Existence et unicité d'une mesure

Table des matières

1 2	Généralités 1.1 Définitions Existence d'une fonction additive sur les algèbres		5 5 9
	2.1	Définition	9
	2.2	Existence d'une fonction additive sur les algèbres	10
3	Mesure extérieure		15
	3.1	Définition et propriétés	15
	3.2	Lemmes	17
4	Existence et Unicitéde la mesure sur les tribus		25
	4.1	Existence	25
	4.2	Unicitédu prolongement	26
	4.3	Exemples	26
		4.3.1 Mesure de Lebesgue sur .	26
		4.3.2 Application du théorème de Kolmogorov	27
		4.3.3 Produit tensoriel de mesures	28

Introduction

Pour avoir une idée de la notion de mesure , nous allons regarder de manière assez vague -mais intuitive- un exemple concret. Considérons l'ensemble Ù = R et essayons de

voir a` quel type de partie A de Ù on pourrait associer un nombre réel qui serait ^censéreprésenter une mesure de A .Nous allons commencer par les parties les plus simples,
c'est-à-dire les intervalles (ouverts,fermés,...).Convenons, pour simplifier le langage, de
dire qu'une partie A est mesurable si on peut lui associer une mesure .Cette appellation
reste pour le moment assez vague car le fait qu'un ensemble soit mesurable ou non dépend
de la manière dont on veut le mesurer .

Si A = (a, b) est un intervalle borné(ouvert,semi-ouvert,ou fermé). On pose, par définition

u(A) = b -- a.

Autrement dit, la longueur de A peut-être prise comme mesure de A . Si A est non borné, on prend u(A) = +oc. Il découle de la définition que la mesure d'un point et celle de l'ensemble vide sont nulles.

i) Soient A = (a, b) et B = (c, d) deux intervalles .Alors il est clair que la mesure de A ^U B n'est pas toujours égale a` la somme des mesures respectives de A et B mais

u(A U B) = u(A) + u(B) -- u(A fl B)

qui implique en particulier que si A ^fl B = 0, alors u(A U B) = u(A) + u(B) .On peut donc mesurer les réunions finies d'intervalles.

ii) comme on admet que l'ensemble Ù tout entier est mesurable, il est normal de demander que si A est mesurable, son complémentaire A^c doit-être aussi mesurable et que sa mesure demandons a` celle de A d'être finie .

iii) Soit _(An)n=1 une suite d'intervalles, deux a` deux disjoints.On pose

[ u( n=1

An) =

X8 n=1

u(An)

On peut remarquer que si A et B sont des réunions dénombrables d'intervalles deux a` deux disjoints alors A ? B implique u(A) u(B) .Si donc _(An)n=1 est une suite d'intervalles quelconques, la suite

uN = u( _[N A_n)

n=1

est donc croissante. On pose alors

[8 u( n=1

An) = lim uN N?8

On peut donc mesurer les réunions dénombrables d'intervalles et par la suite les intersections dénombrables d'intervalles puisque

_n (A_n) = ( _U Ac _n)c

n=1 n=1

Mais on peut rien dire, d'une manière générale, de la mesure d'une réunion dénombrable d'intervalle de R

A partir de cet exemple, on voit que les premiers objets qui interviennes en théorie de la mesure sont des parties d'un ensemble I astreintes a` vérifier certaines propriétés .Et c'est ce que nous allons faire dans ce mémoire.