3.6 Etude expérimentale
Plusieurs fonctions tests ont été
utilisées pour valider les performances du modèle proposé.
Ces fonctions ont plusieurs caractéristiques, qui les rendent
idéales pour tester la capacité de l'approche proposée
à identifier différents optima dans un domaine multimodal.
Sachant que la localisation de chaque optimum, dans l'espace de recherche, est
connue a priori, il est facile de comparer la distribution de la population
à la convergence à la distribution idéale des optima
théoriques. Il faut noter que durant la procédure de
classification floue, les objets sont représentés par les
particules de l'essaim et par leur fitness.
2186 -- (x2 + y --
11)2 -- (x + y2 --
7)2 F6(x, y) = 2186
1
F7(x, y) = 500
v-.24 1
+ 2_,
0.002 i=0
1+i+(x-a(i))6+(y-b(i))6
a(i) = 16[(i mod 5) -- 2]
et b(i) = 16(Li/5] -- 2)
;
|
F8(x) =
|
Xn
i=1
|
(x2i -- 10
cos(2ðxi) + 10)
|
Pour pouvoir comparer les performances du modèle propose
à d'autres modèles, trois critères sont utilises. Ces
critères incluent :
- Le rapport maximum de pics détectés
(Maximum Peaks Ratio : MPR) : determine le nombre et la qualite des
optima. Il est defini par la somme des optima identifies divisee par la somme
des optima reels.
PC
MP R = Pq i=1 f(i)
(3.12)
k=1 f(k)
Oil f(i) est la fonction "fitness" d'un
optimum i, C represente le nombre de classes identifiees dont le
centre represente l'optimum i. f(k) etant la fitness
de l'optimum reel k, et q le nombre de ces optima.
- Le nombre effectif des pics maintenus (NPM) :
represente la capacite d'une technique à localiser et maintenir des
individus au niveau des pics pour une duree determinee.
Le nombre effectif d'évaluations de "fitness"
(Number of Fitness Evaluations : NFE) : designe le nombre d'evaluations
requis pour la convergence de l'algorithme. Dans cette etude, l'algorithme
converge lorsque la valeur d'entropie est inferieure à
10-3.
3.6.1 Fonctions tests
Dans cette section, les differentes fonctions tests utilisees
pour illustrer les performances du modèle propose sont presentees.
F1(x) = sin6(5ðx)
2100)(x(108.1
F2(x) = exp-
sin6(5ðx)
F3(x) =
sin6(5ð(x34 --
0.05))
2 log(2) (
xai0482 )
sin6 (57(x
F4(x) = exp- 4 --
0.05))
|
F5(x) =
|
?
???????? ?
?????????
|
x + 1 si 0 < x < 1
0.4(x -- 1) si 1 < x < 2
0.24x -- 0.08 si 2 < x
< 3
0.24x + 1.36 si 3 < x
< 4
0.4x + 2 si 4 < x < 5
x -- 5 si 5 < x < 6
|
La fonction F1 admet 5 maxima uniformément
espacés ayant une même valeur 1, la fonction F2 admet
cinq pics de hauteurs différentes dans l'intervalle [0,1]. Les pics sont
localisés approximativement aux valeurs de x : 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 et
0.9. Les maxima sont respectivement 1.0, 0.917, 0.707, 0.459 et 0.250. La
fonction F3 a cinq pics de hauteurs identiques (= 1). La fonction
F4 admet cinq pics de hauteurs différentes dans l'intervalle
[0, 1]. Les pics sont localisés approximativement aux valeurs de x :
0.08, 0.247, 0.451, 0.681 et 0.934. Les maxima sont respectivement 1.0, 0.948,
0.770, 0.503 et 0.250. F5 a deux maxima globaux de hauteurs 1, aussi
bien qu'un maximum local localisé en x = 3 et dont la valeur
est 0.64. La fonction modifiée d'Himmelblau F6 est une
fonction bidimensionnelle, les variables (x et y) sont définies dans
l'intervalle [-6,6]. La fonction modifiée de Himmelblau F6
contient quatre pics de hauteurs identiques (= 1) localisés
approximativement en (3.58, - 1.86), (3.0, 2.0), (- 2.815, -3.125) et (- 3.78,
3.28). F7 (Shekel's Foxholes) est une fonction bidimensionnelle ayant
25 pics, oil les variables (x et y) [- 65.536, 65.536]. Les maxima de
F7 sont situés en (x, y) dont les coordonnées sont (16i,
16j) oil i et j représentent tous les nombres entiers compris dans [- 2,
2], les 25 optima ont tous différentes valeurs, s'étendant de
476.191 à 499.002, l'optimum global est localisé en (- 32, 32).
Enfin, la fonction de Rastrigin F8, oil --5.12
xi 5.12, i = 1, . . . , 30, a un seul
minimum global ((0, 0) pour une dimension= 2), et plusieurs minima locaux.
F8 avec des dimensions (de 2 à 6) est utilisée pour
tester la capacité de l'approche proposée.
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