La modélisation et prévision du nombre de naissances en France

PROJET STATISTIQUE

Prévision du nombre de naissances en France

Groupe n°10

EMINES

School of Industrial Management

UNIVERSITÉ MOHAMMED VI
POLYTECHNIQUE

20 AVRIL 2017

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Table des matières

Introduction 2

1 Prévision des séries chronologiques 2

1.1 Méthode de la décomposition 3

1.2 Méthode du lissage exponentiel 3

1.3 Méthode Box & Jenkins 6

2 Prévision du nombre de naissances en France 7

2.1 Description de la série chronologique 7

2.2 Application de la décomposition 10

2.3 Application du lissage exponentiel 13

2.4 Application de Box & Jenkins 16

2.5 Choix de la meilleure méthode 22

Conclusion 23

Annexe 24

Annexe A : Méthode de la décomposition 24

Annexe B : Méthode de Winters 27

Annexe C : Méthode de Box & Jenkins 30

?

?

?

s

s

s

s

s

s

· ??₁ ??₂??₃ ????

· ????+h

· ?? ??< 1

· ??^?? ??^?? = ????+h = ??^?? (h)

·

??^?? = ??^{^}??-1 + (1 - ??)(???? - ??^{^}??-1)

??

??

^????

·

^{^}XT = ???? ????

???? = ì ???? - ????-1) ì) ????-1

????

????

???? = è × ???? + (1 - è) _????-1 + ????-1) ì) ????-1

0 < ì < 1 ???? 0 < è < 1

?

?

^{^}XT = (A_T B_T ST-??+h

S_T: un terme saisonnier.

??_T

S_T= y + ( 1 - y)ST-??
B_T

y, ??, ??

?

^{^}XT = A_T B_T ST-??+h

S_T= y( ??_T- B_T) + ( 1 - y)ST-??

.

.

.

.

.

.

.

.

?

?

?

?

?

nbre naissance

85000

80000

75000

nbre naissance

70000

65000

60000

55000

50000

24/01/1941 03/10/1954 11/06/1968 18/02/1982 28/10/1995 06/07/2009 15/03/2023

date

nbre naissance

?

?

100000

40000

80000

60000

20000

0

Page 10

2.2 Application de la décomposition

· Construction du modèle

Afin de modéliser notre série et prévoir le nombre de naissances en France métropolitain, nous avons choisi une transformation logarithmique de notre série, ce qui signifie que la nouvelle série correspond au log (nombre de naissances).

Ensuite, nous avons divisé notre data en 2 parties, une partie pour construire le modèle (Annexe A 5) et une partie pour tester le modèle (Annexe C 2). La première partie correspond aux années 1946-2015, et la deuxième partie comprend le nombre de naissances de l'année 2016. Nous avons effectué sous SAS (Annexe A -- 5), une décomposition de la série en utilisation la data training. Le tableau 3 représentent éléments des résultats obtenus que nous avons utilisés pour l'analyse de ce modèle (les tableaux complets sont mis en Annexe A - 1) :

Composante		Pr>khi-2	Irrégulier
0.8915		Niveau
<.0001		Cycle
0.0789		Saison
<.0001		Log de vraisemblance
2023.2		R^2
0.91904

Tableau 3 -- Analyse des significativités des composantes et statistique d'ajustement de

la. (lécnmoositinn (le la. Série avec dlata. tra.inirer

Il est clair que la série comprend significativement des effets saisonniers et tendanciels, ceci est justifié par le test khi-2 qui indique que la p-value du niveau (tendance) et saison est inférieur à 5 %. Par contre, les composantes irrégulière et cyclique ne sont pas significatives.

Aussi, l'ajustement du modèle qui a pour objectif l'estimation des paramètres de la loi, la méthode d'ajustement considérée est celle de la vrai-

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semblance qui se base sur la maximisation de la vraisemblance pour estimer les paramètres de la loi. D'après les résultats, le log de la vraisemblance est suffisamment élevé pour conclure que ce modèle est significatif. Ainsi, R² de ce modèle est à l'ordre de 92%.

Mais, il fallait reconstruire un modèle qui ne comprend en considération que les effets saisonniers et tendanciels. Le tableau 4 représentent éléments des résultats obtenus que nous avons utilisés pour l'analyse de ce modèle (les tableaux complets sont mis en Annexe A - 2) :

Composante		Pr>khi-2	Niveau
<.0001		Saison
<.0001		Log de vraisemblance
1934.2		R^2
0.90037

Tableau 4 -- Analyse (les significativités (les composantes et statistique (l'ajustement (le

ln. (lécomnosition (le la série avec (la.ta. tra.inintr

Notre modèle final est plus performant, en effet :

· R² a diminué mais légèrement de 0,919 à 0,900.

· Le log de la vraisemblance est encore élevé : 934,2.

· Toutes les composantes du modèle sont significatives ; la p-value est inférieure à 5%.

· Les AIC, AICC BIC sont très petits.

Prévisions

En utilisant le dernier modèle construit par la data training, nous avons effectué des prévisions pour l'année 2016 avec un intervalle de confiance de 95% (Les valeurs et les erreurs types sont présentées en Annexe A 3).

?

??????

??????

?????? = ?(????- ??^??)²

?????? = ?(????- ????)2

?

?

66000

64000

62000

60000

58000

70000

68000

56000

54000

52000

janv-16 fev-16 mars-16 avr-16 mai-16 juin-16 juil-16 aout-16 sept-16

Prévision Observation

66000

64000

62000

60000

58000

10483382

85260000

0,87704

70000

68000

56000

54000

52000

50000

janv-16 fev-16 mars-16 avr-16 mai-16 juin-16 juil-16 aout-16 sept-16

Prévision Obseravtion

?

11,4

11,3

11,2

11,1

11

10,9

10,8

nbre naissance

Box-Cox(nbre naissance)

24/01/1941 03/10/1954 11/06/1968 18/02/1982 28/10/1995 06/07/2009 15/03/2023

date

Transformation Box-Cox (nbre naissance)

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0

-0,02

-0,04

-0,06

-0,08

-0,1

log(nbre naissance)

Diff(log(nbre naissance))

Différenciation (log(nbre naissance))

0,02

0,015

0,01

0,005

0

-0,005

-0,01

-0,015

Composante tendancielle

Tendance

Composante tendancielle

350

300

250

200

150

100

50

0

-50

Composante saisonnière

Tendance

Composante saisonnière

Composante aléatoire

100

50

Aléatoire

0

-50

-100

-150

Composante aléatoire

1

1

0,5

0,5

0

0

-0,5

-0,5

-1

-1

Décalage

Décalage

Autocorrélation

Autocorrélation partielle

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Autocorrélogrammeserie

Autocorrélogramme partielserie

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

?

?

Autocorrélation

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

0,8

0,6

0,4

0,2

-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

AutocorrélogrammeRésidus

Décalage

Autocorrélation partielle

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

0,8

0,6

0,4

0,2

-1

Autocorrélogramme partielRésidus

0

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Décalage

Paramètre	Valeur	Ecart-type Hess.	Borne inférieure (95%)	Borne supé- rieure (95%)
Constante	-4,805E-07	1,351E-05	-2,697E-05	2,599E-05
AR(1)	-0,775	0,005	-0,784	-0,766
SAR(1)	0,170	0,003	0,164	0,176
MA(1)	-0,211	0,003	-0,217	-0,205		MA(2)
-0,767	0,002	-0,771	-0,764
SMA(1)	-1,933	0,003	-1,940	-1,927
SMA(2)	0,938	0,003	0,933	0,943

ARIMA

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

0

prévision observation