Identité et appartenance: temps et comput anthropologique chez R. E. Mutuza Kabe

v Dérivation et intégration de fonctions usuelles

Ce tableau regroupe une sélection de dérivées et de primitives de fonctions usuelles. Le calcul différentiel permet notamment de déterminer les variations et les extrema locaux éventuels d'une fonction. Le calcul intégral intervient quant à lui dans un grand nombre de problèmes, en particulier les calculs d'aires et de volumes.

Le calcul des dérivées, appelé dérivation, est régi par différentes règles qui en simplifient l'utilisation.

Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I. On peut alors énoncer les résultats suivants :

-- Les fonctions constantes ont des dérivées nulles.

-- La somme u + v est dérivable sur I, et a pour dérivée (u + v)' = u' + v'.

Si ë est un réel, alors ëu est dérivable sur I, et a pour dérivée (ëu)' = ëu'.

Le produit u.v est dérivable sur I, et a pour dérivée (u.v)' = u'.v + u.v'.

Si v est non nul sur I, alors le quotient u / v est dérivable sur I, et a pour dérivée (u / v)' = (u'.v - u.v')/v².

Si u est dérivable sur l'intervalle v(I) (image de l'intervalle I par v), alors u o v est dérivable sur I, et a pour dérivée (u o v)' = u'(v).v'.

D'après ces règles, on en déduit par exemple que toute fonction polynôme f, telle que f(x) = a₀ +a₁x + ... + a_nxⁿ pour tout x réel, est dérivable sur l'ensemble des réels, et a pour dérivée f', telle que f'(x) = a₁ + 2a₂x + ... + na_nx^n-1  pour tout x réel.

On montre que la fonction la plus générale vérifiant cette condition est la fonction exponentielle définie par y = f(x) = ce^ax, avec e = 2,718... et c constante réelle. Puisque e⁰ = 1, y = c pour x = 0, ce qui signifie que la valeur c est la quantité initiale de matière radioactive. Puisque a < 0, on remarque que, quand x augmente, e^ax ? 0 donc y ? 0, ce qui confirme que la quantité de matière radioactive diminue progressivement au cours du temps^(658(*)). Cette étude illustre un exemple de décroissance exponentielle (voir figure 1 ci-dessous). En revanche, si a est une constante positive, y augmente cette fois rapidement lorsque x croît. On dit alors que la quantité de matière radioactive augmente en fonction du temps suivant une progression exponentielle (voir figure 2 ci-dessous). Cette croissance de matière radioactive se rencontre lors d'explosions nucléaires.

* ⁶⁵⁸ EULER, L., Introduction à la théorie de la Nature, p. 76.