II.1.1. Méthode PEEC
La méthode a été développée
par RUHELI en 1974 dans le but de calculer le couplage inductif dans les
circuits intégrés de type VLSI [16]. Ensuite, afin d'assurer la
nécessité de la montée en fréquence, l'effet
capacitif [13] a été rajouté au calcul des inductances
pour une méthode de modélisation à part entière
[12]. En 1992 un modèle PEEC prenant en compte les régions
diélectriques a été présenté [14]. Par la
suite, des travaux sur la méthode PEEC ont amélioré
différents aspects tels que l'effet de peau et de proximité [15]
et la stabilité liée à la résolution des
systèmes linéaires [16]. Jusqu'en 1999, dans tous les travaux sur
la méthode PEEC, on a utilisé une discrétisation
orthogonale. Date à laquelle, la discrétisation non orthogonale
des conducteurs a été introduite [17]. Ce type de
discrétisation a été développé et
amélioré dans [18]. Dans [19], la méthode PEEC a
été adaptée aux structures de section circulaire. La
méthode, développée au début pour l'analyse du
comportement électromagnétique des VLSI, est devenue une
méthode incontournable dans l'étude et la modélisation des
pistes de circuit imprimé (PCB) des systèmes électroniques
embarqués (interconnexions), de l'électronique de puissance, des
lignes de transmission, des antennes et aussi dans l'étude des
systèmes de câblage (câbles, plan de masse, bus barre etc.)
[20].
a. Formulation mathématique de la méthode
PEEC
Les méthodes de modélisation EM reposent sur les
quatre équations de Maxwell décrites ci-dessous.
Formulation différentielle Formulation
intégrale
et ñ est la charge volumique.
Dans les équations de Maxwell, Q est la charge
électrique, B? est l'induction magnétique,
D? est l'induction électrique, E? est le champ
électrique, H? est le champ magnétique, j est la
densité de courant, t est le temps
Ces équations de Maxwell ne suffisent pas à
résoudre un problème électromagnétique et ne
permettent
|
pas de déterminer les inconnues E?
|
(r ,t) , H?
|
(r , t), B?
|
(r , t), et D?
|
(r , t) dans la mesure où chacune de ces
|
variables est un vecteur de 3 composantes. Donc, on obtient
plus d'inconnues que d'équations. Pour surmonter cette
difficulté, des hypothèses supplémentaires reliant les
différentes inconnues sont nécessaires : celles-ci sont les
relations de constitution ((1), (2) et (3)). Elles prennent en compte la
permittivité, la perméabilité et la conductivité du
milieu continu considéré. Dans notre travail, le milieu entre
conducteurs est l'air dont la permittivité et la
perméabilité sont données respectivement par å0 et
ì0. De plus, nous utiliserons le cuivre comme conducteur dont la
conductivité est donnée par ó = 59,6 * 106m.
S-1 .
?
|
J = ó * E
? ?
B = ì0 * H
? ?
D = å0 * E
|
(1)
(2)
(3)
|
La formulation mathématique de la méthode PEEC a
été principalement développée dans [16], [17] et
[13]. Selon l'équation intégrale du champ électrique,
à un instant t et à un point r , le champ électrique total
E? T est la somme du champ incident E? i et du champ auto-induit E? .
E? T(r , t) = E? i(r , t) + E?
(r ,t) (4)
Lorsque le point r appartient à un conducteur, le champ
électrique total est donné par la relation suivante :
E? T(r , t) = J (r? ,t) (5)
ó
Où j est la densité du courant dans le conducteur
dont la conductivité électrique est ó . Dans la
relation
précédente, le champ incident E? i ne
dépend que des sources externes au système. Il est donc
indépendant des courants et des charges présents au point r de la
structure contrairement au champ induit qui est un résultat de ceux-ci.
En effet, le champ électrique induit s'écrit :
E? (r ,t) = -äA?? (r? ,t)
ät - ?ö(r ,t) (6)
?
|
Où A
|
est le potentiel vecteur et ö est le potentiel scalaire.
|
A? (r , t) = ì0 ? G?
(r , r '). J (r ', td). dv' (7)
v'
(8)
ö(r ,t) = 1 ? G? (r ,r ') .
óS (r ',td).dS å0 S'
'
Dans la relation (8), óS est la densité
surfacique des charges électriques qui sont physiquement
présentes sur la surface des conducteurs et td est le temps de retard
entre la source et le point d'observation ?r . Ce temps est
donné par : td = t - |r - r '|/c, avec c la
célérité du vide.
Dans les équations (7) et (8), G est appelée
fonction de Green et est donnée par :
G? (r ,r ') = 1 1
4 |
(9)
ð r -r '|
En utilisant les relations (5) et (6), le champ incident
devient:
|
E? i(r ,t) = J (r? ,t)
ó
|
+ äA? (r? ,t) + ?ö(r , t)
(10)
ät
|
Afin de transformer la relation (10) en une équation
intégrale du champ électrique (EFIE), la définition
?
des potentiels électromagnétiques A et ö peut
être utilisée. Cela permet d'avoir la relation suivante :
äJ (r ',td)
E? i(r ,t) = J (r? ,t)
ó +ì0 ? G?
(r ,r '). ät .dv' +å0 ? ? G?
(r ,r ').óS(r ',td).dS' (11)
v' S'
La présentation de l'équation (11) dans un
repère cartésien, permet d'avoir 3 équations scalaires
dont chacune correspond à un axe. En l'absence d'un champ
électrique incident, ces équations se résument dans la
relation (12) dans laquelle ã = x, y ou z.
|
E? i
|
ã(r , t) + ì0
?G? (r ,r ').
v'
|
äJ (r ',td).dv' + 1 ?ã (?
G? (r ,r '). óS (r ', td)
? .dS') = 0 (12)
ät å0 S'
|
Une discrétisation de la structure en Nv
cellules volumiques et Ns surfaces permet d'obtenir la
densité de charge et la densité de courant sous forme d'une
combinaison linéaire définissant ce qu'on appelle l'approche de
Petrov-Galerkin. Les densités s'écrivent comme dans les deux
relations suivantes :
J (r ,t) = ? j m(tdm)fm
Ns (r ) (13)
m=1ó(r ,t) = ?
ón(tdn)gn
Ns (r ) (14)
n=1
Avec fm(r ) = 1 lorsque le point r appartient au
volume vm et fm(r ) = 0 ailleurs. De même,
gn(r ) = 1 lorsque r appartient à la surface sn et
gn(r ) = 0 ailleurs. Les volumes et les cellules
élémentaires sont assez petits. Ce qui assure que le courant et
la charge y soient constants.
tdm = t - |r - ?? ??|/c et tdn = t - |r - ?? ??|/c
représentent respectivement les temps de retard entre la cellule
volumique ???? et la surface ???? par rapport au point ?r .
Au niveau de chaque cellule volumique, la densité du
courant est donnée par le rapport entre le courant ?????? et la section
de la cellule ????.
??????(tdm)
??????(tdm) = (15)
????
Aussi, la densité de charge définie au niveau de
chaque surface élémentaire s'écrit en fonction de la
quantité de charges surfaciques:
??????(??????) = ???? ??(??????) (16)
????
L'association des équations (15) et (16) avec
l'équation (13) et (14) permet d'avoir les densités respectives
de courant et de charge en fonction des courants et des quantités de
charges:
|
J (r , t) = ? ??????(tdm)
Ns
m=1 ????
|
???? (r ) (17)
|
????(r , t) = ? ????
Ns ??(??????)
???? gn (r ) (18)
n=1
A partir de la discrétisation ((13) à (18)), il
devient possible de présenter l'équation EFIE, définie par
relation (12), sous forme d'une équation interprétable en circuit
équivalent RLC. En effet, en substituant les relations (17) et (18) dans
l'équation (12), nous obtenons :
??? ã(r , t) + ? ì0
Ns ????????(tdm) ???? ??(??????)
???? ? G? (r , r ' ??) ???? (? G?
(r , ??? ??).
???? d???? + ? 1
Ns ?? ???? ????) = 0 (19)
m=1 Vm' n=1 ??????0 ????
Cette relation est valable pour tout point ?? , qu'il
appartienne à la structure ou non. Nous choisissons ?? = ?? ?? un point
appartenant au volume de discrétisation ???? de la structure.
La relation demeure valable. En intégrant chacun des
membres de l'équation par l'opérateur défini par la
relation (20) et en appliquant le théorème fondamental du calcul
intégral (21) au 3ième terme de l'équation, nous obtenons
la relation (22) dans laquelle ?????+? et ?????-? sont deux surfaces mettant en
évidence l'aspect capacitif.
1
1
? ?????? = ?????? ? ?????????? (20)
?????? ???? ????
? ?? ???? ??(??) ???? = ? ??(??+) ??????+ - ? ??(??-)
??????- (21)
?? ????+ ????+
1 + ? ì0
Ns m=1 ????.?????? ? ? G? (r , r '
??)
?????? ???? Vm'
????????(tdmi)
d????. ??????
????
+
|
? Ns1 ((? ? G? (r , ??? ????) ????
??(??????). ????. ??????) - 1
??????0?????? (? ? G? (r , ??? ??) ????
??(????????). ????))
n=1 ??????0?????? ???? ????+ ???? ????-
|
(22)
|
C'est sur cette équation (22) que la méthode
PEEC se base. Elle permet la déduction des différents
éléments partiels. Cependant, une discrétisation
adéquate est nécessaire pour arriver au circuit équivalent
global.
| 
