Analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec différentes infectivités

Analyse globale d'une classe de modèles

épidémiologiques avec différentes infectivités

MÉMOIRE

Présenté et soutenu le 24 Décembre 2008 en vue de

l'obtention du

diplôme d'étude approfondie (DEA)
Option: Analyse Numérique

Par:

Dany Pascal MOUALEU-NGANGUE

Maître ès sciences

Devant un Jury constitué de

Pr Norbert Noutchéguémé (Président)

Dr Boulchard Mewoli (Examinateur)

Dr. Yves Emvudu (Rapporteur)

A l' Université de Yaoundé I

Dédicaces

Je dédie ce travail à :

~ Dieu tout puissant pour son amour, sa bonté et sa grâce plus que jamais présent dans ma vie.

~ Mes parents Mr NGANGUE DEUTOU Frédéric et Mme NGANGUE née TCHAMENI Jeanne.

~ A monsieur et madame TOKO.

~ A la famille TAPTUE.

Résumé

Les travaux présenté dans ce mémoire portent sur la modélisation et l'analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec differents infectivités pouvant décrire la propagation des maladies infectieuses telles que la tuberculose, le VIH-SIDA, le paludisme, etc. Une particularité de cette classe de modèles épidémiologiques est qu'elle prend en compte la distribution de latence, les stades de progression, les perdus de vues et une dimension arbitraire. On montre que l'existence et l'unicité d'es points d'équilibre dépendent d'un paramètre de seuil R0. La stabilité asymptotique globale des points d'équilibre est étudiée en utilisant la théorie de Lyapunov. Enfin, une étude numérique de quelques modèles décrivant la dynamique de la tuberculose est donnée pour valider les résultats analytiques.

Keywords : Fonctions de Lyapunov, Action de masse, Stabilité asymptotique globale, Tuberculose, VIH-SIDA, Paludisme, Perdus de vues, Stade de progression.

Abstract

The works presented in this dissertation on global analysis of a class of epidemiological model with different infectivity that can describe the propagation of infectious diseases such as tuberculosis, malaria, dengue, HIV-AIDS, etc. A particularity of this class of epidemiological is that it care into account the distribution of latency time, staged progression, lost, and dimension arbitrary. We show that the existence and uniqueness depend on a treshold parameter R0. We also presented some numerical results to validate the analytical results.

Keywords: Lyapunov functions, Mass action, Global asymptotic stability, Tuberculosis, HIV-AIDS, malaria, Loses, Staged of progression

Table des matières

Dédicaces i

Résumé ii

Abstract iii

Remerciements vii

Introduction générale 1

1 Préliminaires mathématiques 4

1.1 Notations 4

1.2 Quelques définitions et propriétés liées aux matrices 4

1.3 Stabilité asymptotique locale et globale des systèmes dynamiques 6

1.3.1 Quelques définitions 6

1.3.2 Les systèmes autonomes 7

1.3.3 Éléments sur la stabilité au sens de Lyapunov 8

1.3.4 Principe d'invariance de LaSalle 9

conclusion 10

2 Présentation de la Classe de modèles épidémiologiques 11

2.1 Classe de modèles épidémiologiques 11

2.2 Interprétations épidémiologiques des équations 12

2.3 Quelques exemples de modèles épidémiologiques 13

2.3.1 Modèles de la tuberculose 14

2.3.2 Modèle intra-hôte du paludisme 22

2.3.3 Modèles du VIH 24

2.4 Conclusion 27

3 Analyse globale de la classe de modèles épidémiologiques 28

Introduction 28

3.1 Invariance positive de l'orthant positif 28

3.2 Existence et unicité des points d'équilibre 28

3.3 Taux de reproduction de base 30

3.4 Stabilité des points d'équilibre 31

3.4.1 Recherche des coefficients des fonctions de Lyapunov 32

3.4.2 Stabilité du Disease free equilibrium 35

3.4.3 Stabilité globale du point d'équilibre endémique 36

3.5 Etude numérique 41

3.6 Conclusion 43

Conclusion générale 44

4 Annexe A : Inégalités utiles 46

Annexe B : Démonstration des inégalité du chapitre 3 48

Bibliographie 52

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Table des figures

2.1 Diagramme de transmission de la tuberculose avec double infectivité 17

2.2 Diagramme de transmission pour un modèle à n classes d'infectés 18

2.3 Diagramme de transmission pour un modèle à m classes d'infectés et k classe de malades 20 2.4 Diagramme de transmission pour un modèle du VIH-SIDA 27

3.1 Résultats des simulations numériques. 42

Remerciements

La réalisation d'un travail de recherche ne peut connaître son aboutissement que grâce aux efforts conjugués des uns et des autres. Ceci m'amène à penser à ceux qui m'ont soutenu dans mes travaux de recherches, quelque soit la manière ou le type d'aide apporté. Ainsi, je tiens à remercier sincèrement :

- Dieu le Père Tout Puissant pour ses merveilles et sa Miséricorde dans ma vie et pour toute les Grâces dont il me comble jour après jour.

- Dr. Yves EMVUDU WONO et Dr. Samuel BOWONG, respectivement enseignant à l'Université de Yaoundé I et à l'Université de Douala, qui ont bien voulu accepter de diriger ce mémoire et qui, malgré leurs occupations, ont soutenu mes efforts jusqu'au bout. Ils se sont révélés réellement présent et précieux aussi bien lorsque étant ici ou en mission à l'extérieur et n'ont ménagé aucun effort pour que ce travail puisse être effectué dans les temps.

- Le staff administratif et le corps enseignant de la Faculté des Sciences de l'Université de Yaoundé I. En particulier, je veux remercier tous les enseignants du Département de Mathématiques qui ont donné le meilleur d'eux mêmes, pour que nous ayons la formation qu'il faut.

- Le personnel enseignant du Département de Mathématiques et Informatiques de la faculté des sciences de l'Université de Douala. Ils m'ont véritablement soutenu pendant tout mon passage dans cet Université et même lors de mes passages pour les travaux avec l'encadreur.

- Les familles TOKO et TAPTUE, pour la grande attention qu'elles m'accordent. Le Seigneur seul connaît la récompense qu'il convient aux hommes et femmes de grands coeurs.

- Mes parents, Mr NGANGUE DEUTOU Frédéric et Mme NGANGUE Née TCHAMENI Jeanne qui malgré les difficultés, continues à me soutenir dans tous les plans et subviennent aux moindres de mes besoins.

- Tous mes frères, soeurs, oncles, cousins et tantes qui m'ont sans cesse soutenu tant moralement que financièrement et qui ont su être là quand j'avais besoin d'eux. Il s'agit de Serge DEUTOU, DEUTOU née MONKAM Chantal, Eric, Marie, Dido, Hilaire, Michou, Clarisse, Olivier, Anne Michelle, Joël, Derrick, Michel, Stève, Raoul, Fidel, Eden, Maman Claire, Maman Yvonne et Papa Camille.

- Mes ami(e)s Diane, Corine, Vidal et Lyz, Armel, Michel, Nicolas, Serge, Eugène, Inès, Miriole et tout les Jeunes du Service "Parole de Dieu" de la paroisse St Marc de Biyem-assi et du Centre Catholique Universitaire (CCU). Ils ont toujours

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été une famille pour moi depuis mon arrivée à Yaoundé.

- Toutes les Mamans du service "Parole de Dieu" de la paroisse St Marc en particulier et de la zone de Yaoundé en général. En particulier, Maman Gisèle, maman Marie Louise, Maman Marie Christine, Maman Mélanie, Maman Félicité etc.

- Tous mes camarades de classe, pour leur soutient et l'esprit de solidarité qu'ils ont eu à mon égard, même dans les moments les plus difficiles. En particulier,je veux remercier Hervé, Marcelin, Eric et Cyril.

- Enfin, tous mes neveux et nièces : Stéphane, Sabine, Raphaèl, Ornéla, Austin, Frédy, Moukam, Jessie, Joys et Yvan pour m'avoir permis de travailler.

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Introduction générale

La principale préoccupation dans la dynamique des populations en général et dans les modèles épidémiologiques en particulier est d'estimer la dynamique à long terme présentée par un système épidémiologique donné. Ceci implique qu'il faut déterminer les solutions stables dans l'attracteur. L'attracteur le plus simple pour un système donnée est un point d'équilibre globalement asymptotiquement stable (GAS). Plusieurs méthodes ont été développées pour l'étude de la stabilité asymptotique globale des points d'équilibre d'un système donnée. En dimension 3 par exemple, on peut citer les méthodes présentées dans [33, 34, 41] et en dimension 4 [41, 4]. Lorsque la dimension est élevée, la méthode la plus prometteuse est celle de Lyapunov tel que l'on peut trouver dans [26, 1, 31, 37]. Néanmoins, en épidémiologie mathématique, les applications de la méthode de Lyapunov tendent à l'être pour des systèmes à dimensions moins élevées. L'application de la méthode de Lyapunov exige que l'on trouve une fonction V (t) telle que les valeurs croisent toujours les courbes de niveau des valeurs élevées de V (t) aux valeurs moins élevées [39, 48]. Si une telle fonction existe, alors, n'importe quel minimum isolé de la fonction est un point d'équilibre stable pour le système. Les fonctions de Lyapunov ont déjà une longue histoire pour les équations du type LotkaVolterra [12]. L'origine des fonctions de Lyapunov remonte à Volterra lui même, qui évidemment n'utilisait pas le nom de Lyapunov. Ce type de fonctions est déjà apparu en 1986 avec Berretta et Capasso [6], puis avec Lin et So en 1993 [35] pour les résultats partiels de stabilité globale.

Le but de ce travail est d'étudier la stabilité globale asymptotique des points d'équilibre d'une classe de modèles épidémiologiques en utilisant les fonctions de Lyapunov. Les coefficients de ces fonctions seront définis et calculés. L'analyse de la stabilité asymptotique globale du modèle est faite selon que le taux de reproduction de base R0 est plus grand ou plus petit que 1. Dans chacun de ces cas respectifs, nous utiliserons les fonctions de Lyapunov

U(t) = n-1_X bixi

i=1

et

V (t) = _Xn ai(xi - x* i lnxi). i=1

L'une des particularités de ce travail est de donner de manière exacte et explicite les coefficients des fonctions de Lyapunov U(t) et V (t).

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La fonction de Lyapunov V (t) a déjà été employée pour les modèles écologiques dans les années 80 [39], et plus récemment pour les modèles épidémiologiques de dimensions inférieures ou égales à 5. Dans le cas des dimensions arbitraire, cette fonction a été utilisée dans [17] pour analyser la progression d'un modèle, par Berretta et Capasso dans [6, 8] et par J.J. Tewa dans [48].

Dans [39], McCluskey a déterminé de manière unique les mêmes coefficients pour ces deux fonctions de Lyapunov, mais la classe de modèles épidémiologiques étudiée dans cet article ne contient qu'une classe d'infectieux. Nous appliquons cette même méthode à un modèle à k classes de malades, avec k = 1. Ce travail est une généralisation des résultats de McCluskey dans la mesure oil elle peut inclure non seulement plusieurs classes d'infectés latents, mais aussi plusieurs classes d'infectieux sous l'incidence de la loi d'action de Masse. Les modèles présentés dans ce mémoire peuvent décrire la dynamique des maladies telles que la tuberculose, le VIH, la dynamique intra-hôte du paludisme, de l'hépatite B, la Dengue, etc. De nombreux modèles dans la littérature ont cette structure. Il faut tout de même que la matrice qui régit les échanges entre les différents classes d'infectés soit de Metzler et que les classes de malades soient sous forme de chaîne de Markov. Le fait d'envisager plusieurs classes d'infectées fait à ce que le modèle tienne compte de l'approximation d'une large classe de distribution de latence, du développement des résistances et des statuts des malades ( selon qu'on est perdu de vue ou régulier dans le traitement).

Notre travail est organisé comme suit :

Dans le premier chapitre, nous rappelons les notions mathématiques essentielles, utilisées dans la suite. Les notions de matrices de Metzler, de systèmes dynamiques autonomes, de stabilité, de stabilité au sens de Lyapunov, le principe d'invariance de LaSalle sont rappelés.

Le deuxième chapitre présente la classe de modèles épidémiologiques, avec toutes les hypothèses. Ensuite, nous présentons quelques exemples de modèles épidémiologiques, appartenant à cette classe de modèles épidémiologiques. Il s'agit de cinq modèles de la tuberculose, de quelques modèles intra hôte du paludisme, les modèles SP et des modèles du VIH.

Dans le troisième chapitre, nous effectuons une étude globale de la classe de modèles épidémiologiques décrit dans le chapitre précédent. Nous commençons par déterminer les points d'équilibre du système. Ensuite, nous calculons un paramètre de seuil R0. Si R0 > 1, alors la maladie persiste et si R0 = 1, alors la maladie disparaît. La stabilité des points d'équilibre du système pour R0 = 1 et pour R0 > 1 est également exposée. Pour cela, nous avons démontré l'existence des coefficients des fonctions de Lyapunov

U(t) =

Xn- 1 i=1

bixi

et

V (t) = _Xn ai(xi - x* i lnxi).

i=1

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Nous avons montré que sous ces conditions, les point d'équilibres endémiques et non endémiques sont globalement asymptotiquement stables dans l'orthant positif. Nous présentons également une étude numérique pour les modèles pouvant décrire la dynamique de la transmission de la tuberculose et du VIH pour valider les résultats analytiques obtenus. Ces simulations ont été faites dans le logiciel de simulation MATLAB, en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4. Les résultats des simulations numériques montrent que lorsque le paramètre de seuil est plus petit que 1, la maladie disparaît alors que lorsque le paramètre de seuil est plus grand que 1, la maladie persiste au sein de la population humaine considérée.

Une conclusion générale de notre travail est présenté, dans lequel nous discutons de quelques perspectives mathématiques et épidémiologiques qui pourront faire l'objet de de nos futurs investigations. Le mémoire se termine par un annexe dans lequel sont démontrés les inégalités utilisées au chapitre 3 et une liste des références bibliographiques.

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CHAPITRE UN

PRELiMiNAiREs MATHEMATiQuEs

La modélisation mathématique conduit à l'analyse des systèmes dynamiques. Dans nos travaux, nous faisons appel aux systèmes différentiels non linéaires. Afin de mieux analyser ces derniers, il est important de rappeler quelques notions mathématiques relatives à l'analyse des systèmes différentiels non linéaires. Dans ce chapitre, nous rappelons les notions nécessaires et préalables à une bonne compréhension de l'étude des modèles épidémiologiques présenté dans le chapitre trois de ce mémoire.

1.1 Notations

Les notations suivantes serons adoptées tout au long de ce mémoire.

- Le rayon spectral d'une matrice N est noté ñ(N) la plus grande valeur propre de N ;

- IR+ ou _>0 est l'ensemble des réels positifs ;

- Mmn l'ensemble des matrices réelles à m lignes et n colonnes, m, n des entiers naturels non nuls. Lorsque m = n, il s'agit de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n et sera noté Mn.

Soit x = (xi) ? ⁿun vecteur :

- x = 0 si et seulement si xi = 0 pour tout i ;

- x >> 0 si et seulement si xi = 0 pour tout i.

1.2 Quelques définitions et propriétés liées aux matrices

Dans les systèmes dynamiques, les matrices peuvent être obtenues directement lorsque le système est linéaire, ou en calculant la matrice jacobienne en un point point quelconque lorsque le système est non linéaire. L'analyse de la stabilité d'un système en général nous ramène assez souvent à la manipulation d'une matrice. Pour cela, nous allons rappeler quelques définitions et propriétés des matrices susceptibles de nous aider lors de l'analyse de la stabilité de notre système.

Definition 1.1. (Matrice à diagonale dominante)

- On dit qu'une matrice N = [Nij] ? M_n est à diagonale dominante colonne si pour tout i tel que 1 = i = n, on a

| Nii | = _Xn | Nji |

j=1,j6=i

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- On dit qu'une matrice N = [Nij] ? M_n est à diagonale dominante ligne si pour tout i tel que 1 = i = m, on a

| Nii | =

Xn j=1,j6=i

| Nij |

- On parlera de matrice à diagonale dominante stricte colonne (respectivement ligne) lorsque les inégalités dans les relations ci dessus sont respectivement stricte.

Définition 1.2. (Matrice compartimentale) [48J

Une matrice N = [Nij] ? M_n est dite compartimentale si ses coefficients vérifient - Nij = 0 pour tout les indices i et j tel que i =6 j,

- Nii = 0 pour tout i tel que 1 = i = m,

- N est à diagonale dominante colonne.

Définition 1.3. (Matrice de Metzler) [30, 36J

Une matrice N = [Nij] ? M_n est dite de Metzler si Nij = 0 pour tout i =6 j, c'est à dire que tous les termes extra-diagonaux sont positifs.

Nous allons à présent énoncé le théorème suivant dont la démonstration est faite par J. J. Tewa dans [48] et également dans [28].

Théorème 1.1. (Matrice Metzler stable)

Si N = [Nij] ? M_n est une matrice de Metzler, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1*) La matrice N est stable;

2*) La matrice -N^-1 est strictement positive;

3*) Si Q est un vecteur strictement positif, alors l'équation Nx + Q = 0 admet une solution x ? Rn + strictement positive;

4*) Il existe un vecteur C ? Rn + strictement positif tel que le vecteur NC soit strictement négatif ;

5*) Il existe une matrice diagonale B ? M_n(R+) telle que la matrice NB soit à diagonale dominante stricte ligne (respectivement telle BN soit à diagonale dominante stricte colonne)

6*) Il existe une matrice diagonale B ? M_n(R+) les éléments diagonaux strictement positives telle que la matrice -(N^TB + BN) soit symétrique et Metzler stable.

Nous allons énoncer quelques propriétés sur la caractérisation des matrices de Metzler stables.

Propriété 1.1. (Caractérisation des matrices Metzler stables) [48J Soit M une matrice bloc de Metzler se mettant sous la forme

!

A B .

C D

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M est stable si et seulement si A et D - CA^-1B sont Metzler stable.

Remarque 1.1. (Caractérisation des matrices Metzler stables en dimension 2 )

Une matrice de Metzler en dimension deux se mettant sous la forme

!

a -b ,

-c d

avec (a, b, c, d) = 0 est dite Metzler stable si et seulement si son déterminant est strictement positif (c'est à dire ad - bc = 0)

1.3 Stabilité asymptotique locale et globale des systèmes dynamiques

1.3.1 Quelques définitions

Définition 1.4. :(Système dynamique à temps continu)

On appelle système dynamique à temps continu sur un ensemble D, une famille d'applications {qt, t ? R+} ou {qt, t ? R}, paramétrée soit par l'ensemble R+ des réels positifs ou ou nuls, soit par l'ensemble R de tous les réels, et vérifiant les propriétés suivantes :

~ Chaque application qt est définie sur une partie Ut de D et à valeurs dans D ; ~ L'application q0 définie sur D tout entier est une application identité sur D ; ~ Si 0 = t1 = t2, alors Ut2 ? Ut1 ;

> Soient t et s deux éléments de R+ ou R qui paramètre la famille d'applications considérées. Soit x ? U_s, alors, q_s est un élément de Ut si et seulement si x est un élément de Ut+s et, lorsque c'est le cas, on a

qt(q_s(x)) = qs+t(x)

L'ensemble D est appelé espace des phases du système dynamique.

Définition 1.5. :(Système dynamique monotone)

Soit un système dynamique dont le flot est qt : x ? qt(x). Ce système est dit monotone s'il est défini sur un espace métrique ordonné et s'il possède la propriété

t = 0, x = y qt(x) = qt(y)

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1.3.2 Les systèmes autonomes

Soit K un ouvert de Rⁿ, considérons l'équation différentielle autonome définie sur K par

xÿ = X(x). (1.1)

On suppose que X : K ? Rⁿ ? Rⁿ assez régulière pour ne pas poser de problème quant à l'existence et l'unicité de la solution du problème de Cauchy associé à l'équation (1.1). Les états stationnaires du système ou points d'équilibres du système (1.1) sont des points x0 ? K tels que X(x0) = 0.

Pour chaque x ? K, notons par Xt(x) la solution du système (1.1) satisfaisant X0(x) = x. On suppose que Xt(x) satisfait les conditions des conditions telles que Xt(x) est continue en (t,x).

Définition 1.6. :(Trajectoire, orbite)

~ On appelle trajectoire d'un point x de K l'application X_x : t 7? Xt(x). ~ On appelle orbite d'un point x la partie ã_x = {Xt(x), t ? R}.

~ L'orbite d'un point x de K est dite périodique si x n'est pas un point d'équilibre et s'il existe T ? R+ tel que Xt+T(x) = Xt(x) pour tout t > 0. On dit alors que T est la période de l'orbite périodique considérée.

Définition 1.7. :(Bassin d'attraction d'un point d'équilibre)

Soit x0 ? K un point d'équilibre du système (1.1),On appelle bassin d'attraction du point d'équilibre x0 ? K l'ensemble des éléments x ? K tels que pour tout t ? R+, Xt(x) soit défini et que

lim t?+8

Xt(x0) = x0.

On appelle bassin de répulsion du point x0 ? K l'ensemble des éléments x ? F tels que pour tout t ? R-, Xt(x) soit défini et que

lim t?-8

Xt(x0) = x0.

Définition 1.8. :(Ensemble absorbant)

Supposons que le système (1.1) est tel que X est de classe C¹ et que K est un ouvert de Rⁿ. Supposons de plus que cette équation admet des solutions quelque soit t = 0. Un sous ensemble D de K est dit absorbant suivant (1.1) si tout sous ensemble borné D1 de K satisfait x(t, D1) ? D pour tout temps t suffisamment grand.

De même, D est dit absorbant lorsque pour toute condition initiale x0, il existe T > 0 tel que Xt(x0) ? D pour tout t > T

Définition 1.9. :(Ensemble invariant)

Un sous ensemble D de K est dit positivement (respectivement négativement) invariant

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relativement à l'équation (1.1) si x(t, D) c D pour tout t > 0 (respectivement t = 0). D est dit invariant si x(t, D) = D pour tout t.

Définition 1.10. :(Stabilité d'un point d'équilibre)

Soit x0 E K un point d'équilibre du système (1.1). On dit que x0 est un point d'équilibre stable pour le système (1.1) ou que le système (1.1) est stable en x0 si pour tout > 0, il existe un nombre réel 8 > 0 tel que pour tout x(0) E K avec x(0) -- x0 < 8, la solution Xt(x(0)) = x(t) est définie pour tout t = 0 et satisfait x(t) -- x0 < pour tout t > 0.

Si de plus il existe 80 tel que 0 < 80 < 8 et

x(0) -- x0 < 80 uim t--+oo

x(t) = x0,

x0 est dit asymptotiquement stable.

Le système est instable lorsque x0 n'est pas stable.

Définition 1.11. :(Point d'équilibre attractif)

- Le point d'équilibre x0 est attractif (on dira aussi que le système (1.1) est attractif en x0) s'il existe un voisinage D c K et x0 tel que pour toute condition initiale x commençant dans D, la solution correspondante Xt(x) de (1.1) est défini pour tout t = 0 et tend ver x0 lorsque t tend vers l'infini. En d'autres termes,

uim t--+oo

Xt(x) = x0

pour toute condition initiale x E D.

- Le point x0 est globalement attractif si

uim

t--+oo

Xt(x) = x0

pour toute condition initiale x E K.

Nous allons présenter quelques résultat de la théorie de Lyapunov, très importantes dans l'étude de la stabilité d'un système dynamique

1.3.3 Eléments sur la stabilité au sens de Lyapunov

La théorie de Lyapunov joue un rôle central dans l'étude théorique de la stabilisation des systèmes non linéaires. On introduit les définitions suivantes. Soit U : K c Rⁿ ? R une fonction continue.

Définition 1.12. - La fonction de U est dite définie positive si U(x0) = 0 et U(x) > 0

dans un voisinage K0 de x0 pour tout x =6 x0 dans ce voisinage.

- La fonction de U est dite définie négative si --U est définie positive.

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- La fonction de U est dite semi-définie positive si U(x0) = 0 et U(x) = 0 dans un voisinage K0 de x0.

Définition 1.13. :(Fonctions de Lyapunov)

Une fonction V de classe C¹ définie positive dont la dérivée par rapport au temps ^Vÿ est semi définie négative est appelée fonction de Lyapunov large pour le système (1.1). Si de plus vÿ est définie négative, alors, V est une fonction de Lyapunov stricte pour le système (1.1)

Théorème 1.2. (Stabilité au sens de Lyapunov)

- Si le système (1.1) admet une fonction de Lyapunov large sur K, alors, le point d'équilibre x0 est stable.

- Si le système (1.1) admet une fonction de Lyapunov stricte sur K, alors, le point d'équilibre x0 est asymptotiquement stable.

Ce théorème nous dit que pour montrer qu'un point d'équilibre est stable, il suffit de trouver une fonction de Lyapunov en ce point. Pour utiliser ce théorème original de lyapunov dans le but de prouver qu'un point d'équilibre est asymptotiquement stable, nous devons trouver une fonction de Lyapunov stricte. Cette opération n'est en général pas chose facile. la condition sur la dérivée peut être allégée en employant le principe d'invariance de LaSalle que nous présentons dans le sous paragraphe ci dessous et dont la démonstration peut être trouvée dans [30].

1.3.4 Principe d'invariance de LaSalle

Ce principe est défini dans le théorème suivant.

Théorème 1.3. :(Principe d'invariance de LaSalle)

Soit K un ensemble compact positivement invariant pour le flot décrit par le système différentiel (1.1). Si V : K c Rⁿ ? R est une fonction de classe C¹ pour (1.1) en x0 telle que ^ÿV(x) = 0 pour tout x E K et si L est le plus grand ensemble positivement invariant contenu dans M = {x E K, ^ÿV(x) = 0}, Alors, toute solution bornée de (1.1) commençant dans K tend vers L lorsque le temps tend vers l'infini.

Ce théorème a la particularité de ne pas exiger que ^Vÿ soit définie négative. Cependant, il fournit juste l'information sur l'attractivité du système considéré au point d'équilibre x0. il ne peut être employer pour montrer que les solutions tendent vers un point d'équilibre que si L est réduit à ce point d'équilibre. Il n'indique pas si le point d'équilibre est stable ou pas. Pour établir la stabilité asymptotique d'un point d'équilibre x0, de K on peut employer la conséquence suivante du principe d'invariance de LaSalle.

Théorème 1.4. [5] Soit K un ensemble compact positivement invariant pour le flot décrit
par le système d'équations différentielles (1.1). Soit V une fonction de classe C¹ définie sur

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K. Supposons Vÿ = 0 pour tout x E K ; soit L le plus grand ensemble invariant contenu dans M. On suppose que

1. L attire toutes les solutions issues de K, c'est à dire que _{limt_8} d(Xt(x), L) = 0 où d(Xt(x), L) est la distance entre Xt(x) et L liée à la topologie de K.

2. S est le plus petit ensemble relativement asymptotiquement stable par rapport à K contenant L.

Alors, L est relativement asymptotiquement stable par rapport à K

Ce théorème est démontré dans [5] par Bathia et Szegö. une conséquence de ce théorème est le résultat suivant :

Corollaire 1.1. Sous les hypothèses du théorème précédent, si L est réduit au point x0 E K, alors x0 est un point d'équilibre globalement asymptotiquement stable pour le système (1.1) défini sur K.

conclusion

Dans ce chapitre, nous avons parcouru quelques éléments mathématiques utiles pour l'analyse des modèles épidémiologiques. Il s'agit notamment des matrices, de la théorie de Lyapunov, et du principe d'invariance de LaSalle. Dans le chapitre suivant, nous allons présenter la classe de modèles épidémiologiques que nous allons étudier et donner une interpretation. Il sera également présenté quelques modèles appartenant la classe de modèles épidémiologiques.

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CHAPITRE DEUX

PREsENTATioN DE LA CLAssE DE

MoDELEs EPiDEMioLoGiQuEs

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons présenter une classe de modèles épidémiologiques, ainsi qu'une interpretation comme modèle de la propagation d'une maladie infectieuse. Cette classe de modèles épidémiologiques est une généralisation de modèles étudiée dans [27]. Ensuite, nous donnons quelques modèles des maladies telles que la tuberculose, le VIH et le paludisme appartenant à cette classe de modèles épidémiologiques.

2.1 Classe de modèles épidémiologiques

On considère la classe de modèles épidémiologiques

Xÿ = K + NX + Q _Xk âpxn_pxn, (2.1)

p=1

oil K et Q sont des vecteurs constants de Rⁿ, N une matrice de dimension n × n, â_p > 0, p ? {1, ..., k} des scalaires, X = (x1,....,x_n)^T ? Rn=0, (k, n) ? N² avec k < n.

Dans toute la suite de notre travail, nous adopterons les notations ci-dessous.

Nj est la j`eme colonne de N et _Nij l'entrée ij de la matrice N. Ainsi, N = [N1|· · ·|N_n] = [Nij] .

D'autre part, on pose

X = (x1, ..., xn_1)T, Q = (Q1, ..., Qn_1)^T ,

hj = (N1j,...Nn_1j)^T pour j = 1,...n - 1 et N = ··STn] et Nnn = -u

avec u > 0.

Nous étudions le système (2.1) sous les hypothèses suivantes :

H1 : K = (0,0,...,0, Ë)^T oil Ë > 0.

H2 : Nii < 0 pour i = 1, ...,n.

H3 : Nij = 0 pour i =6 j ; i,j = 1,...,n.

H4 : Ni_n = N_nj = 0 pour i =6 j i, j = 1, ..., n - 1.

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H5 : La somme des colonnes de N est négative.

H6 : Nn-p,j = 0 pour j = 1, ...,n -- p -- 1, p = 2, ..., k.

H7 : Q = (Q1, ...., _Qn)T où Q1, ..., Qn-1 0, Q1 + ... + Qn-1 > 0,Qn-p = 0, p = 2, ..., k et

Q_n = --1.

Prenant en compte les notations précédentes, l'hypothèse H4 permet de mettre N sous la forme d'une matrice bloc

.

N= " N 0 0Nnn De même, par les hypothèses H1, H4, H7 et les notations précédentes, l'équation (2.1) se met sous la forme de deux équations

{ Xÿ = N X + Q E^kp=1 âpxn-pxn,

(2.2)

ÿx_n = A -- ux_n -- E^kp=1 âpxn-pxn.

De l'hypothèse H5, On déduit que la matrice N à toutes ses valeurs propres à parties réelles
négatives, ce qui entraîne que -- N et --N sont des M-matrices (matrices de Minkowski) [19].

Il vient que -- N^-1 a toutes ses entrées de signes positives. Ainsi, -- N-1 Q a toutes ses entrées

de signes positives. Cette remarque permet dans la suite de notre travail de montrer que les points d'équilibres lorsqu'elles existent sont dans l'orthant positif où toutes les populations ont une taille positive. Il est donc évident que tous les systèmes qui vérifient les hypothèses vont vérifier ce qui précède. Lorsque â2 = äâ1, avec ä E [0, 1] et k = 2 on obtient la classe de modèles épidémiologiques présentée dans [45].

2.2 Interprétations épidémiologiques des équations

Les variables x1, ..., x_n représentent les tailles de n classes de population où les classes sont basées sur les statuts épidémiologiques au regard d'une maladie infectieuse. x_n est le nombre d'individus susceptibles à la maladie, c'est à dire, qui n'ont jamais été infectés. En effet, nous supposons qu'une fois que l'on est infecté, on ne peut plus redevenir susceptible. Les autres classes représentent les individus qui ont été infectés, quelque soit la suite de l'évolution de la maladie et du traitement. Ceci peut contenir plusieurs classes d'infectés et k classes de malades. En particulier, les classes de _xn-p, p = 1,...,k représentent les classes de populations infectés par la maladie, qui transmettent l'infection. On peut noter par xn-k la classe des populations perdues de vues dans le cas de certaines maladies particulières, faisant appel à ce type de personnes comme la tuberculose.

Le vecteur constant K = (0, 0, ..., 0, A)^T représente le taux de recrutement des nouveaux individus dans la population. On suppose que seuls les susceptibles recrutent, c'est à dire

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que tous ceux qui entrent dans la population sont des susceptibles.

Le taux avec lequel les susceptibles deviennent infectés est noté k p=1 âpxn-pxn (par la loi d'action de masse). Par ce taux, les individus quittent la classe des susceptibles vers les classes d'infectées, avec la probabilité Qi d'aller dans la classe xi, i = 1, ..., m - 1. De là, l'hypothèse H7 implique que Q1 _+...+Qn-1 1 où la différence entre cette somme et l'unité est la probabilité pour qu'un nouveau infecté soit directement sorti de la population ou soit mis en quarantaine. Qn-p = 0, p = 2, ..., k signifie que aucun contact sans latence ne conduit directement à la classe des malades _xn-p, p = 2, ..., k. En d'autre termes, lorsque l'on fait un contact qui soit suffisant pour faire directement la maladie sans période de latence, on migre directement vers la classe _xn-1. C'est à partir de cette classe que l'on peut migrer progressivement vers d'autres classes de malades. On voit par la une certaine progression dans la maladie.

Tous les autres mouvements entre les classes sont contenus dans la matrice N. La diagonale de N est négative car elle contient le taux de transfert avec lequel un individu quitte sa classe pour migrer vers une autre classe, et le taux de mortalité naturelle et de décès dû à la maladie pour le cas des classes de malades. En effet, chaque classe est affecté d'un même taux de mortalité naturelle non nul.

L'hypothèse H6 signifie que la classe _xn-p ne reçois que des flux venant des classes xn-q, q < p. Ceci est vrai pour les modèles avec stades de progression (SP).ce sont les maladie qui se manifestent le plus souvent par le développement des résistances.

On suppose également que seule l'infection fait passer un individu de la classe de susceptible vers une autre classe. C'est pourquoi on a l'hypothèse H4. Ceci est vrai pour toute maladie où le sujet ne reçoit pas une immunité permanente au terme du traitement.

Nous verrons dans la suite que de nombreux modèles pouvant décrire la dynamique de transmission de la tuberculose, la dengue, les modèles intra-hôtes du paludisme, les modèles SP du VIH-SIDA, etc..., peuvent se traduire par les équations sous la forme du système (2.1). Pour terminer, nous allons supposer que les classes de _xn-p, p = 1, ..., k sont affectées du même taux de mortalité dû à la maladie, ou du moins que celui de _xn-p-1 est plus élevée que celui de xn-p.

2.3 Quelques exemples de modèles épidémiologiques

Nous proposons dans cette partie de notre travail, quelques exemples de modèles épidémiologiques, pouvant se mettre sous la forme (2.1). Ces exemples ne sont pas exhaustif car il existe de nombreux modèles dans la littérature pouvant se mettre sous cette forme.

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2.3.1 Modèles de la tuberculose

Biologie de la tuberculose

La tuberculose est une maladie infectieuse causée dans l'immense majorité des cas par le Mycobacterium tuberculosis ou bacille de Koch (B.K.), et dont seul une petite proportion de personnes infectées par le bacille développe la maladie après une infection primaire (ou primo-infection). Il s'agit d'une maladie opportuniste se révélant dans la majorité des cas après une déficience du système immunitaire provoqué notamment par le VIH. Le Mycobacterium tuberculosis n'est pas le seul responsable de la tuberculose. En effet, en Afrique de l'Ouest, on a pu identifier un autre bacille dont la pathogénicité est semblable à celle du Mycobacterium tuberculosis : il s'agit du Mycobacterium Africanum. Il existe une forme de tuberculose qui se transmet des bovins à l'homme. Elle est causée par le Mycobacterium Bovis, qui est très présent dans les zones d'élevages des bovins. Le Mycobacterium Bovis est transmis dans de la viande mal cuite et du lait frais non bouilli. Dans la plupart des pays industrialisés, la tuberculose du bétail a été éradiquée depuis plusieurs décennies ce qui n'est pas le cas dans les pays en voie de développement. Les cas de tuberculose provoqués par le Mycobacterium africanum et le Mycobacterium bovis sont heureusement très rares car ils sont presque toujours résistants à la majorité de drogues antituberculeuses. La transmission de la tuberculose se fait presque exclusivement par voie respiratoire, après inhalation des bacilles tuberculeux émis dans l'air par des malades dont l'expectoration (crachat) contient des bacilles mis en évidence par l'examen microscopique direct. Le Mycobacterium tuberculosis est un bacille qui a 2 a 4 um de long et 0.3 umde large et se multiplie lentement (toutes les 10 à 20 hrs). C'est un germe aérobie stricte, qui se développe plus volontiers quand la pression partielle d'oxygène dans le milieux dépasse 10mmHg et quand la pression partielle en gaz carbonique est de 40mmHg, ce qui fait du poumon (la pression partielle en oxygène y atteint sou- vent 120 à 130mmHg ) puis les reins et ensuite les épiphyses osseuses, leurs endroits préférés [49, 46, 40, 45]. Ainsi, on distingue 3 types de tuberculose : La tuberculose pulmonaire qui représente 80% des cas de tuberculoses,La tuberculose extra pulmonaire qui représente selon les pays 20 à 35% de l'ensemble des cas de tuberculose répertoriées. Sans atteintes pulmonaires associées, elle ne joue pas un rôle important dans la transmission de la maladie. La tuberculose de l'enfant.

Les malades à traiter pour la tuberculose sont définis en fonction de leur statut bactériologique (TPM+,TPM-), de la localisation de la maladie (pulmonaire ou extra pulmonaire ) et des antécédents thérapeutiques du malade (jamais traité ou déjà traité pour la tuberculose). Ces malades sont également classés en nouveaux cas ou à retraiter. 19 Les nouveaux cas sont des malades n'ayant jamais été traités auparavant par des médicaments antituberculeux. On distingue quatre types de cas à retraiter : les rechutes, les échecs, les défaillants au traitement

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et les excréteurs chroniques de bacilles tuberculeux.

- Les rechutes : Ce sont des malades qui ont déjà été traités par le passé pour une tuberculose active (bactériologiquement confirmé ou non) et qui avaient été déclarés "guéris" après une chimiothérapie antituberculeuse complète mais qui présentent à nouveau une tuberculose pulmonaire à microscopie positive.

- Les échecs : Ce sont des nouveaux malades en cours de traitement qui présentent encore des examens bacilloscopiques positifs lors du contrôle bactériologique du cinquième mois.

- Les défaillants au traitement ou perdus de vue : Ce sont des malades qui ont pris un traitement antituberculeux pendant un certain temps et qui ont interrompus ce traitement depuis au moins deux mois, se présentent avec des symptômes de la tuberculose pulmonaire et des examens de crachats positifs.

- Les excréteurs chroniques de bacilles tuberculeux : Ce sont des sujets qui continuent à excréter des bacilles tuberculeux après avoir suivi un régime complet de retraitement. Ils portent le plus souvent des bacilles résistants à plusieurs drogues antituberculeuses et ne répondent en générale à aucun traitement.

Lors d'un traitement de la tuberculose, les antituberculeux sont toujours prescrits en association, les régimes thérapeutiques sont standardisés et comportent toujours une phase initiale intensive de 2 à 3 mois et une phase de continuation de 4 à 5 mois. Le traitement doit être pris de façon régulière jusqu'a son terme et le malade doit être surveillé sur le plan bactériologique au cours de son traitement. De plus, les patients qui ne peuvent pas recevoir sur la base ambulatoire des médicaments peuvent être hospitaliser pour la période du traitement intensif dans le cas des formes graves de tuberculoses ou de complications. Selon le régime thérapeutique, on appelle :

- Guéris : Tout patient ayant deux examens de crachats successifs négatifs à la fin du cinquième mois et ayant complété son traitement.

- Traitement terminé : Patient qui a reçu tout son traitement mais pour lequel on n'a pas de résultat de son examen de crachats à la fin de ce traitement.

- Décès : Patient qui meurt à n'importe quel moment entre le dépistage et la fin prévue du traitement, même s'il n'a pas commencé le traitement, et quelque soit la cause de ce décès.

Transfert : Patient envoyé poursuivre son traitement dans un autre district ou il sera enregistré sous un nouveau numéro. Il leur est délivré une fiche de transfert. Un patient ne peut être comptabilisé que dans une seule de ces catégories [51, 46].

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Tuberculose et VIH

L'infection au Virus d'Immuno-déficience Humaine (VIH) est de loin le plus gros facteur de risque de contracter la forme active de tuberculose. Dans certains pays de l'Afrique subsaharienne, région qui abrite environ les deux tiers de tous les individus qui vivent avec le VIH/SIDA, les cas de tuberculose ont augmenté dans l'ensemble de 300% au moins pendant la dernière décennie et la prevalence de l'infection au VIH chez les nouveaux cas de tuberculose dépasse 50%. La tuberculose est la principale cause de décès chez les Africains vivant avec le VIH/SIDA. La tuberculose est une maladie grave qu'il importe de cibler dans les régions sérieusement affectées par le VIH étant donné qu'elle est guérissable. Bien qu'elle soit encouragée par l'épidémie de VIH, la tuberculose est une maladie infectieuse qui ne se limite aux personnes seropositive. Et puisqu'elle est l'une des premières infections opportunistes à se déclarer chez les personnes infectées par le VIH, la tuberculose peut être le premier signe de l'infection au VIH. C'est pourquoi le traitement de la tuberculose est l'occasion d'une intervention initiale pour prévenir et soigner le VIH [51, 40, 46]. Depuis 1986, le "duo diabolique" créé par la co-infection tuberculose-SIDA a modifié les aspects de la tuberculose dans les Pays En voie de Développement (PED). Dans l'histoire naturelle de l'infection par le VIH, la tuberculose survient à un stade relativement précoce, avant les autres infections opportunistes (pneumocystoses, cryptococcoses, toxoplasmoses). La forme la plus fréquente de tuberculose chez les malades infectés par le VIH est la tuberculose pulmonaire, exclusive dans 55 à 60% des cas, mais on observe plus fréquemment chez les VIH positifs des tuberculoses extra-pulmonaires isolées ou associées à la tuberculose pulmonaire et des tuberculoses multifocales ou disséminées. La tuberculose est une cause majeure de mortalité chez les sujets VIH positifs. Elle est responsable de 12% environ des décès par SIDA dans le monde. La malnutrition joue un rôle important dans la mortalité [45, 46, 40].

Modèles générale de la tuberculose avec deux classes d'infectieux

Considérons le modèle de la tuberculose dont le graphe de transmission est donnée par (Fig 2.1) Dans ce modèle, S représente la classe des susceptibles, E celle des infectés, I celle des malades, la classe L représente la classe des "perdus de vue". Ce sont des personnes souffrantes de tuberculose, ayant suivi une chimiothérapie de traitement, mais ayant abandonné le traitement, sans être arrivé au bout. Dans ce cas, la guérison n'est pas confirmée par des examens bactériologiques complètes. Nous supposons qu'une proportion ä d'entre eux transmet encore l'infection et qu'ils sont affectés d'un taux de mortalité d3 dû à la maladie. â représente le coefficient d'infectiosité de la maladie. si p modélise la proportion des sidéens et d'immuno-déprimées dans la population de susceptibles, alors pS est le nombre d'individus susceptibles, sidéens et immuno-déprimés et (1 - p)S est le nombre des susceptibles non immuno-déprimé et non sidéens. k modélise la proportion d'infectés qui deviennent malades.

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FIG. 2.1 - Diagramme de transmission de la tuberculose avec double infectivité

Parmi les âpIS, ö(1- r2) représente la proportion de perdus de vues dans les classes de ma-lades et ã la proportion de reprises de traitement par les "perdus de vus". å(1 - ã) modélise le taux de guérison des "perdus de vue", ri, i = 1, 2 les taux de guérisons thérapeutiques ou naturelles respectifs des infectés et des tuberculeux pulmonaires et u le taux de mortalité naturelle dans la société. En appliquant la loi d'action de masse, on a le système dynamique suivant :

?

0

? ?0

? ?0

= ? ?0

0

Ë

+

?
? ? ? ? ? ? ? ? ?

Eÿ Tÿ Rÿ Lÿ Iÿ Sÿ

?
? ? ? ? ? ? ? ? ?

E

T

R
L
I

S

?
? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

N11 0 0 0 0 0

? ? ?

_?á(1 - k)(1 - r1) _N22 ã2 0

0

0
0

r3 _N33 å(1 - ã) r2 0

0

0 0 N44 ö(1 - r2) 0 ? ?

? ? ?

_?k(1 - r1)

0 ã1 ã

N55 0 ? ?

0 0 0 0 0 -u

+â	? ? ? ? ? ? ? ? ? ?	1 - p p(1 - f) 0 0 pf -1	? ? ? ? ? ? ? ? ? ?	S(I + äL).(2.3)
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Dans ce système, les paramètres _Nii sont définis par

N11 = -(k(1 - r1) + á(1 - k)(1 - r1) + ii),

N22 = -(ii + d2 + r3), N33 = -(ii + 'y2 + 'y1), N44 = -(ii + d3 + r4 + 'y + å(1 - 'y)),

N55 = -(ii + d1 + r2 + ö(1 - r2)).

Modèle à in classes d'infectés

FIG. 2.2 - Diagramme de transmission pour un modèle à n classes d'infectés

Le modèle proposé dans cette partie est une généralisation du modèle précédent dans le cas oil l'on a n classes de malades. Dans ce modèle la population est divisée en m + 5 classes épidémiologiques. On peut expliquer le fait d'avoir plusieurs classes d'infectés dans la réalité par le fait que le niveau d'infection de la maladie évolue, ce qui entraîne que lorsqu'un individu atteint un niveau d'infection, il migre vers une autre classe avec le flux ki(1 - ri)Ei, sans toute fois développer la maladie, ou il est atteint de l'une des deux types de tuberculoses et rejoint la classe I ou T avec un flux _aiEi ^ou _biEi. Le reste de paramètre est inchangé, par rapport au cas précédent. Le diagramme de transmission dans ce cas, est donnée par la figure (Fig 2.5).

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Par l'application de la loi d'action de masse, on obtient le système dynamique suivant :

? ???????????????? ? ?????????????????

S^ÿ= A - uS - âS(I + äL), ^ÿE1 = â(1 - p)S(I + äL) - (k1(1 - r1) + a1 + b1 + u)E1, ^ÿE2 = k1(1 - r1)E1 - (k2(1 - r1) + a2 + b2 + u)E2, · · · ^ÿEm = km_1(^1 - r1)Em_1 - (am + bm + u)Em, (2.4) Iÿ = âpfS(I + äL) + å1R + E^mi=1(aiEi) + ãL - (u + ö(1 - r2) + d1 + r2)I, Tÿ = âp(1 - f)S(I + äL) + å2R + E^ni=1(aiEi) - (u + d2 + r3)T, Lÿ = ö(1 - r2)I - (ã + u + r4 + d3 + å(1 - ã))L, Rÿ = r2I + r3T + å(1 - ã)L + r4L - (å1 + å2 + u)R

Ce système peut se mettre sous la forme (2.1) oil on a : X = (E1, E2, ..., E_n, R, T, L, I,S)^T

,

x_n = S, x_n_1 = I, x_n_2 = L,

K = [0,

N=	? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0, ..., 0, 0, 0, 0, 0, A]^T , N = [Nij],
N11			0	...	0	0	0	0	0	0	? ?
k1(1 - r1)			N22	0	...	0	0	0	0	0	?
...			...	...	...	...	...	...	...	...	? ?
0			0	...	Nmm	0	0	0	0	0	? ? ?
0			0	...	km(1 - r1)	Nm+1,m+1	r3	r4	r2	0	? ?
b1			b2	...	bm	å2	Nm+2,m+2	å(1 - ã)	0	0	? ? ?
0			0	...	0	0	0	Nm+3,m+3	ö(1 - r2)	0	? ?
a1			a2	...	am	å1	0	ã	Nm+4,m+4	0	? ?
0			0	0	0	0	0	0	0	-u	?

oil les paramètres Nii sont définis comme suit :

.

N11 N22 ... Nmm Nm+1,m+1 Nm+2,m+2 Nm+3,m+3 Nm+4,m+4 Q

= = = = = = = =

-(k1(1 - r1) + a1 + b1 + u), -(k2(1 - r2) + b2 + a2 + u), -(am + bm + u), -(å1 + å2 + u), -(u + d2 + r3), -(ã + u + r4 + d3 + å(1 - ã)), -(u + ö(1 - r2) + d1 + r2) et [1 - p, 0, ..., 0, 0, p(1 - f),0, pf,

-1]^T

En posant ä = 0, on obtient tous les modèles proposés dans [39, 42].

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FIG. 2.3 - Diagramme de transmission pour un modèle à m classes d'infectés et k classe de malades

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Modèle à m classes d'infectés et k classes de malades

Le modèle proposé dans cette partie est une généralisation du modèle précédent dans le cas oil l'on a k classes de malades. Dans ce modèle la population est divisée en n classes épidémiologiques. On peut expliquer le fait d'avoir plusieurs classes de malades dans la réalité par le fait que les résistances peuvent se former à un certain moment donné pendant le traitement en plus de l'évolution de l'infection déjà présenté au paragraphe précédent. Le diagramme de transmission dans ce cas, est donnée par la figure (Fig 2.6). Par application de la loi d'action de masse, on obtient le système dynamique suivant :

(2.5)

?

???????????????????? ? ?????????????????????

S^ÿ= Ë - uS - S E^ki=1 âiIi, ^ÿE1 = (1 - p)S(Eik-1 1 âiIi + âkL) - (k1(1 - r1) + a1 + u)E1, ^ÿE2 = k1(1 - r1)E1 - (k2(1 - r1) + a2 + u)E2, · · · ^ÿEm = km-1(^1 - r1)Em-1 - (km(^1 - r1) + u)Em, ^ÿI1 = pS(Pk-1 i=1âiIi + âkL) + ô1R + km(1 - r1)Em + ãL - (u + å1 + d1 + r2 + Pk-1 i=1 bi)I1, ^ÿI2 = c1I1 - (å2 + c2 + d2 + u), · · · ^ÿIk-1 =bk-3I1 + ck-1Ik-2 - (åk-1 + r2 + dk-1 + u)Ik-1, Lÿ = Pk-1 i=1 åiIi - (ã + u + dk)L, Rÿ = Pk-1 i=1 ri+1Ii- (ô1 + u)R

Ce modèle se met sous la forme de l'équation (2.1) oil les paramètres sont définis de la manière suivante : X = (E1, E2, ..., E_n, R, I1, I2, ..., Ik,S)^T, x_n = S, xn-1 = I, xn-k = L,

K = [0,0, ..., N11 0 ? N21 N22 . · · ·.. 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ... ... a1 a2 0 0

0, · · · · ·

0, · · ... . .. ... ... · · · · ... · · · ·

0, · · · , 0, Ë]^T , N = [Nij], 0 0 0 0 0 0 · · · · · · · · · Nm-1,m-1 0 0 Nm,m-1 Nmm 0 0 0 Nm+1,m+1 0 0 0 ... ... ... 0 Nn-1,m ô1 0 0 0

0 0 · · · 0 0 0 Nm+2,m+2 0 0 0

· · · · · · · · · 0 0 rk-1 åk . . . ã · · ·

0 0 · · · · · · · · · · · · . . . . .. ... 0

0 0 · · · 0 0 r2 å1 . . . Nn-1,n-1 0

0 0 .. 0 0 0 0 . . . 0 -u

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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2.3 Quelques exemples de modèles épidémiologiques 22				oil les paramètres Nii sont définis comme suit : N11 = -(k1(1 - r1) + a1 + u), N21 = -(k2(1-r1)+a2+u), ...
Nmm
=		-(km(1 - r1) + u),	Nm+1,m+1
=		-(ô1 + u),	Nm+2,m+2
=		-(ã + u + dk),	Nm+3,m+3
=		-(åk_1 + r2 + dk_1 + u),	...
		_ 1	Nn_1,n_1
=		Xk -(u + å1 + d1 + r2 + bi) et
		i=1	Q
=		[1 - p, 0,··· , 0, 0,··· , 0,p, -1]^T .

et Ni+1,i = ki(1 - r1).

2.3.2 Modèle intra-hôte du paludisme

Généralité sur les modèles intra-hôtes du paludisme

Les modèles intra-hôtes du paludisme décrivent la dynamique des stades sanguins des parasites, ainsi que leurs interactions avec les cellules hôtes, en particulier les globules rouges et les effecteurs d'immunité. Durant les dernières décennies, il y a eu des travaux considérables en ce qui concerne la modélisation mathématique du Plasmodium falciparum [2, 9, 13, 14, 3, 47, 27, 38, 43, 51]. Les modèles de l'infection au plasmodium falciparum sont utilisées pour plusieurs buts : expliquer les observations, prédire l'impact des intervention (par exemple l'utilisation des médicaments antipaludéens), estimer les paramètres mal connus. Le paludisme commence par une infection par les parasites (sporozoite) de plasmodium inoculés à l'homme par les anophèles femelles. Les sporozoite envahissent le foie en quelques minutes. Après une période de reproduction asexuée dans le foie, les parasites (merozoite) sont déversés dans la circulation sanguine périphérique et le cycle erythrocytoses asexué peut commencer. Les merozoite pénètrent dans les globules rouges, grandissent et se reproduisent pendant une période approximative de 48 heures après quoi la rupture des erythrocytes et recommencé le cycle. Ce cycle sanguin peut être répété plusieurs fois, avec à la fin le développement de certains merozoite en de formes sexuées de parasites : les gametocytes, qui sont sans danger pour leurs hôtes humains et constituent un réservoir pour les anophèles.

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Exemple de modèle à plusieurs stades sanguins

On considère les variables x, yi, i = 1, ...k et m. La variable x désigne la concentration des globules rouges non parasités, yi la concentration des globules rouges parasités de classe

i et m la concentration des merozoite libres dans le sang. On a le système suivant :

? ???????? ? ?????????

xÿ = Ë - uxx - âxm, ÿy1 = âxm - á1y1, ÿy2 = ã1y1 - á2y2, (2.6) · · · ÿyk = ãk_1yk_1 -ákyk, mÿ = rãkyk - umm - uâxm,

oil ái = ãi + ui, i = 1, · · · , k. Le taux de transmission du compartiment i vers i + 1 est donnée par ãi et ui le taux de mortalité. Au stade k, l'éclatement de l'erythrocyte libère les merozoite qui envahissent instantanément. En posant u = 0, on obtient le modèle proposé par Anderson dans [48], et qui peut se mettre sous la forme du système (2.1), oil les paramètres sont définis de la manière suivante :

X = [y1, y2, · · · , yk,m, x], K = [0, -á1 0 ? ã2 -á1 · . . . N= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0

0, · · · · · · .. . . . . ^... ... · · ·

, 0, 0, Ë]^T ,xn = x, xn_1 = m, ä = 0, 0 0 0 ? 0 0 0 . . . . · · ·.. -ák 0 0 ãk -um 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 -ux

et Q = [1,0,···, 0, -u, -1]^T, u = 0. Exemple de modèle SP

Les modèles SP ont été introduits pour modéliser les épidémies de SIDA et de paludisme [48]. Le modèle SP est une chaîne de Markov dans laquelle les individus infectieux passent séquentiellement par une série de stades à infectivités variées. L'une des raisons pour lesquelles ces modèles sont considérés est expliqué dans [38, 43]. La principale motivation est la pandémie du VIH/SIDA qui sévit en ce moment dans le monde entier et en particulier en Afrique, et aussi par le paludisme qui constitue toujours la première cause de mortalité pour le continent Africain. On veut, dans le cadre de ces maladies, considérer les distribution de

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la période infectieuse, autre que celle distribuée exponentiellement [48]. Considérons le modèle S, E1, · · · , E_m, I1, · · · , Ik oil le système est donné par

? ???????????????? ? ?????????????????

Sÿ = Ë - uS - S E^ki=1 â1Ii, ^ÿE1 = (1 - p)S E^ki=1 â1Ii - á1E1, ^ÿE2 = ã1E1 - á2E2, · · · ^ÿEm = ãm-1Em-1 - ámEm, (2.7) ^ÿI1 = pS Pk i=1 â1Ii + ãmEm - á1I1, ^ÿI2 = ä1I1 - ó2I2, · · · ^ÿIk = äk-1Im-1 - ókIk,

oil ái = ãi + ui, i = 1, · · · ,m et ói = äi + uj, j = 1, · · · , k. Le taux de transmission du compartiment i vers i + 1 est donnée par ãi et äi. ui représente le taux de mortalité. Le modèle précédant est une version amélioré du modèle proposé dans [48], et qui peut se mettre sous la forme du système (2.1), oil les paramètres sont définis de la manière suivante :

X = [E1, E2, · · -á1 ? ã1 · 0 N= 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ... 0 0 et Q = [1 - p, 0, · · · ,

· , Em, I1, I2, · · · , Ik], K = [0,0, · · 0 · · · 0 0 0 -á2 .. . 0 0 0 . . . . . . · · · · · · · · · 0 . . . -ám-1 0 0 0 ... ãm-1 -ám 0 0 · · · 0 0 -ók 0 · · · 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 · · · 0 ãm 0 0 · · · 0 0 0 0, 0, · · · , p, -1]^T .

· ,0, 0, Ë]^T ,xn = S, xn-1 = I1, 0 · · · 0 0 ? 0 · · · 0 0 . · · · · · · · · ·.. 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 äk-1 ... 0 0 . -ók-1 . . .. 0 .. . .. . .. ä1 . · · · 0 -ó1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 · · · 0 -ux

2.3.3 Modèles du VIH

Ces dernières années, des modèles mathématiques déterministes du même type que ceux déjà utilisés dans d'autres pathologies ont été appliqués à la pathogenèse de l'infection à VIH, visant à une meilleure compréhension des mécanismes mis en jeu dans l'interaction

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

entre le VIH et le système immunitaire. Parmi les travaux basés sur des modèles, des études quantitatives, réalisées par deux équipes successivement en 1995, 1996 et 1997, ont fourni des résultats importants sur la dynamique de l'infection à VIH et permis de remettre en évidence le concept de lentivirus pour le VIH. Le principe de ces études était d'estimer des paramètres caractérisant la cinétique de production persistante du virus et celle des cellules du système immunitaire, en ajustant la (les) solution(s) d'un modèle mathématique à des données de marqueurs virologiques et immunologiques obtenues lors de l'initiation d'un traitement anti-rétroviral puissant, avec l'hypothèse d'un état d'équilibre du système avant le traitement.

Généralités sur la transmission du VIH

L'infection par le VIH (virus responsable du SIDA) est une maladie transmissible dans certaines circonstances très précises, le plus souvent au cours des rapports sexuels, contrairement aux maladies contagieuses qui peuvent s'attraper sans contact direct, comme la grippe ou la tuberculose [50].

Le virus vit à l'intérieur de certaines cellules du corps, qui sont présentes dans les sang et les sécrétions sexuelles. C'est un virus humain, qui ne peut se transmettre que d'un humain à un autre. Pour qu'une transmission puisse avoir lieu, il faut que plusieurs conditions soient réunies :

- Le virus doit pouvoir "sortir" de la personne infectée : cela ne peut se faire que par une muqueuse (le revêtement intérieur du corps, qui est différent de la peau) ou par une blessure permettant au sang de " sortir du corps ".

- Un véhicule doit permettre au virus d'aller d'une personne à une autre : ces véhicules sont le sang, le sperme, les sécrétions vaginales de la femme, le liquide pré-séminal de l'homme (la "goutte" qui peut apparaître dès l'érection, bien avant l'éjaculation), et le lait maternel (les autres liquides comme la salive, la sueur, les larmes, ne peuvent pas contenir assez de virus actif pour permettre une contamination).

- Le virus doit pouvoir rentrer à l'intérieur d'une autre personne : par une muqueuse ou une blessure permettant le contact avec le sang.

Ces conditions de transmission demandent un contact direct. Si elles sont réunies, une contamination est possible, sans qu'elle ait forcément lieu. Par exemple, en cas de rapports sexuels non protégés avec une personne séropositive, il peut suffire d'une fois pour être contaminé, mais on peut ne pas avoir été contaminé au bout de dix rapports, et l'être au onzième.

Modes de transmission du VIH Les rapports sexuels non protégés.

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

- Les échanges sanguins, notamment par l'intermédiaire d'une seringue (partage de matériel d'injection en cas d'usage de drogues injectables, piqûre accidentelle chez un professionnel de santé, transfusion de sang avant 1985).

- Transmission de la mère à l'enfant pendant la grossesse ou l'allaitement. Les autres transmissions sont exceptionnelles. Toutes les autres situations sont sans risque. La peau est une barrière infranchissable pour le virus. En cas de contamination, pendant la période qui suit la contamination (la primo-infection) les risques de transmission du virus à d'autres personnes sont particulièrement importants.

Avec les traitements, le virus devient indétectable, mais avoir une charge virale indétectable ne signifie pas qu'il n'y a plus de VIH dans l'organisme mais qu'il en reste trop peu pour que l'on puisse le quantifier. Le virus reste présent dans l'organisme et peut donc être transmis à une autre personne [50].

Formulation du modèle

Basé sur les travaux de Hyman et al, et ceux de Gumel, McCluskey et van den Driessche dans [16], le modèle que nous présentons dans ce paragraphe un modèle du VIH dans une population humaine.

Soit S(t) la population de susceptible, ce sont des personnes aptes à contracter l'infection. Cette population recrute les personnes d'origines diverses mais qui ne sont pas infecté. Nous notons Ë le taux de recrutement dans cette population. Soit I1(t) la classe des personnes ayant une infection primaire. Pour rentrer dans cette classe, il faut être soit issue d'un contact direct avec les susceptibles avec un taux â(N)(I1 + ç1I2 + ç2I3) oil ç1 et ç2 sont des réels positifs compris entre 0 et 1, soit être quelqu'un qui a abandonné son traitement à un certain moment et qui, c'est à dire, venir de la classe I3 avec un taux ?. On progresse de cette classe vers une autre classe d'infecté I2(t) avec un taux ó1 ou on se dirige ver la classe des personnes traitées I3(t) avec un taux ó3. La Classe I2(t) contient les personnes qui sont à un deuxième niveau d'infection généré par une progression de l'infection I1 caractérisé par des symptômes, mais qui n'ont aucun traitement. Les flux de population quittent la classe soit par décès, soit par un début de traitement avec un taux ó2. La classe I3(t) contient les personnes qui ont commencé un traitement aux anti-rétoviraux. Toutes les classes sont affectées d'un même taux de mortalité naturelle noté u ; ø1 et ø2 sont les taux de mortalité du à l'action de la maladie. Le diagramme de transmission des donné par la figure (2.3.3).

L'application de la loi d'action de masse donne les équations

{	Sÿ = Ë -- uS -- â(N)(I1 + ç1I2 + ç2I3)S, ^ÿI1 = â(N)(I1 + ç1I2 + ç2I3)S + ?I3 -- (ó1 + ó3 + u+)I1, ^ÿI2 = ó1I1 -- (ó2 + u + ø1)I2, ^ÿI3 = ó2I2 + ó3I1 -- (u + ø2 + ?)I3.		(2.8)
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2.4 Conclusion 27

FIG. 2.4 - Diagramme de transmission pour un modèle du VIH-SIDA

Ce système peut se mettre sous la forme (2.1) ou les paramètres sont identifiables dans l'équation

^ÿI3 0 N11 ? ? 0 0 = ? + ???? ^ÿI1 ???? ???? 0 ? Sÿ A 0	ó2 N22 0 0	ó3 ó1 N33 0	0 I3 ? ? ? ? 0 ? ? I2 ? ? + â(N) 0 ? ? I1 ???? ???? -u ? ? S	0 ? 0 1 ???? (I1 + ç1I2 + ç2I3)S. -1
				(2.9)
oil les Nii sont définis par
	N11	=	-(ó3 + u + ø2 + ?),
	N22	=	-(ó2 + u + ø1),
	N33	=	-(ó1 + ó3 + u).

2.4 Conclusion

? ^ÿI2 ? ? ?

Dans ce chapitre, nous avons présenté une classe de modèles épidémiologiques, et les hypothèses sous lesquelles nous allons analyser le système (2.1. Ensuite, nous avons présenté quelques exemples de modèles épidémiologiques du paludisme et de la tuberculose, pouvant se mettre sous la forme (2.1). Pour ce modèle puisse être appliquer à une maladie en particulier, il est nécessaire que, une fois infecté, on ne revienne plus dans la classe des susceptibles. Pour les maladies sexuellement transmissibles avec les contacts principalement hétérosexuels, il peut être nécessaire de considérer un telle types de modèle. En effet, avec la lèpre, le syphilis, le virus d'herpes, l'infection peut se camoufler des mois ou même des années [10], encourageant ainsi la considération de multiples étapes de latence.

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec différentes infectivités

CHAPITRE TROIS

ANALysE GLoBALE DE LA cLAssE DE

MoDELEs EpiDEMioLoGiQuEs

Introduction

Dans ce chapitre, nous présentons les résultats de l'analyse globale de la classe de modèles épidémiologiques exposé au chapitre précédent. Nous démontrons que les solutions du système épidémiologique décrit dans le chapitre précédent sont contenus dans un compact positivement invariant. L'existence et l'unicité du point d'équilibre endémique est également démontrées. La globale asymptotique stabilité du points d'équilibre endémique et non endémique est étudiée en utilisant les fonctions de Lyapunov dont les coefficient sont préalabrement déterminés. Nous présentons les résultats des simulations numériques pour valider les résultats analytiques obtenus.

3.1 Invariance positive de l'orthant positif

On a le résultat suivant :

Proposition 3.1. : Sous le flot décrit par le système (2.1), l'orthant positif est positivement invariant. En plus, toutes les solutions avec conditions initiales dans l'orthant positif satisfait lim _supt,+. x_n (t) < ^Ë_u. Le domaine Ù = { X E 118ⁿ₌₀, x_n < Ëu} est positivement invariant.

Preuve. : En considérant le système (2.1), on constate que lorsque xi = 0 alors on a ÿxi > 0. Ceci permet de conclure que l'orthant positif est positivement invariant. De manière similaire, si X(t0) E Ù et x_n(t0) = ^Ë_u, alors, ÿx_n < 0; ceci établie l'invariance positive de Ù. Pour une solution avec X(t0) E 118ⁿ₌₀, nous avons ÿx_n < A -- ux_n pour t > t0. Donc asymptotiquement, x_n < Ëu d'ou la fin de la preuve.

3.2 Existence et unicité des points d'équilibre

Nous allons trouver dans cette partie, des formules unique pour les points d'équilibre du système (2.1).

Il existe un équilibre évident pour ce système de la forme (0,
·
·
· , 0, A/u)^T que nous notons
P0 et que nous appelons l'équilibre sans maladie ou non endémique ou encore disease free
equilibrium (DFE). On l'obtient lorsque l'on pose dans le système (2.1), ÿxi = 0, i = 1,
·
·
· , n

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et xn-p = 0, p = 1, · · · , k. Dans le cas oil xn-p =6 0 pour p = 1, · · · ,k ; alors, posons P^* = (x^* ₁, · · ·,x^*_n) le point d'équilibre endémique ou endemic equilibrium(EE), alors le système (2.1) donne

{ N X = - Q Pk p=1 âpxn-pxn,

(3.1)

Ë - ux_n - Ep=^k 1 âpxn-pxn = 0.

On voit tout de suite que l'on a toujours x_n =6 0. D'après la deuxième équation de (3.1), on a

Xk p=1

* âpxn-pxn = Ë - ux^*n. (3.2)

En introduisant l'équation (3.2) dans l'équation (3.1), on obtient :

N P * = - Q(Ë - ux^*_n). (3.3)

Dans ce cas, il vient que

P * = - N^-1 Q(Ë - ux^*_n). (3.4)

Puisque N est une matrice de Metzler, alors, - N^-1 a toutes ses composantes positives. Comme Q ? Rn-1

+ ; il vient que - N-1 Q = 0. Le signe de P dépend uniquement de celui de Ë - Soit 1/4 = [N1 |· · · | Nn-p-1 | -Q |

Nn-p+1 |· · · | Nn-1 , p = 1,·· · ,k. En

appliquant la Règle de Cramer à l'équation (3.3), on a

x^*n-p = (Ë - ux^*_n)

det

p = 1, · · · ,k. (3.5)

,

N

det M_p

En remplaçant ces résultats obtenus dans (3.2), il vient que

(Ë - ux^*n)			Xk p=1	det âp det		! Mp n x* = Ë - ux^*n. (3.6) N
Xk p=1	det âp det	M p) x^*n =1. N

det N

En simplifiant cet expression, on la met sous la forme

De là, on a

_x*

n

(3.7)

Ep=k ₁â_pdet M_p

Ainsi, en introduisant (3.7) dans l'équation (3.4), il suit que

det

1^3* = - Ë - u k N-1 e^-2. (3.8)

Ep=1 âdet M_p

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Le point P^* = ( P *, x* _n) ? Rⁿ₊ où x^*_n et P * sont respectivement données par les équations (3.7) et (3.8).

Si A - ux^*_n = 0, alors, P^* coincide avec le point d'équilibre non endémique. Pour obtenir un point d'équilibre endémique dans l'orthant positif, qui est distinct de P0, il est nécessaire et suffisant que A - ux^*_n soit positif. Ceci a lieu si et seulement si

A u	Ekp=1 âp det Mp	> 1. (3.9)
	det N

Nous avons évidement la proposition suivante :

k /1

Proposition 3.2. : La quantité définie par q = E p=i ¹³det vN det 4^- p est positive.

En effet,cette proposition vient du fait que chaque ddet Np , p = 1, · · · , k est une compo-

sante de la matrice - _N-1 Q, qui a toutes ses entrées de signes positives et puisque â_p = 0, on

et

a ddet N = 0 d'où le résultat. Nous utiliserons cette proposition pour montrer que les points d'équilibres P0 et P^* sont GAS dans l'orthant positif.

3.3 Taux de reproduction de base

Le taux de reproduction de base R0 est le nombre de cas secondaires qu'un malade actif engendre pendant sa période de maladie lorsqu'il est introduit dans une population de susceptibles [28, 49, 10, 11]. Il peut être trouvé en utilisant la méthode des opérations présentés dans les références [19, 48, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 32, 27, 26, 1]. Nous allons utiliser la méthode de [10, 11] qui est facilement applicable aux systèmes d'équation différentielles ordinaires. Nous utiliserons la même approche et les mêmes notations pour notre résoudre notre travail. Le système (2.1) peut se réécrire sous la forme

X⁰= F(X) - V(X) (3.10)

où

F(X) = Q p=1 xn-pxn et V(X) = - N X. (3.11)

Soient

?F ?V

F = (P0) et V = (P0)

?X ?X

les matrices jacobiennes de F(X) et de V(X) aux points d'équilibre du système. Le taux de reproduction de base est donné par le rayon spectral de FV ^-1 noté

R0 = ñ(FV ^-1). (3.12)

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

En utilisant l'équation (3.12), on obtient

F = A [0 |···| 0 | âk (2|·· ·| â1 (2] et V = - N. u

En notant par rp , p = 1, · · · ,k de la respectivement la n - p ème ligne de -			N^-^1, on a
A FV -1 = u	? ? ?	Q1(â1r1 + · · · + âkrk) ... Qn(â1r1 + · · · + âkrk)

Comme le rang de FV ^-1 est 1, FV ^-1 a une unique valeur propre non nulle qui est égale à sa trace. La trace de FV ^-1 est égale à _Ëu(â1r1 + · · · + âkrk)Q. Puisque - N est une Mmatrice, toutes les entrées de - N^-1 sont positives et (â1r1 + · · · + âkrk) Q est positive. Le rayon spectral de FV ^-1 est égale à la valeur propre non nulle. Dans ce cas, l'équation (3.12) devient :

A R0 = u

Xk p=1

âprp)Q.

(3.13)

Prenant en compte les k dernières lignes du système (3.8) et en rearrangeant, on obtient

r

p p

_Xk
p=1

Q = 1

.

x* _n

En introduisant l'expression ci dessus dans l'equation (3.13), et en rearrangeant, on obtient

Finalement, l'équation (3.7) donne	R0 =		A u	1 . x* n
A R0 = u		E^k det Mp p=1				(3.14)
		det N			.

Puisque la même expression est retrouvée dans (3.8), on déduit que P^* existe si et seulement si R0 > 1 et aussi que R0 > 0 d'après la proposition (3.2).

3.4 Stabilité des points d'équilibre

Dans cette partie, nous démontrer que le DFE et l'EE sont globalement asymptotiquement stable respectivement pour R0 = 1 et pour R0 > 1. Nous allons d'abord déterminer les coefficients des fonctions de Lyapunov

et	U(t) =				Xn- 1 i=1	biXi
V (t) =		Xn i=1		ai(xi - x^*i ln xi).
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3.4.1 Recherche des coefficients des fonctions de Lyapunov

Soit a = [a1, · · · , a_n] avec a_n = 1. On définit a par

a [N1 | · · · | Nn-k-1 |Nn-k + Qâkx^* | · · · | Nn-2 + Qâ2x^* | Q]n×n-1

=0. (3.15)

Soit a = [a1, · · · , an-1] ; par l'hypothèses H4, le système (3.15) se met sous la forme

[N1 | · · · | Nn-k-1 | Nn-k + Qâkx^* | · · · | Nn-2 + Qâ2x^*i a= 0 et a Q = 1. (3.16)
ou encore sous la forme

a M = [0,···, 0, 1] (3.17)

oil encore les formes équivalentes suivantes :

a M⁰ = [0, · · · , 0, -âkx^*, · · · , -â2x^*, 1] (3.18)

a M = [0,···, 0, -1] (3.19)

oil M = [N1 | · · ·| Nn-k-1 | Nn-k C2âkx^* | · · · | Nn-2 C2â2x^* | (2] , M⁰= [ N1 | · · · |

Nn-2 |	Q] et M = [N1 | · · · | Nn-2 | -	Q] On obtient dans ce cas donc deux expressions
équivalentes. il faut noter que x^* est un réel positif définit par : ( Ë/u si R0 = 1 x* = x^*n si R0 > 1 Nous allons démontrer la proposition suivante Proposition 3.3. a existe, est unique et non nul. De plus, a ? 118^n=0. Preuve. L'équation (3.18) implique que a existe et non nul,car det			M=6 0 parce que M

est une matrice de Metzler. Il est clair par ailleurs que a1, · · · , an-k-1, an-1 sont non tous négatifs. En effet, supposons le contraire, c'est à dire que ai= 0, i ? {1, · · · , n - k - 1, n- 1} alors,on aurait Q

_aiQi Enk-1 + an-1Qn-1

= 1 (par l'hypothèse H7) et Qi = 0,

M la matrice carrée (n-2)×(n-2) obtenue de M en supprimant

ce qui est impossible. Supposons an-1 = 0, alors,

les (n - 1)ème ligne et colonne, alors, M est une matrice de Metzler donc non singulière. a

vérifie [a1, · · · , an-2]

M = [0, · · · , 0] a = 0 ce qui est impossible. On a donc an-1 =6 0.

D'autre part, an-p =6 0, p = 2, · · · , k. En effet, supposons qu'il existe p ? {2, · · · , k} telle que an-p = 0. Soit ^centsM_p la matrice (n - 2) × (n - 2) obtenue de M en supprimant la ligne et la colonne n - p. ^centsM_p est une matrice de Metzler donc son inverse centsM-1

p a toutes ses entrées de

signes négatives. On aurait donc ai = 0 pour i = 1, · · · , n - k - 1, n - 1 ce qui est absurde.

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Si aj = 0, j=6 n - p p ? {2, · · · , k}, alors, an-p = 0 car on a a _Nn-p + â_px^* = 0 c'est à dire

an-p = - Nn-p,n-p 1 (vn-1 â_px^*) = 0, car Nn-pn-p = 0.

Soient I, J ? {1,··· ,n - 2} telle que aI = ai = aJ. Pour i ? {1, · · · , n - 2}. Nous affirmons que aI et aJ sont tous de signes positif. supposons que aI et aJ ne sont pas de signes opposés. En effet, supposons que aI < 0 et aJ > 0, alors :

? Si I =6 n - p, p ? {2, · · · , k} alors 0 = aNI = an-1Nn-1,I +

Xn- 2 i=1

aiNiI = an-1Nn-1,I + aI

Xn- 2 i=1

NiI.

Comme ai = 0 et NiI = 0, pour i =6 I, on a

an-1Nn-1,I = -aI

Xn - 2 i=1

NiI (3.20)

D'après l'hypothèse H5, la somme Pn-2 i=1NiI est négative. Avec l'hypothèse aI négatif et le fait que Nn-1,I = 0, il vient que _an-1 est négatif.

? si il existe p ? {2, · · · , k} telle que I = n - p, alors, on a

an-1Nn-1,I = -aI

Xn- 2 i=1

NiI - âpx^*

d'ou le même résultat.

De manière similaire,

? Si J =6 n - p, p ? {2,··· ,k} alors on a

an-1Nn-1,J = -aJ

Xn - 2 i=1

NiJ = 0. (3.21)

? si il existe p ? {2, · · · , k} telle que J = n - p, alors, il existe J' ? 1, · · · , n - k - 1, n - 1 telle que aJ^, = 0 d'après ce qui précède (sinon on aurait ai = 0, i ? {1, · · · , n - k - 1, n - 1} ce qui est absurde). En utilisant l'hypothèse H6 on obtient

an-1Nn-1,J^0 = -aJ0

Xn- 2 i=1

NiJ^0 = 0. (3.22)

Ceci nous permet de conclure que an-1 = 0, Ce qui contredit le fait que an-1 =6 0 d'où ai, i ? {1, · · · , n - 2} sont tous positifs, donc a ? 1180¹, et par suite, a ? 118ⁿ₌₀ ce qui conclut la preuve.

Pour le résultat qui suit, nous allons poser x^* = Ë/au. il est très utile pour la démonstration de la stabilité du point d'équilibre non endémique.

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Proposition 3.4. Le produit a _Nn-1 est non nul, et égal à

det N

det M1

+E

p=2

* det â_px

M_p
M1

det

.

Preuve. Pour i = 1,
·
·
· , n -- 1, soit Bi la matrice obtenue en remplaçant la ^i`eme ligne de M par le vecteur ligne [0,
·
·
· ,1]^T E 118^n-1. Alors, d'après la règle de Cramer appliquée à

l'équation (3.19), on a

ai =

det Bi

det M .

Par soustraction à une ligne de Bi d'un multiple de la i^me ligne, le déterminant de Bi reste in-
changé. Par cette opération, en ramenant à 0 toutes les autres entrées de la dernière colonne
de Bi, sauf la i^me. En ajoutant un multiple de la nouvelle dernière colonne de Bi aux autres co-

lonnes, on peut obtenir les n--2 premières colonne de Bi égales à N1, N2,
·
·
· , Nn-k-1, Nn-k+

Qâkx^*,
·
·
· , Nn-2 + Qâ2x^*, sans affecté la valeur du déterminant de Bi. Ainsi, soit det Bi =
det Ci oil Ci est la matrice construite de M" en remplaçant la colonne finale par le ^i`eme vecteur

standard de la base et M» = [N1
·
·
· Nn-k-1 Nn-k + Q âkx^*
·
·
· Nn-2 + Qâ2x^* Nn-1].

D'autre part, nous avons

det Ci = det C¹_i -- _Xk â_px^* det C^p_i

p=2

oil C¹_i est la matrice obtenue de N en remplaçant la colonne finale par le ime vecteur de base et det C^p_i , p = 2,
·
·
· , k la matrice obtenue de M_p en remplaçant la dernière colonne par le ime vecteur standard de base. En effet ; ce résultat vient du fait que la déterminant d'une matrice vu au sens des vecteurs colonnes est une forme multi-linéaire et que les Qâ_px^* sont dépendantes. On obtient par calcul du déterminant par les cofacteurs,

det

N = Pn-1

i=1 Ni,n-1det C¹_i et det M_p = Pn-1

i=1 Ni,n-1 det C^p_i . Il vient que

det

aiNi,n-1 =

âpx* det M_p

det M .

N

_Xk
p=2

det M

n-1_X

i=1

a Nn-1 =

Or, -- det M1 = det M d'oil

det

a Nn-1 =

+E

p=2

det M

âpx* p

det

N

det M1

Mémoire de DEA:	Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

3.4.2 Stabilité du Disease free equilibrium

Nous allons à présent étudier la globale asymptotique stabilité du système (2.1) dans le cas où R0 = 1. Dans ce cas, le seul point d'équilibre est le point d'équilibre non endémique P0. Considérons la fonction de Lyapunov définie par :

U(t) = a X =

n-1X i=1

aixi. (3.23)

où a = [a1, · · · , an-1] et a = [a1, · · · , a_n] sont les paramètres calculés au paragraphe précédent. Sa dérivée le long des trajectoires du système (2.1) satisfait

^ÿU(t) = a ^ÿX,

=

Xn- 1 i=1

ai ÿxi,

= a N X +

Q

Xk p=1

)âpxn-pxn ,

= a N1x1 +

N2x2 + · · · +

Nn-2xn-2 +

Nn-1xn-1

Q

Xk p=1

âpxn-pxn) . (3.24)

Notons que d'après (3.16), on a aNj = 0 pour j = 1, · · · ,n - k - 1,a(

Nn-p +

Qâpx^*) = 0, p = 2, · · · , k et a Q = 1.

En replaçant dans (3.24), avec x^* = A/u il vient que

^ÿU(t) = _Xk âp(xn - A/ u)xn-p + _(â1xn + aNn-1)xn-1 (3.25)

p=1

D'autre part, nous avons lira supt,00 = Ë car l'ensemble Ù défini à la proposition 3.1 est un compact positivement invariant pour le système (2.1). Il vient alors que :

(A

^ÿU(t) = .6^,Nn-1 + â1 xn-1.

u

D'après la proposition (3.4), on a 6^,Nn-1 = = 1 âp Ë_u det t Md'où

det M1 p

N

A

âp u

M1

+t

p=1

!

det M_p A

+ â1 xn-1

det M1 u

^ÿU(t) =- det

det

= (-1 + R0) det

xn-1. (3.26)

det N

M1

Mémoire de DEA:	Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008
D'après la proposition (3.2), det N det M1est positif. d'où pour R0 = 1, on a		^ÿU(t) = 0. La

condition nécessaire de l'égalité est xn-1 = 0 ou x_n = Ëu et R0 = 1.

Par conséquent, l'extension de la méthode de LaSalle [29] à celle de Lyapunov limite les solutions P0 si R0 = 1. Nous venons de démontrer la théorème suivant :

Théorème 3.1. Si R0 = 1, alors, P0 est globalement asymptotiquement stable dans l'orthant positif 118ⁿ₌₀, sous la dynamique du système (2.1).

3.4.3 Stabilité globale du point d'équilibre endémique

Lorsque R0 = 1, le point d'équilibre P^* se trouve dans l'orthant positif. On a le théorème suivant :

Théorème 3.2. : Le point d'équilibre P^* est globalement asymptotiquement stable dans l'orthant positif, lorsque R0 > 1 sous la dynamique du système (2.1).

Preuve. considérons la fonction de Lyapunov

V (t) =

Xn i=1

ai(xi - x^*i ln xi). (3.27)

V (t) est définie positive dans 118n = et atteint son minimum dans le domaine Ù contenant P^*.
En effet, ?V = ai(1 - ) ÿxi s'annule en xi * donc V^ÿ(t) s'annule globalement en P^*. En

?x,

différenciant V (t) par rapport au temps, on a

Vÿ (t) =

Xn i=1

ai (1 - ^x*i) ÿxi, xi

ÿxi,

~ ~ ~ ~

n-1_X

1 - x* 1 - x*

n i

= ÿx_n + ai

x_n

xi

i=1

=

(1 - ^x*n)A - ux_n - Eâpxn-pxn) x_n

p=1

n-1 + E i=1

* . ( k i xi ai 1 -- xi En NijXj +^Qi E âpxn-pxn . (3.28) 3=1 p=1

D'après l'équation (3.2), nous avons A - ux^*_n = E^kp=1 âpx^*n-px^*n. En remplaçant cette expression dans (3.28)et en rearrangeant, on obtient

Vÿ (t) = -u(xn - x^* n) xn			~ ~ kX 2 1 - x* n + xn p=1				!n-1 âp(xn* -p - xn-p)xn E + aiNijxj i,j=1
n- 1 + E i=1	Xk p=1	aiQiâpxn-pxn -			Xn- 1 i,j=1	x* aiNijxj ^i xi		Xn - 1 i=1	Xk p=1	x* i aiQiâpxn-pxn . (3.29) xi
Mémoire de DEA:				Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Soit encore

2₊

^Xkp=11

)

+

⁺

^n-1

¹

Vÿ (t) = -u(xn - x^* _n)

xn

n- 11++Ei=1i	Xk p=1	aiQiâpxn-pxnn --- 1âpxn^* -pxn * * 1 1x^* *xn-p pxnxn-pp* -p p n**aiNijxjixn nxnn-ppn ni,j=11	Xn- 11i,j=1	x*!n- 11k k Nizjj*** * xnn_xnnaa. ziz3j 3 E E aQQâppn-pxnn ****.. zxiixj i =1.xixn-pxnn p=(3.30))
Or, d'aprèss (3.16), on a aNj == 0 pour j = 1,···-- ,n --- k - 1,, a((					Nn-p p++	Câpx^*) )= 0, ,p p= =2,,· ·· ·· ·,,k ket aQ= =1..

En replaçantt dans (3.30), avec x^** = x^*_n^*ilt vient ^que

x* *** _1* *xn-1 ¹ⁿⁿâ1xXxX _* EaiNijxjixn nxn-1 ¹i,j=1i

(xn n- ^--x^))V(t) )= -u^nn xn

2+

^Xk ^p^=11

~****âpxn-pxnn11

^n-11

n- 11++Ei=1i

_**xn-1 n-1

*** *xx'xxn_xxnaiQiâpxn-pxnn ..

xxxx****n-ppxnn

Xn- 11i,j=1

aiNijxjj

3x^*l! ^·

^xx4; ^xii

n- 11i=1i

p=11

x^*n-1

1

(3.31)

Pour j = 1, ·
· ·
· ·
· ,n, posons uji x*

xii. .Il lvient tquee

(xn n- ^--x))V(t) )= -uⁿⁿ

xn

pP (xn-ppxn _n(1 - un) )++â1xn*-1xn **++

^,

2_{+ X}k

p=11

!¹aiNi,n-1x^* n-1

un-11

n- 11i=1i

n - 11++ Ei,j=1

aiNijxji ---

^n-1X1i,j=1

aiNijx* ui ^j uj ^3

n- 11i=1i

p=1i

* *uiiaiQiâpxn*-pxnnun-punn

****= =â1xn-1xn n --- aa

(3.32)

^nn-1Soit t933= =â1xn*-1xn * + _{iiaiNi,n-1x*n-1i} le coefficient de ¹, ,alors son nobtient tde el'équationnun-11 àa l'équilibree (3.2).

93 =â1x*n-1x*n* + n- 11i=1i aiNi,n-1xn^**-1,,

n - 22

QQ

p=1i

j3j3

âpxn-pxn n---

= -	Xk^p^=2	âpxn-pxn n---			n- 22	j3j3
= -	Xk p=2		âpxn **+ + ENji)xn*-p p---				n-k-11		ENjx^*t= =0..j 3
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En remplaçant ce résultat dans (3.32), on obtient

(xn - x^* ) V(t) = -u^n xn

2

+

Xk p=1

âpx^*n-px^*n (1 - un) +

Xn- 1 i,j=1

aiNijxj

_Xn- 1
i,j=1

-

uj

_Xn- 1
i=1

_Xk
p=1

* ui

aiNijxj

ui

aiQiâpx_n^*-px_n^*

un-pun

(3.33)

D'après la seconde partie de (3.18), on a

Xk p=1

âpx^*n-px^*n =

Xn- 1 i=1

Xk p=1

* * aiQiâpxn-pxn

(3.34)

et le système (3.1)A l'équilibre, il suit que

-

n-1X i=1

aiNiix^*i =

Xn- 1 i,j=1,i6=j

aiNijx^* j +

Xn- 1 i=1

aiQi

Xk p=1

âpx^*n-px^*n..(3.35)

En introduisant (3.35) dans l'équation (3.33), on obtient

(x_n - x^* )

V(t) = -uⁿ

x_n

aiQiâpxn*-pxn * 2 - u_n - ui )

(

un-pun

2

+

_Xn- 1
i=1

_Xk
p=1

n-1 + E i,j=1,i6=j

~ ~ aiNijx^* 1 - ui . (3.36) ^j uj 3

D'une part, de la relation (3.18), on a pour j = 1, · · · , n - k - 1

0 = aNx^*

j _j,

=			Xn- 1 i=1		aiNijx^* j,
=	Xn- 1 i=1,i6=j	aiNijx^*j -		n-1X h=1,h6=j		ajNjhx^*h - ajQj	Xk p=1	âpx^* n-px* n.

(3.37)

En utilisant l'expressionn (3.35), multiplions (3.37) par Fj(u),, une fonction que nous détermineronss plus tard et u = (u1,, ·
· ·
· ·
· , u_n), on obtient.

0 = _Xn- 1 aiNijx^* _jFj(u)- _Xn- 1 ajNjhx^*kFj(u) - ajQj _Xk âpx^*_n-px^*_nFj(u).. (3.38)

i=1,i6=j h=1,h6=j p=1

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~,, UYI 2008

et en sommant cette égalité pour j = 1,
·
·
· ,n - k - 1, on a

0 =

n-k-1 X j=1

n-1X i=1,i6=j

a.N..x^*F.(u) - z z3 j 3

n-k-1 X j=1

Xn- 1 h=1,h6=j

ajNjhx^*hFj(u) -

n-k-1 X j=1

Xk p=1

ajQjâpx^*n-px^*nFj(u). (3.39)

D'autre part, toujours de l'égalité (3.33), pour tout p ? {2, .., k}, nous avons 0 = a( _Nn-px*n-p + Qâpx^*_nx^*_n-p),

=

_Xn- 1

i=1

_Xn- 1

i=1

aiNi,n-px^*_n-p +

aiQiâpx^*_nx^*_n-p,

=	Xn - 1 i=1,i6=n-p	aiNi,n-px^*n-pFn-p(u) -			n-1X h=1,h6=n-p			an-pNn-p,hx^*hFn-p(u)
-an-pQn-p			n-1X i=1	âpx^*n-px^*nFn-p(u) +		Xn- 1 i=1	aiQiâpx^*n-px^*nFn-p(u). (3.40)

Notons par l'hypothèse H7 que Qn-p = 0. En sommant à présent sur p = 1,
·
·
· ,k on obtient

0 = n-1_X n-1_X aiNi,n-px^*_n-pFn-p(u) - _Xn- 1 _Xn - 1 an-pNn-p,hx^*hFn-p(u)

j=n-k-1 i=1,i6=j i=n-k-1 h=1,h6=n-p

+ E p=1

n-1X i=1

aiQiâpx^*n-px^*nFn-p(u). (3.41)

En additionnant (3.40) à (3.36), il vient que

(xn - xn ) 1ÿ 7 (t) = -u xn

~ 2 1 an-1Qn-1â1xn-1xn 2 - un un)

( un-1

âpxn^*-pxn^* 1 -- u_n

+ Fn-p(u))

+ _Xk

p=2

un-pun

n-k-1
_X

i=1

ui

(

âpxn^*-pxn^* 1 -- u_n

Fi(u) + Fn-p(u))

+

aiQi _Xk

p=1

un-pun

+

n-1X i,j=1,i6=j

aiNijx; (1 - + Fj(u) - Fi(u) ) (3.42) uj

+

_Xn - 2

i=1

n-2

1 un-1 _i

aiNi,n-14_i-1 (1 - ui Fi(u) ) + >2 an-1Nn-1,j x:; + Fj(u)₎ ,

un-1 uj

j=1

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Posons

Bn-p = 2 -- un un-1

+ Fn-p(u),

un-pun

Aij (u) = 1 -- ui uj

+ Fj(u) -- Fi(u),

ui

Bn-p,i(u) = 1 -- u_n

Fi(u) + Fn-p(u),

un-pun

Ci(u) = 1 ui

un-1

Fi(u),

Dj (u) = 1 un-1

+ Fj(u).

uj

L'étape suivante consiste à déterminer les fonctions F1,
·
·
· , _Fn-2 qui rendent V^ÿ (t) négatif.
Notons que --_u(xn-x^*_n) 2 est négatif. Quand à 2--un-- ¹ il est négatif en annexe, en utilisant le

x_n u_n

corollaire 4.1. Sans nuire à la généralité, nous allons supposer que 1 < u1 < u2 <
·
·
· < un-2. Soit h E {1,
·
·
· ,n -- h -- 1} tels que uh < un-1 < uh+1 < n -- h -- 1.

Pour i = 1,
·
·
· , h -- 1, on choisit

ui+1 Fi(u) = ui	+	ui	+ · · · +	uh	un-1 +	(h + 1 -- i),
		ui-1		uh-1	uh

Fh(u) = un-1 1.

uh

Pour i = h + 1,
·
·
· ,n -- h -- 1, on choisit

+ uh+1 uh+2

un-1

Fi(u) =

uh+1

(i -- h).

+
·
·
· +ui-1

ui

Pour p = 2, · · · , k, on choisit

Fn-p =

un-p un-1

+ 1.

Notons que le choix de F1,
·
·
· , _Fn-2 marche aussi dans le cas oil un-1 < u1 (pour h = 0) et si un-2 < un-1 (pour h = n--2). Il est montré dans l'annexe B que _An-p(u), ^Aij(u), _Bn-p,i(u), Ci(u) et Dj(u) sont toujours négatifs en tenant compte de l'hypothèse H6 ,donc V^ÿ < 0 dans l'orthant positif. D'après le principe d'extension de LaSalle [48], la limite de toute solutions de (2.1) qui intersectent 118ⁿ_>0 est contenu dans ^*, le plus grand domaine invariant contenant

= { x E 118ⁿ_>0/ V^ÿ(x) = 01. Nous allons déterminer ^*. Par définition de V (t), V^ÿ (t) est nulle si x_n = x^*_n. Le domaine ^* est invariant et satisfait x_n = x^*_n ; nous avons ÿx_n = 0 sur ^* d'oil

Xk p=1	âp(xn-p -- x^*n-p) =		Xk p=1	âpxn^* -p (1 -- un-p) . un-p
Comme les termes (1-un_p) un_p		sont négatifs, alors, on a un-p = 1 i.e. xn-p = x^*n-p. Ainsi, le

domaine ^* se réduit au point P^*. D'oil toute solution de (2.1) tend vers P^*. Ceci achève la preuve

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3.5 Etude numérique

Dans cette section, nous allons présenter les résultats des simulations numériques pour valider les résultats analytiques obtenus dans les section précédentes. Les simulations numériques ont été effectués pour le modèle épidémiologique de la tuberculose à une classe d'infectés, que nous avons présenté au chapitre 2. Les conditions initiales sont données dans le tableau ci-dessous.

Données			Sources
E(0)	=	200	Nombre initial d'infectés
T(0)	=	100	Nombre initial de tuberculeux extra-pulmonaires
R(0)	=	150	Nombre initial de guéris
L(0)	=	10	Nombre initial de "perdus de vus"
I(0)	=	150	Nombre initial de tuberculeux pulmonaires
S(0)	=	200	Nombre initial de susceptibles

Les valeurs des paramètres sont regroupées dans le tableau ci dessous.

Données	sources
p = 0.15	Programme national de lutte contre la tuberculose (PNLT)
r1 = 0	Programme national de lutte contre la tuberculose (PNLT)
u = 0.101	Ministère de l'Administration Territoriale et de la Décentralisation
d = 0.0022727	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri (Douala)
å = 0.04492	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)
r2 = r3 = 0.8118	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)
ä1 = 0.16288	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)
d1 = d2 = 0.0022727	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)

Pour les autres paramètres, on a utilisés les valeurs suivantes :

a = 0.01(1 - k)(1 - r1), r4 = 0.2, A = 100, 'Y1 = 0.068 = 'Y2, d3 = 2d1 ; f = 0.8, ä = 0.60 , k = 0.005 q = 0.5

En faisant varier le paramètre â, on obtient les différentes valeurs de R0 qui sont données sur le schéma. Les simulations numériques ont été faites en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4, dans le logiciel de simulation MATLAB.

Modèle général de la tuberculose avec deux classes d'infectés

on obtient les trois schémas en fonction des différentes valeurs de R0. Dans le cas du modèle dont le diagramme de transmission est donné par la figure (FIG 2.1), on obtient les trois schémas en fonction des différentes valeurs de â.

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FIG. 3.1 Résultats des simulations numériques.

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~ Pour 3 = 0.105, on se trouve dans le cas R0 > 1. La figure (Fig 3.1) nous présente les résultats des simulations numériques. On observe la globale asymptotique stabilité du point d'équilibre endémique du modèle lorsque R0 > 1. On observe également que le nombre de susceptibles est inférieure au nombre de tuberculeux extra-pulmonaires et au nombre d'infectés latents. Cela signifie que la maladie est persistante au sein de la population considérée.

o Pour 3 = 0.0105, il vient que R0 > 1 et le résultat des simulations numériques présenté sur la figure (Fig 3.5), montre la globale asymptotique stabilité du point d'équilibre endémique du modèle. En plus, comme dans le cas précédent, on constate que, que la maladie persiste au sein de la population et que le nombre d'infectés latents reste très élevé bien qu'il soit inférieur au nombre de Susceptibles.

o Pour 3 = 0.00105, Il vient R0 = 1 et le résultat des simulations numériques présentés sur la figure (FIG 3.6) montre l'asymptotique stabilité globale du point d'équilibre non endémique du système. On constate que dans ce cas, la maladie disparaît alors que les susceptibles sont de plus en plus nombreux et se stabilisent à un certain moment.

3.6 Conclusion

Dans ce chapitre de notre travail, l'analyse globale de la classe de modèles épidémiologiques du chapitre précédent a été traité. Nous avons montré que l'existence et l'unicité des points d'équilibre non endémique et endémique dépendent d'un paramètre de seuil que nous avons calculé. La stabilité de ces points d'équilibre a été démontré en utilisant les fonctions de Lyapunov. Nous avons démontré que le lorsque R0 1, la maladie disparaît alors que lorsque R0 > 1, la maladie persiste au sein de la population humaine. Les simulations numériques ont été présentés pour valider les résultats analytiques obtenus.

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

CONCLUSION GENERALE

Dans ce travail, nous avons généralisé les travaux de [32, 18] dans le cas ou le modèle comporte k classe de malades. Ces modèles peuvent décrire la dynamique des maladies infectieuses telles que la tuberculose, le VIH-SIDA, le paludisme, etc.

Nous avons commencé ce travail par un rappel sur les éléments mathématiques que nous avons utilisés tout au long de notre travail. Il s'agit principalement des notions de quelques notions sur les matrices, de système dynamique et de stabilité des points d'équilibre d'un système. C'est également dans le cadre de la stabilité que nous avons rappelé la stabilité au sens de Lyapunov et le principe d'invariance de LaSalle.

Dans le deuxième chapitre de notre travail, nous avons décrit le système dynamique que nous avons étudié. Il s'agit d'une classe de modèles épidémiologiques dont nous présentons quelques éléments dans la suite du chapitre. Ces éléments peuvent se mettre sous la forme de (2.1) et vérifient toutes les hypothèses qui ont été données. Ce sont les modèles des maladies infectieuses telles que le VIH-SIDA, l'hépatite, la tuberculose et le paludisme. Nous somme sans ignorer que la pandémie du SIDA sévit dans le monde entier en ce moment, même si nous semblons, d'après le programme nationale de lutte contre le SIDA, être dans une phase de stabilisation de la maladie dans notre pays. Quant au paludisme, elle est la première cause de mortalité sur le continent Africain.

Notre objectif dans ce travail est d'exprimer la stabilité asymptotique globale du point d'équilibre endémique dans chaque cas, ce que nous faisons en utilisant les fonctions de Lyapunov larges dans chaque cas. Pour ce faire, le chapitre 3 de notre travail est consacré à cet étude. Il commence par l'étude de l'invariance positive de l'orthant positif, qui est une condition d'application du principe d'invariance de LaSalle. Ensuite, nous déterminons le le taux de reproduction debase R0 et nous déterminons une formule de calcul unique pour les points d'équilibre du système. Nous avons ainsi démontré suivant que R0 = 1 ou R0 > 1 qu'il existe respectivement un équilibre non endémique et un équilibre endémique. La stabilité du point d'équilibre non endémique est en général assez aisée. Pour le point d'équilibre endémique, il se pose en général le problème de la détermination des coefficient de la fonction de Lyapunov

V (t) = _Xn ai(xi - x* i lnxi).

i=1

Nous déterminons ces coefficients qui peuvent être calculé explicitement ce qui fait la par-
ticularité de ce travail, puisque la recherche de la fonction de Lyapunov reste un problème
très actuel en épidémiologie. La différence entre les coefficients de la fonction V (t) et celles

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de U(t) réside dans le paramètre x^* qui vaut Ë/u pour le DFE et x* n pour le point d'équilibre endémique. Le chapitre se termine par une étude numérique dont le but est de valider numériquement par quelques exemples de modèles les résultats théoriques obtenues, avec les données que nous avons obtenue dans [46].

Dans le cas des maladies comme la Tuberculose, nous avons considéré des "perdus de vus". Ce sont des personnes qui ont commencées le traitement qui ont abandonner à un certain moment sans que des examens bactériologiques confirmant la guérison complète. D'près les estimations du programme national de lutte contre la tuberculose, ils représentent au moins 30% des malades et ce sont eux qui développent le plus les résistances aux médicaments.

Une bonne analyse d'une classe de modèles épidémiologiques n'est possible que si les conditions qui prévalent dans la réalité ne sont pas toutes prisent en compte, car on ne peut pas décrire exactement ce qui prévaut dans une population. Mais, du fait que les modèles tiennent compte d'un ensemble de mesures, il mettra en évidence leur effet cumulatif possible, ce que les essais thérapeutiques ne permettent pas d'estimer à long terme. On sait que les actions de santé publique ont une efficacité différente en fonction des paramètres démographiques, épidémiologiques, techniques, sociaux, économiques, ce qui explique selon les pays ou régions, que l'on puisse préférer une mesure de lutte et rejetés d'autres avec parfois des raisons qui semblent contradictoires. Si au lieu d'être intuitives, ces préférences pouvaient s'appuyer sur des données quantitatives issues de l'emploi des modèles, la santé publique en tirerait un bénéfice important. C'est pourquoi chaque paramètre du modèle doit être modifier en fonction des conditions qui prévalent localement.

Dans ce travail, les calculs ont été faits pour une forme de de non linéarité Q Pk p=1 âpxn_pxn. Des formes plus générales Pk p=1 Qpâpxn_pxn ou Qf(x) pourrons faire l'objet de nos futures investigations. Toutes les tentatives qui ont été faites en dimension élevé pour ces types de modèles n'as pas encore aboutit, pourtant cela décrirait encore la dynamique de beaucoup plus de maladie infectieuses.

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

CHAPITRE ANNEXE

ANNeXe A : INégaLiTés uTiLes

(4.1)

,

.

Dans cette annexe, nous donnons les inégalités utiles qui permettent de montrer que la dérivée de la fonction de Lyapunov donnée par l'équation (3.27) est négative.

Théorème 4.1. : Soient y1, y2, · · · , y_n des réels positifs. Alors,

vy1y2· · · y_n = y1 + y2 + · · · + y_n n
n avec égalité dans lorsque y1 = y2 = · · · = yn.

Preuve. : On démontre ce Lemme en utilisant la concavité de la fonction ln x. Puisque ln x est concave, on a

ln (y1 + y2 + · · · + y_n)

ln y1 + ln y2 + · · · + ln y_n n n

= ln(y1y2 · · · _yn)

n

On obtient le résultat en appliquant l'exponentielle de part et d'autre de cette inégalité. On a immédiatement le corollaire suivant :

Corollaire 4.1. : Soient y1, y2, · · · , y_n des réels positifs tels que y1y2 · · · y_n = 1. Alors on a

n - (y1 + y2 + · · · + yn) = 0, (4.2)

avec égalité lorsque y1 = y2 = · · · = yn.

On a aussi le Lemme suivant :

Lemme 4.1. : Soient y1 = y2 = · · · = y_n des nombres réels positifs. On a

0 = y2 y1

+ ··· + yn yn-1

(n - 1) = yn y1

1. (4.3)

Preuve. Chacun des termes yi+1 = 1. Donc

yi

(n - 1) = 0.

y2 + ··· + yn

y1 yn-1

Soit w = yn y1 cas, on a

1 et soit vi = yi - 1 pour i = 2, · · · , n, alors, w et vi sont positifs. Dans ce yi-1

1 + w = yn = y2 × · · · × yn ,

y1 y1 yn-1

= (1 + v2) · · · (1 + v_n)

= 1 + (v2 + · · · + v_n) + un grand terme, = 1 + v2 + · · · + v_n.

Il vient alors que w = v2 + · · · + v_n ce qui donne la seconde inégalité.

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Lemme 4.2. : Soient y1 = y2 = · · · = yn+1 des nombres réels positifs, alors,

y1 y2

+ ··· + yn yn+1

n = y1 yn+1

1. (4.4)

Preuve. : Comme yi - yi+1 = 0, on a

y1 y2			+ ··· + yn yn+1		n = (^y1- 1) + ···+ ( yn y2 yn+1					1)
		y1 - y2		yn - yn+1 + · · · + yn+1
		y2
y1 - y2 yn+1	yn - yn+1 + · · · + yn+1					=	y1	1
							yn+1

d'où le résultat.

On a le Lemme suivant :

Lemme 4.3. : Soient y1 = y2 = · · · = y_n = Y des nombres réels positifs, alors,

(4.5)

yn + (n 1)

( y1 + y2 + yn = 0.

Y y1 yn-1

Preuve. : On a

y_n

,

Y + (n - 1) - (^y1 + y2 + · · · + Y

yn = y_n - Y (y1 - Y y2 - y1 + y_n - yn-1)

y1 yn-1

yn-1

Lemme 4.4. : Soient Y = y1 = ^y2 = · · · = y_n des nombres réels positifs, alors

yn -Y Y = 0.

(y1 - Y ~ Y +y2 - y1 Yyn - yn-1 + · · · + , Y

+ (n -1)-(^yn + y1 + · · · + yn-1)

= 0. (4.6)

X y2 y_n

Preuve. En effet, on a

(n 1) (y,,+ Y2 n y1 + · · · +

yn-1

y1

,

Yn y1 - Y y_n - Y y2 - y1yn-yn-1

Y r

Y2 Yn

= y1 - Y

yn - Y y2 - y1 y_n - yn-1

Y + Y + _Y+ · · · +

Y ,

= 0.

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Annexe B : Démonstration des inégalités

du chapitre 3

L'objectif de cette partie est de démontrer que les termes _An-p(u), ^Aij(u), _Bn-p,i(u), Ci(u) et Dj(u) sont toujours négatifs. Pour cela, nous allons tenir compte des hypothèses et des différents cas qui peuvent se présenter.

Démontrons que An--p(u) < 0, p = 2,
·
·
· , k

un-1

Bn-p = 2 -- u_n

+ Fn-p(u)

un-pun

	un-1 = 3 -- un --	un-p	< 0
d'après le corollaire (4.1).	un-pun	un-1

Cas 1 : Bn--p,i(u), Ci(u) et Di(u) pour i < h pour i < h ; on a

un-1

Bn-p,i(u) = 2 -- u_n

Fi(u),

un-1un

Fi(u), + Fj(u),

Ci(u) = 1 -- ui

un-1

uj

Dj (u) = 1 un-1

où	ui+1 Fi(u) = ui	+	ui	+ · · · +	uh	un-1 +	(h + 1 -- i)
			ui-1		uh-1	uh

avec si h < n -- k. On obtient

Bn-p,i(u) = -- ( u_n 74+1+ ui +
·
·
· + + un-1) (h + 3 -- i)

un-pun ^ui ui-1 uh-1 uh

et

Ci(u) =

( uiuh un-1) + · · · + (h + 2 -- i) un-1 ^ui ui-1 uh-1 uh

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

qui sont négatif par le corollaire(4.1). Par ailleurs,

+

un-1

uh

ui

ui

Di(u) =

un-1

+

+ · · · +

(h - i)

ui+1

+

uh-1

ui-1

uh

ui

est négatif par le lemme (4.2).

Cas 2 : Bn-p,i(u), Ci(u) et Di(u) pour i = h Lorsque i = h, on a

uh

Bn-p,h(u) = 3 - u_n

un-1

,

un-1uh

un-1un

un-1

,

uk

Ch (u) = 2 uh

un-1

qui sont négatifs d'après le corollaire (4.1). On a d'autre part

Dh(u) = 0.

Cas 3 : Bn-p,i(u), Ci(u) et Di(u) pour h = i = n - k - 1 Dans ce cas, nous avons

Bn-p,i(u) = (i + 2 - k) - ( u_n +

un-1un uh+1 uh+2

ui + + + · · · + ui-1)

un-1 uh+1

ui ,

Ci (u) = (i + 1 - h) -+ + + +

( ui

un-1 uh+1 uh+2

·
·
· ui-1)

ui

.

v uh+1

Bn-p,i(u) et Ci(u) sont négatifs d'après le corollaire (4.1).

un-1 Di(u) = ^-ui d'après le Lemme (4.2).

un-1 + uh+1

uh+1 + uh+2

+ · · · +ui-1 ui

(i - h - 1) = 0

Cas 4 : Bn-p,i(u), Ci(u) et Dj(u) pour i = n - p, p ? {2, · · · , k} On a

un-1

Bn-p,i(u) = 3 - u_n

un-p

,

un-1

un-pun

Dn-p = 2	un-p	un-1
	un-1	un-p

qui est négatif d'après (4.1) d'autre part, on obtient

Cn-p = 0.

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Démontrons que Aij = 0

Cas 5 : i < j = h

Pour i = j = h, on a :

ui

ui+2

ui+1

uj

· · ·

ui+3

ui

uj-1

+ (j - i + 1) = 0

Aij =

uj

d'après corollaire (4.1).

Cas 6 : j < i = h

Pour j = i < h, on a, en utilisant le Lemme (4.2)

ui

Aij = -uj

uj+1

+

uj

uj+3

+

uj+2

+ · · · +

(j - i + 1) = ui

uj

1 = 0

ui

ui-1

+ ui

uj

Cas 7 : h < i < j < n - k

Pour h < i < j, on a d'après le Lemme (4.2),

Aij =	ui	+	ui	ui+1 +	+ · · · +	uj-1	(j - i) = 0.
	uj		ui+1	ui+2		uj

Cas 8 : h < j < i < n - k

Pour h < j = i, on obtient par le Lemme (4.1),

ui Aij = - uj	uj	uj+1 - · · · uj+2	ui-1	+ (i - j + 1) = 0.
	uj+1		ui

Cas 9 : i = h < j < n - k

Si i = h < j par Lemme (4), on a

Aij =

un-1 uj

+ (h + 1 - i) - [ui + ui+1 + · · · + uh = 0. uj uiuh-11

Cas 10 : i = h < j < n - k

Pour j < h < i, on a en utilisant le Lemme (4.4),

Aij =

un-1 uj

+ (i - h + 1) - [ui + + · · · + hu +1 + un-11 = 0. uj ui uh+2 uh+1

Cas 11 : i = n - p et j > n - p, p = 2, · · · , k Dans ce cas, on a

= 0.

An-p,j = 1 un-1

uj

car uj > un-1

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Mémoire de DEA:

Cas 12 : i = h et j = n - p, p = 2, · · · , k Dans ce cas, on obtient

[ ui Ai,n-p = (h + 3 - i) - un-p + un-p

un-1 + ui+1

ui + ui+2 = 0.

ui+1 + · · · + uh

uh-1 + un-1 uh

D'après le corollaire (4.1).

Cas 13 : i > h et j = n - p, p = 2, · · · , k

Dans ce cas, on obtient

[ ui Ai,n-p = (i + 2 - h) - un-p + un-p un-1 + un-1 uh+1 + uh+1 uh+2 + · · · + ui-1 ui

~= 0.

D'après le corollaire (4.1).

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

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