Memoire Online - Le sens de la numération décimale à travers le groupement par 10.

Ecole Supérieure du Professorat et de l'Education - Université Paris Est Créteil

Etudiante : SETTBON Victoria Ð numéro étudiant : 21001855
Année Universitaire : 2014 - 2015

Sommaire

Introduction

Etudiante en première année de Master MEEF (Métiers de l'enseignement, de l'éducation et de la formation) et afin de suivre la formation qui me permettra de devenir professeur des écoles, je me dois d'élaborer une note de recherche dans le thème d'une option choisie. Mon option est la « didactique des mathématiques ». Ce choix s'est fait par rapport à l'importance des mathématiques à l'école primaire, mais également aux difficultés que peut engendrer cette matière.

Durant ces deux années de Master, nous sommes invités à nous interroger sur un sujet choisi, relié à un domaine d'apprentissage, qui nous permettra de trouver des réponses concrètes pour faire avancer notre recherche. Cet écrit nous permettra d'approfondir notre formation dans le professorat des écoles et de pouvoir transmettre plus aisément aux élèves, une notion perçue comme étant assez ambig·e au départ. Le thème est donc à choisir avec précaution puisqu'il doit être aussi intéressant qu'utile et nous permettre d'entrer en situation de recherche.

Mes interrogations concernent le thème complexe de la numération à l'école primaire et plus particulièrement celui du système décimal. En effet, ayant effectué des stages d'observation et de pratique accompagnée, j'ai pu remarquer que l'enseignement des mathématiques à l'école est un enseignement de base qui doit être transmis de façon claire, afin d'éviter au maximum les confusions des élèves. J'ai donc voulu en repérer les difficultés dans le but que les différentes notions enseignées me paraissent un peu plus évidentes. Le domaine de la numération, et surtout celui de la compréhension du système conventionnel français, m'a parut être un apprentissage de base qu'il serait intéressant d'approfondir.

Les apprentissages fondamentaux et les bases de la numération se font principalement au cours préparatoire. Tout au long de la journée, les enfants comptent, apprennent à écrire les nombres, à les oraliser et à s'en servir pour quantifier. Quant aux enseignants, ils cherchent constamment à faire des liens entre la numération et tout autre domaine lié au fonctionnement de la classe pour que les élèves atteignent un automatisme quotidien concernant l'apprentissage de la numération (Exemple : « combien y a-t-il d'élèves absents/présents aujourd'hui ? », « combien d'élèves mangent à la cantine ? » etc.).

J'ai donc voulu savoir comment les professeurs des écoles s'y prennent pour que les élèves acquièrent une bonne compréhension de la numération et comment ces derniers assimilent le concept de « groupement par dix » pour le réutiliser tout au long de leur scolarité.

Les questionnements au départ restent naïfs et très généraux mais je me suis posée des questions telles que :

En quoi le travail de groupement par 10 peut-il permettre aux élèves de comprendre le sens de la numération décimale, et en particulier les conventions qui

Est-ce qu'il existe une méthode favorable à une meilleure compréhension de

Mes questions tournaient beaucoup autour de l'élève et ma principale difficulté était de savoir comment j'allais pouvoir observer que les élèves étaient passé d'un dénombrement terme à terme (c'est-a-dire d'un comptage unité par unité, nombre par nombre) à un dénombrement par groupements, qui amènera par la suite aux groupements « unités, dizaines, centaines etc. » du système décimal français et qui leur

permettra une meilleure compréhension de ce dernier. Il m'a donc fallut trouver un autre questionnement plus précis et observable grâce à une expérimentation.

Afin d'approfondir ces questionnements beaucoup trop généraux, je me suis tournée vers des articles qui m'ont permis de rétrécir le champ de ma question de recherche mais également d'éclaircir ce thème complexe qu'est la notion de groupement décimal en numération.

Dans le but de vous présenter une problématique plus fine concernant ce sujet, j'apporterai dans un premier temps des notions théoriques sur la numération et le domaine du groupement décimal. Puis, dans un second temps, j'expliciterai les différentes méthodes de groupement utilisées lors d'expérimentations (tirées d'articles), dans le but de trouver moi-même une expérimentation pouvant répondre à la problématique choisie.

Le cadre théorique

I. Quelques éléments théoriques et historiques

La numération a pour but d'exprimer une quantité grâce à des signes choisis. Les signes sont les chiffres, dans notre système français actuel. Il a existé différents signes à travers les différentes époques (exemple : chiffres romains, numération égyptienne...). En France, il existe dix signes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) qui nous permettent de réaliser une quantité indéfinissable de nombres grâce à la combinaison de ces mêmes signes. Si nous pouvons combiner ces signes, c'est grâce à la base choisie de notre système français de numération qui est la base 10. La base est un choix de groupement ; selon les pays cette base peut varier. En effet, le choix de celle-ci entraine la création de règles selon lesquelles les différents signes pourront être combinés afin de former des nombres.

- lorsque l'on a dix dizaines, on peut les « échanger contre une centaine » - et ainsi de suite avec les milliers, les millions, les milliards etc.

S'il existe ce genre de règles dans le domaine de la numération, c'est pour que les Hommes n'aient pas à créer autant de signes que de nombres pouvant exister. En effet, il existe une infinité de nombres qui ne peuvent évidemment pas être associés à une infinité de signes puisque le cerveau humain ne serait pas capable de retenir un signe par nombre. La création de base dans la numération est donc un moyen économique pour combiner un nombre fini de signes (en France, dix signes) afin de créer une quantité infinie de nombres.

D'autres règles existent telles que le sens de l'écriture des nombres ou encore la manière d'oraliser ces nombres. Ces règles constituent le système de numération.

Les chiffres, en France, sont souvent appelés « chiffres arabes », mais étaient déjà connus des Indiens qui utilisaient un système décimal proche du notre.

Dans un système de numération, si la base est un nombre entier, le nombre de chiffres utilisés dans la représentation des nombres est strictement égal à la valeur de la base. Ces bases diffèrent à travers les époques et les civilisations.

Le système positionnel de numération existe depuis le IIIème millénaire avant Jésus Christ. Les mathématiciens babyloniens de l'époque utilisaient un système séxagésimal (base 60) et la transmission de ce système en Occident s'est faite au VIIème siècle grâce à un moine syrien, ayant attesté qu'il existait neuf signes indiens (sans le zéro). Au IXème siècle, l'algébriste arabe Al-Khwarismi rédige le traité « De numero Indorum » (en latin, « Des chiffres indiens »), et c'est à partir de là que la transmission est véritablement faite en Occident.

Les systèmes positionnels de numération sont conformes à des bases qui peuvent varier. La base définit la puissance qui déterminera l'ordre de grandeur (donc la place du chiffre) dans un nombre ; en effet, plus la puissance est faible, plus le chiffre se trouve à droite. Dans notre système d'écriture français, nous écrivons de gauche à droite et dans le système de numération, le chiffre ayant la plus grande valeur (donc la plus forte puissance) est placé en premier (donc le plus à gauche). Prenons l'exemple de notre système décimal de numération pour mieux illustrer ce propos :

Le zéro signifie l'absence de groupement (exemple : 108 signifie qu'il y a une centaine, zéro dizaine et huit unités).

De nombreux systèmes positionnels ont été utilisés par les peuples et à travers les époques :

- Le système quinaire - base 5 (utilisé jusqu'au XXème siècle notamment par les

- Le système décimal - base 10 (système étant aujourd'hui le plus utilisé et le plus

Puis les systèmes au-delà du système décimal ; duodécimal (base 12), hexadécimal (base 16), vigésimal (base 20) ou encore sexagésimal (base 60 permettant de mesurer le temps des secondes jusqu'aux heures / 60sec = 1 min, 60 min = 1h mais 60h ? 1 jour et 60 centièmes ? 1 sec).

II. Les premiers apprentissages de la numération

A. La place du nombre dans la scolarité obligatoire Le nombre a deux fonctions principales à l'école :

- Il est utilisé comme « outil » lorsque les élèves en ont besoin pour résoudre des problèmes, pour mémoriser une quantité, pour compter ou pour calculer par exemple.

- Après avoir été utilisé comme outil, le nombre sera étudié comme « objet » par les élèves, objet qu'ils pourront comprendre et étudier de façon à part entière (Cf article de Douady R., Dialectique outil-objet, 1984)

A l'école, on utilise le nombre pour mémoriser, compter, dénombrer, calculer, résoudre des problèmes, mais on l'utilise également dans les situations de partage, de calculs ou de comparaison. Le nombre est constamment sollicité à l'école et l'apprentissage des nombres est un apprentissage premier dans le milieu scolaire.

Selon le Bulletin Officiel hors série n°3 du 19 juin 2008, un élève de CP doit « Connaitre (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100 »

(p. 33), un élève de CE1 doit connaître ceux inférieurs à 1000 et « Ecrire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc. », tout en sachant ranger, encadrer et comparer ces nombres. Au cycle 3 (CE2, CM1, CM2) l'évolution des apprentissages va continuer et les élèves devront connaitre des nombres de l'ordre du million et du milliard et savoir s'en servir. Bien que les élèves commencent généralement à calculer dès le cycle 1, il est important pour eux de comprendre le fonctionnement de la numération décimale dès le cycle 2.

Dans ce bulletin officiel, il est également précisé qu'au cycle 2 « Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour de nombres inférieurs à 100. » (p. 18) pour le cycle 3.

A partir du cycle 3, il est dit que les élèves doivent connaître les « principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l'écriture des nombres. » (p. 22), puis c'est lors de ce cycle et dans leur futur scolarité qu'ils vont commencer à travailler sur les nombres décimaux.

D'après les programmes du collège (B.O n°6 du 28 août 2008) : « Les nombres sont au début et au coeur de l'activité mathématique. L'acquisition des principes de base de la numération, l'apprentissage des opérations et de leur sens, leur mobilisation pour des mesures et pour la résolution de problèmes sont présents tout au long des apprentissages. »

De façon évidente, la numération est présente dans toute la scolarité d'un élève de la maternelle à la fin de la scolarité obligatoire. Il est donc important que l'élève puisse donner du sens à ce domaine et comprendre comment fonctionne le système décimal afin d'éviter des lacunes tout au long de sa scolarité. C'est pour cela qu'il est intéressant d'enseigner les principes de la numération décimale le plus tôt possible, en privilégiant le cycle des apprentissages fondamentaux.

B. Les finalités et principes de la numération

La numération peut être utilisée dans un but ordinal qui, comme son nom l'indique, va servir à donner un ordre à chaque élément d'un ensemble (ex : le premier,

le troisième, mais aussi les numéros de rue etc.). Elle peut être également utilisée dans un but cardinal, afin d'exprimer une quantité, de représenter des grandeurs ou des proportions. Les aspects ordinal et cardinal sont tous deux travaillés à l'école, de façon plus ou moins simultanée.

La numération peut être écrite ou orale et l'un des objectifs de l'école est que l'élève sache identifier les écritures chiffrées des nombres, identifier les nombres à l'oral mais également associer les écritures chiffrées aux prononciations orales auxquelles elles correspondent et inversement.

Afin d'appréhender la numération, les enseignants utilisent beaucoup les situations de dénombrement.

Le dénombrement consiste à compter les éléments d'une collection et à en donner la quantité. Selon Gelman (1983), il existe cinq principes du dénombrement dans la numération :

- La correspondance terme à terme ; c'est-à-dire qu'à chaque unité on fait correspondre un terme (exemple : la troisième unité comptée aura pour terme associé 3).

- Le principe cardinal ; le dernier mot nombre prononcé fait référence à la quantité d'objets dénombrés.

- L'indifférence de l'ordre ; les objets d'une collection peuvent être comptés dans n'importe quel ordre (en faisant attention de ne pas en oublier ou de ne pas compter plusieurs fois le même élément.

- Le principe d'abstraction ; on dénombre sans faire attention aux caractéristiques des objets.

Lorsque les élèves dénombrent, ils doivent mettre en place ces cinq principes de façon simultanée. S'ils n'y arrivent pas, ils commettent des erreurs et c'est en cela que l'on peut remarquer que les cinq principes n'ont pas été assimilés de façon correcte. Le dénombrement, tout comme la comptine numérique, est l'une des bases de la numération. Si les bases ne sont pas correctement mises en place au cours de la scolarité d'un enfant, il présentera des lacunes dans les situations à venir.

C. Les stratégies de dénombrement: du dénombrement terme à terme aux groupements

Le dénombrement est, comme dit ci-dessus, un type de problème très important de la numération. Grâce au dénombrement, l'élève pourra quantifier une collection, représenter cette collection grâce à une écriture chiffrée et pourra également chercher des stratégies lui permettant de dénombrer plus rapidement. Parmi ces stratégies figure le groupement.

Le groupement est le fait que les élèves vont associer des éléments d'une collection par paquets (au moins deux), afin de dénombrer de façon plus stratégique. Il est vrai que lorsque les élèves dénombrent les objets un par un, cela prend tout d'abord plus de temps et il y a un risque de devoir tout recommencer, si il y a un arrêt au cours du dénombrement, ou si l'élève n'a pas une mémoire de travail effective (mémoire qui s'occupe du traitement des informations à court terme), lui permettant de retenir le dernier nombre dénombré.

Les enseignants, aujourd'hui, amènent les élèves aux groupements afin qu'ils aient une connaissance en profondeur du système de numération français, qui a pour principe le groupement par dix (système décimal). Ils cherchent à donner du sens aux apprentissages des élèves. Rappelons que la stratégie de groupement ne fait pas partie des programmes officiels en tant qu'apprentissage à part entière, mais qu'il est une aide pour les calculs futurs (additions, divisions, multiplications etc.). Les enseignants l'utilisent également dans le but que leurs élèves abandonnent le dénombrement terme à terme (c'est-à-dire unité par unité) et privilégient le groupement pour une compréhension plus poussée de la numération. Il s'agit aussi d'une des dernières occasions de manipuler réellement une quantité, avant l'entrée dans un travail sur l'écriture chiffrée pour représenter des quantités importantes.

Etayage du questionnement

Afin d'affiner mon questionnement et dans le but qu'il devienne une problématique testable grâce à une expérimentation, j'ai pris comme supports théoriques certains articles abordant le thème de la numération à l'école élémentaire, et plus particulièrement le domaine du groupement.

Je garde comme question naïve « Existe-t-il une méthode favorable à une bonne compréhension de la numération ? » (p.4) et la transforme en « Est-ce que l'approche par les groupements favorise les apprentissages de la numération ? Comment donner du sens à cet apprentissage et en particulier aux conventions liées à l'écriture des nombres ? »

Je centre ma recherche sur cette question naïve car il me semble intéressant d'étudier les différentes méthodes ou techniques utilisées en termes de groupements qui aideront les élèves à mieux appréhender le système de numération décimale.

Ci-dessous, j'expliciterai les différentes méthodes et techniques de groupements utilisées dans les différents textes que j'ai pu lire.

I. Le groupement par écrit, le groupement par oral

Dans les différents articles que j'ai pu lire, la technique de groupement seulement évoquée est celle du groupement par écrit. En effet, certaines études ont été menées pour voir comment réussir à amener les élèves aux groupements, dans le but qu'ils acquièrent une bonne compréhension de la numération.

C'est grâce à ces différents articles que j'ai pu remarquer l'importance de l'écriture dans la compréhension de la numération.

Selon Bednarz et Janvier (1984) et leur article lié aux difficultés que suscite la numération dans son apprentissage, on peut relever au cycle 1 une grande insistance

mise sur le passage de l'écriture symbolique du nombre « chiffre, position » à la symbolisation « unités, dizaines, centaines,... ». Pour les élèves, un nombre est une suite de chiffres ; ils ne donnent aucun sens aux mots dizaines, centaines etc. et ne s'intéressent qu'à la place de l'écriture (non à son sens). Aussi, ces deux auteurs soulignent le fait que toute représentation d'un nombre apparait selon un alignement reprenant l'ordre de l'écriture conventionnelle du nombre : l'enfant fait une association directe entre un nombre et une position.

Ici, on remarque bien que l'alignement et la position des dessins dans le premier cas va inciter l'élève à écrire le nombre 231, sans pour autant comprendre qu'un carré est une centaine, un rectangle est une dizaine et un bâtonnet est une unité. Tandis que dans le deuxième cas de figure, si les élèves ne donnent pas de sens aux dessins représentés, ils auront beaucoup de difficultés à trouver le nombre correspondant, puisqu'ils sont placés dans le plan de façon inhabituelle. Les auteurs montrent ainsi l'aide que les différents manuels ou même les enseignants offrent aux élèves dans l'écriture des nombres, sans prêter attention au sens.

Elles relèvent aussi que les élèves ont une conception de la complexité du nombre uniquement basée sur la taille : plus un nombre est grand, plus il est compliqué, difficulté qui posera surtout problème lors de l'introduction des nombres décimaux.

Dans ce texte, les auteurs relèvent de nombreuses difficultés liées à l'apprentissage de la numération que nous verrons par la suite. Ce qu'elles recommandent aux enseignants est de moins s'axer sur l'écriture ou sur les règles qu'ils

transmettent aux élèves de façon assez mécanique et de mettre d'avantage l'accent sur le sens que l'enfant doit accorder à l'écriture. En effet, les enseignants pensent peut être que la signification véritable de la position d'un chiffre dans un nombre est une notion qui coule de source aux yeux des élèves, c'est pour cela que lorsque l'enfant rencontre une difficulté, il n'a aucun recours autre que celui de l'écriture pour l'aider puisqu'il n'aura pas donner de sens à la numération elle-même.

On peut noter des limites à cet article puisqu'il date d'une trentaine d'années et il existe de nouvelles études beaucoup plus actuelles, auxquelles s'intéresser. Aussi, l'étude a été faite au Canada ; bien que les programmes en numération soient très proches des programmes français, les pays comportent des différences, dont le fait qu'il n'y ait pas d'école maternelle au Canada et qu'en France, l'apprentissage de la numération se fasse dès cette dernière. Cela pose donc la question des effets de ces choix, qu'on pourrait éventuellement analyser en comparant les deux pays.

Un article plus récent d'Aigoin et Guebourg (2004) va nous permettre de réaliser à quel point l'écriture est importante dans la notion de groupement, surtout lorsqu'il s'agit d'un moyen de communication entre deux groupes. Dans cet article, les auteurs font un rapport de l'écart qui peut exister entre les élèves ayant une bonne compréhension du système de numération et ceux ayant des lacunes concernant celui-ci.

En effet, à partir d'une expérimentation faite en classe de CP, les élèves sont placés face à une situation problème (situation dans laquelle l'élève est confronté à trouver des solutions à un problème de façon autonome, dans le but d'acquérir de nouvelles connaissances), dans laquelle ils doivent dénombrer un nombre x de gommettes et le transmettre à un autre élève de façon écrite (expérience du « bon de commande »).

Les deux groupes A et B étant confrontés sont respectivement les groupes qui ont :

- Une bonne compréhension de la numération (comptine numérique jusqu'à 100 (voire au-delà), association de l'écriture chiffrée au mot-nombre, comparaison des nombres, classement dans l'ordre croissant ou décroissant, élaboration d'une file numérique etc.)

- Une compréhension moins évidente de la numération (les élèves ont connaissance de la chaine numérique jusqu'à 30 et au-delà)

Nous avons besoin de connaître l'expérimentation mise en place par les auteurs afin de comprendre l'importance du groupement écrit.

Cinq équipes sont mises en places. Chaque équipe comprend un élève du groupe A et plusieurs élèves du groupe B.

La première expérience consiste à ce que les élèves du groupe A dénombrent la quantité d'objets qui leur est donnée (sur une feuille A3), puis la transmettent par l'intermédiaire d'un bon de commande aux élèves du groupe B. Les élèves du groupe B doivent déchiffrer le bon de commande et donner l'exact nombre de gommettes aux élèves du groupe A afin qu'ils puissent les coller sur chaque objet de la collection.

Les élèves n'ont pas le droit de communiquer entre les groupes autrement que par le bon de commande, ce qui crée une situation d'incompréhension entre les deux groupes à laquelle il va falloir remédier. Le choix de cette situation a été fait afin que les élèves des deux groupes créent une procédure de communication, en abandonnant l'écriture chiffrée (qui pouvait également être faussée du fait que certains élèves du groupe A ne savaient pas transposer la quantité à l'écriture chiffrée), en abandonnant l'oral, et en privilégiant le groupement.

La variable didactique qui influe énormément ici est le nombre d'objets dans la collection qui est supérieur à 30, c'est-à-dire supérieur à ce que les élèves du groupe B connaissent, ce qui rend la tâche beaucoup plus fastidieuse pour eux.

En effectuant cette expérience, les auteurs ont pu se rendre compte que dans une situation où elles confrontaient des élèves ayant une bonne connaissance du système décimal (groupe A) à des élèves n'en ayant qu'une connaissance minime (groupe B), les élèves de ce dernier groupe ressentaient une frustration. Assurément, lorsque les élèves comprennent qu'il y a un décalage entre ce qu'ils savent et ce que les autres savent, ils se trouvent surpris de ne pas pouvoir réaliser correctement la tâche, en comparaison avec leurs camarades, surtout dans la petite classe qu'est le cours préparatoire.

C'est en cela qu'une bonne compréhension, dès le départ, du système de numération décimal, permettrait de diminuer l'hétérogénéité entre les élèves et le décalage de niveaux entre ces derniers. Il serait idéal que les élèves aient le même niveau de connaissance et que les apprentissages soient faits de la même façon dans les classes, mais il ne s'agit que d'une idéologie à laquelle il faut se confronter. Chaque élève a son propre mode d'apprentissage et certains élèves avancent plus vite que d'autres. Mais c'est également cela qui engendre les lacunes des uns pendant que les autres avancent.

Mais comment peut-on faire pour que les élèves puissent se comprendre d'une façon simple et conventionnelle sans en connaître trop de la numération ?

Dans cet article, l'expérience a pour objectif de créer une stratégie de dénombrement identifiable par tous sans avoir recours à l'écriture chiffrée (puisque non décodable par tous les élèves) et d'abandonner le dénombrement terme à terme. C'est à partir de là que commence la base de la compréhension du système de numération français.

On passe ici d'une situation de dénombrement à une situation de communication écrite, dans le but d'avoir le nombre de gommettes correspondant au nombre d'éléments de la collection. Le fait que les élèves des groupes n'aient pas pu communiquer entre eux a été un tremplin dans leur réflexion. Il est vrai que, pour se comprendre, les élèves ont du élaborer une stratégie n'utilisant ni l'écriture chiffrée, ni la communication orale.

Cet article nous renseigne sur l'apprentissage d'une écriture chiffrée du dénombrement qui amènera ensuite à la compréhension de la numération grâce aux groupements.

Mais il serait intéressant d'effectuer le même genre d'expérience en utilisant les mots-nombres. On pourrait alors se concentrer sur l'aspect oral du nombre et tenter de voir si cela peut aider les élèves à comprendre notre système décimal positionnel. Pour cela, les élèves n'auraient pas à transmettre un bon de commande mais devraient directement demander à voix haute le nombre de gommettes dont ils ont besoin. Cela amènerait à la compréhension du sens de la numération grâce à l'oralisation (exemple : si l'élève demande 52 gommettes, le mot « cinquante » pourrait faire sens si l'élève

comprend qu'il s'agit de cinq dizaines et le mot « deux » de deux unités, mais il s'agit d'une notion compliquée surtout en classe de CP).

Grâce à la lecture d'un troisième article de Hilli et Ruellan-Le-Coat (2009), dans lequel les auteurs provoquent le dénombrement, le bon de commande est également mis en avant. Il s'agit pour les élèves de dénombrer une quantité de bougeoirs se trouvant sur un gâteau fictif (assiette en carton), afin de passer commande du nombre de bougies correspondant à Freddy la grenouille. Freddy est représentée par une marionnette mais elle est sourde et ne sait lire que les chiffres de 1 à 9. C'est la contrainte de l'expérimentation qui va faire que les élèves n'auront pas d'autre choix que de réaliser des groupements car le nombre de bougeoirs sera supérieur à 9.

Bien que la plupart des élèves n'y arrivent pas du premier coup, l'obstacle de la surdité de la grenouille joue un rôle très important puisqu'il bloque la demande orale des élèves. En effet, si les élèves dénombrent, par exemple, vingt-huit éléments dans la collection, la grenouille lira 2 - 8 (« deux - huit ») et comprendra donc dix éléments. Cet obstacle force les élèves à chercher la stratégie de groupement, sans aucune aide de l'enseignant (contrairement à l'article d'Aigoin et Guebourg (2004) où l'enseignant faisait émerger l'idée de groupement lors d'une mise en commun avec les élèves), et à élaborer une situation de communication leur permettant d'obtenir le nombre de bougies correspondant parfaitement au nombre de bougeoirs. Lors de cette activité, la stratégie gagnante était en fait d'additionner des paquets (inférieurs à 9) afin d'avoir le nombre requis de bougies (exemple : pour 18 bougies, les élèves devaient écrire 9, 9 sur leur bon de commande / pour 16 bougies, les élèves pouvaient écrire 9, 7 ou alors 8, 6 etc.). Tous les élèves ont trouvé la stratégie gagnante, certains au bout de huit essais.

Dans ce même article, on relève l'activité « Le grand Ziglotron » qui est une activité se déroulant sur cinq séances et qui a pour objectif de reconnaître la valeur positionnelle des chiffres dans l'écriture des nombres en lien avec le groupement par dix.

Lors de la première séance, les élèves doivent demander oralement le nombre de boutons qu'il leur faut. L'enseignant précise bien qu'il existe des plaques de dix boutons et que les élèves doivent demander le nombre exact de plaques de dix boutons et de boutons isolés qu'il faut à leur Ziglotron.

La deuxième séance consiste en un travail similaire, sauf que les élèves ne demandent plus oralement leurs commandes mais doivent l'écrire sur le bon de commande ci-dessous :

Les autres séances seront explicitées dans la suite de cette note de recherche.

Après lecture de ces trois articles, on peut évidemment se rendre compte que les méthodes utilisées par les différents auteurs font souvent appel à la communication (en effet la façon dont on dit ou écrit les nombres est un code, une convention qui ne devient nécessaire que lorsqu'on cherche à exprimer une quantité pour quelqu'un d'autre que soi, et cette communication repose surtout ici sur l'écriture en utilisant comme contrainte l'interdiction de la communication orale. Grâce à cela, j'aimerais pouvoir observer dans une classe si l'articulation entre l'oral et l'écrit permettrait aux élèves de

mieux comprendre le sens de la numération décimale. Voyons maintenant la place de la manipulation et du matériel dans l'exécution de ces mêmes expérimentations.

II. Le groupement par 10 et autres groupements

On a vu que le groupement par 10 était essentiel dans la compréhension de la numération. Dans certaines expérimentations que j'expliciterai ci-dessous, on remarquera que les élèves n'arrivent pas souvent au déclic du groupement par 10 (probablement parce qu'ils ne le connaissent pas encore ou parce que le calcul mental les en empêche ou encore parce qu'il n'y a pas de raison de grouper par 10, puisqu'il faudrait d'abord avoir compris l'écriture et la lecture du nombre) mais élaborent d'autres groupements.

En effet, les apprentissages de base de la numération se font au cycle 2 (à partir du cours préparatoire) mais aussi dès la maternelle. Les élèves apprennent à compter jusqu'à 10, jusqu'à 20, jusqu'à 100 etc., mais ne se rendent pas compte qu'ils abordent déjà le système conventionnel de la numération consistant à organiser des paquets de dix (dizaines), puis de dix paquets de dix (centaines) etc.

On peut également remarquer que l'apprentissage de la numération à l'école se fait de dix en dix (exemple : on apprend de 0 à 10, puis de 10 à 20 etc.) en utilisant la position du nombre pour définir sa valeur (système positionnel). Le système de groupement n'est pas un apprentissage en soi, mais c'est une méthode qui permet de mieux comprendre et aborder notre système de numération.

Les principales expérimentations du groupement se font en poussant les élèves à trouver d'eux-mêmes une stratégie efficace. Les enseignants cherchent à amener les élèves à grouper, de façon aléatoire ou irrégulière pour aller vers le groupement par dix.

Effectivement, c'est grâce à une pédagogie constructiviste que l'élève, lors d'une situation problème, va pouvoir renforcer ses connaissances. C'est en cela qu'il faut les laisser élaborer des stratégies, les laisser réfléchir ou trouver eux-mêmes la solution, qui ne sera pas souvent le groupement par 10

La deuxième expérience de l'article d'Aigoin et Guebourg (2004) a eu lieu le même jour et consistait en un échange des rôles entre les deux groupes, c'est-à-dire que le groupe A devient récepteur du bon de commande que le groupe B aura élaboré (les élèves du groupe A sont toujours ceux qui ont une bonne connaissance de la comptine numérique et associe le mot nombre à son écriture chiffrée et le groupe B sont les élèves qui connaissent la comptine jusqu'à 30 et au-delà mais n'associent pas le mot nombre à son écriture chiffrée).

On peut remarquer que lors de la deuxième expérience, les élèves du groupe B, qui ont chacun le même nombre d'éléments à dénombrer, ont fait des tentatives de stratégies (telles que le marquage des éléments lorsqu'il est compté par exemple), mais ont tout de même compris le sens de la communication dans cette situation. Voulant absolument transmettre leurs messages aux élèves du groupe A, ils ont fini par grouper de façon irrégulière parfois (groupements différents : 2/5/6/4) ou de façon régulière (exemple : groupement par 11).

La stratégie de groupement remplace le dénombrement terme à terme et permet donc à l'élève un gain de temps et un apport cognitif pour la suite de la compréhension de la numération. Les expérimentations pour amener cette stratégie se font principalement sur de grandes collections à dénombrer (au-delà de la comptine numérique qu'ils connaissent) pour que les élèves laissent de côté le dénombrement unitaire.

Dans cet article (Aigoin & Guebourg, 2004), on peut noter que le souhait du groupement par dix n'a pas abouti mais cette situation problème a mis les élèves dans une réflexion complexe.

Les auteurs ont cherché, grâce à leur expérimentation, à ce que les élèves créent une stratégie de groupements irréguliers (exemple : 3/3/4/5) qui ne seront pas évidents à additionner, afin de les amener aux groupements par dix (plus simple à appréhender si leurs capacités en calcul mental le permettent).

Hilli et Ruellan-Le-Coat (2009) nous renseigne sur l'apprentissage de la régularité des groupements. Les auteurs, grâce à une expérimentation faite en classe de CP vont amener les élèves à grouper de façon irrégulière pour arriver aux groupements par dix.

Lors d'une phase d'institutionnalisation (c'est la phase où l'on généralise une connaissance) les auteurs disent que : « pour dénombrer une collection, il n'est pas nécessaire de compter un à un tous les éléments de la collection, on peut aussi dénombrer séparément autant de petits paquets que l'on veut. »

Les groupements sont souvent provoqués par les enseignants qui choisissent des expérimentations contraignantes pour obliger les élèves à les utiliser, mais ces derniers n'ont pas directement l'automatisme de choisir le groupement par 10.

III. La manipulation et le matériel

Dans l'article de Bednarz et Janvier (1984), on peut relever la difficulté que le matériel (ou dessins) utilisé dans l'enseignement est essentiellement utilisé à des fins d'écriture : les élèves ne voient pas la véritable représentation du matériel en terme de groupements. Il s'agit d'un élément intéressant puisque le matériel, censé symboliser les groupements, n'a pas forcément de sens pour les élèves lors de cette expérimentation.

Les auteurs notent également que la manipulation de matériel est conçue en fonction d'un travail sur l'écriture : le matériel ne joue pas le rôle de support qu'il doit jouer. Ici, le passage entre quantité et nombre écrit est questionné puisque la manipulation permet de faire comprendre aux élèves qu'on fait des paquets de 10 (par économie et efficacité) et que l'on écrit ensuite ces différents paquets d'une certaine façon afin de créer un nombre (numération décimale de position).

Le matériel doit être perçu comme un véritable support afin que les élèves puissent eux-mêmes s'en servir dans la résolution de problèmes. Ils doivent pouvoir se l'approprier et en déchiffrer le sens pour pouvoir l'utiliser à des fins de compréhension.

Dans l'article de Hilli et Ruellan-Le-Coat (2009), la manipulation et le matériel sont deux variables extrêmement importantes. La disposition spatiale des bougeoirs constitue une aide ou non pour l'élève lors de la réalisation de la tâche. En effet, si les bougeoirs sont alignés, l'élève aura tendance à utiliser cet alignement pour transposer le nombre de bougies par ligne.

Ici, l'élève aura tendance à donner les groupements qu'il voit, ce qui facilite la création de groupements irréguliers (1/3/2/5/3).

En revanche, si les bougies sont disposées de façon aléatoire sur l'assiette en carton, l'élève n'aura pas d'aide et il devra comprendre par lui-même qu'il faut faire des groupements afin de passer commande à Freddy.

Dans cette expérimentation, plusieurs phases ont été mises en place dans la séance afin de remédier aux difficultés des élèves. Au cours de la deuxième phase (situation problème en binôme), l'enseignant a autorisé les élèves à déplacer les bougeoirs s'ils en avaient besoin.

Pour les élèves, il est important de déplacer les éléments qu'ils manipulent, afin de rendre la situation plus concrète. Ici, on peut imaginer par exemple que certains élèves déplaçaient les bougeoirs qu'ils comptaient ou les rapprochaient pour symboliser des groupements.

On peut également relever grâce à cet article qu'il est extrêmement attractif pour les élèves de manipuler des objets qu'ils ont l'habitude de voir ou d'utiliser. Ici, Freddy la grenouille est représentée par une marionnette, symbolisant la sympathie et l'amusement. Lors de cette expérience, les élèves doivent compléter des bougies sur un gâteau d'anniversaire, qui est assimilé à la fête et au plaisir. Aussi, les élèves savent qu'ils ont un but précis qui est de remplir le gâteau, ce qui va les stimuler et les aider à être rapides. Il faut utiliser des objets attrayants pour les enfants, leur permettant de rendre la situation concrète et amusante, ce qui va également permettre une entrée rapide dans l'activité. Si les élèves s'ennuient ou ne sont pas stimulés, l'activité va être lente et sans but d'apprentissage pour eux. Il est logique de souligner que les enfants

retiennent plus facilement ce qu'ils ont apprécié que ce qui les a ennuyés. Il vaut mieux privilégier des activités ludiques dans lesquelles l'enfant se sentira impliqué ; cela jouera un rôle sur l'intérêt qu'il portera à ces activités mais sous-entendra également que l'enfant assimilera mieux les apprentissages qui influeront sur sa réussite scolaire.

La manipulation de matériel est une étape clé qui entraîne l'écriture positionnelle. Elle est donc importante et les enseignants ont tendance à croire que les élèves assimilent le passage entre ces deux étapes de façon aisée. Il faudrait donc passer plus de temps à faire comprendre aux élèves que l'étape de la symbolisation des groupements grâce à la manipulation permet l'écriture et, avec quelques irrégularités, la lecture. Les enseignants gagneraient à accentuer le lien qu'il existe entre ces deux actes.

Dans cet article est également explicitée la troisième séance du « Grand Ziglotron ». Lors de la troisième séance, ce n'est plus aux élèves de dénombrer les boutons mais à l'enseignant. Ce dernier remplit la première phrase du bon de commande « Il me faut É boutons, je commande : » et c'est aux élèves de remplir le reste. C'est un travail individuel et un apprentissage clé puisque les élèves n'ont plus de matériel à disposition et se concentrent uniquement sur l'écriture et les groupements de dix dans le nombre écrit. L'absence de matériel va obliger l'élève à une certaine réflexion face à sa situation problème et l'on peut remarquer grâce à cela que le matériel constitue une aide indispensable dans la symbolisation d'une situation de groupements.

Ces deux articles nous permettent de remarquer l'importance du matériel à utiliser lors d'expérimentations liées au groupement et l'importance de la manipulation des élèves. Cette dernière aidera l'élève à donner plus de sens à la situation et cela facilitera sa compréhension.

IV. Le groupement en lien avec les opérations

Lors de l'apprentissage des différentes opérations, les élèves ne font pas appel aux groupements. En effet, l'apprentissage de la numération est détaché de celui des opérations.

Si les élèves ont appris la numération de façon à ce qu'elle ait du sens, ils doivent automatiquement pouvoir faire le lien certaines opérations. Lors de l'apprentissage de l'addition (posée ou en ligne), les élèves doivent comprendre qu'ils associent des unités entre elles, des dizaines entre elles etc. et qu'ils ne peuvent pas associer une centaine avec une unité par exemple. Cela fait partie des règles de l'addition

Dans cette addition, on a additionné les unités ensemble (5+8), les dizaines ensembles (7+2+1(retenue)) et les centaines ensembles (1+2+1(retenue)). On n'aurait pas pu additionner le 1 de 125 avec le 8 de 278. Dans l'apprentissage de l'addition, les élèves doivent savoir que les groupements s'additionnent et s'échangent entre eux.

Aussi, l'apprentissage des groupements prend tout son sens lors des retenues. En effet, lorsque l'on addition 8 et 5, cela donne 13. Le chiffre 13 étant décomposé en une dizaine et trois unités, on décale la dizaine obtenue au rang des dizaines pour pouvoir l'inclure dans l'opération. C'est exactement le même principe pour les dizaines transformées en centaines.

Le sens de la numération décimale a tout son sens dans les opérations et lorsqu'elle est comprise, elle permet aux élèves de comprendre l'utilité des groupements et les règles qui y sont associées.

Pour la soustraction, il s'agit du même principe que pour l'addition. En effet, lorsque l'on soustraie deux nombres, on doit soustraire chaque groupement ensemble.

Le principe est le même. En effet, 3 Ð 8 n'est pas une soustraction faisable. On va donc « casser » une centaine pour la transformer en dix dizaines et pouvoir soustraire les dizaines ensembles. Il s'agit là d'une méthode de soustraction parmi une multitude d'autres.

Concernant la multiplication posée, on ne fait pas intervenir les mêmes règles que pour l'addition et la soustraction, mais il s'agit tout de même d'une opération de groupements.

« Dix élèves disposent de 4 billes chacun. Combien ont-ils de billes au total ? »

Ici, les élèves peuvent utiliser l'addition réitérée relative à la multiplication (4+4+4+4+4+4+4+4+4+4 ou encore 10+10+10+10). Il s'agit là d'additionner des groupements et d'utiliser des chiffres adéquats afin que l'élève puisse réfléchir à la stratégie la plus efficace pour résoudre son problème. Il semblerait que l'addition de 10+10+10+10 serait la plus judicieuse et la plus utile en termes de groupements décimaux.

Le groupement permet également de comprendre la division, puisque contrairement à la multiplication, il s'agit d'une méthode de partage.

« Avec 40 gâteaux, on fait des paquets de 10 gâteaux. Combien peut-on faire de paquets ? »

Dans cette situation aussi, l'élève va utiliser des groupements en partageant.

Dans les opérations, on regroupe les nombres afin de résoudre des problèmes. L'addition et la soustraction font directement référence aux groupements décimaux car il y a des règles qui s'y conforment et qui obligent à additionner ou soustraire les différents groupements entre eux. La multiplication ou la division ne font pas

directement appel aux groupements décimaux mais font tout de même référence aux notions de groupements. Elles peuvent très bien être utilisées à des fins d'apprentissages de la numération ou en guise d'introduction lors de l'apprentissage des groupements décimaux. Le choix des nombres doit tout de même être pertinent afin que les élèves puissent comprendre que cela va les amener aux groupements décimaux.

On peut également utiliser du matériel afin d'apprendre les opérations (exemple : cubes, plaquettes de dix etc. É). Ce matériel sert à structurer les apprentissages des élèves, dans le sens où ils peuvent manipuler pour comprendre. En effet, différents matériels peuvent servir à associer des termes qui feront l'objet d'opération.

Aussi, les opérations peuvent se trouver parfois directement dans la numération orale. On associe deux termes oraux qui traduisent clairement une opération :

Exemples : vingt-et-un signifie vingt plus un (addition) Quatre-vingt signifie quatre fois vingt (multiplication)

Cela montre qu'il existe un lien fort entre nombre et opération. Ce lien passe en particulier par l'importance des groupements par dix.

Synthèse

On a pu voir à quel point la numération était un domaine important lors des apprentissages fondamentaux des élèves. En effet, ce thème fait partie intégrante des savoirs indispensables que l'école doit pouvoir transmettre à ses élèves. Chaque enseignement doit être compris par les élèves et doit être amené de façon à ce qu'il ait du sens. C'est la grande difficulté de l'école.

Afin que les élèves puissent avoir une compréhension optimale de la numération, on a pu voir que les enseignants, les programmes et les manuels mettaient en place des aides à cette assimilation. En effet, la stratégie de groupement constitue un véritable tremplin pour que l'élève puisse donner du sens à notre système positionnel de numération décimale.

Grâce à la lecture de différents articles et aux apports directement prélevés en classe, j'ai pu constater qu'il existait différentes techniques concernant le groupement, pouvant permettre à l'élève de comprendre la numération dans son sens le plus profond.

Certains privilégient les méthodes de groupements à l'écrit, qui vont permettre de mettre en avant une organisation spatiale qui fera sens au dénombrement (exemple : bâtonnets) mais ne pourra pas être transposée automatiquement à l'écriture chiffrée (Cf. disposition spatiale de Hilli et Ruellan-Le-Coat). En effet, les apprentissages de l'écriture chiffrée au cours préparatoire peuvent toujours entraîner des erreurs de la part des élèves. Lors d'un dénombrement et afin d'être compris par tous les élèves de la classe, quel que soit leur niveau, les élèves vont être amenés à grouper pour communiquer de façon écrite. Cela passe souvent à travers l'élaboration d'un bon de commande. Favoriser le groupement dans l'écriture va également permettre aux élèves de comprendre le sens de l'écriture chiffrée du système positionnel français. En effet, grâce à une première symbolisation écrite, les élèves vont pouvoir appréhender les notions d'unités, dizaines, centaines, et comprendre la position d'un chiffre dans un nombre.

D'autres vont privilégier l'absence de l'oral (« Freddy la grenouille ») qui va obliger l'élève à trouver une autre stratégie de communication (sous entendue l'écrit). Dans les articles que j'ai pu lire, l'oral n'est pas toujours mis en avant. Il serait intéressant, lors d'une éventuelle recherche, de s'attarder sur l'aspect oral des nombres et sur le sens qu'il peut transmettre. En effet, les nombres sont constitués généralement grâce aux groupements auxquels ils appartiennent, mais dans le système français, il existe énormément d'exceptions des mots-nombres pouvant engendrer une difficulté de compréhension du système en lui-même par les élèves (exemple : le mot « dix-sept » peut être perçu comme une dizaine et sept unités par les élèves, après un apprentissage. Mais le mot « douze » ne peut pas être associé facilement à une dizaine et deux unités.). L'apprentissage de la numération à travers les groupements oraux me semble être plus difficile que l'écrit à transmettre aux élèves, bien qu'il soit très intéressant.

La symbolisation des groupements par les objets et la manipulation sont des atouts majeurs dans la compréhension de la numération. Il est en vrai que c'est en manipulant que les élèves arrivent à donner du sens à leurs apprentissages. Utiliser du matériel et privilégier la manipulation va rendre la situation plus concrète. Mais attention, il ne s'agit pas juste de manipuler des objets et de passer ensuite aux groupements. Manipuler ces objets doit permettre de faire un lien avec les groupements. Les enseignants doivent faire comprendre aux élèves que le but de la symbolisation grâce au matériel est la compréhension de l'écriture décimale des nombres (exemple : si l'élève manipule 10 paquets de 3, ils symboliseront trois dizaines). La manipulation permet de rendre une situation réelle et est très importante puisqu'elle permettra une meilleure compréhension si le lien entre celle-ci et l'écriture des nombres est bien fait. On ne doit pas seulement manipuler pour écrire, on doit manipuler pour donner du sens et écrire grâce à ce que l'on a compris de la manipulation.

Lors des expériences, les auteurs des différents textes ont parfois provoqué le groupement ou ont laissé l'élève choisir seul sa stratégie. C'est lorsque l'élève tâtonne afin de trouver une stratégie qu'il va offrir plusieurs possibilités de réponses à sa situation problème. Les auteurs ont voulu faire émerger la stratégie de groupement par les élèves, sans pour autant s'être attardés sur l'aspect numéral de ces groupements. En effet, les expériences ont permis aux élèves de créer des groupements, mais pas souvent

des groupements de 10. Il ne s'agit pas de quelque chose de très grave, puisque, par la suite, les enseignants pourront aider les élèves à comprendre que la stratégie de groupements par 10 est la plus simple à utiliser. Il est vrai que l'enseignant doit faire comprendre aux élèves que créer des groupements irréguliers (tels que 3-5-7-9-2) ne va pas permettre une addition facile. De plus, il est plus utile que les élèves comprennent que créer des groupements de même quantité va leur permettre de comparer deux quantités très rapidement (exemple : cinq groupements de dix d'un côté, quatre groupements de dix de l'autre ; on peut repérer directement qui en a le plus). En revanche, si l'on regroupe par 10, on pourra, grâce à la comptine numérique, aux calculs ou encore aux apprentissages de 10 en 10, prouver aux élèves qu'il est plus stratégique d'effectuer des groupements de 10, bien qu'à ce stade de l'apprentissage de la numération, ils pourront préférer d'autres stratégies (2 en 2, 20 en 20). La capacité du groupement n'est pas très importante puisqu'elle permet tout de même aux élèves de grouper et cela constituera une bonne introduction pour la numération décimale.

Bien que la numération et les opérations soient deux apprentissages différents, ils peuvent et doivent être reliés entre eux. C'est grâce à cela que les élèves comprendront le véritable sens des opérations dès le plus jeune âge. En effet, pour les quatre opérations, on a recours à la notion de groupement. L'addition et la soustraction étant les deux opérations ayant des règles de groupements décimaux, il est important pour les élèves de comprendre pourquoi on additionne (ou soustrait) tel chiffre avec tel chiffre. Les problèmes de multiplication et de division font également appel aux groupements, mais les groupements semblent moins évidents puisque moins visibles directement lors de l'opération.

Problématique et hypothèse

I. Présentation de la problématique

Après lecture et analyse de ces différents articles, j'ai pu me rendre compte qu'il fallait une articulation de plusieurs techniques, faisant appel à l'oral, à l'écrit, à la manipulation et au sens tout en faisant émerger la stratégie du groupement par l'élève lui-même, afin qu'il puisse être à même de comprendre le système français de numération décimal de façon complète.

L'utilisation de tous ces moyens simultanément me semble être quelque chose de trop complexe. M'intéresser à la confrontation parallèle de deux moyens me semble être un choix plus judicieux.

En outre, je peux me poser le problème suivant : L'articulation de l'oral et de l'écrit dans une méthode mettant en place l'élaboration du groupement par 10, permettrait-elle une meilleure compréhension de notre système français de numération décimale ?

II. Hypothèse

Dans le but de répondre à cette problématique, je peux en amont émettre l'hypothèse qu'utiliser une méthode dans laquelle l'élève serait amené à articuler l'oral et l'écrit, dans le but de faire émerger la notion de groupement par 10, permettrait de donner un sens au système français de numération. Le fait que l'élève puisse y donner du sens entrainera, par conséquent, une meilleure compréhension de ce système.

Afin de tester cette hypothèse, je dois mettre en place un protocole expérimental me permettant de l'infirmer ou de la confirmer.

L'expérimentation

Une année de stage est mise en place en deuxième année de Master, me permettant, entre autre, de pouvoir mettre en place une expérimentation répondant à ma problématique. Cette expérimentation sera effective si elle est menée dans une classe de CP. Elle pourra être repensée s'il s'agit d'une classe de CE1 mais ne pourra pas être efficace dans un niveau supérieur.

I. Le choix de l'expérimentation

Ma problématique étant de savoir si l'articulation entre l'oral et l'écrit permet une meilleure compréhension du système décimal de numération, je me suis demandée quelle expérimentation je pouvais mettre en place pour pouvoir y répondre.

Lors de mes lectures d'articles, je me suis intéressée à la compréhension de la valeur positionnelle des chiffres dans les nombres pour pouvoir comprendre la numération. En effet, puisque les élèves de la classe de CP dans laquelle je vais mener mon expérimentation, n'ont qu'une faible (voire aucune) connaissance au niveau des groupements (par dix) et au niveau du sens des dizaines et des unités, je me suis dit qu'il fallait commencer par une compréhension de la valeur positionnelle des chiffres pour comprendre la numération et le sens du nombre par la suite.

Aussi, il convenait que je puisse mêler l'oral et l'écrit dans une expérimentation pour mettre en avant le principal aspect de ma problématique.

La notion mathématique visée dans cette séquence est l'apprentissage de la numération, ou plus particulièrement la compréhension profonde de notre système décimal de numération. En effet, la plus grande difficulté que les élèves ont lors de l'apprentissage de la numération est d'en comprendre son sens, de savoir pour quelles raisons on utilise ce système de position et de comprendre comment il fonctionne.

Grâce à l'article d'Aigoin et Guebourg (Du dénombrement terme à terme aux groupements réguliers : un pas nécessaire vers la compréhension de notre système de numération positionnelle, 2004), je me suis intéressée à la situation du Grand Ziglotron (Cap Maths, Hatier, 2009) qui permet de comprendre et d'utiliser la valeur positionnelle des chiffres dans un nombre grâce, entre autre, à la formation de groupements de dix.

Cette situation m'a parue pertinente à mettre en place en classe car en même temps d'être ludique, elle permet différentes modalités de travail : groupes et individuel. Elle m'a également semblée adéquate, puisque l'on peut la travailler en utilisant d'autres exercices oraux en parallèle, qui serviront à appuyer l'activité et à approfondir les connaissances des élèves. Effectivement, pour trouver une situation en lien avec ma problématique, je me dois de mêler l'écrit et l'oral afin de savoir si cela permet une meilleure compréhension de la numération.

Pour ces raisons, j'ai choisi de mettre en place la situation du Grand Ziglotron, dans une classe de CP comptant 21 élèves. Le choix du niveau était presque obligatoire, puisque c'est à ce stade de leur scolarité que les élèves commencent à apprendre la numération sous forme de dizaines et d'unités et à ce niveau que mon expérimentation pourra être effective. Aussi, ils n'ont que très peu de connaissances quant au sens de la numération et à la formation des nombres. On aurait pu mener cette expérimentation en classe de CE1 et l'adapter ou vérifier si une méthode d'apprentissage travaillée en CP aurait permit des facilités d'apprentissage.

La situation du Grand Ziglotron, telle qu'elle est décrite dans le manuel Cap Maths, est composée de cinq séances. Or, j'ai choisi de mener une expérimentation de cinq séances au total, dont trois proviennent du Grand Ziglotron, combinées à d'autres activités orales, et deux qui serviront à l'évaluation diagnostique et à l'évaluation finale.

II. Le déroulement de la séquence

Dans cette séquence de cinq séances, les élèves sont amenés à grouper par dix dans le but d'appréhender plus clairement le système décimal de numération française. Ils ont pour consigne de devoir remplir un robot électronique (le Grand Ziglotron) qui ne peut fonctionner que lorsque tous ses boutons sont complétés.

Comme il est indiqué ci-dessus, j'ai fais le choix de n'utiliser que trois séances de cette situation : il s'agit des séances 1, 2 et 3. Ces trois séances sont, selon moi, les plus intéressantes puisqu'elles proposent des situations et manipulations différentes, qui permettront aux élèves de diversifier leurs procédures (les séances 4 et 5 du manuel Cap Maths sont des séances d'entraînement et d'évaluation). Aussi, les trois situations choisies sont assez courtes pour être associées à des exercices oraux (par exemple, un travail sur l'ardoise), ce qui me permettra de répondre à ma problématique en combinant les deux modalités de travail (écrit et oral).

Ci-dessous je présenterai le déroulement des cinq séances, ainsi que les analyses à priori de celles-ci.

III. Présentation des cinq séances

J'ai choisi d'effectuer un test diagnostic, qui servira à repérer les conceptions des élèves en ce qui concerne la numération, mais également leur capacité à mettre en relation différentes écritures d'un nombre dans différents systèmes de représentations sémiotiques (exemple : système positionnel, décimal, par unité d'ordre donné...).

Ce test diagnostic aura pour but de dénombrer un nombre de billes qu'il y a sur une feuille (trois séries à dénombrer), et d'écrire le nombre sous la forme du système positionnel (exemple : 26) et sous la forme d'unités, dizaines (exemple : 2 dizaines, 6 unités).

Ici, il est clair que toutes les évaluations diagnostiques des élèves seront recueillies. Lors de cette séance, il sera également judicieux de s'intéresser aux procédures des élèves pour dénombrer (barrer, colorier, entourer des paquets...).

Je soulignerai aux élèves le fait qu'ils ne devront pas gommer ce qu'ils ont fait afin de pouvoir recueillir différentes procédures directement sur le test.

Cette évaluation sera entièrement autonome et je laisserai les élèves libres de toute procédure.

Dans cette première séance, je m'intéresserai beaucoup aux procédures des élèves pour dénombrer. J'utiliserai alors une grille d'analyse dans laquelle je noterai les différentes stratégies qu'ils mettront en place.

Il sera également intéressant de relever le temps d'exécution des élèves, afin de souligner si certains élèves ont des facilités ou des difficultés dans la réalisation de cette évaluation.

Les résultats des élèves seront classés en fonction de leur justesse et de leur cohérence.

C'est lors de la deuxième séance que se fera la présentation de la situation. Les élèves seront face à une situation problème leur permettant un apprentissage constructiviste.

Divisés en équipes de deux ou trois (acheteurs), ils devront mettre en place une procédure de leurs choix, afin de demander le nombre exact de boutons pour remplir le Ziglotron à un marchand (trois marchands ayant un bon niveau en numération seront désignés au préalable). Ce travail se fera à l'oral.

L'enseignant devra préciser que les boutons sont répartis en plaques de dix ou à l'unité. L'élève devra demander un nombre de plaques, de boutons, ou encore de plaques et de boutons au marchand. Cette phase permet l'appropriation de la situation par les élèves mais également l'observation de la diversité des procédures qu'ils vont mettre en oeuvre.

L'acheteur validera ensuite le nombre de boutons en remplissant le Ziglotron. Il est évident que l'on devra vérifier le nombre de boutons que donnera le marchand à l'acheteur, afin de voir s'il correspond à ce qui sera demandé.

Une phase de mise en commun sera ensuite établie afin de connaître les procédures choisies, ce que les acheteurs ont demandé aux marchands et si le groupe a réussi ou échoué.

Une synthèse conclura cette séance dans laquelle nous reviendrons sur les procédures valables ou non des élèves et sur les procédures les plus stratégiques selon eux.

Dans cette séance, je recueillerai les procédures des élèves pour dénombrer (grâce à une grille d'observation), les désaccords entre eux s'il y en a, la façon dont ils demandent aux marchands (exemple : 26 boutons ou 2 plaquettes de 10 et 6 boutons seuls), la façon dont les marchands comptent (plaquettes de 10 + boutons isolés ou boutons isolés uniquement).

Aussi, je m'intéresserai à savoir si les élèves ont eu trop de boutons en leur précisant de laisser les boutons en trop au coin de la table (grâce à leurs Ziglotrons, je pourrai relever les élèves ayant eu un nombre exact de boutons et ceux n'en ayant pas eu assez).

Enfin, la fiche du Grand Ziglotron servira, à vérifier la compréhension et la justesse de la tâche. Cette fiche servira surtout à savoir si les élèves dénombrement correctement ou s'ils ont des difficultés.

La troisième séance présentera la même activité avec quatre contraintes majeures :

- Les acheteurs devront transmettre un bon de commande aux marchands. - Ils ne pourront pas communiquer entre eux.

- Les élèves ne devront pas coller les boutons sans que l'enseignant juge de leur réussite.

Cette séance oblige les élèves à prendre en considération le groupement par 10.

Une phase de mise en commun permettra de juger de la lisibilité des bons de commande et de leur conformité aux contraintes, de vérifier la pertinence de la répartition des boutons dans les bons de commande, et de chercher l'origine des erreurs s'il y en a.

Une troisième phase de la séance offrira un entraînement collectif aux élèves à travers l'oral. On demandera combien de plaques et de boutons il faudra pour un nombre de boutons donné et inversement. Les élèves écriront alors les réponses sur leurs ardoises et l'on recueillera les différentes erreurs pour les exploiter.

A la fin de cette séance, une institutionnalisation aura lieu sur le fait que les plaques de dix représentent les dizaines et les boutons isolés, les unités. Ainsi, l'élève pourra acquérir le vocabulaire associé aux nombres en ayant d'abord travaillé sur son sens.

Dans cette séance, je recueillerai les bons de commande des élèves, ainsi que leurs justifications orales, afin de comprendre comment s'est fait le cheminement de leurs réponses. Cela permettra également de souligner, à ce stade de l'expérimentation, si des difficultés persistent au niveau de la compréhension de la situation et ainsi, de les exploiter pour les éclaircir.

Ici, je m'intéresserai également aux discussions internes des groupes - car les élèves sont toujours par deux ou trois - afin de voir s'ils échangent ou non leurs procédures et s'ils arrivent à se mettre d'accord.

Grâce à une grille d'observation, je relèverai également les résultats des élèves quant au travail sur ardoise (erreurs, justifications, bons résultats etc. )

La séance 4 est identique à la troisième, hormis le fait que les élèves n'ont plus le Ziglotron à leur disposition. C'est l'enseignant qui en disposera et qui aura remplit au préalable la première partie du bon de commande (« Il faut É boutons »).

Les élèves devront remplir la suite du bon de commande. Cette résolution se fera de façon individuelle. Cette séance permet aux élèves de faire directement le lien entre l'écriture et le groupement par 10 puisque le matériel n'est plus à disposition des élèves. Cela va donc permettre de tester leur capacité à avoir institutionnaliser la tâche, sans avoir recours au matériel.

Une phase de mise en commun et de synthèse est ensuite mise en place, dans laquelle nous ferons le tri entre les réponses des élèves (bonnes ou mauvaises) et expliquerons pourquoi. Nous ferons ressortir les procédures mises en oeuvre et nous établirons une synthèses des procédures efficaces.

Lors d'une dernière phase, les élèves devront répondre au même exercice oral que la séance 3 sur leurs ardoises, mais ne devront plus utiliser les mots « paquets de dix » et « boutons isolés », mais dizaines et unités (ou d et u).

Lors de cette séance, les données recueillies seront semblables à celles de la séance 3, mais je m'intéresserai tout particulièrement aux procédures des élèves dans la résolution de la tâche. En effet, comme les élèves devront identifier le nombre, et le décomposer sous formes de paquets de dix boutons et de boutons isolés, sans avoir aucun matériel à leur disposition, le travail sera sans doute plus laborieux.

Une feuille de brouillon sera distribuée à tous les élèves pour qu'ils puissent écrire le cheminement de leur réflexion.

La cinquième séance concernera l'évaluation finale à travers laquelle les élèves devront refaire l'évaluation diagnostique donnée lors de la première séance. Cette trace écrite permettra alors de relever les difficultés persistantes ou justement, de repérer les bienfaits de l'expérimentation à travers les évolutions des élèves.

Analyse

I. Analyse a priori

Afin de mener au mieux cette expérimentation et de réagir au plus vite face aux difficultés des élèves, je me dois d'effectuer une analyse a priori des différentes séances présentées ci-dessus. Après un court entretien avec l'enseignant responsable de cette classe, j'ai pu apprendre qu'il s'agissait d'une classe de vingt-et-un élèves ayant un niveau global moyen. En numération, et tout particulièrement dans le domaine des groupements dizaines et unités, les élèves n'ont aucune connaissance et l'enseignant était sur le point de travailler cela avec eux. Cette information est importante puisque c'est grâce à l'expérimentation que je vais mener que les savoirs vont se mettre en place.

Lors de la première séance, qui est celle de l'évaluation diagnostique, les élèves pourront utiliser plusieurs procédures. En effet, l'objectif de cette évaluation étant de dénombrer un nombre de billes donné et d'en écrire la quantité (sous deux écritures : nombre total de billes et nombre de dizaines et d'unités), ils vont pouvoir dénombrer de différentes façons :

- en barrant les billes déjà comptées (trait ou croix) - en mettant un point dans chaque bille dénombrée

- en créant des paquets (d'un nombre de billes qu'ils choisiront eux-mêmes) - en dénombrant visuellement ou avec leur doigt

Parmi ces procédures, il y en a qui peuvent conduire à des erreurs de dénombrement. En effet, créer des paquets réguliers ou non peut induire l'élève en erreur lorsqu'il devra les additionner.

Aussi, dénombrer visuellement ou avec le doigt peut mener à des oublis ou au surcomptage.

Ces procédures sont d'autant plus sujettes à erreurs si l'élève y associe des pauses (lors du dénombrement) ou s'il manque de concentration. Je pourrai relever cela en observant les élèves et surtout en passant dans les rangs pour vérifier de leur concentration. Si je remarque des groupes faisant autre chose, je ne manquerai pas de leur rappeler ce qu'ils doivent faire.

En revanche, lorsque les élèves vont barrer ou mettre un point dans une bille, les possibilités d'erreurs de dénombrement seront plus faibles, puisqu'en « pointant » chaque objet, il pourra les compter au fur et à mesure, et éviter les oublis. Dans ces procédures, l'élève pourra aussi faire des erreurs s'il manque de concentration.

Dans cette évaluation, les consignes étant expliquées au préalable, l'élève ne devrait pas avoir de difficultés lors de la compréhension de celles-ci, puisque très simples (« Ecris le nombre de billes qu'il y a »).

C'est lorsqu'il devra faire le rapport entre le nombre de billes et le nombre de dizaines et d'unités que les difficultés se ressentiront. En effet, les élèves n'ayant presque aucune connaissance en matière de dizaines et d'unités, les résultats seront inscrits selon différentes stratégies :

- au hasard (l'élève inscrit des chiffres au hasard là où il y a des pointillés puisqu'il ne fait aucun lien entre les différentes écritures du nombre)

- en utilisant les mêmes chiffres que précédemment (exemple : si le nombre de billes est de 26, l'élève utilisera les chiffres 2 et 6 pour les inscrire sur les pointillés)

- de façon juste (l'élève aura connaissance de la dizaine et de l'unité et comprendra alors le lien entre les deux écritures).

Dans cette évaluation, l'élève pourra alors faire deux types d'erreurs qui seront celles lors du dénombrement, ou celles lors de l'écriture du nombre de dizaines et d'unités. N'ayant pas connaissance du niveau de ces élèves, je ne saurai dire s'il y aura des erreurs lors de l'écriture même des chiffres ou de confusion entre certains chiffres. Les nombres écrits à l'envers ou d'une mauvaise façon ne sera pas une erreur à prendre en compte lors de cette évaluation.

Dans cette séance, qui a pour objectif l'appropriation de la situation par tous, les élèves par équipes de deux ou trois devront dénombrer le nombre de boutons manquants au Ziglotron et demander aux marchands de lui donner le nombre de boutons correspondant. Dans cette séance les procédures et erreurs des élèves peuvent être nombreuses, puisqu'il s'agit d'une séance de découverte.

La consigne, étant explicitée par l'enseignante et réexpliquée par les élèves, ne devrait pas poser de problème. C'est lors du dénombrement du nombre de boutons manquants que les difficultés vont apparaître.

Les différentes procédures présentées ci-dessus (séance 1), pourront être utilisées par les élèves. Le fait qu'ils soient désormais en groupes va atténuer les erreurs possibles, puisque les groupes seront formés de façon hétérogènes et le dénombrement pourra être discuté entre les élèves.

Lorsque les élèves se seront mis d'accord sur le nombre de boutons manquants, le fait de demander au marchand peut poser problème : certains élèves pourront avoir oublié le nombre de boutons dénombrés entre temps, ou pourront ne pas savoir exprimer le mot associé au nombre de boutons. J'aurai pour rôle à ce moment là, de vérifier le nombre de boutons manquants avant d'autoriser un élève à se lever pour aller

demander au marchand, pour qu'il n'y ait pas de confusion entre chaque groupe et que lors d'un oublie, je puisse l'aider.

Il sera aussi judicieux de s'intéresser à la façon dont l'élève demande au marchand pour pouvoir se faire une idée de la représentation du nombre qu'il a (exemple : l'élève demandera 26 boutons ou l'élève demandera 2 plaques de dix boutons et 6 boutons isolés). A ce stade de l'expérimentation, on peut imaginer que demander le nombre total de boutons facilitera la compréhension de tous.

Je vérifierai également que les marchands donnent le nombre exact de boutons demandés par l'élève, puisque s'il est erroné, ce ne sera pas dû à une erreur de dénombrement mais bien à une erreur de la part du marchand et elles sont à éviter pour ne pas influer sur l'objectif de la séance.

Les documents du Grand Ziglotron permettront de vérifier de la réussite ou de l'échec du groupe :

- s'il y a le nombre de boutons exact collés sur le Ziglotron et aucun bouton sur la table : les élèves auront correctement dénombrés.

- S'il y a le nombre de boutons exact collés sur le Ziglotron et qu'il reste des boutons sur la table : les élèves n'auront pas correctement dénombrés.

- S'il n'y a pas le nombre suffisant de boutons collés sur le Ziglotron : les élèves n'auront pas correctement dénombrés.

La séance 3 reprend la même situation que la séance 2 sauf que l'on y introduit des contraintes :

- écrire le nombre de boutons sur un bon de commande, ainsi que le nombre de plaques et le nombre de boutons isolés

Cette séance va amener à la compréhension et à l'utilisation de la valeur positionnelle des chiffres dans l'écriture d'un nombre.

Les procédures des élèves concernant le dénombrement seront les mêmes que lors de la séance 1 et 2.

La contrainte de ne pas parler aux marchands va amener les élèves à réfléchir sur ce qu'ils devront écrire sur leurs bons de commandes. Comme lors de la séance 1, certains élèves n'auront toujours pas les notions requises pour indiquer avec précision le nombre de paquets de dix et de boutons isolés par rapport au nombre total de boutons. C'est pour cela qu'une aide leur sera permise : entourer des paquets de dix boutons pour pouvoir compter le nombre de paquets qu'il faudra. Cette aide est indispensable pour que les bons de commandes soient lisibles par les marchands et que les écritures des nombres coïncident.

Malgré l'explication et l'aide apportée, certains élèves pourront faire des erreurs entre les deux écritures du nombre. C'est pour cela qu'il sera indiqué aux marchands de s'intéresser uniquement au nombre de boutons total.

Le fait que les marchands ne puissent plus donner plus de neuf boutons isolés va être une contrainte qui va poser beaucoup de soucis aux élèves puisqu'ils ne sauront pas comment la contourner s'ils n'ont pas les notions nécessaires. Les groupes les plus en difficultés pourront être aidés, soit par leurs pairs, soit par l'enseignante.

La réussite ou l'échec des groupes seront jugés de la même façon que lors de la deuxième séance.

Cette situation terminée et explicitée, on propose aux élèves une autre activité permettant de travailler sur l'oral des nombres. En effet, en leur demandant de décomposer un nombre donné en paquets de dix et boutons isolés, les élèves vont être amenés à réfléchir sur la composition d'un nombre, sans avoir de matériel à disposition. Les procédures utilisées par les élèves lors de cette activité seront difficilement observables, puisqu'il s'agit d'un calcul mental. Les élèves pourront alors :

- compter avec leurs mains (combien de fois dix doigts il y a dans ce nombre ?) et leurs doigts (combien de doigts en plus ?)

- connaître la réponse par rapport à l'écoute du nombre (exemple : dix-neuf = un paquet de dix et neuf doigts) mais cela ne marchera que pour les nombres de 10 à 19.

Pour ne pas que les élèves puissent s'aider des réponses de leurs camarades, il sera précisé que toutes les ardoises devront être levées en même temps, lorsque l'enseignante dit « Tic, tac, boum ».

Une explication des erreurs faites par les élèves entre chaque nombre donné permettra une meilleure compréhension au fur et à mesure de l'exercice.

Le vocabulaire des mots « dizaines » et « unités » sera introduit et explicité en fin de séance.

La séance 4 aura pour objectif de remplir le bon de commande donné par l'enseignante afin d'y indiquer combien de paquets de dix boutons et de boutons isolés il y a dans un nombre.

Cette situation reprend le même travail fait précédemment sur l'ardoise à l'écrit. Les élèves n'ont plus de matériel à leur disposition ; c'est le moment où ils pourront institutionnaliser.

Les élèves reçoivent chacun un bon de commande qu'ils doivent remplir individuellement. Sur ce bon est inscrit : « Il faut 42 boutons. Notre commande : É paquets de dix boutons, É boutons. ».

Cette activité assez courte va permettre de voir si les élèves ont compris le sens du nombre. Une petite feuille blanche leur sera donnée afin qu'ils puissent l'utiliser comme brouillon. C'est grâce à cette feuille que l'on pourra relever les procédures des élèves qui pourront être de :

- d'écrire des décompositions du type : 10/10/10/10/2 ou alors 10/20/30/40/42 - décomposer le nombre sous forme additive : 42 = 10+10+10+10+2

Les erreurs seront relevées directement sur le bon de commande et pourront être dues à une mauvaise compréhension du nombre ou à des chiffres écrits au hasard par exemple.

Une mauvaise compréhension de la consigne ne sera probablement pas possible à ce stade de l'expérimentation, puisqu'il s'agit d'une activité qu'ils ont déjà travaillé au préalable.

L'activité de la séance 3 sur l'ardoise est reprise lors de cette séance. En revanche, ce n'est plus un nombre de paquets de dix boutons et de boutons isolés qui sont demandés mais un nombre de dizaines et d'unités. Les procédures possibles seront les mêmes que lors de la séance précédente.

La séance 5 reprend la même évaluation que lors de la première séance et permet de vérifier de la validation ou non de l'hypothèse de recherche. En effet, c'est grâce à la comparaison des deux évaluations que l'on pourra observer l'évolution ou les lacunes persistantes des élèves.

Les procédures des élèves seront les mêmes que lors de la première séance. En revanche, on s'attend à ce que les élèves forment des paquets de dix pour dénombrer. Cela signifiera que le sens du nombre à été compris grâce au groupements par dix.

Les erreurs attendues ne sont pas les mêmes que lors de la première séance, puisque grâce à l'expérimentation, les élèves devront avoir acquis certaines connaissances leur permettant de répondre correctement à cette évaluation.

Le choix de ne pas compliquer l'évaluation permettra de faire une véritable comparaison entre le début et la fin de l'expérimentation.

certaines erreurs et procédures des élèves que l'on a explicitées ci-dessus. D'autres procédures ou erreurs pourront apparaître sans avoir été analysées au préalable.

C'est lors de l'analyse a posteriori que l'on pourra recueillir les différentes façons d'exécution de la tâche par les élèves et relever également leurs différentes erreurs.

II. Analyse a posteriori

Lors de la première séance, dix-sept élèves étaient présents. Une grille d'observation pour relever les différentes procédures des élèves a été utilisée. Il a été précisé aux élèves de faire comme ils souhaitaient pour dénombrer, y compris utiliser son crayon ; la procédure dite « sans trace » est celle dans laquelle les élèves n'ont laissé aucun trait de crayon ou aucune trace écrite :

L'élève ayant utilisé une autre procédure a écrit la comptine numérique dans chaque bille. Sa procédure était incorrecte à chaque fois du fait qu'il ait oublié une bille, ou que la comptine n'était pas correcte.

j'appellerai ci-dessous exercice 1), il y avait 28 billes au total. Dans le deuxième dénombrement (exercice 2), il y en avait 22 et dans le troisième (exercice 3), 36.

On remarque que les résultats corrects du dénombrement de billes sont en corrélation avec le nombre de billes à dénombrer ; plus les nombres sont grands, plus les élèves ont des difficultés à dénombrer. A ce niveau, les élèves devaient avoir connaissance de la comptine numérique jusqu'à 100, mais certains devaient avoir des lacunes.

C'est parmi tous les dénombrements corrects que nous allons voir les procédures utilisées par les élèves :

On remarque clairement que les élèves ayant dénombré correctement sont ceux ayant barrer ou pointer les billes. On peut imaginer que la procédure la plus experte est bien de les barrer ou de les pointer afin de laisser une trace qui rend compte des éléments déjà dénombrés.

Sur les bonnes réponses, seulement trois élèves ont correctement écrit le nombre de dizaines et d'unités en fonction de leurs réponses trouvées ; en effet, même si leurs dénombrements de billes au total n'étaient pas corrects pour les trois exercices, ils correspondent quand même à l'écriture du nombre sous la forme dizaines et unités.

C'est à lors que l'on peut s'apercevoir que les élèves de cette classe n'ont que très peu de connaissances par rapport aux groupements décimaux.

Lors de la situation du Grand Ziglotron, dix-neuf élèves étaient présents et dispersés en neuf groupes. Cette séance était la présentation de la situation et ne révèle pas vraiment d'éléments indispensables à l'appropriation de l'apprentissage du nombre puisqu'il s'agissait de dénombrer et de coller. Nous pouvons tout de même nous intéresser aux élèves ayant réussi ou échoué :

Lors de cette séance, les procédures les plus utilisées par les élèves ont été de dénombrer terme à terme en recomptant plusieurs fois puisqu'ils étaient par binômes. Les élèves qui ont échoué n'ont pas tenu compte du fait qu'il fallait demander un nombre de boutons exact : ni trop, ni pas assez. C'est pour cela que certains ont redemandé des boutons (chose qui n'a pas été possible) et d'autres en avaient trop.

Il est important de préciser que lors de cette séance, les trois marchands désignés ont réalisé l'activité quand tous les groupes avaient leurs commandes et je jouais le rôle de la marchande.

Cette séance d'appropriation de l'activité a été correcte dans le sens ou beaucoup d'erreurs vis-à-vis des consignes ont été commises ; c'est à ce moment là que les élèves ont pu se rendre compte des différentes règles à respecter et qui serviront lors de la séance suivante.

Cette séance sera analysée en deux parties : tout d'abord la situation du Grand Ziglotron, puis l'exercice sur ardoise. Il est également important de préciser qu'un rappel de la séance précédente a été fait en début de séance.

Dans cette situation, nous ne nous intéresserons évidemment pas au nombre de boutons dénombré par les élèves (correct ou non), mais au lien qu'ils font entre les deux écritures des nombres. En effet, ayant rempli le bon de commande (à cause des contraintes), les élèves devaient donc donner le nombre de boutons total, le nombre de paquets de dix boutons et le nombre de boutons isolés.

Parmi les huit groupes d'élèves présents ce-jour là, nous allons voir combien d'entre eux ont réussi ou échoué lorsqu'ils ont du écrire le nombre de paquets de dix et de boutons, si ces nombres ont un lien avec le nombre total de boutons, mais aussi les procédures qu'ils ont utilisé.

Les nombres de boutons à dénombrer étaient différents selon trois documents : 28, 34 ou 45 boutons.

- Un groupe n'a rien écrit dans les catégories « paquets de dix boutons » et « boutons ».

- Un groupe a écrit le même nombre pour chaque catégories (41 boutons, 41 paquets de dix boutons, 41 boutons.).

Ces deux groupes ont probablement manqué de connaissances par rapport aux paquets de dix boutons et de boutons seuls et se sont retrouvés en difficultés lors de l'exercice. Les contraintes ont également été un obstacle pour eux.

- Un groupe a utilisé les mêmes chiffres que celui du nombre de boutons total mais dans le mauvais ordre : « Il y a 35 boutons. 5 paquets de dix boutons, 3 boutons. ». Les élèves de ce groupe se sont sûrement rappelé du fait qu'il

s'agissait des mêmes chiffres mais n'ont pas intégré le sens. Ces élèves n'ont pas utilisé de stratégie de groupement.

- Deux groupes d'élèves ont groupé par dix boutons sur leurs Ziglotrons mais n'ont pas su correctement dénombrer par la suite (exemples : « Il y a 32 boutons, 3 paquets de dix boutons, 3 boutons », « Il y a 28 boutons, 2 paquets de dix boutons et 7 boutons ».). Ici, les élèves ont utilisé une méthode intéressante qui est celle de grouper par dix mais leurs résultats ne coïncident pas, puisque leurs dénombrements de paquets de boutons et de boutons n'étaient pas corrects. Ceci est probablement dû au fait qu'ils n'ont pas fait de lien entre les deux écritures.

- Enfin, trois groupes d'élèves ont entouré des paquets de dix sur leurs Ziglotrons et ont correctement dénombré. En effet, ils ont noté le bon nombre de paquets de dix boutons et le bon nombre de boutons sauf qu'ils ne sont pas en lien avec le nombre de boutons total dénombré au départ (Exemple : le nombre de boutons total à dénombrer est 37 ; sur le bon de commande il sera écrit 39 boutons ; 3 paquets de dix boutons, 7 boutons). C'est en formant des groupements de dix que les élèves ont su correctement donner les nombres de paquets de dix et de boutons.

Sur ces huit groupes, cinq groupes d'élèves ont groupé par dix. Ceci a été amené au fur et à mesure de la séance par un travail oral avec les élèves dans lequel ils devaient trouver des stratégies efficaces pour répondre à l'exercice. Des aides ont été apportées au cours de la séance puisque les élèves se sont retrouvés bloqués à cause de la contrainte du marchand qui ne pouvait pas donner plus de 9 boutons isolés. Une mise en commun a été faite en demandant aux élèves comment ils pourraient compter les paquets de dix. Les élèves ont su dire qu'il fallait faire des paquets de dix. Cela leur a permis de continuer l'activité sans difficulté supplémentaire.

Dans cet exercice, les contraintes ont posé énormément de problèmes pour les élèves. Le fait de ne pas pouvoir demandé un nombre supérieur à 9 boutons isolés les a mis en difficulté dès le départ. Sans une mise en commun sur la stratégie efficace du groupement par dix, les élèves se seraient retrouvés bloqués.

Après avoir explicité les différentes stratégies utilisées par les élèves lors de la situation du Grand Ziglotron, nous avons commencé l'exercice sur l'ardoise.

- quatre pour le nombre de paquets de dix et de boutons lorsqu'on leur donne un nombre de boutons total

Il a été dit aux élèves que paquets de dix s'écrivaient « P » sur l'ardoise et boutons « B ».

Lors du premier calcul, certains élèves ont formé des paquets de dix avec leurs dix doigts ; par exemple, lorsqu'il était demandé « 34 », les élèves tendaient trois fois leurs dix doigts et finissaient par montrer 4 avec une main. Cette stratégie a été reprise en mise en commun directe pour faciliter le travail des élèves. En revanche, on comptait de dix en dix en même temps que l'on montrait nos dix doigts, pour que les élèves l'intègrent aussi autrement par le visuel.

La majorité des réponses des élèves ont été bonnes durant tout l'exercice. Seulement quelques élèves en difficultés écrivaient des réponses erronées sur leurs ardoises (exemples : 34 = 4P 3B ; 34P ; 34 B).

L'exercice a bien fonctionné dans la mesure ou seulement deux élèves avaient des difficultés qui se sont estompées au fur et à mesure des mises en commun.

C'est à lors que les notions de « dizaines » et « unités » ont été explicitées.

La séance 4 est une institutionnalisation du sens de la numération grâce à la situation du Grand Ziglotron. En effet, les élèves n'ayant qu'à remplir le bon de commande se sont retrouvé directement face au sens de l'écriture sous forme dizaine et unité d'un nombre.

Le nombre donné sur le bon de commande était de 42 boutons. Les élèves devaient donc compléter avec 4 plaques de dix boutons et 2 unités.

Sur 19 élèves, 18 ont répondu correctement à cet exercice. Seul un élève a répondu « 24 paquets de dix boutons, 14 boutons ».

Les élèves ont très rapidement su répondre à l'exercice ; en sept minutes tous les élèves avaient terminé.

Seul un élève s'est servi de la feuille de brouillon pour y noter : « 10 20 30 40 42 ».

Ces résultats amènent à penser que les élèves commencent à comprendre le sens de la numération puisque, sans matériel, ils ont presque tous répondu correctement. Nous pouvons aussi penser que c'est grâce à la situation qui commence à être habituelle que les élèves ont pu répondre correctement. A ce moment de l'expérimentation, nous ne pouvons pas donner de conclusion.

Ce jour-ci, nous avons fait 14 calculs. En effet, comme la première situation a été très rapide, nous avons eu le temps de faire sept nombres à transformer en écriture dizaines et unités et sept nombres écrits sous forme « dizaine, unité » à reconstituer.

Les élèves ne devaient plus écrire « P » pour paquets de dix mais « d » pour dizaines et « u » pour unités à la place de « B » pour boutons.

Les nombres ont été choisis de façon à ce que le nombre des dizaines ne soit jamais le même que celui des unités. Ce choix a été fait pour complexifier la tâche et pour identifier où apparaitraient les différentes erreurs des élèves.

Voici un histogramme permettant de relever les réponses des élèves au fur et à mesure des calculs. Les nombres demandés sont en abscisse.

On remarque très nettement que la majorité des élèves ont de bonnes réponses lorsqu'il s'agit de donner le nombre de dizaines et d'unités. Les quelques mauvaises erreurs sont faites par des élèves en difficulté ou sont des erreurs d'inattention des chiffres (exemple : 24 = 24d 0u). Ces erreurs ne sont pas analysées car on a pu remarqué qu'elles variaient avec les élèves, c'est-à-dire que ce n'était pas toujours les mêmes élèves qui faisaient des erreurs de sens, mais différents élèves qui faisaient des erreurs de confusion. Nous pouvons penser que les erreurs, plus nombreuses, lors du nombre 73, ont été causées par le fait que 73 est un grand nombre dont la sonorité se rapproche de 60 et de 13, ce qui a porté a confusion chez les élèves.

On remarque que, demandés sous la forme dizaines et unités, les calculs sont plus réussis par les élèves. En effet, ils entendent et voient mentalement les chiffres demandés de façon directe. Ils peuvent alors reconstituer le nombre de façon plus simple que lors de calculs inverses.

Les trois erreurs faites par les élèves lors du nombre « 9d 0u » ont été dues au fait que les élèves ne savaient pas comment écrire ce nombre. Le zéro a porté a

confusion et il serait intéressant de réutiliser les nombres « ronds » afin de palier aux difficultés.

Globalement, nous pouvons remarquer que cette séance représente un tournant dans l'apprentissage de la numération par les élèves puisque c'est à partir de là qu'ils commencent à y mettre du sens grâce à des exercices d'entraînement répétitif et un travail à l'oral très présent.

La séance 5 reprend l'évaluation de la première séance. C'est grâce à celle-ci que nous allons pouvoir repérer les évolutions ou les lacunes persistantes des élèves.

Nous allons donc reprendre les mêmes données que lors de la première séance :

On remarque que la majorité des élèves ont utilisé le groupement. En effet, les groupements comportent dix billes à chaque fois. Les élèves ont alors institutionnalisé le fait que pour dénombrer plus facilement et de manière plus stratégique, il était intéressant de créer des groupements de dix.

Reprenons désormais le tableau permettant de vérifier l'échec ou la réussite des élèves selon les trois exercices :

Grâce à ces résultats, nous pouvons voir qu'une majorité des élèves ont répondu correctement lors du dénombrement de billes total pour les exercices 2 et 3 et que la moitié de ceux-ci ont répondu correctement pour le premier exercice. Ceci démontre que grâce aux groupements, les élèves ont éprouvé moins de difficultés à dénombrer et que, même s'ils n'ont pas groupé, ils obtiennent des résultats corrects dans la plupart des cas. Ceci est peut être également dû au fait que les exercices ont été refaits à plusieurs reprises et que les élèves n'avaient pas la contrainte de la compréhension pour réussir.

Nous allons maintenant voir quelles procédures ont été les plus expertes dans la résolution de ces exercices, parmi les résultats corrects :

Les résultats restent très mitigés ; il est vrai qu'entre les élèves ayant barrer ou pointer et les élèves ayant dénombré, il n'y a pas de différences notables (sauf pour l'exercice 2 où la procédure de groupement est privilégiée).

Intéressons-nous maintenant à la partie la plus intéressante qui est de savoir si les élèves ont correctement donné l'écriture du nombre sous la forme de dizaines et d'unités. Nous relèverons les écritures correctes pour les dénombrements de billes au total qui sont bons, mais également, pour ceux qui sont faux, puisqu'ils peuvent coïncider (exemple : si l'élève a dénombrer un nombre faux de billes au total mais que l'écriture du nombre sous la forme dizaines et unités est en adéquation avec le nombre de départ, le résultat est considéré comme bon).

Il est indispensable de rappeler que lors de la première évaluation, seuls trois élèves avaient donné des écritures correctes au moment de donner les dizaines et les unités.

Lors de cette évaluation, même si les élèves n'ont pas tous correctement dénombrer les billes, ils ont quand même, pour la majorité des cas, trouvé des réponses justes en ce qui concerne l'écriture sous la forme dizaines et unités. Ils ont fait le lien entre les deux écritures et ont nettement progressé par rapport aux connaissances de départ.

III. Interprétation

Cette expérimentation a été mise en place dans le but d'aider les élèves à donner du sens à la numération, et plus particulièrement au système décimal de numération français. En effet, lors des apprentissages premiers au cours préparatoire, les élèves sont amenés à décomposer les nombres sans pour autant en comprendre leur sens. Par conséquent, ils amassent des difficultés cognitives qui les suivront jusqu'à la fin de leur scolarité.

Pour répondre à ma problématique qui était de savoir si créer une situation articulant l'oral et l'écrit et mettant en place l'élaboration du groupement par 10, permettait une meilleure compréhension de notre système français de numération décimale, j'ai réalisé une expérimentation sur cinq séances.

Lors de cette expérimentation, des situations ont été mises en place afin d'amener les élèves à travailler selon différentes modalités : individuellement, en collectif, en

groupes, sur ardoise, grâce au Grand Ziglotron etc. É Lors de ces différentes situations, les élèves ont pu intégrer la numération de façon approfondie, en y donnant du sens et en construisant un savoir de façon progressive. En travaillant petit à petit et en offrant aux élèves la possibilité de s'entraîner sur le thème essentiel qu'est la numération, nous avons pu développer chez eux des connaissances qu'ils n'avaient pas.

Apprendre la numération et en connaître son sens est une étape très importante dans la scolarité d'un élève. Il est donc important de mettre en place différentes séquences leur permettant de travailler de manière approfondie sur un thème ciblé.

Après avoir mené l'expérimentation ci-dessus, je peux admettre que les élèves ont de meilleures connaissances qu'au départ vis-à-vis de la numération décimale. En effet, on peut nettement remarquer que les résultats de l'évaluation de départ et ceux de l'évaluation finale sont très évolutifs.

Voici un tableau récapitulatif des résultats des élèves lors de l'évaluation diagnostique et lors de l'évaluation finale :

	Evaluation initiale				Evaluation finale
	Dénombrement total de billes		Ecriture : paquets de dix, boutons		Dénombrement total de billes		Ecriture : paquets de dix, boutons
Alice	Faux		Fausse		Faux		Fausse
MIna	Correct		Correcte		Correct		Correcte
Yanni	Faux		Fausse (mais concordant avec le dénombrement total)		Correct		Correcte
Daniela	Correct		Correcte		Correct		Correcte
Tracy	Faux		Fausse		Absente		Absente
Nadim	Correct		Rien		Correct		Correcte
Ayoub	Correct		Rien		Faux		Fausse (mais concordant avec
								le dénombrement total)
Lorenzo		Correct		Rien		Correct		Correcte
Keily		Correct		Rien		Faux		Fausse
Kaïs		Correct		Rien		Faux		Fausse
Fara		Faux		Rien		Faux		Fausse
Yasmine		Correct		Fausse		Faux		Fausse (mais concordant avec le dénombrement total)
Nohémie		Faux		Fausse		Correct		Correcte
Andréa		Correct		Rien		Faux		Fausse
Yassine		Faux		Fausse		Correct		Correcte
Aboubacar		Faux		Rien		Correct		Faux
Zakaria		Faux		Rien		Faux		Fausse (mais concordant avec le dénombrement total)

Ce tableau est indicatif des résultats de l'exercice 1 de l'évaluation, car c'est celui qui donne, selon moi, le maximum d'informations. Effectivement, les élèves sont sûrement plus concentrés lors du premier exercice et c'est celui où le nombre total est de 28, donc aucune difficulté numérique pour les élèves (par rapport à l'exercice 3 où le nombre de billes était 36) et pas de confusion possible entre les paquets de dix boutons et les boutons isolés (par rapport à l'exercice 3 où le nombre de billes était 22).

Sur les 16 élèves présents lors des deux évaluations, nous avons mis en caractère gras ceux ayant évolué par rapport à la première évaluation, sur le résultat de l'écriture « paquets de dix boutons, boutons » (dizaines, unités). En effet, presque tous les élèves

ont évolué, dans le sens où s'ils n'écrivaient aucune réponse lors de la première évaluation, aucun d'entre eux n'a laissé de champ vide lors de la deuxième. En revanche, et par rapport à l'intérêt de mon expérimentation, les élèves qui ont évolué par rapport au sens de la numération sont ceux qui ont :

- donné un résultat correct pour l'écriture « paquets de dix boutons, boutons »

- donné un résultat faux pour l'écriture « paquet de dix boutons, boutons », mais concordant avec le dénombrement total. Par exemple, s'ils ont dénombré au total 29 billes (au lieu de 28) et qu'ils ont écrit « 2 paquets de dix boutons et 9 boutons », leurs résultats sont considérés comme évolutifs par rapport au savoir mis en jeu.

La moitié des élèves ont évolué par rapport au sens de la numération et à l'écriture d'ordre donné (dizaines et unités). Ces résultats ne sont absolument pas négligeables et indiquent que l'expérimentation a été effective.

Pour que la totalité des élèves connaissent une évolution, nous aurions pu allonger notre expérimentation, ou encore mettre en place une évaluation où le nombre de billes total serait déjà dénombré, pour ne s'intéresser qu'au sens du nombre travaillé lors de la séquence mise en place.

Les différents exercices mis en place ont permis aux élèves de comprendre ce qu'était réellement les dizaines et les unités (à ce niveau scolaire), et d'y attribuer une définition précise. En travaillant sur une situation présentant un certain matériel, tout en associant l'écrit et l'oral, nous avons offert la possibilité aux élèves d'élargir leurs champs cognitifs dans le domaine de la numération décimale. Cette évolution peut également se caractériser par le fait que les exercices ont été répétés et retravaillés en classe. Les exercices oraux sur l'ardoise ont également permis de faire avancer les élèves au niveau des compétences qu'ils devaient acquérir. Travailler sur des situations mettant en oeuvre le groupement par dix est un excellent moyen de travailler profondément sur la numération décimale.

Mon hypothèse de départ était d'admettre qu'utiliser l'oral en simultanée de l'écrit à travers une situation privilégiant le groupement par dix. Cette hypothèse est alors vérifier grâce aux différents résultats des élèves.

Conclusion

La numération est un apprentissage fondamental que l'école doit pouvoir donner de la façon la plus claire possible aux élèves. Pour cela, ils peuvent utiliser la mise en place d'apprentissages intermédiaires permettant un apprentissage notion par notion, pour une compréhension totale des élèves. La notion de groupement est une notion intermédiaire utilisée dans le domaine de la numération qui établit un lien avec l'aspect décimal de notre système de numération.

Après confrontation des différents articles que j'ai pu lire, j'ai pu comprendre que pour un apprentissage censé de la numération, il fallait confronter plusieurs moyens d'apprentissage que les différents auteurs ventent à travers leurs écrits. En effet, cumuler l'écriture, l'oral, la manipulation, la résolution autonome de problèmes par l'élève, tout en reliant tout cela avec le sens de l'activité offre la possibilité à l'élève de comprendre notre numération française de façon poussée.

Ce mémoire me permet d'accéder à la problématisation du thème important qu'est la numération à travers la question : L'articulation de l'oral et de l'écrit dans une méthode mettant en place l'élaboration du groupement par 10, permettrait-elle une meilleure compréhension de notre système français de numération décimale ?

L'hypothèse de recherche est aujourd'hui validée. En effet, lors de l'expérimentation, nous avons utilisé les différentes modalités présentes dans la problématique et nous avons pu constater que les résultats évoluaient considérablement.

Il est important de rappeler que cette recherche a été faite sur un nombre de séances limitées (ici, cinq), et que des recherches ultérieures peuvent être menées. Nous pourrions, par exemple, observer les différents élèves suivis à la fin de leur année de CP

et ainsi voir si les notions et savoirs travaillés sont acquis. Aussi, nous pourrions poursuivre cela jusqu'au CE1.

Cette recherche a été faite sur une classe de 21 élèves de CP. Il est évident que les résultats restent moindres et qu'une étude plus poussée pourrait se faire sur un échantillon beaucoup plus important, afin de juger de sa légitimité.

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BEDNARZ, N. et JANVIER, B. (1984). La numération (première partie). Les difficultés suscitées par son apprentissage. Grand N, n°33, pp. 5-31.

HILLI, H. et RUELLAN-LE-COAT, J. (2009). « Freddy la grenouille » ou la notion de groupement en CP. Grand N, n°83, pp. 97-116.

MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE ET MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE. (2008). Bulletin officiel, hors série n°3 du 19 juin 2008.

MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE ET MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE. (2012). Bulletin officiel n°1 du 5 janvier 2012.