CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR
ONDELETTES
signal. Considérons un signal analogique de
fréquence maximale f0, on va devoir échantillonner
2f0 fois ce signal pour pouvoir représenter celui-ci. Dans ce
cas-ci, on prélève 2N échantillons (le nombre
d'échantillons est une puissance de 2 pour un calcul optimal de
l'algorithme) du signal. Pour une fréquence particulière, on
multiplie les valeurs échantillonnées par l'exponentielle de la
fréquence considérée, on additionne ces valeurs et on
divise le total par le nombre d'échantillons. On réitère
ce processus pour l'ensemble des fréquences discrètes du signal
pour obtenir la transformée de Fourier de ce signal. Pour un meilleur
fonctionnement de l'algorithme, on se restreint à un nombre de
fréquences égales au nombre d'échantillons. D'un point de
vue mathématique, la T.F.d. s'écrit :
)~~~ = 4 ~ ? 6
4, 78 9
4 +:4 (3) f= 0, 1, 2, ..., 2N
-1 ; N est tel que 2N >
2f0
6
)(f) désigne le coefficient de Fourier du signal x(*)
à la fréquence f ; ce nombre reflète l'importance
de cette fréquence dans le signal. Pour rappel, la fréquence est
reliée à la pulsation ù par un facteur 2%.
Un bref coup d'oeil sur cette transformée
discrète nous indique que d'un point de vue calculatoire, cette
méthode nécessite N12 calculs, ou N1 est le nombre
d'échantillons. En effet, il faut réaliser pour chaque
fréquence N1 produits. Et comme il y a N1 fréquences . . . Cette
méthode devient très vite longue et ennuyeuse. Une autre
méthode s'avère plus efficace : la FFT
Lorsque l'on considère une fonction continue sur [0, 2
%], on peut tout d'abord la discrétiser à l'aide de N points. La
plupart du temps, cette discrétisation est faite sur un mode
dichotomique, c'est à dire que N est une puissance de 2. Après
avoir fait cette discrétisation, on obtient une nouvelle fonction que
l'on peut noter fN et le calcul de ses N coefficients de Fourier
nécessite N2 opérations élémentaires. La
transformée de Fourier rapide est un algorithme permettant de calculer
ceux-ci avec une complexité de O(N logN). L'idée étant,
à chaque calcul d'un nouveau coefficient, de réutiliser les
calculs faits pour calculer les coefficients précédents.
La transformée de Fourier rapide (FFT)
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par SIMO TEGUEU et EMBOLO AURELIEN Page 16
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Nous n'allons pas dans ce document détailler l'algorithme
FFT. La transformée rapide utilise une version matricielle de la formule
de la TFD. Le calcul matriciel n'est en soi pas très compliqué.
Il y a des règles, il faut les appliquer. L'idée de cet
algorithme rapide est de ranger les nombres qu'il faut multiplier de sorte
qu'on évite de faire deux fois les mêmes calculs. C'est Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) qui le premier eut l'intuition de cet algorithme.
Bien entendu, celui-ci n'a pas utilisé des matrices pour écrire
son algorithme ; les matrices étant apparues pour la première
fois en 1858 dans un article d'Arthur Cayley. Précisons encore que ce
raccourci mathématique qu'est la FFT fut publié en 1965 par James
Cooley et John Tukey. Aujourd'hui, cette transformée est la forme
exploitable de la transformée de Fourier vu la taille en
fréquence limitée des processeurs.
Voilà ainsi présentée une technique de
calcul rapide permettant d'optimiser les temps d'évaluation d'une
transformée de Fourier de signaux discrets venant ainsi résoudre
le problème de modélisation algorithmique de la TFC.
Nous avons également vu que la TF n'était pas
adaptée aux signaux non stationnaires or la plupart des signaux du monde
réel ne sont pas stationnaires, et c'est justement dans
l'évolution de leurs caractéristiques (statistiques,
fréquentielles, temporelles, spatiales) que réside l'essentiel de
l'information qu'ils contiennent. Les signaux vocaux et les images sont
à ces titres exemplaires. Or l'analyse de Fourier propose une approche
globale du signal, les intégrations sont faites de moins l'infini
à plus l'infini, et toute notion de localisation temporelle (ou spatiale
pour des images) disparaît dans l'espace de Fourier ; il faut donc
trouver un compromis, une transformation qui renseigne sur le contenu
fréquentiel tout en préservant la localisation afin d'obtenir une
représentation temps/fréquence ou espace/échelle du
signal. La première solution qui vient naturellement à l'esprit
est de limiter le domaine d'intégration temporel (ou spatial) à
l'aide d'une fonction «fenêtre» que l'on pourra faire glisser
pour explorer le signal ; on obtient ainsi la transformée de Fourier
à fenêtre glissante.
I.2.3 Transformée de Fourier à
fenêtre glissante
La transformée de Fourier fenêtrée cherche
à rendre locale l'analyse de Fourier en s'aidant de fenêtres. Une
fenêtre est une fonction régulière, lentement variable et
bien localisée. Cette fenêtre est donc nulle en dehors d'une
certaine zone que l'on appelle son support. En multipliant la fonction
étudiée par une fenêtre, on obtient une version locale dont
on peut déterminer le contenu par une analyse de Fourier classique. On
renouvelle alors l'opération en
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