Approche statistique sur l'étude des rendements financiers et applications.

1.2 Les différents types de rendements

Dans toute la suite on considère une suite de n prix d'un titre financier (X1, X2, . . . , X_n). On définit le prix Xt > 0 d'un titre financier observé au temps t.

1.2.1 le rendement arithmétique

On appelle rendement arithmétique (ou le rendement discret) la quantité définie par:

Rarith _t = Xt-Xt_1

Xt_1

1.2.2 Le Log-rendement et le taux de rendement

Implicitement le prix considèré est celui de la fermeture. On définit aussi le taux de rendement effectif Rt sur une période comprise dans l'intervalle de temps [t - 1, t]. C'est le taux composé continument, aussi appelé force d'intérét, qui aurait occasionné les mêmes gains ou pertes sur un montant déposé en banque au cours de la période concernée. Le taux de rendement est la variable d'intérét dans le contexte de la modélisation financière.

On associe le taux de rendement effectif à la différence entre le logarithme du prix initial et final. Dans la situation où le taux de rendement est déterministe et non aléatoire, on obtient l'équation différentielle suivante :

dXt

dt

= Rt.Xt

On peut interpréter cette équation en affirmant que la variation du prix dXt sur un intervalle de temps infiniment petit dt est proportionnelle à la valeur

9

actuelle Xt. Cette équation différentielle a pour solution générale :

Xt = X0e^Rt.t (1.1)

Afin de définir les propriétés de l'échantillon sélectionné, on pose comme hypothèse:

Hypothèse 1.1 : Le rendement R(t) est constant durant la période définie par l'intervalle de temps [t - 1, t], mais il est différent d'une à l'autre : R_s =6 Rt pour s =6 t.

On peut alors représenter le rendement R(t) comme étant la différence entre les logarithmes des prix observés au temps t et t - 1, ou encore le logarithme du quotient de ces mêmes prix :

Rt = ln(Xt) - ln(Xt_1) = ln Xt ?

Xt-1

Un développement limité de Rt nous donne:

Rt = ln

Xt ?~ Xt-Xt-1 Xt-1 Xt_1

Le terme ln(Xt) - ln(Xt_1) est appelé le log-rendement.

La formule du log-rendement souvent plus utilisé en économétrie, est aussi appelé le "log-price" car c'est le logarithme du ratio (rapport) entre le prix pour la présence période au prix de la période précédente. D'une manière générale si Lt représente la variation de temps, alors le rendement continu de la période qui va de t à t + Lt est défini par :

R(t,Ät) = ln(Xt+Ät) - ln(Xt) (1.3)

1.2.3 Le rendement moyen

Le rendement continu a une propriété qui le rend très maniable. En effet, si l'on s'intéresse non plus au rendement continu du marché en 2014 mais au

(1.4)

rendement continu de t = 2010 a` t + T = 2014, il nous suffit de combiner la

moyenne arithmétique des différentes années :

Ainsi le rendement moyen est défini par :

1

=

T

T log?Xt+T

1

Rm Xt
(t,t+T ) =

logXt+T ?

.Xt+T-1 . ... Xt+2 _.Xt+1

Xt+1 Xt

Xt+T-1 XT+t-2

T ?log Xt+T

1 ?+ logXt+T -1 ?+ . . . + logXt+2 ?+ log?^Xt+1

_Xt ?

= Xt+T -1 XT +t-2 Xt+1

= donc on a :	1 T	?T k=1	Rt+k-1,t+k
1 ?T Rm t,t+T = Rt+k-1,t+k T k=1

Et on s'aperçoit bien que le rendement moyen est la moyenne arithmétique des rendements continus.

Par exemple pour t = 2010 et t + T = 2014 on obtient comme rendement

_4P4

moyen de 2010 à 2014, Rm 2010,2014 = 1 k=1 R2009+k,2010+k. Par conséquent le

rendement moyen est bien la moyenne arithmétique des rendements continus. les deux tableaux ci-dessous résume un exemple de calculs du log-rendement

_rln

t et le rendement arithmétique Rarith

t pour quelques valeurs de t. Pt repré-

sente le prix de l'actif à l'instant t.

t	1	2	3
Pt	100	102	100

Tableau 1 : Prix de l'actif en fonction du temps

At	(2 - 1)	(3 - 2)	(2 - 1) + (3 - 2)	(3 - 1)
Rarith t	2.00%	-1.96%	0.04%	0.00%
rln t	1.98%	-1.98%	0.00%	0.00%

10

(1.5)

11

Tableau 2 : Calcul du log-rendement et de rendement arithmétique