Résumé
Le but de ce mémoire est de localiser les zones de
forte concentration des cellules tumorales et de la concentration d'acide
lactique pour un système de réaction de diffusion à trois
espèces impliquant les cellules saines, les cellules tumorales et la
concentration d'acide lactique. Les solutions du système avec des
conditions initiales non négatives sont déterminés.
L'utilisation des critères de Routh -Hurwitz nous permet de faire
l'analyse par bifurcation du modèle et les conditions d'existence des
modèles de Turing et non-Turing. Une série de résultats de
simulations numériques sont présentés pour montrer les
modèles de Turing. L'existence d'oscillations apériodiques et
d'oscillations chaotiques spatialement homogènes, inhomogènes,
périodiques et inhomogènes est montrée dans le
modèle à trois espèces pour le cancer.
Mots clés Modèle à trois
espèces, Diffusion, Bifurcation, Formation de modèles
Mémoire de MASTER II
TAMKO MBOPDA Boris c2019
Abstract
The purpose of this thesis is to locate areas of high
concentration of tumor cells and lactic acid concentration for a three-species
diffusion reaction system involving healthy cells, tumor cells and lactic acid
concentration. The System solutions with non-negative initial conditions are
determined. Use Routh -Hurwitz criteria allows us to make the analysis by
bifurcation of the model and the existence conditions of Turing and non-Turing
models. A series of numerical simulation results are presented to show the
Turing models. The existence of oscillations aperiodic and spatially
homogeneous, inhomogeneous, periodic and inhomogeneous is shown in the three
species model for cancer.
Keywords Three species model Diffusion Bifurcation Pattern
formation cancer
Mémoire de MASTER II
TAMKO MBOPDA Boris c2019
INTRODUCTION
Avec l'augmentation de l'espérance de vie et
l'évolution de nos modes de vie et de notre environnement, le cancer est
devenu une des problématiques majeures de santé publique. Le
cancer est à l'origine d'environ un décès sur sept dans le
monde, c'est aussi la deuxième cause de mortalité dans les pays
développés (après les maladies cardio-vasculaires) et la
troisième dans les pays en voie de développement (après
les maladies cardio-vasculaires et les maladies infectieuses et parasitaires)
[1]. Le cancer a été longtemps, à tord,
considéré comme une pathologie occidentale, à cause de
l'ignorance des données statistiques. Ces dernières ont
montré que ce fléau serait non seulement la
3e cause de mortalité dans nos pays, mais
que 72% des décès mondiaux dus au cancer sont enregistrés
dans les pays en voie de développement [2],[3].
En Afrique sub-saharienne, le cancer touche
particulièrement la population jeune. Les femmes sont les plus
exposées; elles représentent jusqu'à 68% des cas [4]. Les
principaux sites touchés par le cancer sont le sein, le
côlon-rectum et le poumon chez la femme. La prostate, le poumon et le
côlon-rectum chez l'homme, selon les dernières données de
la ville de Yaoundé sur les cancers gynécologiques, le cancer du
col utérin occupait la deuxième place après celui du
sein
[4].
En biologie, la cellule joue un rôle particulier et
central. Il s'agit de l'élément de base de tout être vivant
: on dit qu'elle est l'unité structurale, fonctionnelle et reproductrice
du vivant. En particulier, elle contient dans son noyau les chromosomes
constitués de l'acide désoxyribonucléique (ADN)
associé à des protéines. Ce rôle fondamental nous
amène à placer la cellule au coeur de notre discussion sur la
croissance tumorale. Une cellule, au cours de son existence, dispose de divers
mécanismes qui lui permettent d'assurer son bon fonctionnement. Une
cellule cancéreuse est, en quelque sorte, une cellule au comportement
anormal échappant à ces mécanismes de contrôle,
suite à des dérégulations qui sont souvent
associées à des modifications de l'information
génétique (appelées mutations). Une tumeur se forme
lorsque des cellules ont
Introduction 2
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acquis des mutations leur permettant d'échapper aux
systèmes de régulation naturels et se mettent à
proliférer anormalement [5]. Une tumeur est une structure
tridimensionnelle composée d'une population
hétérogène de cellules : on peut y trouver des cellules en
prolifération, des cellules ayant stoppé leur croissance et des
cellules mortes. Parmi les tumeurs, on distingue les tumeurs bénignes et
les tumeurs malignes, appelées tumeurs cancéreuses. La
terminologie «un cancer» peut aussi bien désigner «une
tumeur cancéreuse» qu'une maladie caractérisée par
l'apparition de tumeurs cancéreuses. En général, la
plupart des tumeurs sont bénignes et sont rapidement
évacuées par le système immunitaire, mais malheureusement
dans certains cas, les tumeurs peuvent devenir malignes et peuvent
également acquérir un caractère invasif : elles sont donc
capables d'envahir les tissus voisins voire d'envahir d'autre organes en
traversant le système vasculaire, formant alors ce que l'on appelle des
métastases. Les métastases sont la cause d'environ 90% des
décès dus au cancer [6].
Ces dernières années plusieurs modèles
mathématiques ont été développées pour
décrire et comprendre l'évolution des cellules cancéreuses
dans l'organisme notamment le modèle de Gompertz (ou loi de
mortalité de Gompertz-Makeham) établit que le taux de
mortalité est la somme de termes dépendants de l'âge
(termes de Makeham) et de termes dépendants de l'âge (fonction de
Gompertz). Ce modèle suggère également la diminution
exponentielle du nombre d'organismes vivants proportionnellement à
l'augmentation linéaire de l'âge. Le modèle de
Lotka-Volterra que l'on désigne aussi sous le terme de «
modèle proie-prédateur », sont un couple d'équations
différentielles non-linéaires du premier ordre, et sont
couramment utilisées pour décrire la dynamique de systèmes
biologiques dans lesquels un prédateur et sa proie interagissent. Ce
pendant ces modèles ne permettant pas la localisation des zones de forte
concentration des cellules cancéreuses. Ainsi pour apporter notre
modeste contribution à la détermination de ces zones de forte
concentration nous nous proposons de mené cette étude
intitulé «dynamique non linéaire et effet de
l'instabilité de Turing sur les systèmes cellulaires
désordonnés».
La suite est présentée ainsi : Au chapitre un
nous étudierons les généralités sur le cancer. Au
chapitre deux nous présenterons les modèles mathématique
développé dans la bibliographie et en suis sur la
méthodologie adopté. Au dernier nous présenterons et
analyserons les résultats de nos différentes simulation
numérique.
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TAMKO MBOPDA Boris c2019
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