Section I : PRECISION DU THODOLITE OPTICO-MECANIQUE
La mécanique de base des stations électroniques est
souvent la même que celle des théodolites classiques. Par exemple,
le modèle T2000 de Leica est une station électronique de
précision bâtie sur la base du T2 mécanique. Les
précisions de lecture angulaire sont donc comparables : l'écart
type constructeur pour une mesure angulaire sur une direction est de #177; 2,5
dmgon sur un T2 et de #177; 1,5 dmgon sur un T2000.69
Le clisimètre permet la mesure directe de
pentes avec une précision de 0,5 %. Le tachéomètre est un
théodolite couplé à un système de mesure de
distances (du grec tachéo, qui signifie rapide).70 On
distingue :
? le tachéomètre à diagramme est un ancien
modèle mécanique à utiliser avec des mires
spéciales. La précision espérée sur une mesure de
distance est de l'ordre de #177; 14 cm pour une distance de 50 m.
§1. PRÉCISION DES MESURES
ANGULAIRES
1.1. Erreurs systématiques dues à un
défaut de l'appareil
1.1.1. Graduation et géométrie des
cercles
L'irrégularité des graduations des cercles et le
défaut de perpendicularité du cercle horizontal avec l'axe
principal sont minimisés par la réitération des lectures
effectuées, c'est-à-dire plusieurs lectures du même angle
sur des parties différentes de la graduation, décalées de
100 gon.
1.1.2. Défauts d'excentricité
Concernant le défaut d'excentricité de l'axe
principal, l'axe principal ne passe pas par le centre du cercle horizontal.
Concernant le défaut d'excentricité de l'axe
secondaire, l'axe secondaire ne passe pas par le centre du cercle vertical.
Les appareils les plus précis sont munis d'un
système permettant d'éliminer ces défauts
d'excentricité (lecture dite « par double vernier » et de lire
sur deux parties diamétralement opposées du cercle et d'en faire
une moyenne optique. Ce système est utilisé dans le
micromètre du théodolite T2.71
Le point O', point de passage de l'axe de rotation (axe P ou T)
dans le plan du cercle, est différent du centre du cercle : il existe
une excentricité e. L'opérateur lit donc l'angle (á +
å) sur un point P quelconque alors qu'il désire lire l'angle
á. S'il fait une lecture simultanée sur la partie du cercle
diamétralement opposée par rapport à O', il lit l'angle
(200 + á - å) ; la moyenne des deux valeurs (l'une diminuée
de 200) permet d'obtenir l'angle á exact.72
69 Cours de Topographie générale, Tome
I, UNILU, 2020-2021.
70 Idem.
71 CB. MUKONKOLE K. Joseph, notes de cours de
Topographie, ENACTI, 2021-2022.
72 Idem.
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Dans le triangle OO'P, l'erreur d'excentricité å est
telle que :
sing = siná
R est le rayon du cercle (pour R 2,5 cm, une excentricité
de e = 0,001 mm provoque au maximum une erreur angulaire de å = 25 dmgon
pour á = 100 gon).
1.1.3. Tourillonnement
L'axe secondaire (T) n'est pas perpendiculaire à l'axe
principal (P). Le défaut de tourillonnement t entraîne un
déplacement de l'axe de visée OP dans un plan Oxz non vertical
incliné de l'angle t.
L'axe secondaire (T) n'est pas perpendiculaire à l'axe
principal (P). Le défaut de tourillonnement t entraîne un
déplacement de l'axe de visée OP dans un plan Oxz non vertical
incliné de l'angle t.73
Le calcul de l'erreur å s'effectue comme suit :
hh' = Oh' . tanå = nh'. Sin t
nh' = Oh'. tan i'
Donc : tanå = sint . tani'
L'erreur sur l'angle de site i est calculée ainsi :
nh = On . sini = nh'. cost
nh' = On . sini' donc sini = sini'.
Cost
Ce défaut est aussi appelé collimation
verticale.
L'erreur å est éliminée par double
retournement : en effet, après avoir effectué cette manipulation,
le plan incliné de déplacement de la lunette occupe une position
symétrique par rapport au plan vertical comprenant la ligne de
visée OP, et l'erreur commise å' est aussi symétrique ; la
moyenne des deux lectures élimine ce défaut.74
Le défaut sur i n'est éliminé par aucune
manipulation. Il est négligeable pour des angles de site courants : en
effet, même avec un angle de site extrême (i = 50 gon), il
faudrait un défaut t = 0,1 gon (très important) pour
obtenir une erreur négligeable de 1 dmgon sur i.
1.1.4. Collimation horizontale
La collimation horizontale est notée c. L'axe de
visée OP n'est pas perpendiculaire à l'axe secondaire (T). Ce
défaut de perpendicularité c induit une erreur å sur
l'angle horizontal. L'angle i n'est pas affecté par cette
erreur : la projection de i sur le plan vertical xOz reste
inchangée.
73 CB. MUKONKOLE K. Joseph, Op.cit.
74 Idem.
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La ligne de visée décrit un cône d'axe (T)
et d'angle au sommet (200 - 2c). Les angles horizontaux et verticaux
sont lus dans le plan vertical OPh alors qu'ils devraient être lus dans
le plan vertical Oxz.75
|
Le calcul de l'erreur å
Oh = OM . cosi =
ON
|
s'effectue comme suit : . cosi
|
|
Oh' = ON . sinc = Oh
|
. sinå Donc sinå=
|
sin??
|
|
cos??
|
Ce défaut est éliminé par le double
retournement pour les même raisons que la collimation verticale. On
remarque que pour une visée horizontale sinc = sinå, puisque i =
0, et que l'erreur due au défaut de tourillonnement est nulle puisque
tani' = 0 ; c'est donc un procédé pour mettre en
évidence l'erreur de collimation horizontale.76
1.1.5. Erreur d'index de cercle vertical
L'index du cercle vertical n'est pas situé sur la
verticale du centre du cercle. Cette erreur peut être
éliminée par double retournement ou par l'utilisation d'une
nivelle d'index. Sur les appareils récents, un automatisme utilisant
l'action de la pesanteur minimise ce défaut.77
1.1.6. Erreur d'excentricité du viseur
L'axe de visée ne coupe pas l'axe principal ou l'axe
secondaire. Cette erreur est éliminée par double
retournement.78
1.1.7. Jeux de fonctionnement
La variation de la position des axes de rotation (P) et (T) est
due à la présence obligatoire de jeux de fonctionnement dans les
mécanismes de guidage en rotation. Cette erreur peut être
minimisée par l'inversion du sens de rotation lors des mesures par paire
de séquence. Cette inversion provoque un changement de sens du
rattrapage de jeux. Il faut également veiller à ne pas
entraîner brusquement un élément en rotation et à
toujours effectuer les rotations en manipulant l'alidade de manière
symétrique (avec les deux mains en même temps).79
1.2. Erreurs systématiques dues à une cause
extérieure
Il s'agit essentiellement des erreurs dues à la
réfraction atmosphérique qui incurve le trajet de tout rayon
lumineux. Les réfractions sont de deux types :
? réfraction latérale : elle est due à la
présence d'une paroi exposée au soleil. Elle est impossible
à évaluer ;
? réfraction verticale : elle est due aux variations de
densité de l'atmosphère, elle peut être
évaluée et corrigée.
Il faut éviter les visées rasantes près
d'obstacles importants, au-dessus d'un cours d'eau, trop près du sol par
temps chaud à cause du flamboiement1 de l'air.
75 Cours de la pratique professionnelle, ENACTI,
2021-2022.
76 Idem.
77 CB. MUKONKOLE K. Joseph, notes de cours de
Topographie, ENACTI, 2021-2022.
78 Idem.
79 Ibidem.
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1.3. Erreurs accidentelles
1.3.1. Erreur de calage de l'axe principal
1. Le calage parfait de l'axe principal est très
difficile à réaliser : il n'est jamais parfaitement vertical.
Ceci entraîne un défaut d'horizontalité t' de l'axe
secondaire, défaut qui ressemble à un défaut de
tourillonnement80, entraînant sur l'angle horizontal une
erreur å dans la mesure des angles horizontaux de la forme : sinå =
sint'. tani, comme pour le tourillonnement.
2. L'incidence de cette erreur sur les angles horizontaux ne
peut pas être éliminée par des méthodes de mesure.
En revanche, elle peut être mesurée, pour les manipulations de
haute précision, au moyen d'une nivelle cavalière : il s'agit
d'une nivelle que l'opérateur pose sur les montants de l'alidade et qui
permet d'obtenir l'angle d'inclinaison de l'axe secondaire. Cela permet de
souligner l'importance de la mise en station et du réglage de la nivelle
torique.81
1.3.2. Erreurs de lecture
Pour éviter ce type d'erreur, il faut soigner la lecture
sur vernier et effectuer des doubles lectures. Les appareils
électroniques à affichage digital limitent les erreurs de lecture
et les erreurs de retranscription (en particulier s'ils sont munis d'une
interface informatique).82
1.3.3. Erreur de dérive du zéro
Cette erreur est due à la torsion du trépied : les
trépieds en bois (ou en métal) étant peu massifs (pour
faciliter leur transport) et relativement peu rigides, il existe des
phénomènes de torsion du trépied dus aux passages et aux
manipulations de l'opérateur, aux dilatations différentielles des
pieds sous l'effet du soleil, etc. Ces phénomènes
entraînent une dérive du zéro qui peut affecter des mesures
de très grande précision (dmgon). Pour les minimiser, il est donc
recommandé :
? de rester en station le moins longtemps possible sur un point
;
? d'effectuer les observations à l'ombre d'un parasol ;
? ou bien d'utiliser comme en métrologie des
trépieds très massifs et stables.
En mesurage de précision, il est possible de
contrôler cette dérive en pointant régulièrement un
signal fixe (ou mire de torsion) et en tenant compte de l'évolution des
lectures.
1.3.4. Déplacement accidentel de
l'appareil
C'est par exemple un déplacement dû à un choc
sur un pied. Le contrôle s'effectue en refermant chaque série de
lectures angulaires sur le point de départ (fermeture d'un tour
d'horizon. Cette manipulation permet aussi de contrôler la dérive
du zéro traitée.83
80 Le flamboiement est le tremblement de l'image vue
dans la lunette, dû aux effluves de l'atmosphère provoquées
par des couches d'air à températures différentes.
81 CB. MUKONKOLE K. Joseph, notes de cours de
Topographie, ENACTI, 2021-2022.
82 Idem.
83 Ibidem.
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§.2. LES ANGLES HORIZONTAUX 2.1. Le double
retournement
C'est une manipulation consistant en un demi-tour
simultané de la lunette et de l'alidade. Cette technique de mesure
permet d'éliminer certaines erreurs systématiques et de limiter
les fautes de lecture. Lors d'une mesure d'angle horizontal, cela permet :
> de doubler les lectures et donc de diminuer le risque de
faute de lecture ;
> de ne pas toujours lire sur la même zone du limbe,
donc de limiter l'erreur due aux défauts de graduation du limbe ;
> d'éliminer les défauts de collimation
horizontale et de tourillonnement.
L'erreur de centrage sur le point de station et l'erreur de
calage de l'axe vertical ne sont pas éliminées par cette
manipulation. Il convient donc de soigner ces
opérations.84
Pratiquement, on effectue :
> une lecture en cercle gauche (cercle vertical de l'appareil
à gauche de l'opérateur, plus généralement en
position de référence) ;
> un double retournement ;
> une nouvelle lecture du même angle en cercle droite
(cercle vertical à droite).
Si l'on appelle HzCG la valeur lue en cercle gauche, et HzCD
celle lue en cercle droit, on doit observer :
HZCD Hz CG + 200
En effet, le double retournement décale le zéro de
la graduation de 200 gon ; ceci permet un contrôle simple et
immédiat des lectures sur le terrain.
La différence entre les valeurs HzCG et (HzCD - 200)
représente la combinaison des erreurs de collimation, de mise en
station, de lecture, etc.85
|
HzCG + (Hz CD - 200 )
Hz=2
|
si HzCD > 200 gon
|
|
HzCG + (Hz CD - 200+400 )
Hz=2
|
= HzCG + (Hz CD - 200 )
2
|
si HzCD < 200 gon
|
L'angle horizontal Hz mesuré vaut alors :
§3. LE CERCLE VERTICAL : LECTURE D'ANGLES
VERTICAUX
3.1. Conventions, notations
La lecture d'un angle vertical z, noté aussi V, est
réalisée de la manière suivante.
Il est représenté une vue en
élévation du cercle vertical d'un théodolite en position
de référence (cercle gauche).
84 CB. MUKONKOLE K. Joseph, Op.cit.
85 Cours de Topographie générale,
Idem.
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Ce cercle est solidaire de la lunette. Son zéro est
placé sur l'axe de la lunette (visée). L'index de lecture est
fixe et positionné à la verticale (zénith) du centre
optique (t) de l'appareil, lui-même stationné à la
verticale du point S. Lorsque la ligne de visée passe par un point M,
l'index donne alors la lecture de l'angle z (ou V) intercepté sur le
cercle vertical :
z = angle ( t M , t I ) ; z est
appelé « angle zénithal » : c'est un angle
projeté dans le plan vertical du point de station.86
Pour simplifier le schéma de lecture d'un angle
zénithal, on considère que le zéro de la graduation est au
zénith lorsque l'appareil est en station.
On considère alors que tout se passe comme si le cercle
vertical était fixe et que l'index de lecture se déplaçait
avec la visée.
Ceci permet de faire apparaître plus clairement :
> l'angle de site i entre l'horizon et la
visée ;
> l'angle nadiral n entre le nadir et la
visée.
La configuration du cercle correspond à la position de
référence de l'appareil utilisé : dans cette position
(cercle à gauche ou bien à droite), l'angle z vaut 100
gon sur l'horizontale.
En position de référence, une rotation de la
lunette de haut en bas donne une augmentation de l'angle z de 0
à 200 gon.
Après un double retournement, la même rotation donne
une évolution inversée : les angles diminuent de 399 gon à
200 gon.87
Le cercle à gauche de l'opérateur (CG) est la
position de référence de la plupart des appareils
optico-mécaniques classiques. Soit un point M visé au
théodolite, on note généralement :
> V tout angle mesuré dans un plan vertical ;
> z angle zénithal ;
> i angle de site (par rapport à l'horizon)
;
> n angle nadiral (par rapport au nadir).
Pour la suite, nous avons préféré la
notation V pour les angles zénithaux car l'angle V
mesuré par les appareils modernes est toujours l'angle
zénithal z. De plus, cela permet d'éviter la confusion
avec les coordonnées notées Z.
Les relations entre ces angles sont :
|
|
100 = n i
|
|
n = 200 - V
|
i = 100 - V
|
|
|
L'angle i est compté positif dans le sens inverse
horaire de manière à obtenir un angle de site positif pour une
visée au-dessus de l'horizon et un angle de site négatif pour une
visée en dessous de l'horizon.
L'angle n est compté positif en sens inverse
horaire ; il vaut 0 au nadir et 200 au zénith.88
86 Cours de Topographie générale,
Op.cit.
87 Idem.
88 Cours de Topographie générale,
Op.cit.
89 Idem.
90 Ibidem.
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2.3. Valeur moyenne d'un angle vertical par double
retournement
Pour la suite, nous admettrons que la position de
référence de notre appareil mécanique est le cercle
à gauche (CG).
Après un double retournement le sens d'évolution de
la graduation du cercle vertical est inversé. L'angle lu en cercle droit
VCD n'est donc pas « directement comparable » avec l'angle
lu en cercle gauche VCG, comme c'était le cas avec les angles
horizontaux.89
La relation entre les deux lectures est : VCG = 400 -
VCD.
L'angle final moyen déduit des deux lectures est :
V= ??CG + (400 - ??CD )
2
| 
