Estimation de l'erreur de trocature de l'espace d'états du système d'attente m/m1: méthode stabilité forte

2.1.1 Classification et formalisation d'un système de files d'attente

En g'en'eral, une file d'attente est d'efinie par :

1) Un processus d'arriv'ee de clients, i.e. une suite croissante {T_n, m = 0}, o`u T<sub>n</sub> est l'instant d'arriv'ee du <sup>m`eme</sup> client. Le processus d'arriv'ee est alors la fonction de comptage associ'ee aux temps d'inter-arriv'ees. Si de plus la loi est une exponentielle, alors le processus des arriv'ees est un processus de Poisson, et on utilise la notation M pour souligner le caractère markovien.

2) Une suite de r'eels {S_n, m = 0} avec S_n est la dur'ee de service requise par le ^m`eme client. Nous verrons que dans ce cas, si le processus d'arriv'ee est un processus de Poisson, alors l''evolution de la taille de la file d'attente est une chaàýne de Markov.

3) Une discipline de service . Distributions des inter-arrivées

Les symboles utilis'es pour d'ecrire les processus d'entr'ee et de service sont :

- M : Loi exponentielle (processus de Markov);

- G : Loi g'en'erale;

- GI : Loi-g'en'erale ind'ependante;

- D : Loi constante (d'eterministe);

- Ek : Loi Erlang-k;

- Hk : Loi hyper exponentielle d'ordre k;

- Ck : Loi de Cox-k.

Discipline de service

- FIFO(First In First Out) : Les clients sont servis suivant leur ordre d'arriv'ee; - LIFO(Last In First Out) Le dernier client arriv'e est le premier servi;

- Services partagées Tous les clients sont servis en même temps, mais avec une vitesse inversement proportionnelle au nombre de clients;

- Aléatoire Le prochain client de la file d'attente a` être servi est choisi au hasard;

- SPT (Shortest Processing Time) Le prochain client de la file d'attente a` être servi est celui qui a la requête la plus courte;

-

...

Ces trois 'el'ements sont consid'er'es comme les paramètres essentiels du système, Kendall [15] a propos'e de repr'esenter les modèles stochastiques de files d'attente sous forme d'un sextuplet

A/S/Ns/Nc/K/Z,

. A concerne la loi du processus des inter-arriv'ees {E_n, m = 0} = {Tn+1 - T_n, m = 0};

. S concerne la loi des dur'ees de service S_n ;

. N_s est le nombre de guichets ou serveurs;

. N_c est la capacit'e de la file d'attente;

. K concerne la source des clients;

. Z est la discipline de service.

Lorsque les trois derniers 'el'ements ne sont pas mentionn'es, il est sous-entendu que la capacit'e et la source sont infinies et que la discipline est FIFO (premier arrivé, premier servi).

Caractéristiques d'un système de files d'attente

La th'eorie des systèmes d'attente a comme objectif d'en 'etudier les structures et de calculer les valeurs caract'eristiques permettant de d'ecrire les performances d'un tel système : L : Nombre moyen de clients dans le système de files d'attente;

L_q : Nombre moyen de clients dans la file;

W : Temps moyen de s'ejour d'un client dans la file (attente + service);

W_q : Temps moyen d'attente d'un client dans la file.

Ces valeurs sont li'ees les unes aux autres par les relations suivantes [37] :

L = ë_eW ;

L_q = ëeWq;

;

1

W = W_q + u

ë_e

L = L_q + .

u

Les deux premières relations sont appel'ees Formules de Little, avec : ë_e : Taux d'arriv'ees dans le système;

u : Taux de service;

1 : Intervalle de temps moyen s'eparant deux arriv'ees cons'ecutives;

ë_e

i : Dur'ee moyenne de service j;

u

p = ëeu : Taux d'occupation du système.