longueur b comme degré de liberté, conduit à une gamme de phase réduite. Ceci pourra être résolu en permettant à la phase d'effectuer plusieurs sauts. Ainsi, l'utilisation d'un deuxième résonateur est donc nécessaire. Par ailleurs, il est possible de réaliser des structures à plusieurs résonances en superposant plusieurs résonateurs de longueurs différentes. L'inconvénient de cette technique réside dans la complexité des réalisations des structures multicouches. Pour cela, au cours des précédents travaux de recherche, il était choisi de travailler avec des structures simple couche, et de combiner plusieurs résonateurs positionnés cote à cote dans une même maille. En effet, il est possible de placer deux résonateurs dans une même maille et de les contrôler par une fente commune.

La description de la cellule déphaseuse choisie pour nos tests est représentée à la figure 4.25. Cette structure repose sur les mêmes principes que ceux de la structure simple patch, c'est à dire une augmentation de l'ouverture b de la fente va permettre la résonance de la structure. Elle possède deux longueurs résonnantes de patch et elle va résonner pour deux longueurs de fente différentes et entraînant ainsi deux sauts de phase.

Notre travail consiste à valider notre procédure de caractérisation des cellules déphaseuses, nous avons effectué nos simulations pour le cas d'une longueur résonnante _ypatch^de13.5 mm et une hauteur de 1 mm. En incidence normale, nous obtenons une bonne correspondance pour la loi de phase en champ proche qu'en champ lointain (figure 4.25).

Par ailleurs, parmi nos perspectives nous allons appliquer notre procédure de caractérisation (en incidence oblique) à ce type de cellules pour étudier le mécanisme de transfert entre les composantes du champ, ainsi nous regarderons le niveau de polarisation croisée rayonnée.

Notre procédure de caractérisation nous fournie de bons résultats en concordances avec ceux effectués au cours des précédents travaux de recherche effectués au sein de notre laboratoire. De plus, cette procédure permet d'avoir des informations sur l'amplitude du champ réfléchi (voir annexe E) ce qui va nous permettre dans une seconde étape à déterminer la valeur des coefficients de réflexion pour interfacer nos résultats avec ceux élaborés par le laboratoire u wavelab en Italie dans le cadre de notre collaboration avec la société Alcatel Alenia Space

Au cours de ce mémoire, une étude bibliographique sur les réseaux réflecteurs a été réalisée. En effet, au début, nous avons présenté leur principe de fonctionnement ainsi que leurs avantages et inconvénients. Ensuite, une présentation des fondements théoriques des outils de simulation utilisés a été élaborée. Pour cela, une idée assez complète sur les approches développées au sein de notre laboratoire pour les études des cellules déphaseuses était développée dans le deuxième chapitre.

De plus, nous avons défini les caractéristiques d'éclairement d'une cellule du réseau pour améliorer nos simulations. De ce fait, deux méthodes étaient mises au point et implémentées sur le logiciel Matlab. Dans le dernier chapitre, nous avons décrit, d'une part notre procédure de caractérisation des cellules déphaseuses et d'autre part les résultats de simulation obtenus sous le logiciel HFSS.

De même, nous proposons, comme perspective à ce travail, d'étudier le mécanisme de transfert entre les composantes du champ, ainsi que d'exploiter le niveau de polarisation croisée rayonnée.

[Pozar97] D.Pozar et al.. `design of millimiter wave Microstrip Reflectarray' IEEE

Transaction on Antenna and propagation, Vol 45, Nov2, February 1997 [Taflove95] A. Taflove `computational Electrodynamics : The infinite Difference Time

[Taflove98] A. Taflove, redacteur `advances in computational Electrodynamics: The infinite
Difference Time Domain method' Artech House, Boston, MA, 1998

[Taflove00] A. Taflove et al. . `advances in computational Electrodynamics: The infinite

Difference Time Domain method, 2 ed' Artech House, Boston, MA, 1998 [Girard03] `Conception et simulation de cellules rayonnantes pour réseau réflecteur à

polarisation circulaire', Thèse de Doctorat soutenue le 13 novembre 2003. [Alex02] `Etude d'antennes à Résonateur Diélectrique à l'aide de la FDTD et de la

[CadoretF05] D. Cadoret et al.. `A new reflectarray cell using microstrip patches loaded with
slots', MOTL, Février 2005, Volume 44, p 270-272.

[Cadoret04] D.Cadoret et al.. 'New reflectarray cell using coupled microstrip patches loaded with slots', JINA Journée Internationale de Nice sur les Antennes, 8-10 Novembre 2004.

[CadoretM05] D.Cadoret et al.. `Analyse de cellules de réseaux réflecteurs environnées incluant les effets de couplage et d'incidence', JNM Journée Nationale Micro-ondes, 11, 12 et 13 Mai 2005.

[CadoretA05] D.Cadoret et al.. `An FDTD method for reflectarray cells simulation including coupling with surrounding cells and wave incidence, ACES Internationnal Conference on Wirelles Communications and Applied Computational Electromagnetics, April 367, 2005.

[Huang96] J.Huang `Capabilities of Printed Reflectarray Antennas', IEEE Transaction on
Antenna and propagation, 13 1-134, 1996

[Huang91] J.Huang `Microstrip Reflectarray, IEEE Transaction on Antenna and propagation,
612-611, 1991

[Huang95] J.Huang `Analysis of a Microstrip Reflectarray Antenna for Microspacecraft

Applications', IEEE Transaction on Antenna and propagation, 612-611, 1991 [Encinar01] J.Encinar `Design of Two-Layer Printed Reflectarrays Using Patches of Variable

enhancement', Antenna and propagation Society, IEEEx Internationnal
Symposium, 1999, p 1164-1167

[Chang92] D.C. Chang et M.C. Chang `Microstrip reflectarray with offset feed', Electronics
Letters, Juillet 1992, vol. 28, NO 16, P 1489-149 1, 1992

[Bérenger94] J. Bérenger `A Perfectly matched layer for the absorption of electromagneti

waves', Journal of Computationnal Physics, 1994, vol 114, NO 1, p 185-200 [Agustin03] J. Agustin et al..' Efficient phase only synthesis of contoured beam patterns for

[Hadden00] J. Hadden ' Modeling phased arrays antennas in Ansoft HFSS', IEEE
Transaction on Antenna and propagation, p 323-328, 2000

[Ludwig73] A.C Ludwig ' The definition of cross polarisation', IEEE Transaction on Antenna
and propagation, p 116-119, Janvier 1973

[Hansen87] R.C Hansen ' Cross polarisation of microstrip patch antennas', IEEE Transaction
on Antenna and propagation, p 731 et 732, Juin 1987

[Floquet1879] G. Floquet `Annales Scientifique de l'École Normale Supérieure. Paris'. P 3-132

[Chenakin97] A.V. Chenakin et al.. `A new hybrid technology for millimiter-wave integrated
circuits' IEEE, MTT-S Digest 1997, p 921-924.