Conception et réalisation d'un quadrotor UAV

Chapitre II Modélisation dynamique d'un quadrotor

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II.2.5.1. Equations de mouvement de translation :

On a:

·

???????? = ???????? + ???????? + ???????? (II.27)

On remplace chaque force par sa formule, on trouve :

????

????· ????????????????????????+ ~ ????· ~ = ~ ???????????????????????? - ????· ????????????????

???????????????? ???????????????? ~

4 ? ????=1

????????

-

???????? ????????????? ~ ???????? ????????????? ~ ???????? ???????????? ?

-

0 ~ 0 ~ ????????

(II.28)

On obtient alors les équations différentielles qui définissent le mouvement de translation :

II.2.5.2. Equation de mouvement de rotation :

On a:

????Ù^? = -????????h - ????????h - ???????? + ???????? (II.30)

On remplace chaque moment par la formule correspondant, on trouve :

On obtient alors les équations différentielles définissants le mouvement de rotation :

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Avec : fr

= W1 - W2 + W3 - W4 (II.33)

En conséquence, le modèle dynamique complet qui régit le quadrotor est le suivant :

Avec :

Et :

A partir de (II.35), on trouve :

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II.2.6. La représentation d'état du système :

Pour un système physique il existe une multitude de représentations d'état, dans notre cas on choisit le vecteur d'état comme suit [ ] :

On obtient la représentation d'état suivante :

Avec :

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????~???? (II.43)

~?

????????

????

????????

???? =

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II.7. La dynamique des rotors [1-2] :

Généralement les moteurs utilisés dans les quadrotors sont des moteurs à courant alternatif.

La dynamique du rotor est donc approximée à celle d'un moteur à courant alternatif, elle est donnée par les équations différentielles suivantes :

Avec : ???????? est le couple d'entrée, et ???????? = ????????????2 est le couple résistant généré par le rotor i.

Pour atteindre les objectifs de la commande d'un quadrotor, une boucle d'asservissement en vitesse est souvent nécessaire. D'abord, nous avons besoin de déterminer les vitesses désirées ????????,????

correspondantes aux valeurs des commandes fournies par le contrôleur, ces vitesses peuvent être calculées comme suit :

????~???? = ????^-1???? (II.40)

Avec: ????~???? = (????????12 , ????????22 , ????????32 , ????????4

2 ), ???? = (????₁,????₂,????₃, ????₄)^????, et ???? est une matrice non singulière, elle est obtenu à partir de (II.36).

L'objectif est de synthétisé un contrôleur pour que ???????? ? ????????,???? lorsque ???? ? 8 en utilisant les couples???????? .

On définit l'erreur de vitesse :

?b??~???? = ???????? - ????????,???? (II.41)
Une loi de commande est développée dans [1-2], elle est donnée par :

???????? = ???????? + ?????????????????,???? - ????????????~???? (II.42)
Avec ????????, i ?{1, 2, 3,4}sont des gains positifs.

On remplace la loi de commande dans (II.39), on obtient :

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Cette relation représente la dynamique de l'erreur, elle nous montre la convergence exponentielle de

toi vers toi lorsquet - 00. Sa signifier la convergence des commandes du quadrotor vers ces valeurs désirées, ce qui assure la stabilité du quadrotor.

En réalité le quadrotor est commandé par les tensions d'alimentation de ces quatre moteurs. Pour commander ces moteurs, nous avons besoin d'obtenir la tension d'entrée de chaque moteur. Supposant que l'inductance du moteur est petite, et considérant que les moteurs utilisés sont identiques, nous pouvons obtenir la tension d'entrée de chaque moteur comme suit :

(II.43)

????????

KmKg

Avec : R_a est la résistance du moteur, K_m est la constant du couple de moteur, K_g est le gain du réducteur.

Vi = Ti + KmKgtoi

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II.3. Conclusion :

Ce chapitre permet au lecteur de comprendre les bases physiques utilisées pour déterminer les équations de la cinétique et la dynamique des quadrotors, ainsi que les forces et les moments agissantes. L'utilisation du formalisme de Newton-Euler nous a permet d'établir le modèle dynamique du quad rotor. La complexité du modèle, La non linéarité, et l'interaction entre les états du système, peuvent se voir clairement. Les résultats des formules précédentes sont utilisés généralement pour établir un modèle mathématique permettant de décrire avec précision le comportement du système. Dans le prochain chapitre, je vais expliquer brièvement le hardware et le software utilisé dans la réalisation du quadrotor.