Réalisation d'un capteur de gaz MOX

I.9 Conductivité électrique dans une couche mince métallique

La quantité de mouvement total de N électrons libres dans un métal «le nickel ou tungstène » dans notre cas est reliée au vecteur d'onde par :

(1.44)

Mouvement qui peut être décrit par la deuxième loi de Newton tenant compte uniquement du champ électrique E. La force s'écrit :

(1.45)

En l'absence de collision, la sphere de Fermi (figure I.20 et figure I.21) de l'espace k est déplacée à vitesse constante sous l'effet d'un champ électrique constant. En intégrant la relation 1.65, nous obtenons :

k (t) - k (0) = -e E t / ê (1.46)

Si on applique un champ à l'instant t = 0 au gaz d'électrons qui remplit la sphere de Fermi centrée à l'origine de l'espace k, à l'instant t, la sphere est déplacée en bloc et sont centre est en :

äk = -e E t / ê (1.47)

A cause des collisions des électrons avec les impuretés, les défauts du réseau et les phonos, la sphère déplacée peut être maintenue stationnaire dans un champ électrique. Si le temps entre deux collisions est ô, le déplacement de la sphère de Fermi en régime continu est donné par la relation précédente. L'incrément de vitesse est í = -eEô/m. S'il y a, dans un champ électrique E constant, n électrons de charge q = -e par unité de volume la densité de courant électrique est :

= n q í = ne²ôE/m (1.48)

Ceci est la loi d'Ohm. La conductivité électrique dans ce cas est définie par j = ó E, d'où

= n e2 ô / m (1.49)

la résistivité électrique ñ est, par définition, l'inverse de la conductivité, d'oüñ= m / n e² ô (1.50)

Le libre parcourt moyen l_m d'un électron de conduction est défini par :

(1.51)

Où vF est la vitesse de l'électron à la surface de fermi [23].

Sphère de Fermi ky En t = 0 F ky			Sphère de Fermi En t
	kx			ky

Figure I.20. La sphère de Fermi englobe les états occupés dans l'espace k dans l'état fondamentale du gaz électronique. La quantité de mouvement résultante est nulle, car pour chaque état occupé k il y a un état occupé en -k [23].

Figure I.21. Sous l'influence d'une force constante F agissant pendant l'intervalle de temps t chaque état voit son vecteur k augmenté de äk =Ft/ê ceci est équivalent à une translation de äk de toute la sphère de Fermi. La quantité de mouvement totale est N ê äk s'il y a N électrons en présence. L'application de la force augmente l'énergie du système d'une quantité N (ê äk)² / 2 m [23].

I.10 Dissipation de la chaleur par effet joule dans une couche mince métallique

Le passage d'un courant dans une couche mince métallique (ou résistance), entraîne la délivrance d'une puissance de la forme :

P = V²/ R (1.52)

Où P représente la puissance en Watt,

V représente la tension d'alimentation de la résistance,

R représente la résistance ou bien l'élément chauffant,

Dans un laps de temps dt, cette puissance créera une énergie dE qui est donnée par la relation 1. 53.

dE = P dt = (V²/ R) dt (1.53)

Qui par la suite engendrera le dégagement d'une quantité de chaleur dQ proportionnelle à la variation de température dT, subit à l'intérieur de la résistance métallique. La relation 1.54 représente la variation entre la quantité de chaleur dégagée et l'énergie du système (la résistance).

dQ = C_m M dT = V²/ R dt (1.54)

C M

Où C_m représente la chaleur massique du matériau,

M représente la masse du matériau.

Si on intègre la relation 1.54, on trouvera la corrélation qui lie la température au temps.

					(1.55)

Où T représente la température de fonctionnement dans un temps donné, V dt

C MdT k T T dt

( )

T0 représente la température initiale.

R

On remarque que si le temps t - , T - , hors ce n'est pas exactement juste en effectuant les mesures. Pour cela il faudrait ajouter le terme d'énergie perdue par conduction thermique due au contact entre le métal et les oxyde de silicium des deux cotés. Dans ce cas la relation 1.54 devient :

			(1.56)

Où k est une constante de perte thermique (W.k^-1) qui relie la conductivité thermique K du matériau (Nickel + Tungstène) à l'épaisseur e de l'oxyde de silicium des deux cotés. Selon la relation suivante :

k = KNi+W eSiO2 (1.57)

Pour résoudre cette équation de second degré, nous allons procéder de la façon suivante.

1- imposé une condition aux limites suivantes : à t = 0 T = T0.

2- Intégré l'équation 1.76 qui lie la variation de la température en fonction du temps. Après tout calcul fait en aboutit à l'expression suivante :

(1.58)

On remarque que pour :

t ? T ? TF,

Où TF est la température de fonctionnement de notre micro four, et à pour expression

TF = T0 + V²/(R k) (1.59)

Donc la température de notre micro four dépend essentiellement de la puissance électrique que du temps [6].

Un exemple est illustré sur la figure I.22 à l'aide du logiciel Mathematica où notre micro four a été conçue en cuivre (ou la constante k vaut 0.02 W/°K), et alimenté par des puissances différentes.

Figure I.22. Simulation de l'évolution du temps de chauffage du micro four conçue en cuivre
par rapport à des puissances d'alimentations différentes [6].