WOW !! MUCH LOVE ! SO WORLD PEACE !
Fond bitcoin pour l'amélioration du site: 1memzGeKS7CB3ECNkzSn2qHwxU6NZoJ8o
  Dogecoin (tips/pourboires): DCLoo9Dd4qECqpMLurdgGnaoqbftj16Nvp


Home | Publier un mémoire | Une page au hasard

 > 

Existence et unicité d'une mesure

( Télécharger le fichier original )
par Iqbal HAMADA
Université Docteur Moulay Tahar de SaàŻda Algérie - Licence 2010
  

précédent sommaire suivant

Extinction Rebellion

Chapitre 2

Existence d'une fonction additive sur

les algèbres

Dans ce chapitre, on va démontrer l'existence et l'unicitéd'une fonction additive sur les algèbres.

2.1 D'efinition

D'efinition 2.1.1 : Soient 9t un ó-anneau de parties de E et F = R U{+8} . On appelle
fonction d'ensembles sur 9t toute application u sur R a` valeurs dans F .on dira que u est

i) additive si pour toute famille finie (Ak)k=1,n d''el'ements de 9t deux a` deux disjoints dont la r'eunion est 'el'ement de 9t alors :

u( ]n Ak) = Xn u(Ak)

k=1 k=1

ii) ó-additive si pour toute famille d'enombrable Ai ,i N d''el'ements de 9t deux a` deux
disjoints telle que +8] >Ai 9t ,la famille u(Ai) ,i N est sommable (i.e u(Ai)

i=1 iEN

converge) alors :

u( ] >Ai) = u(Ai)

iEN iEN

2.2 Existence d'une fonction additive sur les algèbres

Proposition 2.2.1 L'anneau R engendree par un semi-anneau S est formedes reunion disjointes finies de la forme

R = S1 w S2... w Sn, S1, S2, S3, ..., Sn E S (2.1)

(i.e)

R = {A , A = wSi ,Si E S , i = 1,n}

Preuve : Il est clair que tout anneau contenant S contient nécessairement les ensembles de la forme 2.1 et donc R C ó(S).il reste a` vérifier que la famille R de ces ensembles est un anneau, car cela entraàýnera R = ó(S) puisque ó(S) est le plus petit anneau contenant S. vérifiant que R est un anneau :

a) Puisque 0 E S par définition alors 0 E R car pour i=1 posons

S1 = 0 E S R = 0 E R

b) Si B = R1 Ij R2 Ij Rm avec R1, R2,...., Rm E R pour un certain m, alors

B E R ; en effet ,en décomposant chaque Ri i = 1, m sous la forme 2.1 on obtient une décomposition de B de la même forme

c) si P',P E S alors P'\P E R car P'\P = ]n Si avec Si E S, i = 1, n (par définition)

i=1

et puisque P" \ P et de la forme 2.1 alors P" \ P E R

d) si B E R et P E S alors B \ P E R ; en effet , en considérons la décomposition 2.1 de B , et en utilisant (b)et(c) , on a B\P = (S1 \P) L#177;J(S2 \P) tJ(Sn \P) E R

e) si B,B' E R alors B' \ B E R ; en effet, en considérant la décomposition 2.1 de B et

en appliquant n fois la propriété(d) on obtient B' \B = B' \(P1 Ij P2 I#177;j Pn) =

(((B' \ P1) \ P2 ) \ Pn_1) \ Pn E R tel que Pi E S i = 1,n Pi flPj = 0 pour i =6 j

corollaire 2.2.1 L'algèbre A0 engendree par une semi-algèbre S1 et formedes reunions disjointes finies de la forme 2.1

Preuve : d'après la proposition précédente il suffit de vérifier que l'ensemble E E A0 et c'est le cas puisque E E S1

Proposition 2.2.2 : Soit S1 une semi-algèbre de parties de l'ensemble non vide E, A0 l'algèbre engendrée par S1 ,u une application additive de S1 dans R U{+8} ,il existe une application additive unique u1 de A0 dans R U{+8} dont la restriction a` S1 est égale a` u . De plus si u est a -additive ,il en est de màeme de u1 ,si u est positive ,il en est de màeme de u1 .

aprè

Preuve : D'après le corollaire (2.2.1) , tout 'el'ement A de A0 est de la forme

posons donc

]n

A =

i=1

Si Si E S1

u1(A) =

Xn
i=1

u(Si)

pour montrer que cette d'efinition est correcte, il faut v'erifier que si A admet une autre d'ecomposition

]m

A =

j=1

Yj, Yj E S1 de la forme 2.1 alors

Xn
i=1

u(Si) =

Xm
j=1

u(Yj)

or ceci r'esulte de :

on a ]m (Si n Yj) i = 1,n car

j=1

]m

Si =

j=1

Wm

(Si n Yj) = Si n (

j=1

]n

Yj) = Si n A = Sin (

k=1

]n

Sk) =

k=1

(Si n Sk) = Si

et (Si n Yj) n (Si n Yl) = Si n (Yj n Yl) = Si n 0 = 0 pour j =6 l donc d'après l'additivit'e de u on aura

u(Si) =

Xm
j=1

u(Si n Yj)

en additionnant cette egalitepour i = 1, n on obtient

Xn
i=1

u(Si) =

Xn
i=1

Xm
j=1

u(Si n Yj)

et de même pour Yj =

]n
i=1

(Yj n Si) , on obtient

u(Yj) =

Xn
i=1

u(Yj n Si)

en faisant la somme pour j = 1, m, on obtient

Xm
j=1

u(Yj) =

Xn
i=1

Xm
j=1

Xn
i=1

Xm
j=1

u(Yj n Si) =

Xn
i=1

u(Si)

u(Yj n Si) =

la positivitede u1 : A0 ? 1R L{+ool etant evidante. il reste a` verifier la ó-additivite.

oo

- Considerons donc une reunion disjointe A = Ak avec A, Ak ? A0.Il faut montrer que

k=1

u1(A) =

cx)
k=1

u1(Ak).

- En choisissant pour chaque k une decomposition de la forme 2.1 pour Ak et en utilisant la definition de u(Ak) [on se ramène au cas o`u Ak ? S1 pour chaque k].

- Considerons maintenant une decomposition de A de la forme 2.1 alors on a :

u1(Ak) =

Xn
i=1

u(Si)

car Ak est un element de A0 de la forme Ak = LEJ

i=1

Si Si ? S1

oo

D'autre part Sj = LEJ

k=1

 
 
 

(Sj n Ak) j = 1, n car

]oo

Sj n (

k=1

]n

Ak) = Sj n A = Sj n (

i=1

]n

Si) =

i=1

(Sj n Si) = Sj

 

X8
k=1

 
 

Donc u(Sj) =

u(SjnAk) [car u est additive] ; en additionnant ces égalités pour j = 1, m

X8 ( Xn
k=1 j=1

u1(A) = Xn u(Sj) = Xn X8

j=1 j=1 k=1

X8 u1(Ak)

k=1

on obtient l'égalitécherchée

u(Sj n Ak) =

u(Sj n Ak)) =

précédent sommaire suivant






Extinction Rebellion





Changeons ce systeme injuste, Soyez votre propre syndic





"Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des chercheurs qui trouvent, on en cherche !"   Charles de Gaulle