4.7 Etude expérimentale
Plusieurs fonctions tests ont été
utilisées pour valider les performances du modèle proposé.
Ces fonctions ont plusieurs caractéristiques qui les rendent
idéales pour tester la capacité de l'approche proposée
à identifier la frontière optimale de Pareto. Il faut noter que
ce sont les fonctions de benchmark les plus utilisées dans la
littérature.
Pour pouvoir comparer les performances du modèle
proposé avec d'autres modèles, deux critères sont
utilisés. Ces critères incluent :
La distance générationnelle (Generational
Distance GD) : Cette métrique a été proposée
par Deb et Jain [Deb et Jain, 2002] pour mesurer la distance entre les
éléments de l'ensemble des solutions non-dominées
trouvées et les éléments de l'ensemble Pareto optimal.
|
IPn i=1 d2 i
GD = m
|
(4.12)
|
oil m est le nombre des éléments de
l'ensemble des solutions non-dominées trouvées et di est
la distance euclidienne (mesurée dans l'espace des objectifs) entre
chacune de ces solutions et le plus proche élément de l'ensemble
Pareto optimal.
L'espacement (Spacing :SP) : On désire par SP
mesurer la distribution des solutions trouvées. Puisque le début
et la fin de front de Pareto sont connus, une métrique convenable peut
montrer si les solutions sont bien réparties sur le front de Pareto
trouvé. Schott [Schott, 1995] a proposé une telle
métrique
qui mesure la variance de distance entre les solutions voisines
de l'ensemble des solutions non-dominées trouvée. Cette
métrique est définie par :
|
SP =
|
tu u v
|
1
|
Xn
i=1
|
( d - di)2 (4.13)
|
|
n - 1
|
di est défini comme suit :
|
di = min
j
|
XM
m=1
|
|fi m(x) -
fj m(x)|, i,j =
1,...,n,
|
oil d est la moyenne de tous les
di, M est le nombre d'objectifs et n est le nombre
de solutions non-dominées trouvées. La valeur zéro de
cette métrique indique que tous les membres du front de Pareto
trouvé sont tous espacés de la même distance.
4.7.1 Problèmes tests
Pour valider un algorithme, nous avons besoin d'un ensemble de
fonctions tests. Cet ensemble doit être soigneusement choisi de
façon à mettre à l'épreuve l'efficacité des
méthodes étudiées dans diverses situations difficiles. En
effet, un "bon" test doit être tel que :
1. il représente un danger particulier pour la
convergence ou pour la diversité;
2. la forme et la position de la surface de Pareto soient
connues et les valeurs des variables de décisions correspondantes soient
faciles à trouver.
Dans la suite, nous utilisons le générateur de
tests de Deb [Deb, 1999]. L'idée consiste à construire des tests
à M objectifs, pour M = 2. Nous commençons par
partitionner le vecteur des variables de décision en M groupes.
x = (x1, x2,··· ,
xM)
Ensuite, à partir de M -1 fonctions
f1,··· , fM-1, d'une
fonction g positive et d'une fonction h à M variables,
on construit la fonction fM par :
fM(x) =
g(xM)h(f1(x1),···
, fM-1(xM-1),
g(xM))
avec xm ? Rm pour in =
1, · · · , M - 1. Enfin, le problème
d'optimisation est défini par:
minimiser
fm(xm)m=1,··· ,M-1,
fM(x)
La surface optimale correspond ici aux solutions sur lesquelles
la fonction g atteint son minimum e elle est donc décrite comme
:
fM = g*h(f1, ·
· · , fM-1,
g*)
Dans les paragraphes qui suivent nous présentons
quatre fonction tests bi-objectif
ZDT1, ZDT2, ZDT3, ZDT6 et une à quatre objectif DTLZ7
que nous utilisons pour valider l'approche proposée. Notre choix s'est
fixé sur ces fonctions tests car elles ont servi comme une base commune
pour la comparaison des algorithmes evolutionnaires multi-Objectifs existants
et pour l'évaluation des nouvelles techniques.
Fonction ZDT1
La fonction ZDT1 est la plus simple de cette ensemble, le
front de Pareto correspondant étant continu, convexe et avec la
distribution uniforme des solutions le long du front.
|
ZDT1 :
|
? ??
??
|
f1(x) = x1
g(x2) = 1 + 9_1 E7
n =2 xi (4.14)
h(f1, g) = 1 - V
91
|
oil xi ? [0, 1] pour tout i = 1,
· · · , n et n = 30. Fonction ZDT2
La difficulté de cette fonction se présente dans la
non-convexité du front de Pareto.
|
ZDT2 :
|
? ?
?
|
f1(x) = x1
Pn
g(x2) = 1 + 9 i=2
xi
n_1
h(f1, g) = 1 - (f g
)2
|
(4.15)
|
oil xi ? [0, 1] pour tout i = 1,
· · · , n et n = 30.
Fonction ZDT3
La difficulté de cette fonction réside dans la
discontinuité du front de Pareto.
|
ZDT3 :
|
? ??
??
|
f1(x) = x1
g(x2) = 1 + 9_1E7
n =2 xi (4.16)
h(f1, g) = 1 - 91 -
(f g )sin(10ðf1)
|
oil xi ? [0, 1] pour tout i = 1,
· · · , n et n = 30. Fonction ZDT6
La particularité de ce problème est que les
solutions optimales ne sont pas uniformément distribuées le long
du front de Pareto. Cet effet est due à la non-linéarité
de la fonction f1.
|
ZDT6 :
|
? ?
?
|
f1(x) = 1 -
exp(-4x1) sin6(4ðx1)
g(x2) = 1 + 9(E7=2
nx21)1/4
h(f1, g) = 1 -
(f g)2
|
(4.17)
|
oil xi ? [0, 1], pour tout i = 1,
· · · , n et n = 10.
Fonction DTLZ7
Dans cette étude, nous utilisons une fonction DTLZ7
à 4 objectifs, le front de Pareto de cette fonction est discontinu et
formé de 8 régions séparées dans l'espace de
recherche,
|
DTLZ7 :
|
? ?????
?????
|
f1(x1) =
x1
f2(x2) = x2
f3(x3) = x3 Pn
g(x4) = 1 + 9 i=4
xi
h(f1, f2, f3, g) = 4
- I23
|x4|
i=1[fi
1+g(1 + sin(3ðfi))]
|
(4.18)
|
oil xi ? [0, 1] pour tout i =
1,··· , m et m = 23.
| 
