Introduction générale
L
a mod'elisation est un outil de la recherche d'une expression
simplifi'ee d'un ph'enomène naturel dans sa complexit'e, et qui permet
de pr'evoir le comportement dans un inter-
valle de temps et d''echelle de grandeur. De plus, lorsque la
mod'elisation tient compte des facteurs al'eatoires, on parle alors de
mod'elisation stochastique et de modèle stochastique. Or la th'eorie
analytique des modèles stochastiques s'avère d'une port'e
limit'ee en raison de la complexit'e des r'esultats connus. En effet, dans la
majorit'e des cas, on se retrouve confront'e a` des systèmes
d''equations dont la r'esolution est complexe, qui est en g'en'eral difficile
voire impossible, c'est ainsi le cas pour les fonctions g'en'eratrices, les
transform'ees de Laplace-Stieltjes.
Par ailleurs, on peut citer le degr'e de difficult'e pour
l'obtention de certaines caract'eristiques dans quelques modèles
stochastiques tels que les modèles de files d'attente avec vacance,
serveur non fiable, arriv'ees par groupe, avec rappel et avec impatience, etc.
Pour pallier a` toutes ces difficult'es, les chercheurs ont fait recours a` des
m'ethodes d'approximation. Ainsi, lors de l'analyse d'un modèle
stochastique, on est souvent amen'e a` remplacer le système r'eel
(g'en'eralement complexe), par un système plus simple id'eal dont les
r'esultats analytiques sont exploitables.
Dans le même contexte, les chaàýnes de
Markov constituent un outil principal pour la mod'elisation et la r'esolution
de problèmes dynamiques stochastiques. Elle sont utilis'ees, dans des
situations d'applications pratiques telles que les t'el'ecommunications
(r'eseaux de files d'attente, de radiodiffusion, de communication par
satellite), l''evaluation de performance informatique (r'eseaux informatiques,
programmation parallèle, stockage et retransmission en m'emoire tampon),
la fabrication (lignes d'assemblage, systèmes de manutention), la
fiabilit'e (analyse de pannes), et la th'eorie d'inventaire.
Cependant,en simplifiant quelques hypothèses la
mod'elisation des situations r'eelles, est entach'ee par quelques erreurs dues
au processus de mod'elisation lui-même. D'o`u la paru-
tion, a` ce niveau du problème, de calcul des bornes de
perturbation ou du problème de stabilité.
Dans la pratique, l'espace d'états rencontréest
souvent grand ou infini. C'est le cas par exemple d'une file d'attente a`
capacitéd'attente infinie. Lors d'évaluation des performances de
tels systèmes et pour des raisons de complexitédu calcul, on
rencontre alors des problèmes liés a` leur dimension. En effet,
des modifications dans le système peuvent être
suggérées pour obtenir des bornes simples ou des approximations
faciles a` calculer. Dans ce sens, la troncature de l'espace des états
est souvent exigée dans les calculs qui concernant les
chaàýnes de Markov infinies. L'objectif de ce travail est de
trouver la technique de troncature la plus efficace pour l'estimation de
l'erreur de troncature de l'espace d'état de la file d'attente M/M/1 par
la méthode de stabilitéforte.
Dans la majoritédes travaux, l'attention des chercheurs
était plus focalisée sur l'objectif d'analyse des modèles
et la stabilitéétait obtenue dans la plupart des cas, souvent
pour des hypothèses particulières.
L'étude de la stabilitédans la théorie
des file d'attente, consiste a` délimiter le domaine dans lequel le
modèle idéal peut être utilisécomme une bonne
approximation du modèle réel (perturbé). Ainsi, elle
occupe une place remarquable dans la théorie qualitative des
systèmes dynamiques, ainsi que dans celle des système
stochastiques. On dit qu'un système est stable si une petite
perturbation dans ses paramètres entraàýne une petite
perturbation dans ses caractéristiques. La stabilitése
définie alors comme étant la capacitédu système a`
résister aux perturbations .
Depuis les années soixante dix, plusieurs
méthodes de stabilitédes modèles stochastiques ont
étéélaborées : Méthode des fonctions tests
élaborée par Kalashnikov [28], méthode métrique
initiée par Zolotariev [52] et Rachev [36], méthode de
convergence faible introduite par Stoyan [43] méthode de renouvellement
proposépar Borovkov [5], méthode de stabilitéforte
élaborée par Aissani et Kartashov [3, 30], méthode de
stabilitéabsolue introduite par Ispen et Meyer [25] et la méthode
du développement en séries proposépar Heidergott et
Hordjik [17, 19].
La méthode de stabilitéforte (ou des
opérateurs) a étéélaborée par Aissani et
Kartashov au début des années 1980. L'intérêt de
cette méthode est que l'ergodicitéuniforme par rapport a` une
norme donnée est préservée sous de petites perturbations
du noyau de transition. Elle nous donne un calcul exact des constantes dans les
estimations quantitatives de stabilité. Les résultats
fondamentaux de cette méthode ont fait l'objet de la publication en 1996
de la monographie de Kartashov [30]. Cette méthode a
étéappliquée a` plusieurs modèles stochastiques
régi par des chaàýnes de Markov : Modèles de files
d'attente classiques (Bouallouche et Aissani[6, 7] .
Ce mémoire comprend cinq chapitres, une conclusion
générale et enfin une liste de
r'ef'erences bibliographiques.
* Le premier chapitre permet de pr'esenter les g'en'eralit'es sur
les chaàýne de Markov .
* Le deuxième chapitre est consacr'ee aux
systèmes de files d'attente et aux caract'eristiques de quelques
systèmes d'attente classiques tels que : M/M/1, M/M/m, M/M/1/N, M/G/1,
G/M/1.
* Ensuite, le troisième chapitre concerne une
synthèse sur les r'esultats et les diff'erentes
techniques de
troncature connues dans la litt'erature sur les chaàýne de
Markov.
* Le quatrième chapitre est l'ossature de notre
travail. En effet, dans ce chapitre on s'int'eressera a` l'estimation de
l'erreur par la m'ethode de stabilit'e lors de la troncature de l'espace d'etat
de la chaàýne de Markov d'ecrivant l'etat de la file d'attente
M/M/1, et ce, en consid'erant plusieurs techniques de troncature.
* Enfin, le cinquième chapitre est consacr'e a` la
comparaison des deux techniques de troncature par l'application num'erique de
l'algorithme de stabilit'e forte.
* Notre m'emoire s'achève par une conclusion g'en'erale,
o`u nous mettons l'accent sur quelque perspectives de recherche induites par ce
travail.
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Généralités sur les chaàýnes
de Markov
Les chaàýnes de Markov sont un objet essentiel
des probabilités modernes. Elles apparaissent et sont utilisées
avec succès dans des domaines aussi divers que la physique, la biologie,
les sciences sociales ou l'informatique.
L'objet de ce chapitre est de présenter la théorie
des chaàýnes de Markov. Nous nous limiterons au cas particulier
(essentiel) o`u l'espace des états est un ensemble
dénombrable.
Ainsi, nous introduirons quelques concepts fondamentaux des
chaàýne de Markov. En particuliers, nous nous focaliserons sur le
problème d'existence d'une distribution stationnaire.
1.1 Processus stochastiques
Les processus stochastiques décrivent
l'évolution d'une grandeur aléatoire en fonction du temps. Les
processus stochastiques ont pris un énorme essor, non seulement en
finances, dans la fiabilitédes systèmes, en mécanique
statistique ou encore dans les sciences de la vie, mais également dans
des techniques appliquées a` des problèmes qui au départ
n'ont rien a` voir avec les probabilités ou le risque. Tel est le cas
des méthodes d'optimisation globale, ou du traitement de certains
problèmes de l'analyse numérique.
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