Existence et unicité d'une mesure

Table des matières

1 2	Généralités 1.1 Définitions Existence d'une fonction additive sur les algèbres		5 5 9
	2.1	Définition	9
	2.2	Existence d'une fonction additive sur les algèbres	10
3	Mesure extérieure		15
	3.1	Définition et propriétés	15
	3.2	Lemmes	17
4	Existence et Unicitéde la mesure sur les tribus		25
	4.1	Existence	25
	4.2	Unicitédu prolongement	26
	4.3	Exemples	26
		4.3.1 Mesure de Lebesgue sur .	26
		4.3.2 Application du théorème de Kolmogorov	27
		4.3.3 Produit tensoriel de mesures	28

Introduction

Pour avoir une idée de la notion de mesure , nous allons regarder de manière assez vague -mais intuitive- un exemple concret. Considérons l'ensemble Ù = R et essayons de

voir a` quel type de partie A de Ù on pourrait associer un nombre réel qui serait ^censéreprésenter une mesure de A .Nous allons commencer par les parties les plus simples,
c'est-à-dire les intervalles (ouverts,fermés,...).Convenons, pour simplifier le langage, de
dire qu'une partie A est mesurable si on peut lui associer une mesure .Cette appellation
reste pour le moment assez vague car le fait qu'un ensemble soit mesurable ou non dépend
de la manière dont on veut le mesurer .

Si A = (a, b) est un intervalle borné(ouvert,semi-ouvert,ou fermé). On pose, par définition

u(A) = b -- a.

Autrement dit, la longueur de A peut-être prise comme mesure de A . Si A est non borné, on prend u(A) = +oc. Il découle de la définition que la mesure d'un point et celle de l'ensemble vide sont nulles.

i) Soient A = (a, b) et B = (c, d) deux intervalles .Alors il est clair que la mesure de A ^U B n'est pas toujours égale a` la somme des mesures respectives de A et B mais

u(A U B) = u(A) + u(B) -- u(A fl B)

qui implique en particulier que si A ^fl B = 0, alors u(A U B) = u(A) + u(B) .On peut donc mesurer les réunions finies d'intervalles.

ii) comme on admet que l'ensemble Ù tout entier est mesurable, il est normal de demander que si A est mesurable, son complémentaire A^c doit-être aussi mesurable et que sa mesure demandons a` celle de A d'être finie .

iii) Soit _(An)n=1 une suite d'intervalles, deux a` deux disjoints.On pose

[ u( n=1

An) =

X8 n=1

u(An)

On peut remarquer que si A et B sont des réunions dénombrables d'intervalles deux a` deux disjoints alors A ? B implique u(A) u(B) .Si donc _(An)n=1 est une suite d'intervalles quelconques, la suite

uN = u( _[N A_n)

n=1

est donc croissante. On pose alors

[8 u( n=1

An) = lim uN N?8

On peut donc mesurer les réunions dénombrables d'intervalles et par la suite les intersections dénombrables d'intervalles puisque

_n (A_n) = ( _U Ac _n)c

n=1 n=1

Mais on peut rien dire, d'une manière générale, de la mesure d'une réunion dénombrable d'intervalle de R

A partir de cet exemple, on voit que les premiers objets qui interviennes en théorie de la mesure sont des parties d'un ensemble I astreintes a` vérifier certaines propriétés .Et c'est ce que nous allons faire dans ce mémoire.

Chapitre 1

Generalites

Dans ce chapitre, on va introduire tous les ingrédients nécessaires pour aborder la théorie de la mesure proprement dite.Nous allons définir de manière précise, la notion de l'algèbre de Boole, semi-algèbre, et la tribu.

1.1 Definitions

Definition 1.1.1 Un semi-anneau sur un ensemble E est un sous-ensemble S de l'ensemble des parties P(E) tel que

i) 0 E S

ii) si A,B E S alors Afl B E S

iii) si A,B E S alors A\B = _]n A telle que (A ) _>1 est une suite d'éléments de S

=1

deux a` deux disjoints.

Definition 1.1.2 Un anneau R sur un ensemble E est une collection de sous-ensemble de E telle que

i) 0 E R

ii) si A,B E R sont des ensembles disjoints alors A ^J B E R

iii) si A,B E R alors A\B E R

D'efinition 1.1.3 On appelle algêbre ¹ de Boole sur E toute partie A0 de P(E) vérifiant les propriétés suivantes

i) Ø ? A0

ii) si A ? A0 A^c ? A0

iii) si A,B ? A0 AUB ? A0

D'efinition 1.1.4 On dit que 9t est un ó-anneau de parties de E poss édant de plus la propriétésuivante

i) pour toute famille dénombrable de parties disjointes (Ai)iEN

si 9t est un anneau

d'éléments de 9t ,

]8 i=0

Ai ? 9t

D'efinition 1.1.5 On appelle tribu ² sur E toute partie A de P(E) vérifiant les propriétés suivantes

i) Ø ? A

ii) A ? A A^c ? A

iii) si _(An)n>1 est une suite dans A, alors la réunion A = _U A_n

n>1

est encore dans A

D'efinition 1.1.6 On dira qu'une partie S1 de P(E) est une semi-algêbre³ de Boole sur E si

i) Ø ? S1

ii) si A ,B ? S1 alors AflB ? S1

iii) si A ? S1 alors A^c est une réunion de parties de E dans S1 , deux a` deux disjointes.

¹On dit aussi que A0 est une algèbre de Boole si A0 est un anneau et si de plus E ? A0

²On dit aussi que A est une tribu (ó-algèbre) de parties de E si A est un ó-anneau et si de plus E est un 'el'ement de A

³On dit aussi que S1 est une semi-algèbre si S1 est un semi-anneau et si de plus E ? S1

D'efinition 1.1.7 : Soit X C P(E) une famille non vide quelconque de parties de l'ensemble non vide E . On appelle anneau engendrépar X (resp.algebre engendrée par X ) le plus petit anneau ( resp.la plus petite algebre) de parties de E contenant X

D'efinition 1.1.8 : Une application u d'une famille 9t (ou 9t est un ó-anneau )non vide
de parties de l'ensemble non vide de E dans R U{+8} est dite finie (resp.ó-finie) en X E

9t si u(X) est fini ( resp.si X est contenu dans la réunion

Y d'une famille d'éléments

Y de 9t tels que pour tout i E N u(Y ) soit fini )

Chapitre 2

Existence d'une fonction additive sur

les algèbres

Dans ce chapitre, on va démontrer l'existence et l'unicitéd'une fonction additive sur les algèbres.

2.1 D'efinition

D'efinition 2.1.1 : Soient 9t un ó-anneau de parties de E et F = R U{+8} . On appelle
fonction d'ensembles sur 9t toute application u sur R a` valeurs dans F .on dira que u est

i) additive si pour toute famille finie _(Ak)k=1,n d''el'ements de 9t deux a` deux disjoints dont la r'eunion est 'el'ement de 9t alors :

u( _]n Ak) = _Xn u(Ak)

k=1 k=1

ii) ó-additive si pour toute famille d'enombrable Ai ,i N d''el'ements de 9t deux a` deux
disjoints telle que +8] >Ai 9t ,la famille u(Ai) ,i N est sommable (i.e u(Ai)

i=1 iEN

converge) alors :

u( ] >Ai) = u(Ai)

iEN iEN

2.2 Existence d'une fonction additive sur les algèbres

Proposition 2.2.1 L'anneau R engendree par un semi-anneau S est formedes reunion disjointes finies de la forme

R = S1 w S2... w S_n, S1, S2, S3, ..., S_n E S (2.1)

(i.e)

R = {A , A = wSi ,Si E S , i = 1,n}

Preuve : Il est clair que tout anneau contenant S contient nécessairement les ensembles de la forme 2.1 et donc R C ó(S).il reste a` vérifier que la famille R de ces ensembles est un anneau, car cela entraàýnera R = ó(S) puisque ó(S) est le plus petit anneau contenant S. vérifiant que R est un anneau :

a) Puisque 0 E S par définition alors 0 E R car pour i=1 posons

S1 = 0 E S R = 0 E R

b) Si B = R1 ^Ij R2 Ij R_m avec R1, R2,...., R_m E R pour un certain m, alors

B E R ; en effet ,en décomposant chaque Ri i = 1, m sous la forme 2.1 on obtient une décomposition de B de la même forme

c) si P^',P E S alors P^'\P E R car P^'\P = _]n Si avec Si E S, i = 1, n (par définition)

i=1

et puisque P^" \ P et de la forme 2.1 alors P^" \ P E R

d) si B E R et P E S alors B \ P E R ; en effet , en considérons la décomposition 2.1 de B , et en utilisant (b)et(c) , on a B\P = (S1 \P) L#177;J(S2 \P) tJ(S_n \P) E R

e) si B,B^' E R alors B^' \ B E R ; en effet, en considérant la décomposition 2.1 de B et

en appliquant n fois la propriété(d) on obtient B^' \B = B^' \(P1 ^Ij P2 I#177;j P_n) =

(((B^' \ P1) \ P2 ) \ Pn_1) \ P_n E R tel que Pi E S i = 1,n Pi flPj = 0 pour i =6 j

corollaire 2.2.1 L'algèbre A0 engendree par une semi-algèbre S1 et formedes reunions disjointes finies de la forme 2.1

Preuve : d'après la proposition précédante il suffit de vérifier que l'ensemble E E A0 et c'est le cas puisque E E S1

Proposition 2.2.2 : Soit S1 une semi-algèbre de parties de l'ensemble non vide E, A0 l'algèbre engendrée par S1 ,u une application additive de S1 dans R U{+8} ,il existe une application additive unique u1 de A0 dans R U{+8} dont la restriction a` S1 est égale a` u . De plus si u est a -additive ,il en est de màeme de u1 ,si u est positive ,il en est de màeme de u1 .

^aprè

Preuve : D'après le corollaire (2.2.1) , tout 'el'ement A de A0 est de la forme

posons donc	]n A = i=1	Si Si E S1
u1(A) =			Xn i=1	u(Si)

pour montrer que cette d'efinition est correcte, il faut v'erifier que si A admet une autre d'ecomposition

]m A = j=1	Yj, Yj E S1 de la forme 2.1 alors
Xn i=1		u(Si) =	Xm j=1	u(Yj)

or ceci r'esulte de :

on a _]m (Si n Yj) i = 1,n car

j=1

]m Si = j=1

Wm (Si n Yj) = Si n ( j=1

]n Yj) = Si n A = Sin ( k=1

]n Sk) = k=1

(Si n Sk) = Si

et (Si n Yj) n (Si n Yl) = Si n (Yj n Yl) = Si n 0 = 0 pour j =6 l donc d'après l'additivit'e de u on aura

u(Si) =

Xm j=1

u(Si n Yj)

en additionnant cette egalitepour i = 1, n on obtient

Xn i=1			u(Si) =	Xn i=1		Xm j=1		u(Si n Yj)
et de même pour Yj =	]n i=1	(Yj n Si) , on obtient
u(Yj) =					Xn i=1		u(Yj n Si)

en faisant la somme pour j = 1, m, on obtient

_Xm
j=1

u(Yj) =

_Xn
i=1

_Xm
j=1

_Xn
i=1

_Xm
j=1

u(Yj n Si) =

_Xn
i=1

u(Si)

u(Yj n Si) =

la positivitede u1 : A0 ? 1R L{+ool etant evidante. il reste a` verifier la ó-additivite.

oo

- Considerons donc une reunion disjointe A = Ak avec A, Ak ? A0.Il faut montrer que

k=1

u1(A) =

cx) k=1

u1(Ak).

- En choisissant pour chaque k une decomposition de la forme 2.1 pour Ak et en utilisant la definition de u(Ak) [on se ramène au cas o`u Ak ? S1 pour chaque k].

- Considerons maintenant une decomposition de A de la forme 2.1 alors on a :

u1(Ak) =

Xn i=1

u(Si)

car Ak est un element de A0 de la forme Ak = LEJ i=1

Si Si ? S1

oo D'autre part Sj = LEJ k=1

(Sj n Ak) j = 1, n car

]oo Sj n ( k=1

]n Ak) = Sj n A = Sj n ( i=1

]n Si) = i=1

(Sj n Si) = Sj

X8 k=1

Donc u(Sj) =

u(SjnAk) [car u est additive] ; en additionnant ces égalités pour j = 1, m

_X8 ( _Xn
k=1 j=1

u1(A) = _Xn u(Sj) = _Xn _X8

j=1 j=1 k=1

_X8 u1(Ak)

k=1

on obtient l'égalitécherchée

u(Sj n Ak) =

u(Sj n Ak)) =

Chapitre 3

Mesure extérieure

Comme nous l'avons d'eja signal'e la construction d'une mesure int'eressante sur un ensemble non d'enombrable ne se voit de manière explicite que sur certains 'el'ements -qui forment souvent une algèbre de Boole ou une semi-algèbre de Boole- de la tribu . C'est sur ces parties que l'on construit d'abord une telle mesure.

3.1 Définition et propriétés

Définition 3.1.1 Une mesure ext'erieure u* sur E (E non vide) est une application

u* : P(E) -? R+ telle que

i) u*(Ø) = 0

ii) si A c B,[A, B E P(E)] alors u^*(A) = u^*(B)

iii) pour toute suite _(An)n?N dans P(E) on a

u*( [8 A_n) = _X8 u^*(A_n)

n=1 n=1

Une partie A de E est dite u^*-mesurable si pour toute partie ç de E on a

u^*(ç) = u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç)

Propriétés 3.1.1 Soit f une fonction additive positive d'efinie sur l'algêbre A0 de parties de E ,X,Y et _(Xi)i?N d'esignent des 'el'ements de A0

1.

_Xn
i=1

Xi) =

si X ? Y alors f(X) = f(Y)

2. pour tout n ? N, f(U

i=1

f(Xi) ; de plus si les Xi sont deux a` deux disjoints

cette inégalitédevient égalité

00

3. si les Xi sont deux a` deux disjoints et si Xi ? A0 alors

i=1

00 f (H i=1

Xi) =

00 i=1

f(Xi)

si de plus f est ó-additive , cette inégalitédevient une égalité

00

4. si X ? Xi et si f est ó-additive alors :

i=1

f(X) =

00 i=1

f(Xi)

Preuve :

1. Résulte immédiatement de :

Y = X U(Y n X^c) = f(Y) = f(X) + f(Y nX^c) = f(X)

2. Soit Xi = X1, Xz = Xi n(U i-1 Xj)^c ; les X⁰_i sont deux a` deux disjoints et _[n Xi = _[n _X0 i

j=1 i=1 i=1

3. pour tout n ? N, _[n Xi ? 00 Xi donc d'après (1)et (2)

i=1 i=1

00 f (H i=1

Xi) = f(ll i=1

Xi) =

Xn i=1

f(Xi)

, X⁰_i ? Xi donc d'après (1)

f (H i=1

Xi) =

Xn i=1

f(X^0i) =

Xn i=1

f(Xi)

d'o`u puisque ceci et vrai pour tout n ? N :

[8 f( i=1

Xi) =

X8 i=1

f(Xi)

avec l'égalitéd'après la définition si f est ó-additive.

U 4. soit X00 1 = X ^fl X1 ,X0' i = X ^fl Xi fl( i-1 j=1				Xj)^c ; les X00 j sont deux a` deux disjoints, et
vérifient	[8 i=1	X00 i = X, X00 i ? Xi nous avons donc d'après (1)
f(X) =			X8 i=1		f(X0' i ) =	X8 i=1	f(Xi)

3.2 Lemmes

Lemme 3.2.1 : Soit A0 une algêbre de parties de l'ensemble non vide E, et u une fonction d'ensembles ó-additive, positve, bornée sur A0 . Pour toute partie X de E posons :

u^*(X) = inf{ Yi

X8 n=1

u(Yi)} (3.1)

La borne inférieure étant prise pour toute les familles dénombrables {Yi ; i ? N^*} d'éléments

de A0 telle que X ? _[n Yi , si X n'est contenu dans aucune réunion dénombrable d'éléments

i=1

Soit X ? A0 ,nous avons X = [8 Xi avec X1 = X et Xi = Ø pour i = 2 donc

i=1

de A0 , nous posons u^*(X) = +8

Alors u* est une mesure extérieure bornée dont la restriction a` A0 est égale a` u , appelée mesure extérieure engendrée par u

Preuve :

i) Montrons u^*/A0 = u.

u^*(X) =

X8 i=1

u*(Xi) = u*(X1)

D'autre part

u^*(X1) = u(X1) = u(X)

D'o`u u^*(X) = u(X)

Si X ? [8 Yi , Yi ? A0 , alors :

i=1

u(X) =

X8 i=1

u(Yi) o`u en prenenant la borne inferieure du second membre

u(X) = u^*(X)

Et par consequent u(X) = u^*(X)

ii) Nous allons maintenant etablir que u* est une mesure exterieure sur E ; elle est born'ee car u l'est

i) u*(Ø) = u(Ø) = ⁰

ii) Soit A et B deux parties de E , A ? B , si B n'est contenu dans aucune reunion denombrable d'elements de A0 alors u^*(A) = u^*(B) = +8

Si B ?

[8 i=1

Yi , Yi ? A0 ,A ?

[8 i=1

Yi donc u^*(A) =

X8 i=1

u(Yi) et en prenant la

D'o`u

X8 i=1

u^*(Xi) =

X8 i=1

X8 j=1

u(Xij) - å = u^*(1 i=1

Xi) - å

borne inferieure du second membre, u^*(A) = u^*(B) iii) soit X une partie de E telle que

X =U i?N^*

Xi avec Xi partie de E non forcement dans A0

Soit å > 0 , alors pour tout i ? N il existe une suite _(Xij)j?N dans A0 telle que

[ Xi ? j?N

Xij et

u^*(Xi) =

X8 j=1

å u(Xij) - 2i

Car _U00 Xi ? _U Xij ce resultat etant vrai ?å > 0 on en deduit par passage

i=1 (i,j)EN^*xN^*

a` la limite (quand å ? 0 ) :

u^*(X) = u^*(U i=1

Xi) =

00 i=1

u^*(Xi)

Lemme 3.2.2 : Soit B la classe des parties de E qui sont u^*-mesurables [i.e les parties A qui vérifient u^*(S2) = u^*(A n S2) + u^*(A^c n S2), ? S2 ? P(E)]

Alors B est une tribu sur E et u* est une fonction ó-additive, positive, bornée sur cette tribu

Preuve :

i) B est une algèbre de Boole sur E . On a clairement pour tout S2 ?P(E)

u^*(S2) = u^*(S2 n E) + u^*(S2 n E^c)

Donc E ? B ; soient A,B ? B et S2 ? P(E) .Alors u^*(S2) = u^*(S2 n A) + u^*(S2 n A^c)

= u^*(A n B n S2) + u^*(A n B^c n S2) + u^*(A^c n B n S2) + u^*(A^c n B^c n S2)
= u^*(A n B n S2) + u^*({(A n B^c n S2) ? (A^c n B n S2) ? (A^c n B^c n S2)})

= u^*(A n B n S2) + u^*((A n B)^c n S2)

comme S2 = {(A n B) n S2} ? {(A n B)^c n S2} et que u* est une mesure exterieure le point iii) de la definition (3.1.1) donne

u^*(S2) = u^*(A n B n S2) + u^*((A n B)^c n S2)

Et donc

u^*(S2) = u^*(A n B n S2) + u^*((A n B)^c n S2)

Ce qui montre que A n B ? B . Le fait que A ? B A^c ? B decoule trivialement de ^l'egalite

u^*(S2) = u^*(A n S2) + u^*(A^c n S2) o`u S2 ? P(E)

ii) u* est additive sur B : en effet soient A et B des elements de B tels que A n B = Ø .Alors

u^*(A ? B) = u^*(A) + u^*(B)

iii) B est une tribu : soit _(An)n?N* une suite d'elements dans B .

On veut montrer que A =

[8 n=1

An est un element de B

On peut supposer que A_n sont deux a` deux disjoints ; s'ils ne sont pas on pose : A_n = {A1 pour n = 1; A_n n Ac n-1 n n A^c₁ pour n = 2}

Et on remarque qu'on a A = [8 A_n = [8 A_n

n=1 n=1

Ce n'est donc pas une restriction de supposer A_n n A_p = Ø pour n =6 p Soient ? P(E) , 6 > 0 et N ? N^* .Alors comme

XN n=1

u* (An) = u*( U n=1

8 An) = u^*(U n=1

An) < +8

Donc pour N suffisament grand on a

[N u*({ n=1

An n }^c) =

X8 n=N+1

u^*(An n ) = 6 (3.2)

Maintenant comme

= (H (A_n n )) ? ({ _[N A_n}^c n )

n=1 n=1

u* () = u* (I I (A_n n )) + u*({ _[N A_n}^c n ) (3.3)

n=1 n=1

qui est une reunion disjointe on a :

Sommant le premier et le troisieme membres de 3.2 réspectivement avec le deuxieme et le premier membre de 3.3 on obtient

å + u^*() = u^*(il (A_n n )^c) + u^*(U (A_n n )) + u*({ _[N A_n}^c n )

n=1 n=1 n=1

Et donc

å + u^*() = u*({			[N n=1	8 An}^c n ) + u^*(U n=1		(An n ))
= u*({	[8 n=1	8 An}^c n ) + u^*(U n=1			(An n ))

En faisant tendre å vers 0 on obtient

[8 u^*() = u*({ n=1

8 An}^c n ) + u^*(U n=1

(An n ))

comme l'égalité

u^*() = u*({ [8 A_n}^c n ) + u^*(1 8 (A_n n ))

n=1 n=1

est vérifiée de maniere évidente , on a :

u^*() = u*({		[8 n=1	8 An}^c n ) + u^*(U n=1					(An n ))
i.e	[8 n=1				An ? B
8 u*(-- n=1				An) =		X8 n=1	u^*(An) (3.4)

qui montre bien que B est une tribu.

iv) u* est une mesure bornée sur B .

Soit toujours _(An)n?N* une suite d'éléments de B deux a` deux disjoints .Comme u* est une mesure extérieure on a

D'autre part comme pour tout N ? N*

[N n=1

An ?

[8 n=1

An

On a

u*( [8 A_n) = u^*(U A_n) = _XN u^*(A_n)

n=1 n=1 n=1

En passant a` la limite quand N ? +Do on obtient

u*( [8 A_n) = _X8 u^*(A_n) (3.5)

n=1 n=1

Les inégalités 3.4 et 3.5 donnent 8 u*(-- n=1

An) =

X8 n=1

u^*(An)

Ceci montre bien que la ó-additivitéde u* qui est donc une mesure sur B .Elle est trivialement born'ee .

Lemme 3.2.3 : La tribu A = ó(A0) engendr'ee par A0 est contenue dans B.

Preuve : Il suffit de montrer que A0 est contenu dans B car celle-ci est une tribu. Soit A ? A0 ; il s'agit de montrer que pour tout Ù ? P(E) on a

u^*(Ù) = u^*(A n Ù) + u^*(A^c n Ù)

comme

u^*(Ù) = inf { S?SÙ

X8 n=1

u(An)}

[8 A_n ,

n=1

o`u SÙ est l'ensemble de toutes les suites S = (A_n) telles que A_n ? A0 et Ù ? pour tout å = 0, il existe S = (An)n?N ? SA telle que

_X8 u(A_n) = u^*(Ù) + å

n=1

Mais

_X8 u(A_n) = _X8 u^*(A n A_n) + _X8 u^*(A^c n A_n)

n=1 n=1 n=1

= u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç)

Et donc

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u^*(ç) + å

En faisant tendre å vers 0, on obtient

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u^*(ç)

Comme l'égalité

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u^*(ç)

est évidente, on a

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u*(ç)

Ce qui montre bien que A ? B .

Chapitre 4

Existence et Unicitéde la mesure

sur les tribus

Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème de prolongement qui permet d'étendre une mesure, définie a priori sur une semi-algèbre de Boole, a` la tribu qu'elle engendre; puis l'unicité, et on terminera par des exemples.

4.1 Existence

Théorème 4.1.1 (Théorème de prolongement) : Soit u une fonction ó-additive, positive, bornée sur A0 (o`u A0 est une algêbre de Boole sur E ) et A la tribu engendrée par A0 .Alors il existe une fonction ó-additive, positive, bornée u1 définie sur A, dont la restriction a` A0 est égale a` u

Preuve : La mesure extérieure u* donnée par l'égalité(3.1) est restreinte a` A = ó(A0) donne le prolongement d'après le lemme (3.2.1).

Définition 4.1.1 : On appelle mesure sur A toute fonction d'ensemble sur A, positive, ó-additive et bornée.

D'une maniêre équivalente, une mesure est une application u : (E, A) ? 1+ vérifiant - Pour toute famille _(An)nEN de parties disjointes deux a` deux :

u( [8 A_n) = _X8 u(An)

n=1 n=1

4.2 Unicit'e du prolongement

Th'eor`eme 4.2.1 (Unicit'e de Dynkin) : Soient A0 une alg`ebre sur l'ensemble X et A = ó(A0) la ó-alg`ebre engendr'ee par A0. Si u et í sont deux mesures sur (X, A) telles que u(P) = í(P) pour tout P ? A0 et u(X) = í(X), avec u et í sont deux mesures finies, alors u(A) = í(A) pour tout A ? A

Preuve : Notons B0 ? A l'ensemble des A ? A tels que u(A) = í(A). On sait par hypoth`ese que X ? B0 et il est trivial que Ø ? B0. Si A et B ? B0 avec A ? B, alors u(A) = í(A) et u(B) = í(B) par cons'equent

u(B \ A) = u(B) - u(A) = í(B) - í(A) = í(B \ A)

et donc B \ A ? B0. De même si (Ai)i?N ? B0 est une suite monotone croissante, alors _U8 Ai ? B0 car

i=1

U8 u( n=1

An) = lim u(An) = lim n?8 n?8

8 í(An) = í(U n=1

An)

k

u(A) = i=1 (bi - ai) (4.2)

On a donc montr'e que B0 est une alg`ebre. Comme A ? B0 cela signifie que u(A) = í(A) pour tout A ? A.

4.3 Exemples

4.3.1 Mesure de Lebesgue sur ILS

On pose =]0, 1[.Alors l'ensemble des parties de de la forme

k

A = ]ai, bi[ (4.1)

i=1

avec 0 = a1 = b1 = a2 = b2 = ak = bk = 1 est une alg`ebre de Boole A0 sur qui

engendre la tribu bor'elienne BÙ .Pour A ? A0 de la forme 4.1 on pose

Alors u est une mesure finie sur A0 .D'après le théorème de prologement elle s'etend de manière unique en une mesure ë0 sur BÙ

4.3.2 Application du théorème de Kolmogorov

Théorème de Kolmogorov¹ : Soit _(Pn)n?N une suite de probabilitésur les espaces ((Rⁿ⁺¹, B(Rⁿ⁺¹)))_n?N satisfaisant la condition de consistance

?m = 0, ?B_n E B(Rⁿ⁺¹) , P_n(B_n) = Pn+1(Bn x R)

Il existe alors une unique mesure de probabilitéP sur (R^N, B(R^N)) telle que :

?m = 0, ?B_n E B(Rⁿ⁺¹) , P(C_n(B_n)) = P_n(B_n) avec C_n(B_n) des cylindres sur R^N de la forme suivante :

C_n(B_n) = {w = (wn)n=0 E R^N : (w1, ...,w_n) E B_n}

B_n E B(Rⁿ⁺¹) et E^N = {w = (wn)n=0 : w_n E E,m E N}

-Maintenant vérifions que l'évènement suivant est de probabilité1 :

U A = {w : T(w) < 8} =

{w : T(w) = m}

n=0

avec

T(w) = inf{m = 0,w_n = 1}

o`u les évènements cylindriques sont :

{w : T(w) = m} = {w : w0,...,wn-1 = 0,w_n = 1}

= 0 x 0... x 0 x1 | _{z -I

n

.

On commence par remarquer que le théorème de Kolmogorov nous assure l'existence d'une

'Pour la d'emonstration voir [5] page 30

unique probabilitéP sur (Ù, F) = ({0, 1}^N, B(E^N)) supportant les séquences infinies de jeux de »Pile» ou »Face». Nous avons :

U >i P(T < 8) = P( {ù : T(ù) = n}) = n>0 n>0			P({ù : T(ù) = n})
>i = n>0	P({ù : ù0 = 0,...,ùn_1 = 0,ùn = 1})
>i = n>0		(1 - P)^nP = 1

4.3.3 Produit tensoriel de mesures

Soient (Ù1, A1, u1), ..., (Ù_n, A_n, u_n) des espaces mesurés. La famille S des parties de

Ù = Ù1 x ... x Ù_n de la forme A1 x ... x A_n o`u Ai E Ai pour tout i = 1, n est une semi-algèbre. Alors en posant

u0(A1 x ... x A_n) = u1(A1) x ... x u_n(A_n)

on peut définir une mesure sur l'algèbre A0 engendrée par S qui se prolonge de facon unique en une mesure sur A = A1 ? ... ? A_n qu'on notera u1 ? ... ? u_n et qu'on appelle le produit tensoriel de u1, ..., un.

Conclusion

- Puisque la mesure est une fonction ó-additive, positive, bornée; alors l'existence et l'unicitéde la fonction ó-additive, positive, bornée implique l'existence et l'unicitéde la mesure .

Les théorèmes (4.1.1) et (4.2.1) nous ont permet de prolonger la mesure ,u définie sur l'algèbre A0 en une mesure définie sur la tribu A engendrée par A0.

- Les mesures définies sur des tribus jouant, dans la théorie de l'intégration, un ràole plus important que celles définies sur des algèbres, il est utile de pouvoir prolonger une mesure définie sur une algèbre a` une tribu contenant cet dernière.

Ce théorème nous assure l'unicitéde la mesure qui a énormément d'applications notamment pour mesurer les surfaces, les volumes,...etc.

D'autre part, ce théorème a pour différentes applications en théorie de probabilitélors de la recherche d'une mesure invariante. Cette dernière joue un ràole important

dans l'étude de la stabilitédes systèmes ayant pour modèle les différents types de Processus Stochastiques.

Bibliographie

[1] Aziz El Kacimi Alaoui, 'Elements d'Intégration et d'Analyse Fonctionnelle, édition ellipses (1999).

[2] Vilmos Komornik, Précis d'analyse fonctionnelle (Analyse de Lebesgue, Espaces Fonctionnels), édition ellipses (2002).

[3] Claude Dellacherie; Paul-AndréMeyer, Probabilités et potentiel, Edition Hermann, (1975).

[4] Charles-Michel Marle, Mesures et Probabilités, édition Hermann, (1974).

[5] Pierre Del Moral; Bruno Rémillard; Sylvain Rubenthaler, Une introduction aux Probabilités, Edition ellipses, (2006).