Approche de résolution par régularisation des problèmes de programmation mathématique à deux niveaux dans le cas de la non unicité de la solution du problème du suiveur

Année Académique 2007/2008

APPROCHE DE RÉSOLUTION PAR
RÉGULARISATION DES PROBLÈMES DE
PROGRAMMATION MATHÉMATIQUE À DEUX
NIVEAUX DANS LE CAS DE LA NON UNICITÉ DE
LA SOLUTION DE LA SOLUTION DU PROBLÈME DU
SUIVEUR.

MÉMOIRE

Présenté et soutenu en vue de l'obtention du Diplôme d'Études Approfondies (D.E.A.) Option : ANALYSE NUMÉRIQUE

Par :

FOUODJI DEDZO FRANCISQUE
Matricule 02W026

Sous la direction de :

PAULINE LAURE FOTSO Maître de Conférence

Dédicaces

Je dédie ce travail

? A mon père,

? A ma mère,

? A la famille Tsapi,

? A mes frères et soeurs.

Mémoire de DEA * Laboratoire d'analyse numérique * UYI Francisque.D.Fouodji c~UYI 2007-2008

Mémoire de DEA * Laboratoire d'analyse numérique * UYI Francisque.D.Fouodji c~UYI 2007-2008

Remerciements

Ce travail n'aurait pu être réalisé sans le concours, le soutien et les encouragements de plusieurs personnes que je tiens à remercier particulièrement. Il s'agit de :

? Professeur Pauline Laure Fotso, qui malgré ses nombreuses occupations à accepté d'encadrer ce travail, et ainsi guider mes pas dans ce premier travail de recherche;

? mr Calixte.O.Pieume, dont la disponibilité infinie et les conseils avisés m'ont permis d'éviter bien d'écueils;

? le Dr Guy Merlin Mbakop, qui m'a ouvert généreusement sa bibliothèque personnelle;

? les enseignants du département de mathématiques de l'université de Yaoundé I et de l'école normale supérieure de Yaoundé, à qui je doit la majeure partie de mes connaissances en mathématiques;

? mon père Mr Dedzo André et ma mère Mme Kamené Marie, qui m'ont transmis le goût de l'effort, et qui n'ont jamais cessé de m'apporter leurs support tant matériel que psychologique;

? les familles Tsapi, Nzangué et Zietchou, pour leur aide matérielle et leur encouragements;

? mes frères aînées Theophile, Merlin et Gustave, qui ont été mes guides éclairés durant mes premières années d'université et dont l'apport à ma formation universitaire et intellectuelle ne saurait être quantifié.

? mes camarades de promotion: Daoussa Daniel, Tchouaké Hervé, Kenfac Brice, Ngongang Eric, Ekwadi cyrille, Moualeu Dany, Batkam cyrille, Kenmogne Marcelin;

? mes amis Chassep Joel, Tagne Takam Cyrille, Mbah .N.Serge, Tewa Jean Claude, Meta-gheu Gisèle, Pokouo Sandrine, Tagne.K.Steve william;

? tous ceux que je n'ai pas cité ici et qui m'ont apporté leur aide durant ce travail.

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Table des matières

Dédicaces i

Remerciements ii

Table des matières iv

Table des figures v

Résumé vi

Abstract vii

Introduction générale viii

1	Genéralités sur la programmation mathématique à deux niveaux		1
	1.1	Formulation générale des PBN	2
		1.1.1 Définition et présentation	2
	1.2	Quelques propriétés des PBN	3
	1.3	Quelques résultats d'optimisation paramétrique	6
	1.4	Conditions d'optimalités	12
		1.4.1 Cas des PBN linéaires	12
		1.4.2 Cas général	13
	1.5	Algorithmes et méthodes de résolution des PBN	14
		1.5.1 Algorithme de descente	14
		1.5.2 L'algorithme du paquet	15
	1.6	Les applications de la PBN	16
		1.6.1 Production agricole , production de biocarburant	16
		1.6.2 Le problème principal-agent [10] 18
2	Non unicité de la solution du problème du suiveur : les différentes techniques
	d'approches.		20
	2.1	Position du problème	21
	2.2	L'approche optimiste	22
	2.3	L'approche pessimiste	24

TABLE DES MATIÈRES iv

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3 Approche de résolution par régularisation des PBN dans le cas de la non

unicité. 30
3.1 La régularisation de Tykhonov ............................ 30 3.2 régularisation par l'élément de plus petite norme .................. 37

3.2.1 première méthode ............................... 37

3.2.2 Deuxième méthode .............................. 41

3.3 Algorithme de résolution d'un PBN dans le cas de la non unicité ......... 43

3.3.1 La methode du paquet ............................ 43

3.3.2 Présentation de l'algorithme ......................... 44
3.4 Convergence de l'algorithme du paquet modifié ................... 47

Conclusion et perspectives 50

Bibliographie 51

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