Modélisation hydraulique et de la qualité d'eau dans les réseaux d'adduction d'eau potable par EPANET

II-1-1/ Conservation de la masse

L'expression de la loi de conservation de masse, le long d'un tronçon i peut s'écrire selon deux

expressions définies comme suite:

ä ä

C C

i i

= - × +

u R

t x

i

ä ä

( ) C(II.1)

i

C_i : la concentration au tronçon i à la position x et temps t. u_i: la vitesse moyenne de l'écoulement dans le tronçon i. R(C_i): taux de réaction.

?

dt dt

dm d

C Q C Q

entrée entrée sortie sortie

c

× - × +

?

entrée sortie

( )

CV eau(II.2)

dm avec m C Q = = c inj entrée entrée l ? dt l? J entrée

(II.3)

Avec :

Centrée : concentration volumique à l'entrée du volume de contrôle

Csortie: concentration volumique à la sortie du volume de contrôle

C entrée : concentration effective résultant de l'injection d'une masse de constituant défini

inj

Q entrée : débit du fluide à l'entrée du volume de contrôle Qsortie : débit du fluide à la sortie du volume de contrôle Veau : le volume d'eau dans le volume de contrôle

m

m_c : la masse du constituant (désinfectant...) injecté à l'eau par unité de temps c

m =

t

Pour l'équation (II.2), le terme gauche exprime le transport de masse du constituant vers ou à partir du volume de contrôle. Les deux premiers termes sont le transport avec le fluide. Le dernier terme est un terme de réaction qui quantifie les transformations de dégradation ou de croissance du constituant dans le volume de contrôle.

Le terme droit exprime le taux de variation de masse du constituant avec le volume de contrôle. L'injection du chlore est spécifiquement de l'ordre de mg/l. Alors que les bactéries sont dans l'intervalle de ug/l qui est équivalente à mg/m³.

Au niveau des noeuds, une autre relation de conservation de masse est la suivante :

=

j I

? k

=

0

Ci_x

(II.4)

Q C Q C

j j S S

+ ×

x Lf

=

?

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?

j I ? k

Q Q j S +

I : tronçon avec un débit quittant le noeud K

IK : ensemble de tronçons avec des flux entrants le noeud K LF : longueur du tronçon j

Qj : débit dans le tronçon j

CS : concentration de la source extérieure entrant le noeud K.

QS : débit de la source extérieure entrant le noeud K.

II-1-2/ Mélange aux noeuds

II-1-2-1/ Noeud sans injection de constituant

Aux noeuds de jonction dans un réseau de conduite, la qualité d'eau change à cause de l'injection et la dilution. La conservation de la masse est appliquée aux noeuds pour déterminer l'effet d'associer le débit avec différentes concentrations de constituants. Un mélange complet et total est supposé se produire dans la conduite résultant de l'uniformité des concentrations au delà de la section aval de la conduite. Dés qu'un noeud ne peut stocker d'eau, la masse du constituant au noeud est constante et le terme gauche de l'équation (II.2) est égal à 0. Aussi, dés que les longueurs de conduites au noeud sont très petites, il n'y a pas de temps de séjour au noeud, pour cela il n'y a ni dégradation ni croissance du constituant qui peut se produire. Pour une simple jonction, il n'y a pas de constituant demandé en ce noeud. Les deux derniers cas impliquent que :

dmc = dt

0 (II.5)

Sous ces conditions l'équation (II. 2) devient : d CV

( ) dm

eau= ? × - ? × + ? × - ? × =

C Q C Q C Q C Q

^c 0 (II.6)

entrée entrée sortie sortie entrée entrée sortie sortie

entrée sortie entrée sortie

dtdt

L'équation (II.2) peut être écrite pour un noeud comme suit :

?

C Q C Q

l l entrée entrée

+

C sortie

? l J ? sortie

Q q l sortie +

l J

? entrée

(II.7)

Ici, le débit entrant au noeud à partir des conduites _Jentrée est comme une injection externe (débit), Qentrée Chacun de ces débits peut avoir différentes concentrations du constituant, C_l et C _entrée ,

respectivement. Les débits sortant consistes en le tirage au noeud, _qsortie et l'ensemble des débits dans

les _Jsortie conduites amenant l'eau à partir du noeud. Avec un mélange complet, tous les débits sortant ont la même concentration,C_sorti_e. L'équation (II.7), montre que la concentration du débit sortant est une moyenne pondérée des concentrations entrantes.

II-1-2-2/ Noeud avec injection de constituant

Pour ce cas, dmc

dt

dans l'équation (II.2) n'est pas égal à 0. Dans la majorité des modèles de

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qualité, la concentration pour tous les débits externes entrant au noeud peut être spécifiée. Le débit
est typiquement une demande négative au noeud ou un débit à partir d'un réservoir ou station de

traitement d'eau. La concentration d'entrée d'eau, _Centrée dans l'équation (II.7) est décrite comme la source de concentration.

Substituons l'équation (II.3) dans l'équation (II.7), on trouve :

? ? ?

C Q C Q m C Q C Q C Q

inj

l l entrée entrée entrée l l entrée entrée entrée l

+ + + +

l J

Csortie

(II.8)

? l J

? l J

?

entrée entrée entrée

= =

? ?

Q q

l sortie

+ Q q

l sortie

+

l J

? l J

?

sortie sortie