II.2.Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage
des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en
utilisant la distribution grand canonique de Gibbs
La formule (1.8) de la distribution grand canonique
quantique, lorsque la grandeur  est concrètement connue, permet de calculer les fonctions des
nombres de remplissage , en utilisant l'astuce mathématique, comme nous l'avons fait au
sous-chapitre II.1, lors du calcul de  (voir 2.7)
Trouvons  :
 (2.24)
Mais  (2.25)
En tenant compte de (2.24) et (2.25), nous
écrivons :
 (2.26)
De (2.25), on sait que le dénominateur dans
l'équation (2.26) est égale à , ce qui donne :
(2.27)
En posant , on obtient :
 (2.28)
C'est-à-dire :
 (2.29)
Dans le cas particulier où les niveaux
énergétiques k et l sont égaux, de la formule (2.29), on
obtient :
 (2.30)
Avec  qui présente la dispersion du nombre de remplissage des niveaux
énergétiques.
La valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux
énergétiques pour un gaz parfait quantique est donnée
par :
 (2.31)
En utilisant l'expression (2.31) dans l'expression (2.30), on
obtient :
 
 (2.32)
L'expression (2.32), est la formule de la dispersion du
nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz
parfait quantique en général.
La fluctuation du nombre de remplissage des niveaux
d'énergie s'obtient à partir de la dispersion par la
relation :
 (2.33)
En utilisant l'expression (2.32) dans l'expression (2.33), on
obtient :
 
 (2.34)
L'expression (2.34), est la fluctuation du nombre de
remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait
quantique.
Pour un gaz parfait de Bose, on obtient :
Pour un gaz parfait de Fermi, on obtient :
Pour un gaz régi par la statistique de Boltzmann, on
obtient :  .Ainsi, on voit que l'expression pour l'écart quadratique moyen
du nombre de remplissage des niveaux énergétiques dans le cas
d'un gaz parfait est la même que l'expression obtenue dans le cas
classique.
Cette expression classique est obtenue comme suit :
Dans le cas classique, il n'y a pas de niveaux
énergétiques. La valeur moyenne de particules se trouvant dans
l'intervalle d'énergie est obtenue à partir de la distribution classique de
Maxwell-Boltzmann. Cette valeur est sous la forme :
La dispersion du nombre de particules se trouvant dans
l'intervalle d'énergie  est calculée comme suit :
La fluctuation du nombre de particules se trouvant dans
l'intervalle de l'énergie  est calculée comme suit :
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