2.2.3 La file d'attente M/M/1/N
On considère un système a` serveur unique identique
a` la file M/M/1 exceptéque la capacitéde la file d'attente est
finie. On a donc toujours les hypothèses suivantes :
Le processus d'arrivées des clients dans la file est un
processus de Poisson de taux A et le temps de service d'un client est une
variable aléatoire exponentielle de taux u.
Soit N la capacitéde la file d'attente, c'est le nombre
maximal de clients qui peuvent être présents dans le
système, soit en attente, soit en service.
Quand un client arrive alors qu'il y a déjàN
clients présents dans le système, il est perdu.
Ce système est connu sous le nom de file M/M/1/N,
l'espace d'états S est maintenant fini
S = {0, 1, 2, ..., N}, le
nombre de clients dans la file ne peut donc jamais »partir» a`
l'infini.
De plus, dès qu'un client est autoriséa` entrer,
il sortira avec un temps de séjour dans la file fini, puisqu'il
correspond au temps de service de tous les clients devant lui et que ce nombre
est limitéa` N. Sur un temps très long, le débit de sortie
sera donc bien égal au débit d'entrée, ce qui correspond
bien a` la stabilitéinconditionnelle du système.
FIGURE 2.4 - Graphe de la file M/M/1/N
On décrit un tel système par le processus {X(t), t
= 0} représentant le nombre de clients dans le système a`
l'instant »t».
Le processus de naissance et de mort modélisant ce type de
file d'attente est alors défini de la façon suivante :
{ A, n < k;
An = (2.4)
0, n = k.
{ u, n =6 0;
un = (2.5)
0, n = 0.
Régime transitoire
Le graphe représentatif de la file M/M/1/N est
donné:
FIGURE 2.5 - Graphe de la file M/M/1/N
D'après ce graphe, on extrait les équations
différentielles de Kolmogorov correspondantes au processus X(t) du
système M/M/1/N qui sont identiques a` celles du système M/M/1
sauf pour n = N :
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P0 0(t) = --ëP0(t) + uP1(t);
P 0 n(t) = --(ë + u)Pn(t) +
ëPn-1(t) + uPn+1(t), n = 1, N; (2.6)
P 0 N(t) = --uPn(t) +
ëPN-1(t).
|
Régime stationnaire
On note ðn = Pn(t) la
probabilitéstationnaire d'être dans l'état n
(probabilitéque le système contient n clients). Ces
probabilités peuvent être calculées en écrivant les
équations
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d'équilibre, o`u lim
n?8
|
P 0 n(t) = 0 :
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ë
ðn = u
ðn-1; n = 0...N,
o`u ñ = ë/u.
En appliquant n fois cette relation:
ðn = ð0ñn n = N,
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ð0 :
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1
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1 - ñ
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ð0 =
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N
E
n=0
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ñn
|
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1 - ñN+1 ,
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Ou obtient finalement :
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ðn = ( 1 - ñ 1 - ñN+1
)ñn.
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N
En se servant de la condition de normalisation E
ðn = 1, on peut deduire la probabilite
n=0
Caract'eristiques du syst`eme M/M/l/N
-Nombre moyen de clients dans le syst`eme (L) :
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L = ñ
1 - ñ
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(N + 1)ñN+1
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|
1 - ñN+1 ,
|
A nouveau, lorsque N tend vers l'infini et ñ < 1, on
retrouve les resultats de la file M/M/1 :
L = ñ
1 - ñ.
Pour le syst`eme dont la capaciteest limit'ee a` N, le calcul de
ëe se fait comme suit :
ëe = ë(1 - ðn),
o`u, (1 - ðn) represente la probabilitede
»non refus d'un client dans le syst`eme».
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ñ
L=
(1 - ñ)
|
(N + 1)ñN+1
|
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|
1 - ñN+1 ,
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A l'aide des formules de Little , on obtient
(N + 1)ñN+1 1 - ñN
-Nombre moyen de clients dans la file (Lq) :
Lq = L - ñ(1 - ðN) = (1 ñ
ñ) - 1 - ñN+1 - ñ( 1 - ñN+1),
ñ NñN+1 + ñ
L=
q (1 - ñ) 1 - ñN+1 .
-
textbfTemps moyen de s'ejour el d'attente d'un client dans le
syst`eme (W et Wq) : W = L/ëe , on obtient
[14] :
W = (1 + NñN+1 - (N +
1)ñN u(1 - ñ)(1 - ñN) ,
Wq
-NñN + (N - 1)ñN+1 +
ñ
u(1 - ñ)(1 - ñN) .
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