Annexes
Règles de politique monétaire : essai de
modélisation pour la BCEAO DEA/Master de recherche
Annexe n01 : violation d'hypothèses
L'objet ici est de montrer à travers le calcul de
covariances la violation de deux hypothèses des MCO dans l'estimation du
système (3.7). Reconsidérons le système (3.7) :
; ; ;
? Calcul de cov ( , )
cov ( , ) = (1) or d'après le système
précédent
, il vient que
car par hypothèse
(1) s'écrit donc : cov ( , ) = (2)
=
=
(3) car est indépendant des autres résidus ( )
Pour aboutir au système (3.7), nous avions posé .
En remplaçant
cette relation dans (3), il vient que :
or ce qui implique
que : et , d'où nous trouvons finalement
(4)
En procédant de la même manière que
précédemment, il est aisé d'établir que :
cov ( , ) = (5)
Ce résultat définit ainsi une non
orthogonalité entre régresseurs et résidus
Règles de politique monétaire : essai
de modélisation pour la BCEAO DEA/Master de recherche
? Problème d'autocorrélation
: calcul de cov ( , )
cov ( , ) = (6) (car )
- Préliminaires
Soit une variable dont la prévision utilise les
anticipations rationnelles. Ecrivons alors pour une période
d'anticipation :
(7)
Avec (8)
(9)
, (10)
L'erreur de prévision pour la période suivante est
donc un bruit blanc.
Considérons maintenant des anticipations rationnelles pour
j périodes. Les erreurs de prévisions sont alors
autocorrélées47 et peuvent être
représentées par un processus MA (j-1). Pour cela,
supposons que soit un AR (1) :
(11)
Avec un bruit blanc verifiant et par conséquent
En généralisant la relation (11), on obtient (12) ;
dont l'itération vers
le passé permet d'écrire :
En se basant sur la relation (7), on peut écrire le cas
général suivant :
Pour une adaptation au modèle initial, posons , j=3 et
j=4
Pour j=3,
(15)
47En effet, l'ensemble d'information sur lequel se
base la formulation des anticipations sur les j périodes est
i.e. qu'on aura , ,..., et ainsi les erreurs de
prévisions seront corrélées car dépendant
du
même stock d'information disponible en t. Cela n'est
pourtant pas le cas d'une anticipation sur une seule période car
l'égalité (10) intègre des erreurs de prévisions
qui ne sont pas encore réalisées (puisque l'horizon
d'anticipation est fixé à une période.)
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Pour j=4,
(16)
- Calcul de
D'après le système (3.8)
, il vient que :é é é 48
, ce qui implique que
(17)
é é é
du fait que toutes les erreurs (sauf ) sont supposées
i.i.d. : é é é
La multiplication de
(15) par (16) donne :
é é é 49
On obtient ainsi
é é é
(18)
(on suppose et é )
Finalement (18) dans (17) permet d'écrire que :
(19)
Ce résultat témoigne de l'autocorrélation
sérielle des résidus.
48 Par éléments croisés, il
faut voir tous les produits des variables non covariés issus de la
multiplication de (
( et différents de .
49 Ici aussi, les éléments
croisés représentent les produits des variables non
covariés issus de la multiplication de
de
et différents
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