3.2.1 Équation du modèle
Le système dynamique s'écrit :
{
x? =Q(y--x) y? =rx -- yxz (3.1)
z? =xy --
bz
L'espace des phases est tridimensionnel. Les valeurs de Q
et b sont fixées, respectivement à 10 et
à 8/3. Le paramètre de contrôle est r qui
est positif. Physiquement, r
est proportionnel au gradient thermique vertical imposé
au fluide, Q au nombre de Prandtl et b l'élongation de
la boite contenant le fluide.
La solution triviale x = y = z = 0 du système
correspond physiquement à un régime où le fluide est au
repos et où la chaleur se transmet uniquement par diffusion
moléculaire (état conductif). Pour r grand, cet
équilibre est instable et il laisse la place à des régimes
où le transfert de chaleur est réalisé par diffusion et
par convection. Les propriétés importantes de ces
équations sont:
? Elles sont autonomes.
? Elles associent seulement les dérivées du
premier ordre de sorte que l'évolution dépend seulement des
valeurs instantanées de (x, y, z).
? Elles sont non-linéaires, ici à travers le
terme quadratique xz et xy dans la seconde et la
troisième équation.
? Elles sont dissipatives : le terme « diagonal »
tel que = --Qx correspond à un affaiblissement du mouvement,
mais plus systématiquement « les volumes dans l'espace des phases
» se réduisent dans cette dynamique.
? Les solutions sont fermées.
Mémoire de Master en EEA, par NKAPKOP Jean De
Dieu.
Cryptage chaotique des images basé sur le
modèle du perceptron
Chapitre 3 : Chiffrage
d'image à base de chaos
et de réseau de neurone
44
3.2.2 Équilibre du modèle
On cherche les points d'équilibre (x, y, z)
vérifiant = y = z = 0.
Pour ?? il n'y a qu'un seul point d'équilibre, d'origine
(0, 0, 0). Et pour ?? , il y a
deux points, d'origine (0, 0, 0) et ?? ?? ??
).
--x
x --b
( ?? ) (3.2)
Y
L'étude de la stabilité des points
d'équilibre repose sur le signe de la partie réelle des valeurs
propres de la matrice Jacobienne A obtenu en linéarisant le
système autour d'un point d'équilibre. L'expression de la matrice
Jacobéenne A du système est :
La stabilité au point (0, 0, 0) :
Au point (0, 0, 0), les valeurs propres de la Jacobienne
A
(3.3)
sont solutions de l'équation suivante :
?? (3.4)
ü Pour ?? il y a trois racines réelles
négatives, l'équilibre est donc stable.
ü Pour ?? une des valeurs propres est positive :
l'équation est donc instable. Il y a
une bifurcation quand ?? =
1, l'équilibre est dit marginal.
La stabilité pour les deux autres points
d'équilibres :
Les valeurs propres de la Jacobienne sont solutions de
l'équation en :
?? ?? (3.5)
Selon les valeurs du paramètre , ce polynôme de
degré trois peut avoir trois racines réelles négatives
(les équilibres sont donc stables) ou bien une racine réelle et
deux racines complexes conjuguées. On peut chercher s'il existe une
valeur critique de pour laquelle les équations deviennent instables. La
déstabilisation de ces équations par changement de signe
Mémoire de Master en EEA, par NKAPKOP Jean De
Dieu.
Cryptage chaotique des images basé sur le
modèle du perceptron
Chapitre 3 : Chiffrage
d'image à base de chaos
et de réseau de neurone
45
d'une valeur propre réelle est impossible car si on a
forcément ?? . On peut donc
rechercher pour quelles valeurs de ?? on peut obtenir deux
racines à partie réelle
nulle. En reportant la valeur dans l'équation, on obtient
les deux conditions :
?? (3.6)
?? L'élimination de entre les deux équations
permet d'obtenir la valeur ?? critique :
??
pour les valeurs / , la valeur critique est ?? / . La
déstabilisation
des équilibres correspond à une bifurcation de
Hopf. Deux valeurs propres complexes conjuguées traversent l'axe des
imaginaires lorsque le paramètre ?? franchit la valeur critique
??
Lorsque ?? ?? , le système transite vers un
régime chaotique. La trajectoire tourne autour d'un des deux
équilibres instables comme si elle y convergeait avant de basculer
aléatoirement vers l'autre équilibre pour y répéter
le même type de comportement. On montre que la distance entre deux
conditions très proches s'amplifie très rapidement. Toutes les
trajectoires convergent vers l'attracteur étrange.
Dans la suite de notre travail, nous prendrons pour
r, la valeur 28 afin que le système adopte un
comportement chaotique.
| 
