Existence et unicité d'une mesure

Chapitre 2

Existence d'une fonction additive sur

les algèbres

Dans ce chapitre, on va démontrer l'existence et l'unicitéd'une fonction additive sur les algèbres.

2.1 D'efinition

D'efinition 2.1.1 : Soient 9t un ó-anneau de parties de E et F = R U{+8} . On appelle
fonction d'ensembles sur 9t toute application u sur R a` valeurs dans F .on dira que u est

i) additive si pour toute famille finie _(Ak)k=1,n d''el'ements de 9t deux a` deux disjoints dont la r'eunion est 'el'ement de 9t alors :

u( _]n Ak) = _Xn u(Ak)

k=1 k=1

ii) ó-additive si pour toute famille d'enombrable Ai ,i N d''el'ements de 9t deux a` deux
disjoints telle que +8] >Ai 9t ,la famille u(Ai) ,i N est sommable (i.e u(Ai)

i=1 iEN

converge) alors :

u( ] >Ai) = u(Ai)

iEN iEN

2.2 Existence d'une fonction additive sur les algèbres

Proposition 2.2.1 L'anneau R engendree par un semi-anneau S est formedes reunion disjointes finies de la forme

R = S1 w S2... w S_n, S1, S2, S3, ..., S_n E S (2.1)

(i.e)

R = {A , A = wSi ,Si E S , i = 1,n}

Preuve : Il est clair que tout anneau contenant S contient nécessairement les ensembles de la forme 2.1 et donc R C ó(S).il reste a` vérifier que la famille R de ces ensembles est un anneau, car cela entraàýnera R = ó(S) puisque ó(S) est le plus petit anneau contenant S. vérifiant que R est un anneau :

a) Puisque 0 E S par définition alors 0 E R car pour i=1 posons

S1 = 0 E S R = 0 E R

b) Si B = R1 ^Ij R2 Ij R_m avec R1, R2,...., R_m E R pour un certain m, alors

B E R ; en effet ,en décomposant chaque Ri i = 1, m sous la forme 2.1 on obtient une décomposition de B de la même forme

c) si P^',P E S alors P^'\P E R car P^'\P = _]n Si avec Si E S, i = 1, n (par définition)

i=1

et puisque P^" \ P et de la forme 2.1 alors P^" \ P E R

d) si B E R et P E S alors B \ P E R ; en effet , en considérons la décomposition 2.1 de B , et en utilisant (b)et(c) , on a B\P = (S1 \P) L#177;J(S2 \P) tJ(S_n \P) E R

e) si B,B^' E R alors B^' \ B E R ; en effet, en considérant la décomposition 2.1 de B et

en appliquant n fois la propriété(d) on obtient B^' \B = B^' \(P1 ^Ij P2 I#177;j P_n) =

(((B^' \ P1) \ P2 ) \ Pn_1) \ P_n E R tel que Pi E S i = 1,n Pi flPj = 0 pour i =6 j

corollaire 2.2.1 L'algèbre A0 engendree par une semi-algèbre S1 et formedes reunions disjointes finies de la forme 2.1

Preuve : d'après la proposition précédente il suffit de vérifier que l'ensemble E E A0 et c'est le cas puisque E E S1

Proposition 2.2.2 : Soit S1 une semi-algèbre de parties de l'ensemble non vide E, A0 l'algèbre engendrée par S1 ,u une application additive de S1 dans R U{+8} ,il existe une application additive unique u1 de A0 dans R U{+8} dont la restriction a` S1 est égale a` u . De plus si u est a -additive ,il en est de màeme de u1 ,si u est positive ,il en est de màeme de u1 .

^aprè

Preuve : D'après le corollaire (2.2.1) , tout 'el'ement A de A0 est de la forme

posons donc	]n A = i=1	Si Si E S1
u1(A) =			Xn i=1	u(Si)

pour montrer que cette d'efinition est correcte, il faut v'erifier que si A admet une autre d'ecomposition

]m A = j=1	Yj, Yj E S1 de la forme 2.1 alors
Xn i=1		u(Si) =	Xm j=1	u(Yj)

or ceci r'esulte de :

on a _]m (Si n Yj) i = 1,n car

j=1

]m Si = j=1

Wm (Si n Yj) = Si n ( j=1

]n Yj) = Si n A = Sin ( k=1

]n Sk) = k=1

(Si n Sk) = Si

et (Si n Yj) n (Si n Yl) = Si n (Yj n Yl) = Si n 0 = 0 pour j =6 l donc d'après l'additivit'e de u on aura

u(Si) =

Xm j=1

u(Si n Yj)

en additionnant cette egalitepour i = 1, n on obtient

Xn i=1			u(Si) =	Xn i=1		Xm j=1		u(Si n Yj)
et de même pour Yj =	]n i=1	(Yj n Si) , on obtient
u(Yj) =					Xn i=1		u(Yj n Si)

en faisant la somme pour j = 1, m, on obtient

_Xm
j=1

u(Yj) =

_Xn
i=1

_Xm
j=1

_Xn
i=1

_Xm
j=1

u(Yj n Si) =

_Xn
i=1

u(Si)

u(Yj n Si) =

la positivitede u1 : A0 ? 1R L{+ool etant evidante. il reste a` verifier la ó-additivite.

oo

- Considerons donc une reunion disjointe A = Ak avec A, Ak ? A0.Il faut montrer que

k=1

u1(A) =

cx) k=1

u1(Ak).

- En choisissant pour chaque k une decomposition de la forme 2.1 pour Ak et en utilisant la definition de u(Ak) [on se ramène au cas o`u Ak ? S1 pour chaque k].

- Considerons maintenant une decomposition de A de la forme 2.1 alors on a :

u1(Ak) =

Xn i=1

u(Si)

car Ak est un element de A0 de la forme Ak = LEJ i=1

Si Si ? S1

oo D'autre part Sj = LEJ k=1

(Sj n Ak) j = 1, n car

]oo Sj n ( k=1

]n Ak) = Sj n A = Sj n ( i=1

]n Si) = i=1

(Sj n Si) = Sj

X8 k=1

Donc u(Sj) =

u(SjnAk) [car u est additive] ; en additionnant ces égalités pour j = 1, m

_X8 ( _Xn
k=1 j=1

u1(A) = _Xn u(Sj) = _Xn _X8

j=1 j=1 k=1

_X8 u1(Ak)

k=1

on obtient l'égalitécherchée

u(Sj n Ak) =

u(Sj n Ak)) =