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CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR
ONDELETTES
> Si le résultat de cette intégration est
une grande valeur, alors nous disons que le signal x(t) a une
composante spectrale dominante à la fréquence « f
». Ceci signifie que la majorité de ce signal est
composé de la fréquence «f ».
> Si le résultat de cette intégration est
une petite valeur, alors nous disons que le signal x(t) n'a pas de
composante spectrale dominante et majoritaire à la fréquence
« f».
> Si ce résultat est nul, alors le signal ne
contient pas du tout de fréquence « f ».
Le signal est multiplié avec le terme sinusoïdal
de la fréquence « f ». Si le signal a une composante
de la fréquence « f » d'amplitude
élevée alors, cette composante et le terme sinusoïdal
coïnciderons et leur produit donnera (relativement) une grande valeur.
Ceci montre que le signal possède une fréquence majoritaire de
« f ». Cependant, si le signal n'a pas une composante de
fréquence de « f », le produit sera zéro,
c'est-à-dire le signal n'a pas une composante de fréquence de
« f ». Si la fréquence « f» n'a
pas une composante importante du signal « x(t) », alors le
produit donnera (relativement) une petite valeur. Ceci signifie que, la
composante de fréquence « f» dans le signal «
x(t) », a une petite amplitude, c'est-à-dire elle n'est
pas une composante importante de « x(t) ».
L'information fournie par l'intégrale, correspond
à tous les instants de temps, puisque l'intégrale est de --00
à +00 sur le temps. Il suit qu'à n' importe quel
instant du temps, la composante avec la fréquence « f
» apparaît, elle affectera également aussi bien le
résultat de l'intégration. En d'autres termes, si la composante
« f » de fréquence apparaît au temps T1 ou au
temps T2, il y aura le même effet sur l'intégration.
C'est pourquoi la transformée de Fourier n'est pas
appropriée si le signal a une fréquence variable dans le temps
(non stationnaire). Si uniquement, le signal a une composante
de fréquence « f » a tout moment (pour toutes les
valeurs de « f » (stationnaire), alors le résultat
obtenu par la transformée de Fourier a un sens.
Voici un exemple de la Transformée de Fourier :
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CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR
ONDELETTES
Exemple d'Application de la transformée de Fourier
continue
Souvent, l'information qui ne peut pas être
distinguée dans le domaine temporel est facilement visible dans le
domaine fréquentiel. Prenons un exemple dans le secteur des signaux
biologiques et supposons que nous observions un signal
d'électrocardiographie (ECG), la forme typique du signal ECG d'un coeur
sain est bien connu des cardiologues, tout écart avec cette forme est
considéré comme le syndrome d'une possible pathologie. Ce signe
de pathologie, cependant, n'est pas toujours très évident dans le
signal, du domaine temporel, original. Les cardiologues utilisent
jusqu'à présent les enregistrements de ces signaux dans le
domaine temporel, ils figurent sur les bandes de papier pour analyser les ECG.
Récemment, les nouveaux analyseurs ECG informatisés utilisent
l'information de fréquence pour décider de l'existence d'une
pathologie. Un symptôme de maladie peut parfois être mieux
diagnostiqué quand on analyse les composantes fréquentielles du
signal.
Inconvénients de la Transformée de Fourier
continue
Malgré son immense succès, cette technique a un
immense défaut, en particulier
> Son manque évident de localisation temporelle :
une analyse globale
La FT, comme la WT est une transformation réversible,
c'est-à-dire qu'elle permet le « aller-retour » entre le
signal brut et le signal traité (transformé). Cependant,
seulement l'un des deux est disponible à un instant donné. Aucune
information de fréquence n'est disponible dans le domaine temporel et
aucune information temporelle n'est disponible dans la FT du signal. En effet,
l'analyse de Fourier permet de connaître les différentes
fréquences excitées dans un signal, c'est-à-dire son
spectre, mais ne permet pas de savoir à quel instant ces
fréquences ont été émises. Cette analyse donne une
information globale et non locale car les fonctions d'analyse utilisées
sont des sinusoïdes qui oscillent indéfiniment sans s'amortir.
Cette perte de localité n'est pas un
inconvénient pour analyser les signaux dont la structure n'évolue
pas ou peu (statiquement stationnaire), mais devient un problème pour
l'étude de signaux non stationnaires.
> Pertes d'informations temporelles : elle ne peut
permettre de détecter la présence d'une singularité dans
le signal analysé.
> L'analyse de Fourier ne permet pas l'analyse de signaux
dont la fréquence varie dans le temps. De tels signaux
nécessitent la mise en place d'une analyse temps-fréquence qui
permettra une localisation de périodicité dans le temps et qui
indiquera donc si la
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