Modélisation et simulation par éléments finis : cas d'un tablier de pont.

Chapitre 2

Cependant nous pouvons choisir comme paramètres á, les valeurs de la fonction ( ) en n points appelés noeuds de coordonnées

Imposons de plus que la fonction approchée coïncide avec la fonction exacte ( ) en ces noeuds:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

La fonction approchée s'écrit alors:

( ) ( ) ( ) ( )

u_n

( ) < ( ) ( ) ( )> { }

ü La relation ci-dessus définit une approximation nodale ;

ü Les paramètres ái, sont les paramètres généraux de l'approximation ;

ü Les paramètres ui, sont les paramètres nodaux ou variables nodales de l'approximation ;

ü Les fonctions N(x) sont les fonctions d'interpolation.

L'approximation nodale possède les deux propriétés suivantes :

Comme ( ) les fonctions Ni vérifient

( ) {

L'erreur d'approximation définie par:

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Chapitre 2

( ) ( )

s'annule en tous les noeuds xi :

La méthode d'approximation nodale d'une fonction d'une variable u(x) s'étend directement à l'approximation d'une fonction de plusieurs variables; par exemple dans le cas d'une fonction de 3 variables:

( ) ( )

où :

x appartient à un domaine V,

La fonction approchée u(x) s'écrit sous la forme :

( ) ( ) < ( ) ( ) ( )> { }

et doit vérifier la relation ( ) ( )

où i=1, 2, ..., n sont les coordonnées des noeuds.

2.4. Approximation par éléments finis

La construction d'une fonction approchée u(x) est difficile lorsque le nombre n de noeuds et donc de paramètres ui, devient important. Le problème se complique encore si le domaine V a une forme complexe et si la fonction u(x) doit satisfaire des conditions aux limites sur la frontière de V.

La méthode d'approximation nodale par sous-domaines simplifie la reconstruction de u(x) et s'adapte très bien au calcul sur ordinateur

Elle consiste à [4] :

? identifier un ensemble de sous-domaines V^e du domaine V;

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Chapitre 2

y' définir une fonction approchée u^e(x) différente sur chaque sous-domaine V^e par la méthode d'approximation nodale.

La méthode d'approximation par éléments finis est une méthode particulière d'approximation par sous-domaines qui présente les particularités suivantes [4] :

y' L'approximation nodale sur chaque sous-domaine V^e ne fait intervenir que les variables nodales attachées à des noeuds situés sur V^e et sur sa frontière ;

y' Les fonctions approchées u^e(x) sur chaque sous-domaine V^e sont construites de manière à être continues sur V^e et elles satisfont des conditions de continuité entre les différents sous-domaines.

2.4.1. Définitions

y' Les sous-domaines V^e sont appelés des éléments ;

y' Les points en lesquels la fonction approchée u^e(x) coïncide avec la fonction exacte u_ex(x) sont les noeuds d'interpolation ou points nodaux ;

y' Les coordonnées x, de ces noeuds sont les coordonnées nodales ;

y' Les valeurs ui = u^e(xi) = uex(xi) sont les variables nodales.

L'approximation par éléments finis présente deux aspects distincts :

- Il faut tout d'abord définir analytiquement la géométrie de tous les éléments, ce qui est plus ou moins compliqué selon leurs formes ;

- Il faut ensuite construire les fonctions d'interpolation Ni(x) correspondant à chaque élément.