4.3.3 Les méthodes agrégées
L'ensemble de ces méthodes repose sur l'axiome suivant :
tout décideur essaye inconsciemment de maximiser une fonction
d'utilité U.
U = U(f1,f2,...,fK)
(4.2)
Les modèles les plus couramment utilisées sont :
- le modèle additif
U = Xk Ui(fi) (4.3)
i=1
oil Ui est la fonction de mise à l'échelle
du ièmecritère.
- le modèle multplicatif
U = Yk Ui(fi) (4.4)
i=1
L'utilisation de ces modèles impose que les objectifs
soient commensurables. Il est donc très difficile d'utiliser ces
techniques lorsque l'ensemble des critères est composé à
la fois de critères qualitatifs et quantitatifs.
4.3.3.1. La moyenne pondérée
Cette méthode consiste à additionner tous les
objectifs en affectant à chacun un coefficient de poids. Ce coefficient
représente l'importance relative que le décideur attribue
à l'objectif. Cela modifie un problème multiobjectif en un
problème simple objectif de la forme :
min Xk wifi(x) avec wi = 0
(4.5)
i=1
wi représente le poids affecté au
crtère i et k i=1 wi = 1
4.3.3.2. Le modèle "Goal programming"
Cette méthode est également appelée
"Target Vector Optimisation" [Coello 1996, Van Veldhuizen 1999]. Le
décideur fixe un but Ti à atteindre pour chaque
objectif fi [Charnes 1961]. Ces valeurs sont ensuite ajoutées
au problème comme des contraintes supplémentaires. La nouvelle
fonction objectif est modifiée de façon à minimiser la
somme des écarts entre les résultats et les buts à
atteindre :
k
min i=1 |fi(x) -- Ti| avec x E
F (4.6)
Ti représente la valeur à atteindre pour
le ième objectif. F représente l'espace
complet des objectifs.
Différentes variantes et applications de ces techniques
ont été proposées [Ignizo, 1981; Van Veldhuizen, 1999].
4.3.3.3. Le modèle min-max
Cette méthode est assez proche de la
précédente, elle minimise le maximum de l'écart relatif
entre un objectif et son but associé par le décideur.
|
min max
i
|
ufi(x) -- Ti) Ti )
|
avec i = 1, ..., k (4.7)
|
Ti le but à atteindre pour le
ièmeobjectif.
Dans [Coello, 1995], l'auteur présente
précisément plusieurs variantes de la méthode min-max
ainsi que diverses applications de celles-ci.
4.3.3.4. L'approche "Goal attainment"
Dans cette approche le décideur spécifie
l'ensemble des buts Ti qu'il souhaite atteindre et les poids
associés wi. La solution optimale est trouvée en
résolvant le problème suivant :
minmiser á tel que (4.8)
Ti + á
· wi >
fi(x)
k
avec i=0 wi = 1 4.3.3.5. La
méthode e-- contrainte
Cette méthode est basée sur la minimisation d'un
objectif fi en considérant que les autres objectifs fj
avec j =6 i qui doivent être inférieurs à
une valeur ej. En général, l'objectif choisi est celui
que le décideur souhaite optimiser en priorité.
minimiser fi(x) avec (4.9)
fj(x) ej, Vj =6 i
De cette manière, un problème simple objectif
sous contraintes peut être résolu. Le décideur peut ensuite
réitérer ce processus sur un objectif différent
jusqu'à ce qu'il trouve une solution satisfaisante. Cette méthode
a été testée avec un algorithme génétique
dans [Ritzel, 1994] avec différentes valeurs de c pour
générer différentes valeurs Pareto-optimales.
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