I.3 Analyse multivariée
Dans l'approche multivariée, les p mesures
prises sur le mêmes blocs constituent un vecteur d'observations. On
construit une matrice Y de dimension rn × p dont chaque ligne
représente un bloc. Le modèle mutivariée se conçoit
sous forme matricielle de la façon suivante:
I. APPROCHE PAR LES MOINDRES CARRÉS
13
|
{
|
Yrnp = matrice des
observations
Xrnx(r+1) =
matrice des indicatrices des niveaux du traitement
/3(r+1)xp = matrice des effets du
traitement pour chaque saison
Ernxp =
matrice des erreurs aléatoires
|
?
y111 y112
... ... ? ?
y1n1 y1n2 ? ?
y211 y212 ? ?
... ...
yrn1 yrn2
1 1 0... 0
1 1 0... 0
1 0 1... 0
.. .. .. ..
1 0 0... 1
u u
T1S1
T1S2
T2S1
T2S2
.... ....
TrS1
TrS2
???111
?112
? ... ... ?
? ?
+ ?E1n1
E1n2 ?
? ?
??211
?212 ?
? ?
... ...
Ern1 Ern2
?
? ? ? ? ? ?
1[
?
?????
?
? ? ? ? ? ?
=
les rnp erreurs de la matrice e sont
indépendantes d'un bloc à l'autre, mais pas entre les p variables
d'un même bloc. Soit eij
une rangé de la matrice e, i.e. le vecteur des erreurs pour le
bloc B(i)j ; on suppose que :
?ij N N(0,E)
avec E la matrice
pxp des covariances des mesures prises sur un bloc,
considéré constante d'un bloc à l'autre, peu importe le
traitement subi. Aucune structure n'est imposé à E
; le modèle comprend p(p+1)
2 paramètres de covariance.
L'analyse des mesures répétées
diffère d'une analyse multivariée ordinaire par
l'intérêt porté sur le facteur intra-bloc et à son
interaction au facteur traitement, car il s'agit de la même variable
mesuré p fois et non p variables différentes n'ayant que peu de
liens entre elles.
Les hypothèses sur les effets fixes s'expriment de
la forme générale :
H0 : L3M =
0
où L est la matrice
cx(r+1) des contrastes
d'intérêt, /3 est la matrice
(r+1)xp des effets fixes et
M est une matrice p x (p - 1)
de transformation des données dont les colonnes forment une base
orthogonale au vecteur formé de 1.
Interaction TS :
Lcx(r+1) est la matrice de
contrastes et
Mpx(p_1)
la matrice de contrastes sélectionnée.
Facteur traitement
:Lcx(r+1) est
la matrice de contrastes et Mpx1 = 1
p(1,1...,1)'
Facteur saison S :
L1x(r+1) = 1
r+1(1,1...,1)
et
Mpx(p_1)
est la matrice de contrastes sélectionnée.
I.4 Condition de sphèricité de Huynh et
Feldt
Cette condition stipule que les différences
entre paires d'observations sur un même bloc doivent avoir la même
variance. En terme mathématique il faut que :
V ar(Yijk
- Yijk') =
U2Yijk_Yijk, = 2A,
Vk =? k',pour un a >
0
Soit Ela matrice des covariances des
mesures prises sur un même bloc. Puisque E
pxp
est homogène pour tous les blocs, nous omettons
les indices i et j pour faire référence à
14 CHAPITRE III. MODÉLISATION
ses coefficients dans le but d'allèger la
notation. Puisque :
2 2 2
?2 .2
= Uk + ?k,
- 2?kk,
avec ?2k +
?2k, sont les
éléments diagonaux de E et
?kk, la covariance entre les
observations Yijk
et Yijk, et
:
|
?kk, =
|
?2k +
?2k,
|
?, Vk =? k?, pour un ? >
0
|
|
2
|
une matrice des covariances d'ordre 2 qui saisfait la
condition de spéricité aura la forme générale
:
? ?
2 ?i+?z
?1 2
?i+?2 2
2 ?2
En effet pour que les quotients des carrés
moyens utilisés dans l'analyse de la variance univariée suivent
une loi exact de Fisher, il faut et il suffit que la matrice des contrastes
orthonormés soit sphérique, c'est-à-dire un multiple
scalaire de la matrice d'identité d'ordre p - 1
(Crowder et Hand, 1990). Ainsi la condition de spéricité peut
être vérifié à l'aide du test de Mauchly. Si cette
condition n'est pas vérifié, l'analyse mulivariée s'impose
ou bien une analyse univariée avec une statistique de Fisher dont les
degrés de libertés seront corrigés par un facteur
multiplicatif ?.
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