Chapitre 1
Chapitre 1 : Méthodes
d'approximations en physiques
Sommaire
1.1. Modélisation et Simulation 4
1.2. Classification des systèmes physiques
4
1.3. Processus d'analyse d'un problème physique
5
1.4. Méthodes d'approximations 7
1.5. Définition d'un problème de
l'élasticité linéaire 8
1.6. Applications de la méthode de GALERKIN
pour la résolution des
équations de Lamé 12
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Chapitre 1
1.1. Modélisation et Simulation 1.1.1.
Modélisation
La modélisation est une opération par laquelle
on établit le modèle d'un système complexe. Un
modèle est une représentation mathématique d'un
phénomène complexe auquel on affecte des informations dans le but
d'utiliser les lois de la mécanique générale pour faire
des vérifications de résistance et de rigidité.
1.1.2. Simulation
La simulation est l'un des outils d'aide, de prise de
décision les plus efficaces, à la disposition des concepteurs et
des gestionnaires des systèmes complexes. Elle consiste à
construire un modèle d'un système réel et à
conduire des expériences sur ce modèle afin de comprendre le
comportement de ce système et d'en améliorer les performances.
1.2. Classification des systèmes
physiques
Un système physique est caractérisé par
un ensemble de variables qui peuvent dépendre des coordonnées
d'espace (x, y, z) et du temps
t. Le système est dit stationnaire si
ses variables ne dépendent pas du temps. Certaines variables
d du système sont connues à priori :
propriétés physiques, dimensions du système,
sollicitations, conditions aux limites, etc.
D'autres variables u sont inconnues
: déplacements, vitesses, températures, contraintes, etc.
Un modèle mathématique du système permet
d'écrire des relations entre u et
d en utilisant des lois physiques. Ces relations
constituent un système d'équations en u
qu'on est souvent amené à résoudre, le
nombre de degrés de liberté du système
est le nombre de paramètres nécessaires pour définir u
à un instant t donné.
Un système est discret s'il
possède un nombre de degrés de liberté
fini, un système est continu s'il
possède un nombre de degrés de liberté
infini.
Le comportement d'un système discret est
représenté par un système d'équations
algébriques, celui d'un système continu est le plus
souvent représenté par un système
d'équations aux dérivées partielles ou
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intégro-différentielles
associé à des conditions aux limites en
espace et en temps.
Les équations algébriques des systèmes
discrets peuvent être résolues par les méthodes
numériques. Par contre, les équations des systèmes
continus ne peuvent en général pas être résolues
directement. Il est nécessaire de discrétiser ces
équations, c'est-à-dire de les remplacer par des équations
algébriques. La méthode des éléments finis est
l'une des méthodes qui peuvent être utilisées pour faire
cette discrétisation.
1.3. Processus d'analyse d'un problème
physique
De façon générale, les différentes
étapes d'analyse d'un problème physique s'organisent suivant le
processus schématisé par la figure 1.1. Nous partons d'un
problème physique ; le cadre précis de l'étude est
défini par les hypothèses simplificatrices qui permettent de
définir un modèle mathématique. La difficulté pour
l'ingénieur est de savoir choisir parmi les lois de la physique celles
dont les équations traduiront avec la précision voulue la
réalité du problème physique. Un bon choix doit donner une
réponse acceptable pour des efforts de mise en oeuvre non
prohibitifs.
Le choix du modèle mathématique est un compromis
entre le problème posé à l'ingénieur « quelles
grandeurs veut-on calculer et avec quelle précision ? » et les
moyens disponibles pour y répondre. Les équations du
modèle retenu sont soumises à un certain nombre
d'hypothèses basées sur les sciences de l'ingénieur. Il
faut connaître le domaine de validité de ces hypothèses
pour pouvoir vérifier que la solution obtenue est satisfaisante.
Si le modèle mathématique n'admet pas de
solution analytique, il faut chercher une solution approchée de ce
modèle. La discrétisation du problème correspond au choix
d'un modèle numérique permettant de traiter les équations
mathématiques.
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