Chapitre 2
nous pouvons écrire :
* + , -* +
Soit en inversant la matrice nodale , -
d'ordre
* + , - *u +
Pour passer de *u + , -* + à la relation * + , -
*u + il ne faut
pas que , - soit singulière. Ceci dépend du choix
de la base polynomiale et des coordonnées * + des noeuds de
l'élément de référence. Puisque , - est
indépendante de la géométrie de l'élément
réel, la propriété de singularité de
, - est une caractéristique de l'élément de
référence et non de l'élément réel.
De la même manière, nous écrivons
les relations aux noeuds géométriques:
*
|
+
|
,
|
-*
|
+
|
*
|
+
|
,
|
-{
|
}
|
*
|
+
|
,
|
-*
|
+
|
|
Soit après inversion de , -
*
|
+
|
,
|
- *
|
+
|
{
|
}
|
,
|
- *
|
+
|
*
|
+
|
,
|
- *
|
+
|
|
57 /176
? Expression des fonctions Net N
:
58 /176
Chapitre 2
Reportons * + , - *u + dans
( ) < ( ) ( ) ( )> { } < ( )>* +
Nous avons :
( ) < ( )>, - * +
Soit :
( ) , ( )-* +
D'où :
( ) < ( )>, -
Nous obtenons de la même manière dans le cas des
fonctions N :
( ) < ( )>* +
( ) < ( )>* +
( ) < ( )>* +
Où :
< ( )> < ( )>, -
? Dérivation de la fonction ( ) :
Les fonctions dérivées s'obtiennent comme
suit :
< > < >
{ < >
< >
} , - *u +
*u + [ ]*u +
[ < >] [ < >]
Résumé des opérations de
construction de <N>
59 /176
Chapitre 2
ü Choix de la base polynomiale < ( )>
|
;
|
|
ü Evaluation de la matrice nodale , - [ ( )] ;
ü Inversion de la matrice nodale , - ;
ü Calcul de <N> aux points
désirés :
( ) < ( )>, -
Il est important de noter que ces opérations ne doivent
être effectuées qu'une seule fois pour l'ensemble des
éléments réels qui possèdent le même
élément de référence.
2.8. Matrice élémentaire
2.8.1. Matrice de rigidité
élémentaire
Pour un élément de domaine , la matrice de
rigidité élémentaire vaut :
?, - , -, -
, - représente la matrice des fonctions de
déformation ; , - représente la matrice des constantes
d'élasticité.
2.8.2. Matrice des forces équivalentes de
volume
Pour un élément, la matrice des forces
équivalentes de volume se détermine par la formule ci-dessous:
* + ?, - * +
, - représente la matrice des fonctions
d'interpolations * + représente le vecteur des forces
volumiques.
2.8.3. Matrice des forces équivalentes de
surface
Le calcul est conduit de la même manière que pour
la matrice des forces équivalentes de volume , les forces nodales
équivalentes aux forces de surface sont :
| 
